金融危機中企業(yè)受波及的數(shù)學(xué)模型

1、金融危機中企業(yè)受波及的數(shù)學(xué)模型曹桃云(廣州科技貿(mào)易職業(yè)學(xué)院 , 廣東 廣州510006 )摘 要 : 根據(jù)金融實際 ,對金融危機中企業(yè)受波及的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了分析 ,建立了在金融危機中企業(yè)受到波及恢復(fù)正常后還有可能再次受到波及的一般情況的數(shù)學(xué)模型 ,即類似傳染病中無免疫型的數(shù)學(xué)模型 ,并對模型進(jìn) 行了經(jīng)濟解釋以及考慮金融危機中會有新的企業(yè)產(chǎn)生 ,企業(yè)由于其他的原因可引發(fā)破產(chǎn)倒閉的因素 ,對模型做 了進(jìn)一步的推廣.關(guān)鍵詞 : 金融危機 ; 數(shù)學(xué)模型 ; 波及中圖分類號 : O 175. 1文獻(xiàn)標(biāo)識碼 : A金融危機的發(fā)生及傳播過程與傳染病的發(fā)生及傳播過程極其相似. 謝德政等 1 首次利用傳染病模型

2、建立了 金融危機中企業(yè)受到波及后及時調(diào)整 ,恢復(fù)正常狀態(tài)后不 再受波及的數(shù)學(xué)模型 ,即類似傳染病中的免疫型. 通過對 該模型的分析 ,他們得到了易受波及的企業(yè)數(shù)超過某個臨 界值 c0 時 , 金融危機才會蔓延這一結(jié)論. A nde rson 和 M ay 2 , 3 給出了一類無免疫型傳染病模型. 考慮到潛伏期 在疾病傳播中的作用 ,閆萍等 4 改進(jìn)了該模型 ,建立了一 類具有潛伏期的無免疫型傳染病動力學(xué)模型. 本文在閆萍 等模型及文獻(xiàn) 5 的基礎(chǔ)上 ,考慮到經(jīng)濟運行過程中受到 金融危機波及的企業(yè)恢復(fù)正常后 ,還有可能再次受到波及 這一因素 ,建立了在金融危機中企業(yè)受波及的無免疫型的 數(shù)學(xué)模型

3、. 最后對模型做了進(jìn)一步的推廣.全文共分 2 個部分. 第 1 部分為主要研究結(jié)果 ,第 2部分為結(jié)論.f3 ( t) :在時刻 t受到波及后倒閉的企業(yè)數(shù).另外引進(jìn) 3個量 :受到波及的企業(yè)數(shù)=×1未受到波及和波及后恢復(fù)正常的企業(yè)數(shù)100% , 稱為波及率;波及后恢復(fù)正常的企業(yè)數(shù) ×100% , 稱為解出率;2 =正受波及的企業(yè)數(shù)波及后倒閉的企業(yè)數(shù)3 = 正受波及的企業(yè)數(shù)×100% , 稱為倒閉率.為研究方便 , 我們假定在所研究的區(qū)間內(nèi) , 沒有新產(chǎn)生的企業(yè)和因其他原因引起的破產(chǎn)倒閉的企業(yè) , 即假定ft + ft + ft 為常數(shù) , 記為 a. 3 類企業(yè)之

4、間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系如下圖 :1 ( )2 ( )3 ( )圖 1 第 、類企業(yè)之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系The in te rchange re la tion s among the en te rp rise s of typ e s , and F ig. 11 主要研究結(jié)果1. 2 模型的建立1. 1 記號將金融危機中的企業(yè)分為 3 類 : 第 類為未受波及或 波及后恢復(fù)正常的企業(yè) ; 第 類為正在受到波及的企業(yè) ; 第 類為波及后倒閉的企業(yè). 記 :f1 ( t) :在時刻 t暫未受到波及和受到波及后恢復(fù)正常 的企業(yè)數(shù);f2 ( t) :在時刻 t正在受到波及的企業(yè)數(shù);df1 ( t)考慮函數(shù)

