2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷和B卷試題和答案

1、2017 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 A卷一試一、填空題1.設(shè) f(x)是定義在 R上的函數(shù)，對任意實數(shù) x有 f(x 3) f(x 4)1.又當 0 x 7時，f(x) log2(9 x)，則 f ( 100)的值為.22.若實數(shù) x,y滿足 x2 2cosy 1，則 x cosy 的取值范圍是 .x2 y23. 在平面直角坐標系 xOy中，橢圓 C的方程為 :1，F(xiàn) 為C的上焦點， A為C的右頂點， P是9 10C 上位于第一象限內(nèi)的動點，則四邊形 OAPF 的面積的最大值為 .4. 若一個三位數(shù)中任意兩個相鄰數(shù)碼的差不超過1，則稱其為“平穩(wěn)數(shù)” .平穩(wěn)數(shù)的個數(shù)是。5. 正三棱錐 P-ABC 中，

2、 AB=1 ， AP=2 ，過 AB 的平面將其體積平分，則棱 PC 與平面所成角的余弦值 為.6.在平面直角坐標系 xOy 中，點集 K (x,y)x,y 1,0,1 .在 K 中隨機取出三個點，則這三點中存在兩點之間距離為 5 的概率為 .7.在 ABC中，M 是邊BC的中點， N是線段 BM的中點.若 A ， ABC的面積為 3，則AM AN3 的最小值為 .8.設(shè)兩個嚴格遞增的正整數(shù)數(shù)列an , bn 滿足： a10 b10 2017 ，對任意正整數(shù) n，有an 2 an1 an，bn 1 2bn ，則 a1 b1 的所有可能值為 .二、解答題9.設(shè) k, m為實數(shù)，不等式 x2 kx

3、 m 1對所有 x a,b 成立.證明： b a 2 2 .x2 x310.設(shè) x1 , x2 , x3是非負實數(shù)，滿足 x1x2 x3 1，求 (x1 3x2 5x3)(x1 x32 x53 )的最小值和最大值2211.設(shè)復(fù)數(shù) z1,z2滿足Re(z1) 0 ，Re(z2 ) 0 ，且Re(z12 ) Re( z22 ) 2(其中 Re( z)表示復(fù)數(shù) z的實部)2017 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 A卷二試一.如圖，在 ABC中， AB AC，I為 ABC的內(nèi)心，以 A為圓心， AB為半徑作圓 1，以I 為圓心， IB為半徑作圓 2，過點 B,I 的圓 3與 1, 2分別交于點 P,Q (不同于點

4、 B).設(shè)IP 與BQ交于點 R.證 明： BR CR二.設(shè)數(shù)列 an 定義為 a1 1 ，an 1 數(shù).an n,an n,an n,an n,n 1,2, .求滿足 arr 32017 的正整數(shù) r 的個.若相鄰連個小方格三.將 33 33方格紙中每個小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個數(shù)相等 的顏色不同，則稱它們的公共邊為“分隔邊”.試求分隔邊條數(shù)的最小值 .四.設(shè)m, n均是大于 1的整數(shù)，m n，a1,a2, ,an是 n個不超過 m的互不相同的正整數(shù)， 且 a1,a2, ,an互素 .證明：對任意實數(shù) x ，均存在一個 i(1 i n)，使得 ai xm(m 1)x ，這

5、里 y 表示實數(shù) y 到與它最近的整數(shù)的距離2017 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 A卷一試答案1.2.3.4.8.10.11.2017 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 A卷二試答案四.并且 OM-, Sr； c, Cl c at m .因為c/ Cl H. c/ m .所以 S,(rlc.r)O.故 5.(c.c.CJ) s2(cl.c2,.c).如果 5, 0.那么 7在 cf 0.令 c =ctalt Ctl ct a, c/ = c4( 1 A n . A*iJ),那么成立.)fll-m c ci Ci CJ 0.與上面類 似地OIfe 5(cc2 ,.c; ) S1(cl,Cj,.r). fL52(c1

