2020屆陜西省漢中市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量第一次檢測考試數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、2020 屆陜西省漢中市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量第一次檢測考試數(shù)學(xué)（理）試題、單選題1設(shè)集合 A 1,2 ， B xZ|x2 2x 3 0 ，則 AB(A 1,2B 1,3D1,2第 6 頁 共 19 頁答案】 D解析】 解一元二次不等式可得集合B，利用交集定義求解即可詳解】Q 集合 A1,2 ，B x Z|2x2 2x 3 0 xZ|1 x 30,1,2 ，AB1,2 故選： D 點睛】本題主要考查了集合的表示及集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題2若 z5i（ i 是虛數(shù)單位）1 2i，則 z 的共軛復(fù)數(shù)為（A 2 iB 2 iC 2D2i答案】解析】由復(fù)數(shù)除法法則計算出z，再由共軛復(fù)數(shù)概念寫出共軛復(fù)數(shù)詳

2、解】5iz1 2i5i(1 2i)(1 2i(1 2i)i， z 2 i故選： C點睛】 本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題3已知向量 a，b滿足|a| 1，a b 2，則 a （2a b）A4B3C2D答案】 A解析】 由向量數(shù)量積的運算法則計算【詳解】r r rr 2 r r 2a (2a b) 2a a b 2 12 ( 2) 4故選： A 【點睛】4已知 sin() 2sin2，則 tan2的值為 ( )4316ABC345【答案】 A本題考查平面向量的數(shù)量積的運算法則，屬于基礎(chǔ)題解析】 根據(jù)誘導(dǎo)公式可化簡已知條件得1D2tan ，再利用二倍角的正切公式求得結(jié)果詳解

3、】由題意得： sincos2sin2tan2tan1tan21141tan2本題正確選項：A本題考查利用二倍角的正切公式求值問題，關(guān)鍵是能夠利用誘導(dǎo)公式化簡已知條件， 得點睛】到正切值 .5函數(shù) y 3x sin 2x的圖象可能是( )答案】 D 【解析】首先判斷函數(shù)的奇偶性， 排除選項，再根據(jù)特殊區(qū)間 x 2, 時， f x 0判斷選項 .【詳解】y 3x 是偶函數(shù)， y sin 2x是奇函數(shù)， f x 3x sin2x是奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原 點對稱，故排除 A,Bf 0 ，當 x ( , )時， y 3x 0， y sin2x 022y 3x sin2x 0 ，排除 C.故選： D .【

4、點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象， 一般從函數(shù)的定義域確定函數(shù)的位置， 從函數(shù) 的值域確定圖象的上下位置，也可判斷函數(shù)的奇偶性，排除圖象，或是根據(jù)函數(shù)的單調(diào) 性，特征值，以及函數(shù)值的正負，是否有極值點等函數(shù)性質(zhì)判斷選項 .2 2 56在二項式 (x2) 5的展開式中， x 的系數(shù)為( )xA 80B 40C40D 80【答案】 A【解析】 根據(jù)二項展開式的通項，可得 Tr 1 ( 2)rC5rx10 3r，令 r 3，即可求得 x的 系數(shù)，得到答案 .【詳解】22由題意，二項式 (x2)5的展開式的通項為 Tr 1 C5r(x2)5 r( )r ( 2) r C5r x10 3r，xx

5、令 r 3，可得 T4 ( 2)3C53x 80x ，即展開式中 x 的系數(shù)為 80，故選 A.點睛】本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用， 其中解答中熟記二項展開式的通項是解答本題的關(guān) 鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題 .7我國北方某地區(qū)長期受到沙塵暴的困擾 2019 年，為響應(yīng)黨中央提出的 “防治土地 荒漠化 助力脫貧攻堅戰(zhàn) ”的號召， 當?shù)卣e極行動， 計劃實現(xiàn)本地區(qū)的荒漠化土地面 積每年平均比上年減少 10已知 2019 年該地區(qū)原有荒漠化土地面積為7 萬平方公里，則 2025 年該地區(qū)的荒漠化土地面積（萬平方公里）為（） .A 7 0.94B 7 0.95C 7 0.96D 7

