課程論文：彈塑性力學廣義變分原理

1、彈塑性力學中的廣義變分原理課程論文題目：廣義變分原理在結構力學中的應用姓名：儲迅易專業(yè)：工程力學學號：131310040008老師：邵國建河海大學力學與材料學院2014年4月1日2彈塑性力學中的廣義變分原理課程論文摘要：把一個力學問題用變分法化為求泛函極值的問題，就稱為該物理問題的變分原理。如果建立了一個新的變分原理，它解除了原有的某問題變分原理的某些約束條件，就稱為該問題的廣義變分原理；如果解除了所有的約束條件，就稱為無條件廣義變分原理，或稱為完全的廣義變分原理。本文在總結部分課程內容的基礎上，運用廣義變分原理探討了結構力學中柱體扭轉問題。關鍵字：變分法 彈性力學變分原理 柱體的扭轉問題 1

2、 概述變分法的早期思想是Johann Bernoulli在1696年以公開信的方式提出最速降線命題，并在1697年進行了解決。關于變分法的一般理論是Euler于1774年、Lagrange于1762年共同奠基的，我們稱之為Euler-Lagrange變分原理。1872年Betti提出了功的互等定理。1876年意大利學者Castigor提出了最小功原理。德國學者Hellinger于1914年發(fā)表了有關不完全廣義變分原理，后來美國學者Reissner發(fā)表了與Hellinger相類似的工作，此工作被稱之為Hellinger-Reissner變分原理。我國學者錢令希于1950年發(fā)表“余能原理”論文。我

3、國學者胡海昌于1954年發(fā)表了有關廣義變分原理的論文，日本學者鷲津久一郎(Washizu)于1955年發(fā)表了與有胡海昌相類似的工作，此工作被稱之為胡-鷲變分原理。1956年Biot建立了熱彈性力學變分原理。1964年錢偉長提出用Lagranger乘子構造廣義 分原理的方法。1964年Gurtin提出了線彈性動力學變分原理。1967年意大利學者Tonti提出了四類變量的廣義變分原理，在這類變分原理中，位移、應變、應力及Beltrami應力函數(shù)都是變分變量。2 變分法變分法是處理函數(shù)的函數(shù)的數(shù)學領域，和處理數(shù)的函數(shù)的普通微積分相對。譬如，這樣的泛函可以通過未知函數(shù)的積分和它的導數(shù)來構造。變分法最終

4、尋求的是極值函數(shù)：它們使得泛函取得極大或極小值。在函數(shù)論中，自變量對應著另一變量，則變量稱為自變量的函數(shù)。假如自變函數(shù)對應著另一個函數(shù)，則稱為泛函。泛函是函數(shù)的函數(shù)，是函數(shù)的廣義函數(shù)。自變函數(shù)的變分所引起的泛函的增量，即：類似地，其可展開為線性項和非線性項 其中L是對的線性泛函項，而是非線性泛函項，是的同階或高階微量，當時，同時也趨近于零，這時泛函的增量等于的線性部分，叫做泛函的變分，用來表示。 所以泛函的變分是泛函增量的主部，而且這個主部對于函數(shù)變分來說是線性的。求泛函在邊界條件下的極值。=0的條件是： 這個方程稱為歐拉方程，就是說，泛函極值的積分方程轉換成歐拉方程微分方程。3 彈性力學中的

5、變分原理3.1廣義勢能泛函和廣義余能泛函關于位移和應變（兩類變量）的廣義勢能泛函：在該泛函中位移和應變是獨立的自變函數(shù), 不需要滿足位移的邊界條件和變形協(xié)調條件，從而使得與變分原理相對應的數(shù)值計算在處理某些特殊問題的時候變得更加簡單，更加有效。關于位移和應力(包括邊界上的約束力)的兩類變量廣義勢能泛函：用位移和應力表示兩類變量的廣義勢能原理（Hellinger-Reissner）：兩類變量廣義變分原理）彈性力學的精確解，應使上述廣義勢能的泛函取駐值。二類變量廣義余能泛函：對于線彈性體有二類變量的廣義余能原理：彈性力學的精確解應該使得上述二類變量的廣義余能取駐值。三類變量的廣義勢能泛函：也稱該H