6、tr2.c )S2(ci.c2,.,).因為S2均是非負總數(shù)故通過右限次匕述的調(diào)竹可得列 你GG心 使WA.若b 不妨t()則 + bw-丄.丄從而2 2I a+b II=Ia+ b + b=ll Ikl 6IL若hO即InJ號.當tf 1+ M7+Hfrkl lll ML當 + Zr時，注意總有U + bll故llM 丄 (m + 1)蝎在吟他.,/中存在兩個相鄰IE朋數(shù)不妨設(shè)小他相鄰則IX II = Il OJX-lj llll a2x ll+ll alx IL-2 Zn(Wl+ 1)故Isr豬XJHIMrfJXIL 2Jfl綜匕所述總存(in滿足IIqXSO分2017 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合

7、競賽一試( B 卷)一、填空題：本大題共 8個小題,每小題 8分,共64分.1.在等比數(shù)列 an中， a22，a3 33，則 a1 a2011 的值為.a7 a20172.設(shè)復(fù)數(shù) z滿足 z 9 10z 22i，則 |z|的值為.3.設(shè) f (x)是定義在 R上的函數(shù)，若 f (x) x2是奇函數(shù)， f(x) 2x是偶函數(shù)，則 f (1)的值為 .4.在 ABC中，若 sin A 2sin C ，且三條邊 a, b,c成等比數(shù)列，則 cos A的值為.5.在正四面體 ABCD中， E, F分別在棱 AB, AC上，滿足 BE 3，EF 4，且 EF與平面 BCD平行， 則 DEF 的面積為 .

8、6.在平面直角坐標系 xOy中，點集 K (x,y)|x,y 1,0,1 ，在 K中隨機取出三個點，則這三個點兩 兩之間距離均不超過 2 的概率為 .7.設(shè)a為非零實數(shù)，在平面直角坐標系 xOy中，二次曲線 x2 ay2 a2 0的焦距為 4，則 a的值 為.8. 若正整數(shù) a,b,c滿足 2017 10a 100b 1000c ，則數(shù)組 (a,b,c) 的個數(shù)為.二、解答題 (本大題共 3小題，共 56 分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . ) 9.設(shè)不等式 |2x a| |5 2x |對所有 x 1,2成立，求實數(shù) a的取值范圍 .210.設(shè)數(shù)列 an是等差數(shù)列，數(shù)列 bn滿足

9、bn an 1an 2 an2，n 1,2,L .(1)證明：數(shù)列 bn 也是等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列 an 、 bn的公差均是 d 0 ，并且存在正整數(shù) s,t ，使得 as bt是整數(shù)，求 |a1|的最小值 .11. 在平面直角坐標系 xOy 中，曲線 C1: y2224x，曲線 C2:(x 4)2 y2 8，經(jīng)過 C1上一點 P作一條傾斜角為 45o的直線 l ，與C2交于兩個不同的點 Q,R，求|PQ| | PR |的取值范圍2017 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試（ B 卷）一、（本題滿分 40 分）設(shè)實數(shù) a,b,c滿足 a b c 0，令 d maxa,b,c ，證明： （1 a）（1

10、 b）（1 c） 1 d2二、（本題滿分 40 分）給定正整數(shù) m ，證明：存在正整數(shù) k ，使得可將正整數(shù)集 N 分拆為 k個互不相交的子集 A1,A2,L ,Ak， 每個子集 Ai 中均不存在 4 個數(shù) a,b,c,d （可以相同） ，滿足 ab cd m.三、（本題滿分 50 分）如圖，點 D是銳角 ABC的外接圓 上弧 BC的中點，直線 DA與圓 過點 B,C的切線分別相交于點P,Q ，BQ與AC的交點為 X ，CP與AB的交點為Y ，BQ與CP的交點為T ，求證： AT平分線段 XY.四、（本題滿分50分）設(shè) a1,a2,L ,a201,2,L ,5 ， b1,b2,L ,b20 1