6、0.97答案】 C解析】 得出 n年后的沙漠化土地面積 y 關(guān)于 n的函數(shù)，從而得出答案詳解】 設(shè)從 2019 年后的第 n 年的沙漠化土地面積為 y， 則 y7×（1 10%）n，故 2025 年的沙漠化土地面積為 7×0.96 故選： C【點睛】 本題考查了指數(shù)增長模型的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題8已知函數(shù) f x sin x ( 0,f x 的圖象（） 的部分圖像如圖所示，為了得到）A 向右平移 個單位 B 向右平移個單位63單位D 向左平移 個單位6【答案】 AC 向左平移 個3解析】利用函數(shù) f（x） 的圖象求得的值， 再利用左加右減的平移原則， 得到 f x向右平移6 個

7、單位得 g xsin2x 的圖象 .詳解】因為 712T，4 4 ，2.所以 T因為 f(712) 1，所以 2 72k3 ,k Z ，即2k ,k Z ，1223因為，所以23所以 f xsin 2x3.所以 fxsin 2(x )sin2x g x663可得 g x sin2x 的圖象 .所以 f x 的圖象向右平移 個單位6 故選： A.點睛】本題考查利用函數(shù)的圖象提取信息求的值、圖象平移問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用， 求解時注意是由哪個函數(shù)平移到哪個函數(shù)，同時注意左右平移是針對自變量 x 而言的 .9 甲乙二人玩猜數(shù)字游戲，先由甲任想一數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜出的數(shù)

8、字記為b，且 a，b1,2,3 ，若|ab| ， 1則稱甲乙心有靈犀 ”，現(xiàn)任意第 27 頁 共 19 頁找兩個人玩這個游戲，則他們 “心有靈犀 ”的概率為ABC答案】 D【解析】 試題分析：從 1，2，3三個數(shù)中任取兩個則 |a-b| 1的情況有 1，1；2，2；3， 3；1，2；2，1；2，3；3，2；共 7 種情況，甲乙出現(xiàn)的結(jié)果共有 3×3=9，故出他們 ”心 有靈犀 ”的概率為 .【考點】 主要考查了組合及古典概型的概率問題 .點評： P（A）= ，n 表示該試驗中所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果的總數(shù)目m表示事件 A 包含的試驗基本結(jié)果數(shù)2210若雙曲線 C: x2 y2 1（a

9、0,b 0）的一條漸近線被曲線 x2 y2 4x 2 0所截 ab得的弦長為 2則雙曲線 C 的離心率為（ ）B23C 5D答案】 B解析】 先求出雙曲線的漸近線方程，再根據(jù)弦長求出b2 1 ，再求雙曲線 C 的離心a2 3率得解 .【詳解】故選： B 233雙曲線 C22 : x y : 2 21(a0,b 0） 的漸近線方程為 ybx，a2 b2a由對稱性，不妨取 ybx ，即 bx ay 0 a又曲線 x2y2 4x2220 化為 x 2y2 2 ，點睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線和圓的位置關(guān)系和弦長的計算， 意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和計算能力11九章算術(shù)是我

10、國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有女子善織，日益功，疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈（ 1匹=40尺，一丈 =10尺），問日益 幾何？ ”其意思為： “有一女子擅長織布， 每天比前一天更加用功， 織布的速度也越來越 快，從第二天起，每天比前一天多織相同量的布，第一天織 5 尺，一月織了九匹三丈， 問每天增加多少尺布？ ”若一個月按 31 天算，記該女子一個月中的第 n 天所織布的尺數(shù)為 an ，則 a1 a3a29 a31 的值為（）a2 a4a28a3016161616ABCD5152931【答案】B解析 】由 題意女 子每天織 布數(shù) 成等差 數(shù)列，且 a1 5,S31 3

11、90 ，由于a1 a31 a2 a30fx則gxfx2x efx，所以 g x 為偶數(shù) gxxxxeeea1 a3a3116 a1 a3112 31 ,a2 a4a3015 a2a30所以a1 a3a2 a2a31 16 a1 a31 16 ，應(yīng)選答案 B。a30 15 a2 a30 1512定義在 R 上的函數(shù) f x 的圖象是連續(xù)不斷的曲線， 且 f x2xx e ，當 x 0時， f x f x 恒成立，則下列判斷一定正確的是( )A e5f 2 f 3C e5f 2 f 3【答案】 BBf25 ef3Df25 ef3fx解析】 構(gòu)造函數(shù) g x x ，判斷為偶函數(shù)，且在 0,ex上單調(diào)