6、-Z泛函，是由胡海昌1954年和鷲津一郎1955年分別提出來。 在三類變量的廣義勢能中有三類自變函數(shù),它們都是獨立的。三類變量的廣義勢能原理（胡-鷲津變分原理）：彈性力學的精確解應使上述的廣義勢能取駐值。三類變量的廣義余能原理：在三類變量的廣義余能中有三類自變函數(shù),它們都是獨立的。三類變量的廣義余能原理：彈性力學的精確解應使上述的廣義余能取駐值。由三類變量的廣義余能原理也可以得到彈性力學的所有方程和邊界條件。3.2各種變分原理綜述變分原理連續(xù)條件應力-應變關系平衡條件應變能形式應變余能形式最小勢能原理先補反最小余能原理反補先兩類變量廣義變分原理(余能)反補反三類變量廣義變分原理(勢能)反反反注

7、: 先指先決條件，補指補充條件，反指反應的規(guī)律。4 待定邊界泛函的變分問題4.1 泛函為的邊界待定的變分原理設泛函泛函的積分限及都可以是待定的，也可以一個為已給，而另一個為待定的。在一般情形下，端點不是獨立的，它可以沿某一已給曲線如 （4-1）而移動。于是，有極值條件從上式很容易看到，滿足歐拉方程還不能使達到零，除非在端點上還滿足補充條件 （4-2）所以，歐拉方程 （4-3）只有在始點定點條件， （4-4）終點待定條件（4-1）式和補充條件（4-2）式在一起時，泛函的極值問題，才有充分和必要的條件求解。在這三個條件中，有兩個條件可用來決定待定積分常數(shù)和，第三個條件用來決定待定的端點坐標。補充條

8、件（4-2）式是一個函數(shù)的斜率和已知端點曲線的斜率之間的關系，我們稱（4-2）式為交換條件（或貫截條件）。一般說來，滿足定點條件（4-4）式的歐拉方程（4-3）式的解中，尚有一個積分常數(shù)未定，或可以寫成。在利用了待定端點條件(4-1)式和補充條件（4-2）式之后，總能確定與這兩個待定量，而在這樣決定的一條曲線上，泛函必為極值。如果邊界點也是待定的，也可以假定它能沿著一條曲線上移動，則在這一待定始點上有下面的交接條件4.2 泛函的邊界待定的變分原理問題設泛函上限是待定的，變分為按之間關系不同，有下列各種情況：（1）都是獨立的這是最一般情況，由給出歐拉方程， （4-5）同時給出處的邊界條件， （4

9、-6）于是可以利用歐拉方程（4-5）式，和極值曲線通過固定點的條件和處的邊界條件（4-6）式這三個邊界條件，來決定本題的極值曲線和的待定值。（2）邊界點可以沿某一曲線任意移動給出相同的歐拉方程， （4-7）同時給出處的補充邊界條件 （4-8）這也代表極值曲線和已給端點曲線之間的交接條件。當從歐拉方程（4-7）式求解極值曲線時，它必須滿足：在處通過固定點；在點滿足；在點滿足交接條件（4-8）式。（3）邊界點可以沿某一曲面任意移動由給出歐拉方程， （4-9）同樣，也給出了極值曲線和曲面的交接條件 （4-10）當從（4-9）式中解出極值曲線時，其端點條件為：在處通過固定點；在點滿足；在點滿足交接條件

10、（4-10）式。不論那種情況，在待定端點上有三個獨立的邊界條件必須得到滿足，在這個變分問題中，歐拉方程式（4-9）式有四個積分常數(shù)，其中兩個由的固定邊界條件決定，還有兩個積分常數(shù)和值共有三個待定量由（4-10）兩式與等三個處的邊界條件決定的。當然，如果點也是可以移動的待定邊界，其處理過程與上面所討論的完全相似，這里就不再重復。4.3 泛函的邊界待定的變分原理問題對泛函的極值問題，如果假定已給不變，邊界條件為待定的情況，如果邊界已給，為固定邊界，且有而為待定的問題，這時的變分可以寫成如果都是獨立的，給出歐拉方程：補充邊界條件：補充邊界條件和固定邊界條件加在一起，可以決定由解歐拉方程的極值曲線中的

