金融危機(jī)中企業(yè)受波及的數(shù)學(xué)模型

1、金融危機(jī)中企業(yè)受波及的數(shù)學(xué)模型曹桃云(廣州科技貿(mào)易職業(yè)學(xué)院 , 廣東 廣州510006 )摘 要 : 根據(jù)金融實(shí)際 ,對(duì)金融危機(jī)中企業(yè)受波及的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了分析 ,建立了在金融危機(jī)中企業(yè)受到波及恢復(fù)正常后還有可能再次受到波及的一般情況的數(shù)學(xué)模型 ,即類似傳染病中無(wú)免疫型的數(shù)學(xué)模型 ,并對(duì)模型進(jìn) 行了經(jīng)濟(jì)解釋以及考慮金融危機(jī)中會(huì)有新的企業(yè)產(chǎn)生 ,企業(yè)由于其他的原因可引發(fā)破產(chǎn)倒閉的因素 ,對(duì)模型做 了進(jìn)一步的推廣.關(guān)鍵詞 : 金融危機(jī) ; 數(shù)學(xué)模型 ; 波及中圖分類號(hào) : O 175. 1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 : A金融危機(jī)的發(fā)生及傳播過(guò)程與傳染病的發(fā)生及傳播過(guò)程極其相似. 謝德政等 1 首次利用傳染病模型

2、建立了 金融危機(jī)中企業(yè)受到波及后及時(shí)調(diào)整 ,恢復(fù)正常狀態(tài)后不 再受波及的數(shù)學(xué)模型 ,即類似傳染病中的免疫型. 通過(guò)對(duì) 該模型的分析 ,他們得到了易受波及的企業(yè)數(shù)超過(guò)某個(gè)臨 界值 c0 時(shí) , 金融危機(jī)才會(huì)蔓延這一結(jié)論. A nde rson 和 M ay 2 , 3 給出了一類無(wú)免疫型傳染病模型. 考慮到潛伏期 在疾病傳播中的作用 ,閆萍等 4 改進(jìn)了該模型 ,建立了一 類具有潛伏期的無(wú)免疫型傳染病動(dòng)力學(xué)模型. 本文在閆萍 等模型及文獻(xiàn) 5 的基礎(chǔ)上 ,考慮到經(jīng)濟(jì)運(yùn)行過(guò)程中受到 金融危機(jī)波及的企業(yè)恢復(fù)正常后 ,還有可能再次受到波及 這一因素 ,建立了在金融危機(jī)中企業(yè)受波及的無(wú)免疫型的 數(shù)學(xué)模型

3、. 最后對(duì)模型做了進(jìn)一步的推廣.全文共分 2 個(gè)部分. 第 1 部分為主要研究結(jié)果 ,第 2部分為結(jié)論.f3 ( t) :在時(shí)刻 t受到波及后倒閉的企業(yè)數(shù).另外引進(jìn) 3個(gè)量 :受到波及的企業(yè)數(shù)=×1未受到波及和波及后恢復(fù)正常的企業(yè)數(shù)100% , 稱為波及率;波及后恢復(fù)正常的企業(yè)數(shù) ×100% , 稱為解出率;2 =正受波及的企業(yè)數(shù)波及后倒閉的企業(yè)數(shù)3 = 正受波及的企業(yè)數(shù)×100% , 稱為倒閉率.為研究方便 , 我們假定在所研究的區(qū)間內(nèi) , 沒(méi)有新產(chǎn)生的企業(yè)和因其他原因引起的破產(chǎn)倒閉的企業(yè) , 即假定ft + ft + ft 為常數(shù) , 記為 a. 3 類企業(yè)之