12、遞增， 再計算函數(shù)值比較大小得到答案詳解】gxf x ，因為 fxf x e2x ，所以 ffx構(gòu)造函數(shù)ex2xe當x0時，gx0，所以 g x在 0,上單調(diào)遞增，所以有 g 3g 2 ，則 g 32，f22e，即 e f 3 f 2 .故選： B點睛】x 判斷其奇偶性和單調(diào)性是解題的 e關(guān)鍵.二、填空題0) 的一條切線，則實數(shù) b113 直線 yx b 是曲線 y ln x(x2答案】 ln2 1【解析】 本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法。 y11 1，令 得 x 2 ，故切xx 2點為 (2,ln 2) ，代入直線方程，得1ln 2 2 b ，所以b ln2 1 。214在ABC 中，

13、若 b = 1，c =23 ， C ，則 a=【答案】 13【解析】【詳解】由正弦定理可得即,故可得再由解得 .故答案為 1.15圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為 R 的半圓，則該圓錐的體積為 .【答案】 3 R3 . 24【解析】 依據(jù)展開圖與圓錐的對應(yīng)關(guān)系列方程解出圓錐的底面半徑和母線長， 求出圓錐的高，得出體積【詳解】l R 1 解：設(shè)圓錐的底面半徑為 r ，母線長為 l ，則 ，解得 r 1 R ， l RR 2 r 2圓錐的高h R2 1R3R 圓錐的體積12V r h31 1R 2 3 R 3 R3 R R R 3 2 2 24故答案為：3R324【點睛】本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖，圓錐的

14、結(jié)構(gòu)特征，圓錐的體積計算，屬于基礎(chǔ)題16已知圓 x2 y2 2ax 2by 0(a 0,b 0) 關(guān)于直線 x 2y 2 0 對稱，則12的最小值為 ab9【答案】 .2解析】由題意可得圓心 (a,b) 在直線 x 2y 2 0上，故有a 2b 2 0 ，即a 2b2，再利用基本不等式求得 ab 的最大值2解：因為圓 x22 y2ax2by0 a 0,b0所以圓心a,b在直線 x2y20上，故有1212112b所以：a2b5abab22a詳解】a關(guān)于直線b 31 時等號成立)2a b2y2 0 對稱；2b0 ，即 a 2b2；當且僅當 a12ab2 的最小值為 9 22b 2a2 2ab 2b

15、a92；屬于基礎(chǔ)題n(n 1)22）記 bn log2an 1，求數(shù)列 bn 的前 n項和Tn答案】（ 1） an 2n 1, n N ；（2） Tn解析】（1）由題意根據(jù)等差中項的性質(zhì)可得 2（a3 1） a2 a4 ，從而求出 a2 2 ，a1 1，由此能求出數(shù)列 an 的通項公式（ 2）推導(dǎo)出 bn log2an 1 n ，由此利用等差數(shù)列前 n項和公式求出數(shù)列 bn的前 n項 和 Tn 【詳解】（1）a2,a3 1,a4 成等差數(shù)列，且數(shù)列 an 是公比為 2的等比數(shù)列， 2 a3 1 a2 a4 ， 2 2a2 1 a2 4a2解得： a2 2 ， a1a221 數(shù)列 an 的通項公

16、式為 an 2n 1, n Nn(n 1)2n 項和的求法，考查推理論證能力、運（2） bn log2 an 1 n ， Tn b1 b2 L bn 1 2 3 L n【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前 算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題18 為踐行 “綠水青山就是金山銀山 ”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護意識， 高二年級 準備成立一個環(huán)境保護興趣小組 .該年級理科班有男生 400 人，女生 200 人；文科班有 男生 100人，女生 300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6 人，按男、女分層抽樣從文科生中抽取 4 人，組成環(huán)境保護興趣小組，再從這1