11、,2,L ,10 ，集合X (i, j)1 ij 20,（ ai aj ）（bi bj） 0，求 X 的元素個數(shù)的最大值 .一試試卷答案1. 答案：2. 答案：解：數(shù)列 an 的公比為 qa3a22 ，故a1a7a2011a2017a10a ( 10b 22)i ，比較兩邊實虛部a 9 10a 可得 ，解得：a 1,b2 ，故 z 12i ，進而 |z|5.b 10b 223. 答案： 7 。解：由條件知，4f (1)1 (f (1)2( 1)2)f (11) 1， f (1) 2 f( 1)2兩式相加消去 f ( 1) ，可知：2f (1)13 2 ，即7 f (1) .44. 解：由正弦定

12、理知， a sinA2，又 b2ac，于是 a:b:c2: 2 :1 ，從而由余弦定理得：5 。解：設(shè) z a bi,a,bR ，由條件得 (a 9) bic sinC( 2)2 12 222 2 16. 解：注意 K 中共有 9 個點，故在K 中隨機取出三個點的方式數(shù)為3C93 84 種，當取出的三點兩兩之間距離不超過2 時，有如下三種情況：222 bca cosA2bc5. 解：由條件知，EF 平行于 BC ，因為正四面體 ABCD的各個面是全等的正三角形，故AE AF EF 4， AD AB AE BE 7.由余弦定理得， DEAD2 AE2 2AD?AE?cos60o49 16 28

13、37 ，同理有 DF 37 .1作等腰 DEF 底邊 EF上的高 DH ，則 EH 1 EF 2，故 DH DE2 EH233，2于是 S DEF 1 EFgDH 2 33.21)三點在一橫線或一縱線上，有6 種情況，2)三點是邊長為 1,1, 2 的等腰直角三角形的頂點，有 4 4 16 種情況，3)三點是邊長為 2, 2, 2的等腰直角三角形的頂點，其中，直角頂點位于(0,0) 的有 4 個，直角頂點位于 ( 1,0) ， (0, 1)的各有一個，共有 8種情況 .綜上可知，選出三點兩兩之間距離不超過2 的情況數(shù)為30 516 8 30 ，進而所求概率為 30 584 147. 解：二次曲

14、線方程可寫成2x2a1，顯然必須0 ，故二次曲線為雙曲線，其標準方程為2( a)2 ( a)2 1，則 c( a)222( a)2a2a，注意到焦距 2c 4 ，可知a 4，又 a 0，所以 a 1 17220178. 解：由條件知 c 201710002 ，當 c1時，有10b 20 ，對于每個這樣的正整數(shù)b，由 10b a 201知，相應(yīng)的 a 的個數(shù)為 20210b ，從而這樣的正整數(shù)組的個數(shù)為20(202 10b)b 10(102 2) 112572，2017當c 2時，由 20 b 2100107，知， b 20，進而 200 2017 201，10故 a 200,201 ，此時共有

15、 2組 (a,b,c).綜上所述，滿足條件的正整數(shù)組的個數(shù)為5722 574.9. 解：設(shè) t 2x ，則 t 2,4 ，于是 |ta| |5t | 對所有 t2,4 成立，由于|t a| |5 t | (t a)2 (5 t)2，(2t a 5)(5 a)0，對給定實數(shù) a，設(shè) f (t) (2t a 5)(5a) ，則 f (t) 是關(guān)于t 的一次函數(shù)或常值函數(shù)，注意 t 2,4 ，因此 f (t) 0 等價于 f (2) ( 1 a)(5 a) 0 ，解得 3 a 5 f (4) (3 a)(5 a) 0所以實數(shù) a 的取值范圍是 3 a 5.2210. 解：(1)設(shè)等差數(shù)列 an 的公

16、差為 d ，則 bn 1 bn (an 2an 3 an2 1) (an 1an 2 an2 )an2(an 3an1)(an1an )(an1an )an 2g2d (an 1 an)gd(2an 2 an 1 an)gd 3d 2所以數(shù)列 bn 也是等差數(shù)列( 2)由已知條件及( 1)的結(jié)果知： 3d2d ，因為 d10 ，故 d，這樣3bnan 1an 2 an(and)(an2d) an23dan2d222 an 9若正整數(shù) s,t 滿足 asbtZ ，則as btas bt2a1 (s 1)d a1 (t 1)d 2st22Z.2a139s t 2 2記 l 2a1，則 l Z ，且

