最新導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性練習(xí)題

1、精品文檔2.2.1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性精品文檔基礎(chǔ)鞏固題:1.函數(shù) f(x)=父在區(qū)間(-2, +8)上為增函數(shù)，那么實數(shù) a的取值范圍為(x1A.0<a< 一2答案：C一 .一 1B.a<-1 或 a>212a解析：f(x)=a+ x 2C.a>12D.a>-21在(2+8)遞增，l-2a<0,即 a> 22,已知函數(shù)f(x)=x2+2x+alnx,若函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)，則實數(shù) a的取值范圍是()A. a>0 B. a< 4C. a > 0 或 aw 4 D. a>0 或 a< 4a答案：C 解析：.,

2、(x) = 2x+2+-, f(x)在(0,1)上單倜， ，f (x)>0 或 f (x)W0 在(0,1) x上恒成立，即2x2+2x+a> 0或2x2+2x+aw0在(0,1)上恒成立，所以a> (2x2+2x)或a<(2x2+2x)在(0,1)上恒成立.記 g(x)= (2x2+ 2x),0<x<1,可知一4<g(x)<0,，a>0 或 a<4,故選C.3 .函數(shù)f(x) = x+9的單調(diào)區(qū)間為 . x. .9 x2 9 _.答案：(3,0), (0,3) 斛析：f (x)=11，令 f (x)<0,解得3<x<

3、;0 或 0Vx<3, 故單調(diào)減區(qū)間為(一3,0)和(0,3).4 函數(shù)yx2 x3的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為2 22答案：(0,-) ； (,0),(一,) 解析： y3x22x 0,x 0,或x 3 335 .確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)y=x39x2+24x (2)y=3xx3(1)解：y' =39x2+24x)' =3- 18x+24=3(x-2)(x-4)令 3(x-2)(x-4)>0,解得 x>4 或 x<2.，y=x39x2+24x 的單調(diào)增區(qū)間是(4, +oo齊口(oo, 2)令 3(x2)(x 4)<0,解得 2vxv 4.

4、y=x3 9x2+24x的單調(diào)減區(qū)間是(2, 4)(2)解:y' =( x3) z3- 3x2=-3(x2-1)=-3(x+1)(x- 1)令-3(x+1)(x- 1)>0,解得1<x< 1.y=3x x3的單調(diào)增區(qū)間是( 1, 1).令3(x+1)(x1)v 0,解得 x>1 或 xv1.y=3x x3的單調(diào)減區(qū)間是(00, 1)和(1, +°0)6 .函數(shù)y=in(x2-x- 2)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .答案(一°°, - 1)解析函數(shù) y = ln(x2x 2)的定義域為(2, +°°)U(8,一11),令 f

5、(x)= x2x2, f (x) = 2x1<0,得 x<2,函數(shù)y= ln(x2x 2)的單調(diào)減區(qū)間為(一 1)7,已知y=1x3+bx2+(b+ 2)x+ 3在R上不是單調(diào)增函數(shù)，則 b的范圍為 . 3答案b< 1 或 b>2解析若 y' =x2+2bx+b+2>0 恒成立，則 A=4b24(b +2)<0,-1<b<2,由題意 bv1 或 b>2.8.已知 xCR,求證：ex>x+1 .證明：設(shè) f (x) =exx1,貝Uf' ( x) =ex 1.，當(dāng) x=0 時，f' ( x) =0,f (x) =

6、0.當(dāng) x>0 時，f' (x) >0,，f (x)在(0,+ 8)上是增函數(shù).f(x) >f (0) =0.當(dāng) x<0 時，f' (x) <0,f (x)在(8 ,0)上是減函數(shù)，f (x) >f (0) =0.19.已知函數(shù)y=x+ ,試討論出此函數(shù)的單倜區(qū)間x如，1 ,O x2斛：y =(x+)' =1-1 - x 2=2xx1 (x 1)(x 1)(x 1)(x 1) 有令與>0. 解x一 ，、1(x 1)(x 1)得 x>1 或 xv 1. y=x+ 的單倜增區(qū)間；是(一8, 1)和(1, +OO).令 121

7、< 0,xx解得1vxv 0或0vxv1. ，y=x+1的單調(diào)減區(qū)間是(1, 0)和(0, 1)x10.已知函數(shù)f(x) x3 bx2 cx d的圖象過點 P (0, 2),且在點 M(1, f (1) 處的切線方程為6x y 7 0. (I)求函數(shù)y=f(x)的解析式；(n)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào) 區(qū)間.解：(I)由f(x)的圖象經(jīng)過 P (0, 2),知d=2,所以 f (x) x3 bx2 cx 2, f (x) 3x2 2bx c.由 在 M(-1,f(-1) 處 的 切 線方 程 是 6xy70, 知 6 f( 1) 7 0則(1) 1, f ( 1) 6.3 2b c 6,