5、 ft 的變化率:它可看作由三部分構(gòu)1 ( )d t成. 第一部分是由于波及率 1 使得有一部分企業(yè)由第 類變化為第 類 , 且變化的企業(yè)數(shù)與第 類企業(yè)規(guī)模的大小成正比 2 ; 第二部分是由于解出率 , 使得有一部分企2業(yè)由第 類變化為第 類. 也就是說 , 在 d t的時間間隔內(nèi) ,第 類企業(yè)的個數(shù)平均減少了 1 f1 ( t) f2 ( t) , 增加了收稿日期 : 2008 - 04 - 10; 修回日期 : 2008 - 05 - 16作者簡介 : 曹桃云 ( 1968 - ) ,女 ,高級講師 ,碩士 ,主要從事高等數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究.29第 4期曹桃云 :金融危機中企業(yè)受波及的數(shù)學(xué)模

6、型2 f2 ( t) , 即3 f 1 ( t)f 2 ( t)= - f 1 ( t)+=1 f1 ( t) - 2 d f1 ( t)= - 1 f1 ( t) f2 ( t) +2 f2 ( t)( 1)3d tf 1 ( t) - 1 .1 f1 ( t) - 2 df2 ( t)考慮函數(shù) f2 ( t)的變化率:它可看作由 3 部分構(gòu)注意到d t成. 第一部分是由于波及率 1 使得有一部分企業(yè)由第 類變化為第 類 , 且變化的企業(yè)數(shù)與第 類企業(yè)規(guī)模的大f 1 ( t)= - 1 f1 ( t) f2 ( t) +2 f2 ( t)f2 ( t) 2 - 1 f1 ( t) .=小成正

7、比 2 ; 第二部分是由于解出率 , 使得有一部分企于是對于t 0, ) , 存在 t 使得t 0, t , ft)單調(diào)遞0 )1 (02減 , f2 ( t)單調(diào)遞增 , 即 f 1 ( t) < 0, f 2 > 0. 由業(yè)由第 類變化為第 類; 第三部分是由于倒閉率 3 , 使得有一部分企業(yè)由第 類變化為第 類. 也就是說 , 在 d t的時間間隔內(nèi) , 第 類企業(yè)的個數(shù)平均增加了 1 f1 ( t)f2 ( t) , 減少了 2 f2 ( t) +3 f3 ( t) , 即3f 2 ( t) = f 1 ( t) - 1 > 0,1 f1 ( t) - 2= f2 (

8、 t) 2 - 1 f1 ( t) < 0,f 1 ( t)可以解得 d f2 ( t)= 1 f1 ( t) f2 ( t)- 2 f2 ( t)- 3 f2 ( t)( 2)2>+3.d t 0, t ) , f ( t)t0 1 df3 ( t)1考慮函數(shù)f3 ( t) 的變化率:它僅由一部分組成 ,d t2.同理可解得當(dāng) t , ) , f ( t) <t01是由于倒閉率 3 使得有一部分企業(yè)由第 類變化為第 類 , 即在 d t的時間間隔內(nèi) , 第 類企業(yè)的個數(shù)平均增加了3 f2 ( t) , 從而13進(jìn)一步,若 f 1 ( t) - 1 > 0, 分兩種情況

9、討( ) 1 f1t -23論: f 1 ( t) > 0 且- 1 > 0; f 1 ( t) < 0 且d f3 ( t)1 f1 ( t) -2= 3 f2 ( t)( 3)d t32 +3基于 ( 1) 、( 2 ) 和 ( 3 ) 式 , 得到無免疫型金融危機的數(shù)學(xué)模型 :( t) - - 1 < 0,而 無解, 的解為 f1 ( t) >,即當(dāng)1 f121 2 + 3時, f 2 ( t) > 0, 表示受到波及的企業(yè)數(shù)單調(diào)增f1 ( t) >df1 ( t)1= - 1 f1 ( t) f2 ( t)+2 f2 ( t)d t d f2

