方法技巧專題30,不等式解法與基本不等式（原卷版）

1、方法技巧專題30,不等式解法與基本不等式（原卷版） 方法技巧丏題 30 不等式的解法與基本不等式 學(xué)生篇 一、不等式的解法與基本不等式知識(shí)框架 二、不等式的解法 【一】一元二次不等式的解法 1.例題 【例 1】已知集合 ax|x 2 x20，by|y2 x ，則 ab 等于( ) a.(1,2) b.(2,1) c.(0,1) d.(0,2) 【例 2】解關(guān)于 x 的不等式 ax 2 (a1)x10(a0). 【例 3】 已知不等式 ax 2 bx10 的解集是þýüîíì- < < -3121| x x ，則不等式 x

2、2 bxa0 的解集是_ 【例 4】（1）已知函數(shù) f(x)mx 2 mx1.若對(duì)于 xr，f(x)0 恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍. （2）已知函數(shù) f(x)mx 2 mx1.若對(duì)于 x1,3，f(x)5m 恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍. （3）若 mx 2 mx10 對(duì)于 m1,2恒成立，求實(shí)數(shù) x 的取值范圍. 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】 解下列不等式： (1)x 2 2x30； (2)已知函數(shù) f(x)î ïíïì x 2 2x，x0，x 2 2x，x0， 解不等式 f(x)3. 【練習(xí) 2】解關(guān)于 x 的不等式 12x 2

3、 axa 2 (ar) 【練習(xí) 3】已知不等式 ax 2 3x64 的解集為x|x1 或 xb (1)求 a，b； (2)解不等式xcaxb 0(c 為常數(shù)) 【二】分式不等式的解法 1.例題 【例 1】 解不等式： 073<+-xx 例 【例 2】 】解不等式132 x£+ 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】解下列不等式： (1) 2 301xx-<+ (2) 2301xx x+³- + 【練習(xí) 2】解不等式：（1） （2） （3） 三、基本不等式 2 113xx-³+221xx+ ³+216 12xx x³- + 【一】配湊型

4、1.例題 【例 1】(1)已知 0x1，則 x(43x)取得最大值時(shí) x 的值為_ （2）若函數(shù)1( ) ( 2)2f x x xx= + >-在 x a = 處取最小值，則 a 等于（ ） a3 b 13 + c 12 + d4 （3）已知 0 a b > > ，則4 12aa b a b+ + -的最小值為（ ） a44 4 ´ b6 c32 283aa b´- d 3 2 (4)已知 1 x > - ，則函數(shù)27 101x xyx+ +=+的值域?yàn)開 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】函數(shù) yx1x3 x1 的最大值為_ 【練習(xí) 2】已知 1,

5、 0, 2 a b a b > > + = ，則1 11 2 a b+-的最小值為（ ） a322+ b3 24 2+ c 32 2 + d1 22 3+ 【二】條件型 1.例題 【例 1】(1)已知正數(shù) x 、 y 滿足 41 x y + =，則1 1x y+的最小值為（ ） a8 b12 c10 d9 (2)已知 0 m > ，0 xy > ，當(dāng) 2 x y + = 時(shí)，不等式24mx y+ ³恒成立，則 m 的取值范圍是（ ） a ) 2,é+¥ë b ) 2,+¥ c ( 0, 2 ùû d

6、( 0,2 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】已知正實(shí)數(shù) a ， b 滿足41 ab+ = ，則1ba+ 的最小值為（ ） a4 b6 c9 d10 【練習(xí) 2】已知 0 x > ， 0 y > ，且 2 8 0 x y xy + - = ，若不等式 ax y £ +恒成立，則實(shí)數(shù) a 的范圍是（ ） a ( ,12 -¥ b ( ,14 -¥ c ( ,16 -¥ d ( ,18 -¥ 【練習(xí) 3】已知正數(shù) x 、 y 滿足 1 x y + = ，則1 41 x y+的最小值為（ ） a 2 b92 c143 d 5 【練習(xí) 4】

7、已知 1, 0, 2 a b a b > > + = ，則1 11 2 a b+-的最小值為（ ） a322+ b3 24 2+ c 32 2 + d1 22 3+ 【三】換元型 1.例題 【例 1】已知 0 a > ， 0 b > ，且 2 1 a b ab + = - ，則 2 + a b 的最小值為（ ） a 5 2 6 + b 8 2 c5 d9 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】若正數(shù) xy 、滿足 4 0 x y xy + - = ，則4x y +的最大值為（ ） a25 b49 c12 d47 【練習(xí) 2】已知正實(shí)數(shù) a，b 滿足 a 2 b40，則 u