4、間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系如下圖 :1 ( )2 ( )3 ( )圖 1 第 、類企業(yè)之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系The in te rchange re la tion s among the en te rp rise s of typ e s , and F ig. 11 主要研究結(jié)果1. 2 模型的建立1. 1 記號(hào)將金融危機(jī)中的企業(yè)分為 3 類 : 第 類為未受波及或 波及后恢復(fù)正常的企業(yè) ; 第 類為正在受到波及的企業(yè) ; 第 類為波及后倒閉的企業(yè). 記 :f1 ( t) :在時(shí)刻 t暫未受到波及和受到波及后恢復(fù)正常 的企業(yè)數(shù);f2 ( t) :在時(shí)刻 t正在受到波及的企業(yè)數(shù);df1 ( t)考慮函數(shù)

5、 ft 的變化率:它可看作由三部分構(gòu)1 ( )d t成. 第一部分是由于波及率 1 使得有一部分企業(yè)由第 類變化為第 類 , 且變化的企業(yè)數(shù)與第 類企業(yè)規(guī)模的大小成正比 2 ; 第二部分是由于解出率 , 使得有一部分企2業(yè)由第 類變化為第 類. 也就是說(shuō) , 在 d t的時(shí)間間隔內(nèi) ,第 類企業(yè)的個(gè)數(shù)平均減少了 1 f1 ( t) f2 ( t) , 增加了收稿日期 : 2008 - 04 - 10; 修回日期 : 2008 - 05 - 16作者簡(jiǎn)介 : 曹桃云 ( 1968 - ) ,女 ,高級(jí)講師 ,碩士 ,主要從事高等數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究.29第 4期曹桃云 :金融危機(jī)中企業(yè)受波及的數(shù)學(xué)模

6、型2 f2 ( t) , 即3 f 1 ( t)f 2 ( t)= - f 1 ( t)+=1 f1 ( t) - 2 d f1 ( t)= - 1 f1 ( t) f2 ( t) +2 f2 ( t)( 1)3d tf 1 ( t) - 1 .1 f1 ( t) - 2 df2 ( t)考慮函數(shù) f2 ( t)的變化率:它可看作由 3 部分構(gòu)注意到d t成. 第一部分是由于波及率 1 使得有一部分企業(yè)由第 類變化為第 類 , 且變化的企業(yè)數(shù)與第 類企業(yè)規(guī)模的大f 1 ( t)= - 1 f1 ( t) f2 ( t) +2 f2 ( t)f2 ( t) 2 - 1 f1 ( t) .=小成正

7、比 2 ; 第二部分是由于解出率 , 使得有一部分企于是對(duì)于t 0, ) , 存在 t 使得t 0, t , ft)單調(diào)遞0 )1 (02減 , f2 ( t)單調(diào)遞增 , 即 f 1 ( t) < 0, f 2 > 0. 由業(yè)由第 類變化為第 類; 第三部分是由于倒閉率 3 , 使得有一部分企業(yè)由第 類變化為第 類. 也就是說(shuō) , 在 d t的時(shí)間間隔內(nèi) , 第 類企業(yè)的個(gè)數(shù)平均增加了 1 f1 ( t)f2 ( t) , 減少了 2 f2 ( t) +3 f3 ( t) , 即3f 2 ( t) = f 1 ( t) - 1 > 0,1 f1 ( t) - 2= f2 (

8、 t) 2 - 1 f1 ( t) < 0,f 1 ( t)可以解得 d f2 ( t)= 1 f1 ( t) f2 ( t)- 2 f2 ( t)- 3 f2 ( t)( 2)2>+3.d t 0, t ) , f ( t)t0 1 df3 ( t)1考慮函數(shù)f3 ( t) 的變化率:它僅由一部分組成 ,d t2.同理可解得當(dāng) t , ) , f ( t) <t01是由于倒閉率 3 使得有一部分企業(yè)由第 類變化為第 類 , 即在 d t的時(shí)間間隔內(nèi) , 第 類企業(yè)的個(gè)數(shù)平均增加了3 f2 ( t) , 從而13進(jìn)一步,若 f 1 ( t) - 1 > 0, 分兩種情況