17、0 人的興趣小組中抽出 4人參加學(xué)校的環(huán)保知識競賽 .（ 1）設(shè)事件 A為“選出的這 4 個人中要求有兩個男生兩個女生，而且這兩個男生必須 文、理科生都有 ”，求事件 A 發(fā)生的概率；（ 2）用 X 表示抽取的 4 人中文科女生的人數(shù)，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 .4【答案】（ 1） ；（ 2）見解析21【解析】（1）按分層抽樣得抽取了理科男生4人，女生 2 人，文科男生 1 人，女生 3人，再利用古典概型求解即可（ 2）由超幾何分布求解即可【詳解】（ 1）因為學(xué)生總數(shù)為 1000人，該年級分文、理科按男女用分層抽樣抽取10 人，則抽取了理科男生 4 人，女生 2 人，文科男生 1 人，女生

18、3 人 .所以 P AC14 C11 C52 40 4C140210 212）X 的可能取值為0,1,2,3，30C74 C301C1406，C73 C131C1402，C72 C323C14010C71 C331C140X 的分布列為X01231131P6210301131EX 0 1 2 3621030點睛】本題考查分層抽樣，考查超幾何分布及期望，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題 19如圖，在底面為矩形的四棱錐 P ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD.（ 1）證明： AB PD ；（2）若 PA PD AB， APD 90 ，設(shè) Q為 PB 中點，求直線 AQ 與平面 PBC 所 成角的

19、余弦值 .【答案】 （1）證明見解析； （2） 33【解析】（ 1）由平面 PAD 平面 ABCD可得 AB 面 PAD ，從而可得 AB PD ； uuur r（ 2）建立空間直角坐標系， 求出向量 AQ 及面 PBC 法向量 n ，代入公式即可得到結(jié)果 . 【詳解】（ 1）依題意，面 PAD 面 ABCD ， AB AD ， AB ì面 ABCD ，面 PADI 面 ABCD AD ， AB 面 PAD.又 PD 面 PAD ， AB PD .（ 2）解法一：向量法在 PAD 中，取 AD 中點 O， PA PD ， PO AD ， PO 面 ABCD ，以 O為坐標原點，分別以

20、 OA為 x軸，過點 O且平行于 AB的直線為 y軸，OP 所在的設(shè) PA 2， APD 90 ， AD 2 2 ， P 0,0, 2 ， B 2,2,0 ， C2,2,0 ， A 2,0,0 ， Q 2 ,1, 222uuur PBuuur uuur2 22,2, 2 ， uBuCur2 2,0,0 ， uAuQur22, 1, 22v n 則vnuuuvPB 2x 2y 2z 0 uuuv ，解得 BC2 2x 00,1, 2 .設(shè)直線AQ 與平面 PBC 所成角為則 sinuuur r cos AQ,nuuurrAQn3uuur rAQ n因為0, ， cos212331 sin 2所以

21、直線AQ 與平面 PBC所成角的余弦值為（ 2）解法二：幾何法過 P 作 PO AD 交于點 O ，則 O 為 AD 中點， 過A作PO的平行線，過 P作AD的平行線，交點為 E，連結(jié) BE，過 A 作 AH BE 交于點 H ，連結(jié) QH ，連結(jié) BO ，取中點 M ，連結(jié) QM ， AM，四邊形 AOPE為矩形，所以 PE 面ABE，所以 PE AH，又 BE AH，所以 AH 面 PBE ，所以 AQH 為線 AQ與面 PBC所成的角 .令 AO a，則 AE a， AB 2a，BE 3a，6由同一個三角形面積相等可得 AH 6 a ，3QAM 為直角三角形，由勾股定理可得 AQ a ，

22、所以 sin AQHAHAQ設(shè)面 PBC 法向量為 n x,y,z ，又因為 AQH 為銳角，所以 cos AQH 3 ，3所以直線 AQ與平面 PBC所成角的余弦值為 3 .3【點睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是： （1）觀察圖形， 建立恰當?shù)目臻g直角坐標系； （ 2）寫出相應(yīng)點的坐標，求出相應(yīng)直線的方向向量；（ 3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（ 5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離 .220已知函數(shù) f x ln x x 1， g x x 2x.（）求函數(shù) y f x g x 的極值；（）若實數(shù) m 為整數(shù)