8、2a3bab的最小值為_ 【四】實(shí)際應(yīng)用 1.例題 【例 1】某工廠建造一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體貯水池，其容積為34800m ，深度為 3m .如果池底每21m 的造價(jià)為150 元，池壁每21m 的造價(jià)為 120 元，要使水池總造價(jià)最低，那么水池底部的周長(zhǎng)為_ m . 2.鞏固提升綜合練習(xí) 【練習(xí) 1】某公司租地建倉庫，每月土地費(fèi)用與倉庫到車站距離成反比，而每月貨物的運(yùn)輸費(fèi)用與倉庫到車站距離成正比如果在距離車站 10 km 處建倉庫，則土地費(fèi)用和運(yùn)輸費(fèi)用分別為 2 萬元和 8 萬元，那么要使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站( ) a5 km 處 b4 km 處 c3 km 處 d2 km 處 四 、

9、課后自我檢測(cè) 1若集合 aþýüîíì£-01|xxx ，bx|x 2 2x，則 ab 。 2不等式2601x xx- - 的解集為 。 3關(guān)于 x 的不等式( )( )0( )x a x bx c- -³-解集為 | 1 2 3 x x x - £ < ³ 或 ，則點(diǎn) ( , ) p a b c + 位于第 象限 4不等式2312 1x xx+ -³-的解集為 。 5若函數(shù)1( ) ( 2)2f x x xx= + >-在 x a = 處取最小值，則 a 等于（ ） a3

10、 b 13 + c 12 + d4 6不等式2( 1) (1 ) ( 2) 0 k x k x k - + - + - < 對(duì)于 xÎr 恒成立，則 k 的取值范圍是 。 7已知對(duì)任意的 1,1 aÎ - ，函數(shù) ( ) ( )24 4 2 f x x a x a = + - + - 的值總大于 0 ，則 x 的取值范圍是 。 8分式不等式22114 3x xx x- -³ - +的解集為_ 9設(shè)正實(shí)數(shù), x y 滿足1, 12x y > > ，不等式2 241 2 1x ymy x+ ³- -恒成立，則 m 的最大值為 （ ） a 8

11、 b 16 c 2 2 d 4 2 10已知 0 a > ， 0 b > ， a ， b 的等比中項(xiàng)是 1，且1m ba= + ，1n ab= + ，則 m n + 的最小值是_. 11若關(guān)于 x的不等式 x 2 ax20 在區(qū)間1，5上有解，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 。 12已知函數(shù) f(x)x 2 axb 2 b1(ar，br)，對(duì)任意實(shí)數(shù) x 都有 f(1x)f(1x)成立，若當(dāng) x1，1時(shí)，f(x)0 恒成立，則 b 的取值范圍是 。 13若不等式 x 2 (a1)xa0 的解集是4，3的子集，則 a 的取值范圍是_ 14不等式 x 2 8y 2 y(xy)對(duì)于任意的 x，

12、yr 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為_ 15若存在實(shí)數(shù) x2,4，使 x2 2x5m0 成立，則 m 的取值范圍為 。 16已知實(shí)數(shù) x，y 滿足 x 2 y 2 3，|x|y|，則1(2xy) 2 4(x2y) 2 的最小值是_ 17已知 p 為橢圓 x24 y 23 1 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) p 作圓(x1)2 y 2 1 的兩條切線，切點(diǎn)分別是 a，b，則pa pb 的取值范圍為_ 18在關(guān)于 x 的不等式 x 2 (a1)xa0 的解集中至多包含 1 個(gè)整數(shù)，則 a 的取值范圍是 。 19不等式 x 2 2ax3a 2 0(a0)的解集為_. 20已知函數(shù) f(x)ax 2 bx(a0，b0

13、)的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的斜率為 2，則 8abab的最小值是_ 21在 abc 中，a 6 ， abc 的面積為 2，則2sin csin c2sin b sin bsin c 的最小值為 22已知 a1，1，不等式 x 2 (a4)x42a0 恒成立，則 x 的取值范圍為_ 23已知函數(shù) f(x)mx 2 mx1. (1)若對(duì)于 xr，f(x)0 恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍； (2)若對(duì)于 x1，3，f(x)5m 恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 24已知不等式 ax 2 bxc0 的解集為(1，t)，記函數(shù) f(x)ax 2 (ab)xc. (1)求證：函數(shù) yf(x)必有兩

14、個(gè)不同的零點(diǎn)； (2)若函數(shù) yf(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為 m，n 求|mn|的取值范圍 25設(shè)函數(shù)2( ) 2 f x mx mx = - - （1）若對(duì)于一切實(shí)數(shù) ( ) 0 f x < 恒成立，求 m 的取值范圍； （2）若對(duì)于 1,3, ( ) 2( 1) x f x m x Î > - + - 恒成立，求 m 的取值范圍. 26設(shè)函數(shù)2( ) 3| | ( ) = - + f x ax x a ，其中 a r Î （1）當(dāng) 1 a = 時(shí)，求函數(shù)( ) f x 的值域； （2）若對(duì)任意 , 1 Î + x a a ，恒有 ( ) 1 f x ³ - ，求 a 的取值范圍 27徐州、蘇州兩地相距 500 千米，一輛貨車從徐州行駛到蘇州，規(guī)定速度不得超過 100 千米/時(shí)已知貨車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v(千米/時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為 0.01；固定部分為 a 元(a0) (1)把全程運(yùn)輸成本 y(元)表示為速度 v(