8、即 2b c 3,1 b c 2 1. b c 0, 解得b c 3.故所求的解析式是f (x) x3 3x2 3x 2.(n) f (x) 3x2 6x 3.令3x2 6x 3 0,即x22x1 0.解得Xi1 后,x21 匹當(dāng) x1 或x1 72時，f (x) 0;當(dāng) 12 x 1,2時，f (x) 0.故£他)在(,1 J2)內(nèi)是增函數(shù)，在(1%2,1 %2)內(nèi)是減函數(shù)，在(1 x2,)內(nèi)是增函數(shù). 點撥：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題 的能力.11.已知函數(shù)f(x)=x 3- 1x2+bx+c.(1)若f(x)在(-00, +oo)

9、上是增函數(shù)，求b的取值范圍2解 (1) f (x)=3x2-x+b,因 f(x)在(-巴 +8)上是增函數(shù)，則 f (x) >0.即 3x2-x+b>0,1. b>x -3x 2在(-00, +oo)恒成立.設(shè) g(x)=x-3x 2.當(dāng) x=。時，g(x) max= , bl .6121212.已知函數(shù)f(x)=x(x-1)(x-a) 在(2, +8)上是增函數(shù)，試確定實數(shù)a的取值范圍.32. . .2解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x-(a+1)x +ax f (x) =3x-2(a+1)x+a要使函數(shù)2f(x)=x(x-1)(x-a) 在(2,+ 8)上是增函數(shù)，

10、只需 f (x) =3x-2(a+1)x+a 在(2, +8)上滿足f (x) >0 即可._2f (x) =3x -2(a+1)x+a.a的取值應(yīng)滿足:a 1a f (-1,1恒成立，即x2 ax 2 0對x1,1恒成立，解之得:解得:a < ®. /.a的取值范圍是a< ® .33022 3 ,13 .已知函數(shù) f (x) 4x ax -x (x R)在區(qū)間 1,1上是增函數(shù)，求實數(shù) a的取值 3范圍.解：f'(x) 4 2ax 2x2,因為f x在區(qū)間 1,1上是增函數(shù)，所以 f'(x) 0對所以實數(shù)a的取值范圍為 1,1點撥：已知函

11、數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則 f'(x) 0；若函數(shù)單調(diào)遞減，則 f'(x) 0”來求解，注 意此時公式中的等號不能省略，否則漏解. 3.214 .已知函數(shù)f(x) x bx ax d的圖象過點P (0, 2),且在點M ( 1, f( 1)處 的切線方程6x y 7 0, (1)求函數(shù)y f (x)的解析式；(2)求函數(shù)y f(x)的單調(diào)區(qū)間。解：(1)由 f (x)的圖象經(jīng)過 P (0, 2),知 d 2 ,所以 f (x) x3 bx2 cx 2 ,2f (x) 3x2 2bx c 由在點M ( 1, f(

12、 1)處的切線方程為6x y 7 0,.3 2b c 6 f( 1) 1, f ( 1) 6 即解得 b c 31 b c 2 1故所求的解析式是f (x) x3 3x2 3x 2f(x) 3x26x 3 令 3x2 6x3 0 ,解得 x11 V2,x21 五當(dāng) x1 或 x1 J2 時，f (x) 0當(dāng)1 亞 x 1 后時，f (x) 0故f(x) x3 3x2 2在(,1 J2)內(nèi)是增函數(shù)，在(1 v'2,1 J2)內(nèi)是減函數(shù)在(1 J2,)內(nèi)是增函數(shù)點撥：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題 的能力.15.已知函數(shù)f(x) =b (x- 1

13、)2求導(dǎo)函數(shù)f ' (x),并確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.解析:f' (x) =2(x1)2(2xb) 2(x1)(x-1)42x+2b22x(b1)(x-1)3 (x- 1)3令 f ' (x)= 0,得 x = b 1 且 xw 1.當(dāng)b 1v1,即b<2時，f ' (x)的變化情況如下表:x:一 00 , b - 1)b-1(b-1,1)(1 , + 8)f' (x)一0十一當(dāng)b 1>1,即b>2時，f ' (x)的變化情況如下表:x(一00,1)(1, b-1)b-1(b-1, + 0°)f' (x)一十0