9、討( ) 1 f1t -23論: f 1 ( t) > 0 且- 1 > 0; f 1 ( t) < 0 且d f3 ( t)1 f1 ( t) -2= 3 f2 ( t)( 3)d t32 +3基于 ( 1) 、( 2 ) 和 ( 3 ) 式 , 得到無(wú)免疫型金融危機(jī)的數(shù)學(xué)模型 :( t) - - 1 < 0,而 無(wú)解, 的解為 f1 ( t) >,即當(dāng)1 f121 2 + 3時(shí), f 2 ( t) > 0, 表示受到波及的企業(yè)數(shù)單調(diào)增f1 ( t) >df1 ( t)1= - 1 f1 ( t) f2 ( t)+2 f2 ( t)d t d f2

10、( t)加.3= - 2 f2 ( t)- 3 f2 ( t)+1 f1 ( t) f2 ( t)( 4)若 f 1 ( t) - 1 < 0, 分兩種情況討論 : d t d f3 ( t)( t) - 1 f123= 3 f2 ( t)f 1 ( t ) > 0 且 1 < 0; f 1( t ) < 0 且-d t( t) - 1 f12其中 i 0, i = 1, 2, 3為常數(shù). 初始條件為t = 0時(shí) : f1 ( 0) = a, f2 ( 0) = 0, f3 ( 0)1. 3 模型的經(jīng)濟(jì)解釋由 ( 1) 和 ( 2)式可得 3 2 2- 1 > 0

11、. 的解為f1 ( t) <, 的解為 <= 0( 5)( t) - 11 f121 2 + 3 2 + 3 2 2f1 ( t) <, 即當(dāng) < f1 ( t)或 f1 ( t) < 時(shí) ,<1111df2 ( t)- 2 f2 ( t) - 3 f2 ( t)+1 f1 ( t) f2 ( t)f 2 ( t) < 0, 表示受到波及的企業(yè)數(shù)單調(diào)減少. 也即當(dāng)波及=- 1 f1 ( t) f2 ( t)+2 f2 ( t)df1 ( t) 2 +23時(shí) , 波及的面不大 , 這種金融危機(jī)會(huì)率< <31f1 ( t)很快消失.1 ( )f

12、t( 6)- 1 +- ( t)1 f12解微分方程 ( 6) 可得 3 若 f 1 ( t )- 1 = 0, 則 f 1 ( t ) = 0 或31 f1 ( t) - 2+ ln (1 f1 ( t)- 2 )f2 ( t) = - f1 ( t)+ c.311 = 0; 而 f 1 ( t) = 0 時(shí) , ( 6 ) 式 無(wú) 意 義;-31 f1 ( t) - 2利用初始條件 ( 5 ) 可確定常數(shù) c = a - ln (1 a -2 +32 +31當(dāng) f1 ( t) =時(shí) , f 2 ( t) = 0,由于 f2 ( t)在 f1 ( t) =2 ) . 對(duì)上式求導(dǎo)可得1130廣

13、州大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版 )第 7卷2 +3間間隔內(nèi) , 第 類企業(yè)的個(gè)數(shù)平均增加了 1 f1 ( t) f2 ( t) , 減少了 2 f2 ( t) +3 f3 ( t) , 即左右鄰域的導(dǎo)數(shù)符號(hào)發(fā)生變化 :由 f1 ( t) <, f 2 ( t) <12 +32 +3 d f2 ( t)0到 f1 ( t) >, f 2 ( t) > 0, 表示在 f1 ( t) =處= 1 f1 ( t) f2 ( t) - 2 f2 ( t) - 3 f2 ( t)( 8)d t112 +3 df3 ( t)f2 ( t)獲得最小值 ,也即當(dāng)波及率1 >會(huì)蔓延.時(shí) ,