23、，且對任意的 x 0時，都有 f x mg x 0 恒成立，求實 數(shù) m 的最小值 .1【答案】（）極大值為 ln2，無極小值；（）1.4【解析】 （ ）由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號討論原函數(shù)的單 調(diào)性，從而可確定函數(shù)的極值；（）結(jié)合題意分離參數(shù)，然后構(gòu)造新函數(shù)，研究構(gòu)造的函數(shù)，結(jié)合零點存在定理找到隱 零點的范圍，最后利用函數(shù)值的范圍即可確定整數(shù) m 的最小值 .【詳解】2（ ）設(shè) x f x g x ln x x x 1，1 2x 1 x 1 x 2x 1 ，xx11令 x 0 ，則 0 x ； x 0 ，則 x；2211 x 在 0, 上單調(diào)遞增， , 上單調(diào)遞減，2

24、211 x 極大 =ln 2 ，無極小值 .24( )由 f xmgx20 ，即 ln x x 1 m x 2x 0 在 0,上恒成立，ln x m 2 xx1在0, 上恒成立，2x設(shè)hxln x2 xx1 ，則 hx2x顯然x1 0 ，2 x22x0設(shè)txx2lnx ，則 txx 1 x 2ln xx222x0，0,上單調(diào)遞減由t0，t2ln2ln0，由零點定理得x02,1 ，使得t x00，即x02ln x0且x0,x0時，x 0 ，則 h0，hh又由x0,時，x 0. 則 hx在xmax0,x0上單調(diào)遞增，在h x0x0,上單調(diào)遞減ln x0 x0 1 ，x02 2x01x0 2ln x

25、0 0，x0 12,1 ，則x0x0 1 x0 2x0ln x012x012,1由 m h x 恒成立，且 m為整數(shù)，可得m 的最小值為 1.點睛】 本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值， 導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性， 隱零點問題及其處理方法2by2 1(a b 0) 的頂點，且橢圓等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力22 xx 21 已知雙曲線y 1的焦點是橢圓 C ： 25a與雙曲線的離心率互為倒數(shù)1)求橢圓 C 的方程；2)設(shè)動點 M ，N 在橢圓 C 上，且 MN4 3 ，記直線 MN 在 y 軸上的截距為 m ，3求 m 的最大值 .2答案】 (1) x y2 1.6（2） 15 .3【

26、解析】 試題分析：（I ）雙曲線的焦點為6,0 ，離心率為 30 ，對于橢圓來說，5c5a 6, e ，由此求得 b 1和橢圓的方程 .（II ）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線 a 30的方程和橢圓的方程，利用判別式求得 m,k 的一個不等關(guān)系，利用韋達定理和弦長公式，求得 m, k一個等量關(guān)系，利用 k表示m ，進而用基本不等式求得 m的最大值 .試題解析：2 )雙曲線 x y251的焦點坐標為6,0 ，離心率為 30 .52因為雙曲線 x y2 1的焦點是橢圓52C： ax2a2b2 1( ab 0 ）的頂點，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，所以 a6 ，且a2 b230 ，解得 b 1.62故

27、橢圓 C 的方程為 x y2 1.6 ）因為 MN4 3 2 ，所以直線 MN 的斜率存在因為直線 MN 在 y 軸上的截距為m ，所以可設(shè)直線 MN的方程為 y kx m.2代入橢圓方程 x6y2 1 得 16k2 x212kmx6m因為12km 224 1 6k2m2 1246k22m2 0 ，所以 m2 1+6k2 .設(shè) M x1,y1 ， Nx2,y2 ，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1x212km1 6k2x1x211 6k2則 MN 1k2x1x21 k2 x1 x24x1x2k22212km24 m 11 6k 2 1 6k2因為 MN433 ，即 1 k212km6k224 m2 16

28、k2433整理得18k 4 39k2 79 1 k 2令 k21，則 k 2 t1.所以 m218t2 75t 507518t等號成立的條件是故 m 的最大值為9t50t75309t 53 ，此時k25 滿足 m231 6k2 ，符合題意 .15322在直角坐標系 xOy 中，直線 C1的參數(shù)方程為3t3 （其中 t 為參數(shù)） .以坐6t3標原點 O為極點， x 軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2 的極坐標方程為cos23sin1）求 C1 和 C2 的直角坐標方程；2）設(shè)點 P 0,2 ，直線 C1交曲線 C2于 M ,N 兩點，求PM2PN 的值 .答案】（ 1） C1 : 2x y 2 0,C2: x2 3y（2）9