17、 18a1 3(3l s t 1) 1是一個非零的整數(shù)，故 |18a1 | 1，從而39|a1 | 118.181 1 17又當 a1時，有 a1 b31 Z ，1 18 1 3 18 181 綜上所述， |a1 |的最小值為.1811.解：設(shè)P(t2 ,2t) ，則直線l的方程為 y x 2t t2 ，代入曲線 C2的方程得， ( x 4)2 (x 2t t2)2 8， 化簡可得： 2x2 2(t2 2t 4)x (t2 2t)2 8 0 ，由于 l 與C2交于兩個不同的點，故關(guān)于 x 的方程的判別式 為正，計算得，(t2 2t 4)2 2(t 2 2t)2 8) (t 2 2t)2 8(t

18、2 2t) 16 2(t2 2t)2 1642 2 2 2 2 (t22t)28(t22t) (t22t)(t22t 8) t(t 2)(t 2)(t 4) ，因此有 t ( 2,0) U (2,4) ，1 設(shè) Q,R 的橫坐標分別為 x1,x2 ，由知， x1 x2 t 2 2t 4， x1x2(t2 2t)2 8) ，2因此，結(jié)合 l 的傾斜角為 45o可知，|PQ|g|PR| 2(x1 t2)g 2(x2 t2) 2x1x2 2t2(x1 x2) 2t42 2 2 2 4 4 3 2 4 3 2 4 (t22t)28 2t2(t 22t 4) 2t4 t44t34t28 2t44t3 8

19、t22t4t4 4t2 8 (t2 2)2 4 ，由可知， t2 2 ( 2,2) U (2,14) ，故(t2 2)2 0, 4) U (4,196) ，從而由得：|PQ |g| PR | (t2 2)2 4 4,8) U (8, 200)2 注 1：利用 C2的圓心到 l的距離小于 C 2的半徑，列出不等式 | 4 2t t | 2 2，同樣可以求得中 t的范圍 .注2：更簡便的計算 |PQ |g| PR |的方式是利用圓冪定理， 事實上， C2的圓心為 M (4,0) ，半徑為 r 2 2， 故| PQ|g|PR| | PM |2 r2 (t2 4)2 (2t)2 (2 2)2 t4 4

20、t2 8.、 證明：當1時，不等式顯然成立加試試卷答案以下設(shè) 0 d不妨設(shè)a, b不異號，即ab 0 ，那么有(1 a)(1 b)abab 1 a bd0因此 (1 a)(1b)(1 c)(1 c)(1 c)1 c2、證明：取令 Ai xi (mod m1),xN ， i 1,2,L , m 1設(shè) a,b,c, d Ai ，則 ab cd i ? i i ?i0(mod m 1) ，故 m 1 ab cd ，而m 1 m，所以在 Ai中不存在 4個數(shù)a, b, c, d ，滿足 abcd m1AC ?AQsin CAQ21AB? APsin BAP2，AX AY 證明：首先證明 YX / BC

21、 ，即證XC YB連接BD , CD ，因為 SACQ ? ACPABC SACQ，S ABC S ABP S ABP11AC?CQsin ACQ AC ?BC sin ACB 所以 2 ? 211AB ? BC sin ABC AB? BPsin ABP22由題設(shè)， BP,CQ 是圓 的切線，所以ACQ ABC ， ACB ABP ，CAQ DBC DCBBAP注意 D 是弧 BC的中點），于是由知AB ? AQ CQAC ? AP BP因為CAQBAP ，所以BAQCAP ，S ABQS ACP而 S BCQ 而 S BCP1AB?AQsin21AC? APsin CAP21BC ?CQs