14、一所以，當(dāng)b<2時，函數(shù)f(x)在(8, b1)上單調(diào)遞減，在(b1,1)上單調(diào)遞增，在(1, + 00)上單調(diào)遞減.當(dāng)b>2時，函數(shù)f(x)在(一8, 1)上單調(diào)遞減，在(1, b1)上單調(diào)遞增，在(b-1, +oo) 上單調(diào)遞減.,一 ,2 ,當(dāng)b 1 = 1,即b=2時，f(x)=所以函數(shù)f(x)在(81)上單倜遞減，在(1 ,x 1+ OO )上單調(diào)遞減.強化提高題：16.設(shè)f(x)、g(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，f' (x),g' (x)分別為f(x)、g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f' (x)g(x) + f(x)g' (x)<0,則當(dāng) a&

15、lt;x<b 時，有()A. f(x)g(b)>f(b)g(x)B. f(x)g(a)>f(a)g(x)C. f(x)g(x)>f(b)g(b)D. f(x)g(x)>f(b)g(a)答案：C 解析：令 y=f(x)g(x),則 y' = f' (x) g(x)+f(x) g' (x),由于 f' (x)g(x) +f(x)g' (x)<0 ,所以 y 在 R 上單調(diào)遞減,又 x<b,故 f(x)g(x)>f(b)g(b).17,若函數(shù)y=x3-ax2+4在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù) a的取值范圍是 .答

16、案3, +8)解析V' =3x22ax,由題意知3x22ax<0在區(qū)間(0,2)內(nèi)恒成立，一 3 ，一、一 一，、即a>2x在區(qū)間(0,2)上恒成立，.-.a>3.18.已知函數(shù)f(x)=axlnx,若f(x)> 1在區(qū)間(1, 十°0 )內(nèi)恒成立，實數(shù) a的取值范圍為答案a>1解析由已知a>+nx在區(qū)間(1, + 8)內(nèi)恒成立. x1 + lnxinx1 + lnx設(shè) g(x)=-,則 g z (x)= - -T<0 (x> 1),g(x) =-在區(qū)間(1, + 8)內(nèi)單調(diào)xxx遞減，.1.g(x)<g(1),g(1)

17、= 1,+lnx< 1 在區(qū)間(1, + 8)內(nèi)恒成立a>1.x19 .函數(shù)y = x2ex的單調(diào)遞增區(qū)間是 .答案：(0,2)解析：y' = (2x-x2)e x>0? 0< x< 2,故選填(0,2). 3220 右f (x) ax bx cx d(a 0)在R增函數(shù)，則a, b, c的關(guān)系式為是答案：a 0,且b2 3ac 解析： f (x) 3ax2 2bx c 0恒成立，則a 04b2 12ac,a 0,且 b203ac21 .若函數(shù)y= 4x3+bx有三個單調(diào)區(qū)間，則 b的取值范圍是 3答案：b>0 解析：v' = - 4x2+

18、b,若y'值有正、有負，則 b>0.22 .定義在 R上的奇函數(shù)f(x)在-a,-b (a>b>0)上是減函數(shù)且 f(-b)>0,判斷F (x) = f(x) 2在b,a上的單調(diào)性并證明你的結(jié)論解析：設(shè)b< xi<x2< a,則-b > -xi >-x 2 > -a.1 f(x)在-a,-b 上是減函數(shù),0<f(-b) & f(-xi)<f(-x 2尸 f(-a),f(x)是奇函數(shù)，.二0<-f(x i)<-f(x 2),則 f(x2)<f(x i)<0, f(xi) 2< f

19、(x2) 2,即 F(xi)<F(x2).F(x)在b,a上為增函數(shù).23.設(shè)函數(shù)f(x) = x3 3ax2+3bx的圖象與直線i2x+yi = 0相切于點(i, ii).求a、b的值；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解析(i)求導(dǎo)得 f' (x)=3x26ax+ 3b.由于f(x)的圖象與直線i2x+yi=0相切于點(i, - ii),所以f(i) = ii, f' (i) = i2,i -3a+ 3b=- ii即，解得 a= i, b=- 3.3-6a+ 3b=- i2(2)由 a=i, b= - 3 得 f' (x)=3x26ax+3b=3(x22x 3)

20、=3(x+i)(x 3).令 f' (x)>0,解得 x<i 或 x>3;又令 f' (x)<0,解得一i<x<3.所以當(dāng) xC( 8, i) 時，f(x)是增函數(shù);當(dāng)xC(3, +8)時，f(x)也是增函數(shù)；當(dāng)xC( i,3)時，f(x)是減函數(shù).i . i O24 .右函數(shù) f(x) - x - ax (a i)x 32上為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍.解：f (x) x2 ax a i (x i)x (a令 f (x) 0得 x i 或 x a i ,當(dāng) x (i,4)時，f (x) 0,當(dāng) x (6,i在區(qū)間(i,4)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)