11、五個待定量。一般說來，并不都是獨立的，它們可能有各種各樣的聯(lián)系。（1）點可以在曲線 （4-11）上任意移動，于是有得 時，給出歐拉方程和有關邊界條件 （4-12） （4-13）求解歐拉方程時，在端，仍有三個條件（4-11）式和（4-12）、（4-13）式。（2）點可以在曲線 （4-14）上任意移動，而且點上的極值曲線的端點斜率為的另一函數(shù) （4-15）這里應該注意，并不一定等于，也包括了的情況，于是有消去得當時給出歐拉方程和邊界條件 （4-16）所以，求解歐拉方程時，在端，仍有三個條件，即（4-14）、（4-15）和（4-16）式。（3）在點上，也可以存在著某一種之間的關系 （4-17）于是，

12、之間有關系設，則有把（4-60）式代入（4-46）式中，得當給出歐拉方程（4-47）式和有關端點條件 （4-18） （4-19）這指出求解歐拉方程時，在端仍有三個條件，即（4-17）式、(4-18)式及（4-19）式。5變分原理在結構力學中的應用柱體的扭轉5.1 柱體扭轉的基本方程圖5.1柱體扭轉5.1.1變形假設 柱體扭轉時，其橫截面在原平面上的投影只有剛體轉動、但允許有軸向的自由翹曲。如果取軸向為軸，橫截面為平面，為單位長度的轉角，為某個橫截面的轉角。在平面內某一點在變形前后的位置分別為圖5.2橫截面變形其中為該點變形前的角度，為該點轉過的角度。因此位移場為這里為自由翹曲函數(shù)，由此對應的應

13、變?yōu)?對應的變形協(xié)調條件為 5.1.2 平衡方程根據(jù)廣義Hook定律，由于從而有， 因此應力平衡方程只剩一個 5.1.3 邊界條件柱體兩端邊界上應用圣維南原理，有 其中為作用在柱體上的扭矩。 柱體兩個側面自由, 沒有任何載荷, 那么應力邊界條件為 其中為側面的外法線方向。5.2 柱體扭轉的應力函數(shù)解法根據(jù)應力平衡方程可以引進應力函數(shù)，也就是說假設 這樣的和自動滿足平衡方程。變形協(xié)調條件再結合彈性本構關系得到 把用應力函數(shù)表示的應力代入該方程得到 也就是說, 應力函數(shù)應該滿足Poisson方程。由于柱體側面是自由，根據(jù)應力邊界條件其中為側面邊界(橫截面的邊界)的外法線方向 圖5.3外法線分量的計

14、算用應力函數(shù)表示的邊界條件為 由此得到沿著邊界應力函數(shù)為常數(shù) 更進一步, 如果橫截面是單連通區(qū)域，可以令邊界上 而不影響分析結果。圖5.4多連通區(qū)域如果橫截面是多連通區(qū)域，那么可以令外邊界上應力函數(shù)為零而在內部每個邊界上應力函數(shù)滿足 該邊界條件和應力函數(shù)所必須滿足的泊松方程構成了微分方程的邊值問題.當邊界比較簡單時(如圓和矩形截面), 可以直接求解。在兩個端面上的力等效邊界條件為應用Green公式得到 式中為內邊界所圍成的面積（這里注意內邊界的走向）。對于單連通區(qū)域情況下 其中我們稱為扭轉剛度。5.3 柱體扭轉的最小余能定理扭轉問題對應的應變余能 用應力函數(shù)表示的應變余能為 為了去除剛體位移,

15、假設一個端面(比如)處固定，另外一個側面轉過的角度為，那么在另外一個端面上轉動所對應的余能為 對于橫截面是單連通區(qū)域情況下，外力余能為 所以總的余能為 根據(jù)最小余能定理,彈性力學的精確解要求要求總余能取最小值?，F(xiàn)在總余能是關于應力函數(shù)的泛函, 總余能泛函的變分為 應用格林公式得到所以有 由余能泛函取極小值()可以得到用應力函數(shù)表示的平衡方程為 這和我們前面用平衡條件得到的方程。6、總結通過學習本課程，我了解到變分原理是工程力學一個重要的組成部分，是力學分析中重要數(shù)學工具之一。廣義變分原理在彈塑性力學中應用非常廣泛的。然而隨著研究的不斷深入，各種更為精確和更為符合實際的計算模型及理論也在被不斷的提出。所以這就要求我們也要不斷的更新我的知識庫及知識面，跟上科學發(fā)展的腳步，為今后的