22、in BCQ21BC ?BPsin CBP2BAQAB?AQAC? APCQBP由，S CBQS BCP ，S得 S ABQ即 S ABQS CBQS ACPS BCPS ABQS CBQAX ，XC ，S ACPS BCPAYYB從而 X 的元素個數(shù)不超過C220 30 190 30 160另一方面，取 a4k 3 a4k 2 a4k 1 a4k k ( k 1,2, L ,5 )，6 ai ( i則對任意 i, j (1 i j20)，有 (ai aj)(bi bj) (ai aj )(6 ai) (62等號成立當且僅當 ai aj ，這恰好發(fā)生 5C42 30次，此時 X的元素個數(shù)達到1

23、,2,L ,20 )，2aj)(ai aj )2 02C220 30 160故 AX AYXC YBAX CM BY設(shè)邊 BC 的中點為 M ，因為? ?1 ，XC MB YA所以由塞瓦定理知，AM , BX ,CY三線共點，交點即為 T ，故由YX / BC可得 AT平分線段 XY四、解：考慮一組滿足條件的正整數(shù) (a1,a2,L , a20,b1,b2,L , b20)對k 1,2,L ,5，設(shè) a1,L , a20中取值為 k的數(shù)有 tk個，根據(jù) X的定義，當 ai aj 時，(i,j) X ，因此55至少有Ct2個(i,j)不在 X中，注意到tk 20 ，則柯西不等式，我們有k 1 k

24、 11 ?20?( 20 1) 3025Ct2k 12?( tk2tk ) 21?(51( tk)2tk)k 1 2 k1 k 1 2 5 k 1 k 1綜上所述， X 的元素個數(shù)的最大值為 160.2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試(B卷)參考答案及評分標準說明：1. 評閱試卷時，諸依據(jù)本評分標準.填空題只設(shè)8分和O分兩檔：其他外題的 評閱，請嚴恪按腮本評分標準的評分檔次給分，不得増加其他中間檔次.2. 如杲考生的解符方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可 參考本評分標準適當劃分檔次評分，解答題中第9小題4分為個檔次，第10、 11小題5分為一個檔次，不得增加其他中間檔次.-V

25、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.I在等比數(shù)列他中，u2=2, u,=3,則魚如L的值為aI d2OI7答案：9解;：數(shù)列他的公比為= 故L= fl-! =Jr = O2 2 a + 2op q (i 2011) q 92.設(shè)復(fù)數(shù)2滿足z + 9 = l7+22i,則IZl的值為答案；5解;：設(shè)2 = 4+bi,.由條件得( + 9)+bi = 10(-1022)i 4比較兩邊實虛部可得十9 = IoaIft = -IO22,解得 = L 6 = 2,故z = l2i,進而z = 5 3設(shè)/是定義在K上的函數(shù)，若/U)+ xj是奇函數(shù)，“0十2、是偶函數(shù), 則/的值為.答案；占4解

26、；由條件知，/+ 1 = -(/(一1)+(-1)2) = /(一1)一1,/(1) + 2 = /(1)+扌,兩式相加消去/(-1),可知2(l)+3 = -g,即/(1) =-7-2 4則COS A的4. 在仙C中.若sin = 2sinC,且三條邊a. IK C成等比數(shù)列值為答案:4解:由正弦定瑾知，巴二沁 =2,又blac.于是abtc2.y2.,從 C SinC而由余弦定理得，cos/1 = ZC=(血) -2 = 一返.2bc2 x2 X145. 在正四而體ABCD中f 分別在棱/BMC上，滿足BEjEF = 4,且EF與面BCD平行,則AQEF的面積為解；由條件知，EF平行于BC

27、因為正四面體ABCD 的各個而是全等的正三角形，故HE=彳F=EF = 4、AD = AIi = AE-V IiE = 7 ,由余弦定理得，DE = JaD2+ AE22ADAEcosbQa = 49162X =37 ,同理有DF = Q作零腰EF底邊EF上的高DH,則EH-EF = 2,故DH = JDE2 -EH，= 33，于足S旳=*EFDH = 233 .6. 在平而直角坐標系.Qy中，點集K = (, v) , V =-1,0,1.在K中隨機 取出三個點.則這三個點兩兩Z間距離均不超過2的槪率為解;注意K中共有9個點，故在K中隨機取出三個點的方式數(shù)為C： = 84種. 當訛出的三點兩