14、金融危機(jī)才考慮函數(shù)f3 ( t) 的變化率:它由二部分組成 , 第f1 ( t)d t一部分是由于倒閉率 3 使得有一部分企業(yè)由第 類變化為第 類 , 第二部分是由于企業(yè)的正常倒閉率為 d, 使得有 一部分企業(yè)由第 類變化為第 類 , 即在 d t的時(shí)間間隔 內(nèi) , 第 類企業(yè)的個(gè)數(shù)平均增加了 3 f2 ( t) + df1 ( t) , 從而從上面可以看到 , 在金融危機(jī)中 , 加強(qiáng)企業(yè)的防范意識(shí) , 使 1 減小; 同時(shí)對(duì)受到波及的企業(yè)加強(qiáng)管理和提供幫 助 , 使其盡快擺脫危機(jī) , 讓 2 增大; 從而 f2 ( t) 的最小值點(diǎn) 增大 , 就可以降低或避免金融危機(jī)對(duì)企業(yè)和經(jīng)濟(jì)帶來(lái)的負(fù) 面

15、影響.1. 4 模型的進(jìn)一步推廣考慮在金融危機(jī)中會(huì)有新的企業(yè)產(chǎn)生 , 企業(yè)由于其他 的原因可引發(fā)破產(chǎn)倒閉 , 結(jié)合文獻(xiàn) 68 , 假設(shè) :新的企業(yè) 的批準(zhǔn)率為 b, 企業(yè)的正常倒閉率為 d, 其中df3 ( t)= 3 f2 ( t) + df1 ( t)( 9)d t基于 ( 7) , ( 8)和 ( 9)式 , 則此時(shí)的數(shù)學(xué)模型為 d f1 ( t)= - 1 f1 ( t) f2 ( t) +2 f2 ( t) +b f1 ( t) + f2 ( t) + f3 ( t) d t( 10)新批準(zhǔn)的企業(yè)數(shù)df2 ( t)×100% ,b = 現(xiàn)有的企業(yè)數(shù)=1 f1 ( t) f2

16、 ( t) - 2 f2 ( t) - 3 f2 ( t)d tdf3 ( t)正常倒閉的企業(yè)數(shù)×100%.d = 3 f2 ( t) + df1 ( t)未受波及或恢復(fù)正常的企業(yè)數(shù)d t那么 3類企業(yè)之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系圖如下 :t = t0 時(shí) ,f1 ( t) = f1 ( t0 ) , f2 ( t) = f2 ( t0 ) , f3 ( t) = f3 ( t0 ) .關(guān)于此模型的解及經(jīng)濟(jì)解釋還有待進(jìn)一步的討論.2 結(jié)論圖 2 考慮金融危機(jī)中會(huì)有新的企業(yè)產(chǎn)生的情況下 第 、類企業(yè)之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系通過(guò)對(duì)在金融危機(jī)中企業(yè)受到波及的無(wú)免疫型數(shù)學(xué)F ig. 2The in te r

17、change re la tion s among the en te rp rise s oftyp e s , and , conce rn ing the po ssib le p roduc2tion s of new en te rp rise s du ring financ ia l c risis.22 +3<1 <模型 ( 4)的建立和分析 , 得到當(dāng)波及率f1 ( t)f1 ( t)時(shí) , 波及的面不大 , 這種金融危機(jī)會(huì)很快消失. 當(dāng)波及率 df1 ( t)考慮函數(shù) f1 ( t)的變化率:它可看作由三部分構(gòu) 2 +d t3 1 時(shí) , 金融危機(jī)才會(huì)蔓延. 推