10、( t)加.3= - 2 f2 ( t)- 3 f2 ( t)+1 f1 ( t) f2 ( t)( 4)若 f 1 ( t) - 1 < 0, 分兩種情況討論 : d t d f3 ( t)( t) - 1 f123= 3 f2 ( t)f 1 ( t ) > 0 且 1 < 0; f 1( t ) < 0 且-d t( t) - 1 f12其中 i 0, i = 1, 2, 3為常數(shù). 初始條件為t = 0時 : f1 ( 0) = a, f2 ( 0) = 0, f3 ( 0)1. 3 模型的經(jīng)濟解釋由 ( 1) 和 ( 2)式可得 3 2 2- 1 > 0

11、. 的解為f1 ( t) <, 的解為 <= 0( 5)( t) - 11 f121 2 + 3 2 + 3 2 2f1 ( t) <, 即當(dāng) < f1 ( t)或 f1 ( t) < 時 ,<1111df2 ( t)- 2 f2 ( t) - 3 f2 ( t)+1 f1 ( t) f2 ( t)f 2 ( t) < 0, 表示受到波及的企業(yè)數(shù)單調(diào)減少. 也即當(dāng)波及=- 1 f1 ( t) f2 ( t)+2 f2 ( t)df1 ( t) 2 +23時 , 波及的面不大 , 這種金融危機會率< <31f1 ( t)很快消失.1 ( )f

12、t( 6)- 1 +- ( t)1 f12解微分方程 ( 6) 可得 3 若 f 1 ( t )- 1 = 0, 則 f 1 ( t ) = 0 或31 f1 ( t) - 2+ ln (1 f1 ( t)- 2 )f2 ( t) = - f1 ( t)+ c.311 = 0; 而 f 1 ( t) = 0 時 , ( 6 ) 式 無 意 義;-31 f1 ( t) - 2利用初始條件 ( 5 ) 可確定常數(shù) c = a - ln (1 a -2 +32 +31當(dāng) f1 ( t) =時 , f 2 ( t) = 0,由于 f2 ( t)在 f1 ( t) =2 ) . 對上式求導(dǎo)可得1130廣

13、州大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版 )第 7卷2 +3間間隔內(nèi) , 第 類企業(yè)的個數(shù)平均增加了 1 f1 ( t) f2 ( t) , 減少了 2 f2 ( t) +3 f3 ( t) , 即左右鄰域的導(dǎo)數(shù)符號發(fā)生變化 :由 f1 ( t) <, f 2 ( t) <12 +32 +3 d f2 ( t)0到 f1 ( t) >, f 2 ( t) > 0, 表示在 f1 ( t) =處= 1 f1 ( t) f2 ( t) - 2 f2 ( t) - 3 f2 ( t)( 8)d t112 +3 df3 ( t)f2 ( t)獲得最小值 ,也即當(dāng)波及率1 >會蔓延.時 ,

14、金融危機才考慮函數(shù)f3 ( t) 的變化率:它由二部分組成 , 第f1 ( t)d t一部分是由于倒閉率 3 使得有一部分企業(yè)由第 類變化為第 類 , 第二部分是由于企業(yè)的正常倒閉率為 d, 使得有 一部分企業(yè)由第 類變化為第 類 , 即在 d t的時間間隔 內(nèi) , 第 類企業(yè)的個數(shù)平均增加了 3 f2 ( t) + df1 ( t) , 從而從上面可以看到 , 在金融危機中 , 加強企業(yè)的防范意識 , 使 1 減小; 同時對受到波及的企業(yè)加強管理和提供幫 助 , 使其盡快擺脫危機 , 讓 2 增大; 從而 f2 ( t) 的最小值點 增大 , 就可以降低或避免金融危機對企業(yè)和經(jīng)濟帶來的負(fù) 面