28、兩之間距離不超過2時，有如卜三種情況；(1) 三點在一橫線或一縱線上，有6種情況.(2) 三點是邊長為1,1,血的等腰直角三角形的頂點，有4x4 = 16種情況.(3) 三點是邊長為2,2的等腰恵和三角形的頂點，英中，恵角頂點位 于(00)的有4個，直角頂點位于(1,0),(ai)的各冇一個，共有8種情況,綜上可知.選出三點兩兩之間距離不超過2的悄況數(shù)為6-16 + 8 30,進而所求概率為啟=色.&4147. 設(shè)”為非零實數(shù),在平面直角坐標系工6中，二次曲線H十十宀0的 焦距為4,則a的值為答案；上害.2解；二次曲線方程町寫成-4-=1.顯然必須-心0,故二次Ittl線為雙曲Cr ZJ線，其

29、標準方程為 YLT-一=1.則c2 = ()2+-tf)2 = ai-.注意到焦距(-d)*(-燈)2c = 4, rlJ知/a = 4, 乂PV0,所以a=.2&若正整數(shù)5 5 c滿足2017 IOa 1OO IOOOci則數(shù)組(af C)的個數(shù)為.答案 574.解，由條件知由 10a201 知,當c=時， 1020.對于每個這樣的正整數(shù)方,相應(yīng)的0的個數(shù)為202-10/,.從而這樣的正整數(shù)組的個數(shù)為 丈(202 - 1 Ob) = (W2 + 2)x1 =572.-IO2017100故 = 200, 201此時共有2組(久人c).綜上所述滿足條件的正整數(shù)組的個數(shù)為572 + 2 574.當

30、c = 2時由20知X20進而200o201710= 201 t二、解答題；本大題共3小題，滿分56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過 程或演算步驟9. (本題滿分16分)設(shè)不等式2t-fl5-2對所有YCI.2成立，求實 數(shù)Q的取值范圍.解；/ = 2S則2,4,于是|/-彳5-/|對所有m成立.由于 f-t5-(r-tj)2 (5-r)2o (2/ 。一5)(5 )0 .8 分對給定實數(shù)口,設(shè)/(”-5X5-),則/的是關(guān)于f的一次函數(shù)或常 值函數(shù).注2, 4,因此f(t)0等價于/2) = (-l-)(5-)V,12 7r(4) = (3-)(5-)O,解得3a5.所以實數(shù)口的取值范ffi3

31、fl 設(shè)數(shù)列他是等差數(shù)列，數(shù)列血滿足 bll =耳.|你，2一0：尺=】，2,1)證明；數(shù)列%也是等差數(shù)列；2)設(shè)數(shù)列訃0的公差均是“0,并且存在正整數(shù)s,使得a9+b,是整數(shù)求Iql的最小值.解：1)設(shè)等差數(shù)列M”的公差是，則k - =(”+2址+3 一 二)一( + M.+ 2-)=%+(a小 一 Y+J-(*i 十“)(a”+b 一匕)=(J+加一仗小十a(chǎn))d =(2(1”2-1-心加=W所以數(shù)列陰也是等差數(shù)列5分的結(jié)果知因為(U 故J-I這樣3 = (U2 一”: =( 十 d)g + 2d) ,；2=dalX + Id: = tI) H t 10 分nZq若正整數(shù)$, /滿足“ -h則q(2 2 q+功=t + z + = 3 +(.?- I)J + ai +(F_l)d+_r$+/22F=2 H+ Z .3 915分記/ = 2 b 從而k11. (本題滿分20分)在平面直角坐標系玖屮，曲線Cl=4.r, Illl線 C(x-4)2=8.經(jīng)過G上一點P作一條傾斜角為45。的直線/,與G交于兩 個不同的點Q、R求