21、間(6,i),)時,f (x) 0, .4 a i 6,5 a 7.25.設(shè)函數(shù)f(x)=x+ a (a>0).(i)求函數(shù)在(0, +°0)上的單調(diào)區(qū)間，并證明之；(2)若函數(shù)f(x) x在a-2,+8上遞增，求a的取值范圍.解析：(i) f(x)在(0,+ 8)上的增區(qū)間為ja,+8,減區(qū)間為(0, Va ).證明：(x)=i- a，當(dāng) xC Va ,+81時，xf' (x)>0,當(dāng) xC (0, Ji)時，r (x)<0.即f(x)在Ji + 8上單調(diào)遞增，在(0, aa )上單調(diào)遞減.(或者用定義證)(2)a-2,+8為Ji ,+8的子區(qū)間，所以 a

22、-2> Jia-Ja-2>03a +1)( Ji-2)>0 a a -2 0 a > 4.26.已知函數(shù)y= ax與y= b在(0, + 00)上都是減函數(shù)，試確定函數(shù)y= ax3+bx2+5的單x調(diào)區(qū)間.解析： 可先由函數(shù)y=ax與y= b的單調(diào)性確定a、b的取值范圍，再根據(jù) a、b的 x取值范圍去確定 y= ax3 + bx2 + 5的單調(diào)區(qū)間.b .解:函數(shù)y= ax與y=-在(0, + 00)上都是減函數(shù)，a<0, b< 0.x由 y= ax3+bx2+5 得 y' =3ax2+2bx.令 v >0,得 3ax2+2bx>0, .

23、一|vxv0. 3a:當(dāng)xC 3b, 0時，函數(shù)為增函數(shù).3a令 v <0,即 3ax2+2bxv0, x<- 2b,或 x>0. 3a|b , (0, +8)上時，函數(shù)為減函數(shù).3axe a27設(shè)a 0, f(x) 一 二是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明f(x)在(0, + ) a e上是增函數(shù)。解：(1)依題意，對一切x R,有f (x) f(x),即即(a)(ex -x-) 0 ,所以對一切 xR,(a1V x)(eaa4x) e1xae0恒成立xae,一 x 1 1一 2由于e不恒為0,所以a 0,即a 1 ,又因為a 0 ,所以a 1ea(2)證明：由 f

24、(x) ex e x,得 f (x)ex ex e x(e2x 1)當(dāng) x (0,)時，有ex(e2x 1) 0,此時f(x)0 ,所以 f(x)在(0, + 是增函數(shù)128.求證：方程 x?sinx= 0只有一個根x= 0.-1 ,L，.、證明設(shè)f(x) = x 2Sinx, xC(8, + 8),1.則 f (x) = 1 /cosx> 0,f(x)在(°°, + 8)上是單調(diào)遞增函數(shù).而當(dāng) x=0 時，f(x) = 0,1. 方程xsinx= 0有唯一的根 x=0.29 已知 f(x)=x2+c,且 f f(x) =f(x2+1)設(shè)g(x)=f f(x),求g(

25、x)的解析式;(2)設(shè)6 (x)=g(x)入f(x)，試問：是否存在實數(shù)入，使巾(x)在(8,1)內(nèi)為減函數(shù),且在(1, 0)內(nèi)是增函數(shù).B：由題意得 f f(x) =f(x2+c)=(x2+c)2+c f(x2+1)=(x2+1)2+c, .' f f(x) =f(x2+1) 1 (x2+c)2+c=(x2+1)2+c, 1- x2+c=x2+1, .1. c=1 .f(x)=x2+1,g(x)=f f(x) =f(x2+1)=(x2+1)2+1(2) 6 (x)=g(x)入 f(x)=x4+(2 入)x2+(2 入) 若滿足條件的人存在，則6 ' (x)=4x3+2(2 入

26、)x ;函數(shù)6 (x)在(一8 ,1)上是減函數(shù)， 當(dāng) xv 1 時，6 ' (x)<0即4x3+2(2 入)x<0對于xC (8,1)恒成立 2(2-入)>4x2,xv 1,.,. - 4x2< 4 2(2入)4,解得入 <4 又函數(shù)(J)(x)在(一1,0)上是增函數(shù) 當(dāng)一1 vx0 時,j，(x)>0即4x2+2(2 入)x>0對于xC ( 1,0)恒成立 2(2入)V 4x2, 1V xv 0, 4<4x2< 02(2入)W 4,解得人 >4故當(dāng)入=4時，6 (x)在(一8 , 1)上是減函數(shù)，在(一1,0)上是增函數(shù)