18、廣了謝德政等 的1 >f1 ( t)成. 第一部分、第二部分同前 , 第三部分是由于新的企業(yè)的結(jié)果 , 在金融危機(jī)中 , 加強(qiáng)企業(yè)的防范意識(shí) , 使 1 減小; 同時(shí)對(duì)受到波及的企業(yè)加強(qiáng)管理和提供幫助 , 使其盡快擺脫 危機(jī) , 讓 2 增大; 從而 f2 ( t) 的最小值點(diǎn)增大 , 就可以降低或避免金融危機(jī)對(duì)企業(yè)和經(jīng)濟(jì)帶來(lái)的負(fù)面影響. 對(duì)于經(jīng)濟(jì) 運(yùn)行過(guò)程中如何幫助企業(yè)降低或避免金融危機(jī)帶來(lái)的負(fù) 面影響具有較好的理論意義和應(yīng)用性. 對(duì)于推廣模型 ( 10)的解及經(jīng)濟(jì)解釋還有待進(jìn)一步的討論.批準(zhǔn)率為 b, 在 d t的時(shí)間間隔內(nèi) , 增加了 b f1 ( t) + f2 ( t)f3 (

19、 t) . 即+ d f1 ( t)= - 1 f1 ( t) f2 ( t) +2 f2 ( t) +b f1 ( t) + f2 ( t) + f3 ( t) d t( 7)df2 ( t)考慮函數(shù) f2 ( t)的變化率:分析同前. 在 d t的時(shí)d t參考文獻(xiàn) : 1 謝德政 ,楊萬(wàn)年. 在金融危機(jī)中企業(yè)受波及的數(shù)學(xué)模型 J . 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí) , 2007, 37 ( 3) : 1 267.X IE D e2zheng, YAN G W an2n ian. A Study on mode l wh ich affec ts the en te rp rise s in the fi

20、nanc ia l c risis J . M a th P rac t Theo231第 4期曹桃云 :金融危機(jī)中企業(yè)受波及的數(shù)學(xué)模型ry, 2007, 37 ( 3) : 1 267.A nde rson R M. The p e rsistence of d irec t life cyc le infec tiou s d isea se s w ith in pop u la tion s of ho sts J . L ec tu r L ife Sc i, Am e rM a th Soc, 1979, 12 ( 1) : 1 267.A nde r R M , M ay R M

21、. Pop u la tion b io logy of infec tiou s d isea se s J . N a tu re, 1979, 280 ( 5 721) : 3612367.閆 萍 ,吳昭英. 具潛伏期的無(wú)免疫型傳染病動(dòng)力學(xué)的微分模型 J . 生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào) , 2006 , 21 ( 1 ) : 47 256.YAN P ing, WU Zhao2ying. Mode ls fo r the dynam ic s of infec tiou s d isea se s w ithou t imm un ity and w ith la ten t p e riod J .

22、 J B i2om a th, 2006 , 21 ( 1 ) : 47256.姜啟源. 數(shù)學(xué)模型 M . 北京 :高等教育出版社 , 1998.J IAN G Q i2yuan. M a them a tic s mode lsM . B e ijing: H ighe r Educa tion P re ss, 1998.李大潛. 傳染病動(dòng)力學(xué)的一個(gè)偏微分方程模型 J . 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào) , 1986 , 1 ( 1) : 17226.L I D a2q ian. A PD E mode l fo r the dynam ic s of infec tiou s d isea se s

23、J . App l M a th J Ch in U n iv, 1986 , 1 ( 1) : 17 226.李大潛. 非終身免疫型傳染病動(dòng)力學(xué)的偏微模型 J . 生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào) , 1986, 1 ( 1 ) : 29236.L I D a2q ian. PD E mode ls fo r the dynam ic s of infec tiou s d isea se s w ith non2life long imm un ity J . J B iom a th, 1986, 1 ( 1 ) :29236.方北香. 傳染病動(dòng)力學(xué)常微分方程模型解的整體存在唯一性 J . 復(fù)旦學(xué)報(bào) :自然科學(xué)版 , 2001, 40 ( 6) : 6402644.FAN G B e i2xiang. The glob le existence and un iquene ss of the so lu tion of a k ind of OD E S IR S modeL J . J Fudan U n i: N a tSc i, 2001 , 40 ( 6 ) : 640 2644. 2 3 4 5 6 7 8 M