15、影響.1. 4 模型的進(jìn)一步推廣考慮在金融危機中會有新的企業(yè)產(chǎn)生 , 企業(yè)由于其他 的原因可引發(fā)破產(chǎn)倒閉 , 結(jié)合文獻(xiàn) 68 , 假設(shè) :新的企業(yè) 的批準(zhǔn)率為 b, 企業(yè)的正常倒閉率為 d, 其中df3 ( t)= 3 f2 ( t) + df1 ( t)( 9)d t基于 ( 7) , ( 8)和 ( 9)式 , 則此時的數(shù)學(xué)模型為 d f1 ( t)= - 1 f1 ( t) f2 ( t) +2 f2 ( t) +b f1 ( t) + f2 ( t) + f3 ( t) d t( 10)新批準(zhǔn)的企業(yè)數(shù)df2 ( t)×100% ,b = 現(xiàn)有的企業(yè)數(shù)=1 f1 ( t) f2

16、 ( t) - 2 f2 ( t) - 3 f2 ( t)d tdf3 ( t)正常倒閉的企業(yè)數(shù)×100%.d = 3 f2 ( t) + df1 ( t)未受波及或恢復(fù)正常的企業(yè)數(shù)d t那么 3類企業(yè)之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系圖如下 :t = t0 時 ,f1 ( t) = f1 ( t0 ) , f2 ( t) = f2 ( t0 ) , f3 ( t) = f3 ( t0 ) .關(guān)于此模型的解及經(jīng)濟解釋還有待進(jìn)一步的討論.2 結(jié)論圖 2 考慮金融危機中會有新的企業(yè)產(chǎn)生的情況下 第 、類企業(yè)之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系通過對在金融危機中企業(yè)受到波及的無免疫型數(shù)學(xué)F ig. 2The in te r

17、change re la tion s among the en te rp rise s oftyp e s , and , conce rn ing the po ssib le p roduc2tion s of new en te rp rise s du ring financ ia l c risis.22 +3<1 <模型 ( 4)的建立和分析 , 得到當(dāng)波及率f1 ( t)f1 ( t)時 , 波及的面不大 , 這種金融危機會很快消失. 當(dāng)波及率 df1 ( t)考慮函數(shù) f1 ( t)的變化率:它可看作由三部分構(gòu) 2 +d t3 1 時 , 金融危機才會蔓延. 推

18、廣了謝德政等 的1 >f1 ( t)成. 第一部分、第二部分同前 , 第三部分是由于新的企業(yè)的結(jié)果 , 在金融危機中 , 加強企業(yè)的防范意識 , 使 1 減小; 同時對受到波及的企業(yè)加強管理和提供幫助 , 使其盡快擺脫 危機 , 讓 2 增大; 從而 f2 ( t) 的最小值點增大 , 就可以降低或避免金融危機對企業(yè)和經(jīng)濟帶來的負(fù)面影響. 對于經(jīng)濟 運行過程中如何幫助企業(yè)降低或避免金融危機帶來的負(fù) 面影響具有較好的理論意義和應(yīng)用性. 對于推廣模型 ( 10)的解及經(jīng)濟解釋還有待進(jìn)一步的討論.批準(zhǔn)率為 b, 在 d t的時間間隔內(nèi) , 增加了 b f1 ( t) + f2 ( t)f3 (

19、 t) . 即+ d f1 ( t)= - 1 f1 ( t) f2 ( t) +2 f2 ( t) +b f1 ( t) + f2 ( t) + f3 ( t) d t( 7)df2 ( t)考慮函數(shù) f2 ( t)的變化率:分析同前. 在 d t的時d t參考文獻(xiàn) : 1 謝德政 ,楊萬年. 在金融危機中企業(yè)受波及的數(shù)學(xué)模型 J . 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識 , 2007, 37 ( 3) : 1 267.X IE D e2zheng, YAN G W an2n ian. A Study on mode l wh ich affec ts the en te rp rise s in the fi

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