27、，即滿足條件的 入存在.課外延伸題：30.方程x3 3x+c=0在0, 1上至多有 個實數(shù)根答案：1 解析.設(shè) f (x) =x3- 3x+c,貝U f (x) =3x2- 3=3 (x21).當(dāng)xC (0, 1)時，f (x) <0恒成立.二. f (x)在(0, 1)上單調(diào)遞減.，f(x)的圖象與x軸最多有一個交點.因此方程x3- 3x+c=0在0, 1)上至多有一實根.31,若函數(shù)f(x) = x3 3x+a有三個不同的零點，則實數(shù) a的取值范圍是 .答案：2<a<2 解析：fz (x)=3x2-3 = 3(x+ 1)(x- 1).令 f' (x) = 0,得

28、x = 1 或 x= 1.f(x)在(一8, 1)和(1, +8)上遞增，在(一1,1)上遞減，f(1)>0) . 2<a<2. f(1)<032.(2010湖北黃岡中學(xué)模擬，19)已知定義域為0, 1的函數(shù)f(x)同時滿足：對于任意的 xC 0, 1,總有 f(x) J 0； f(1)=1；若 X1>0,X2>0,X1+X2W 1,則有 f(x 1+X2)>f(x 1)+f(x 2).(1) 求f(0)的值；(2)求f(x)的最大值.解析：(1)對于條件，令 X1=X2=0得f(0)W0,又由條件知f(0) >0,故f(0)=0.(2)設(shè) 0W

29、x1<x2W 1,則 X2-X1 £ (0,1), f(X2)-f(x 1)=f (X2-X1)+X 1 -f(x 1)=f(x 2-X1)+f(X 1)-f(X 1)=f(X 2-X1) > 0.即f(X2)>f(X1)，故f(x)在0, 1上是單調(diào)遞增，從而 f(x)的最大值是f(1)=1.33.已知函數(shù)f(x)=(二-1)2+( n-1)2的定義域為m,n)且1 w m<n w 2.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; m x(2)證明:(1)解析:對任意 X1、X2C m,n，不等式|f(x1)-f(x2)|<1 恒成立.22x0 n0 xn2x2n

30、解法一：: f(x) = ( - -1)2+(-1)2=y -y 一 一 +2,m x mxmxf一 一 2 一 一2x 2n22n(X)=2=2mxmx2乙/ 42 232、2 (x -m n -mx +m nx)=m x(x2-mx+mn)(x+ . mn )(x-,1、.mn).1 1 & mW x<n< 2,2-3- >0,x2-mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+mn >0.m x令 f' (x)=0，得 x= Jmn ,當(dāng) xC m,、mn時，f' (x)<0;當(dāng) xC vmn，-時，f' (x)>0.1

31、 f(x)在m,/mn 內(nèi)為減函數(shù)，在Ymn , n)為內(nèi)增函數(shù)解法二：由題設(shè)可得f(x)=2n+1.x令t二 一1 w m<n w 2,且 x C m,nx n n - t= - - > 2, J- >2.m x . m人，1 n令 t = = =0,得 x= mn . m x當(dāng) x e m, vmn ,t' <0;當(dāng) x (vmn ,n)時，t' >0. .-.t=- -在m, v mn 內(nèi)是減 m x2n函數(shù)，在Jmn , n內(nèi)是增函數(shù),函數(shù)y=(t-1)2-+1在1, +8上是增函數(shù)，函數(shù)f(x)在m, Jmn 內(nèi)是減函數(shù)，在Vmn , n

32、內(nèi)是增函數(shù).(2)證明：由(1)可知，f(x)在m,n上的最小值為 f(Jmn)=2(n -1)2，最大值為 mf(m)=( 1)2. m對任息 Xi、x2 C m,n ,|f(x i )-f(x 2)| w ( -1) -2( - j -1)=(猿-4 , +4 * / -1.令u= 一 ,h(u)=u 4-4u2+4u-1.-.1 1 < m<n < 2,1< < 2,即 1<u <2 2m(u)=4u3-8u+4=4(u-1)(u- - )(u+ - )>0,22h(u)在(1, <2 )上是增函數(shù). h(u)<h(V2 )=4-8+4-1=4 & -5<1.不等式|f(x1)-f(x