矩陣的特征值和特征向量

1、第五章 矩陣的特征值和特征向量來源：線性代數(shù)精品課程組 作者：線性代數(shù)精品課程組1教學(xué)目的和要求：(1) 理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，會求矩陣的特征值和特征向量.(2) 了解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對角化的充分必要條件，會將矩陣化為相似對角矩陣.(3) 了解實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì).2教學(xué)重點：(1) 會求矩陣的特征值與特征向量.(2) 會將矩陣化為相似對角矩陣.3教學(xué)難點：將矩陣化為相似對角矩陣.4教學(xué)內(nèi)容： 本章將介紹矩陣的特征值、特征向量及相似矩陣等概念，在此基礎(chǔ)上討論矩陣的對角化問題. 1 矩陣的特征值和特征向量定義1 設(shè)是一個階方陣，是一個數(shù)，如果方程

2、(1)存在非零解向量，則稱為的一個特征值，相應(yīng)的非零解向量稱為屬于特征值的特征向量 （1）式也可寫成， (2)這是個未知數(shù)個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式 , (3)即 上式是以為未知數(shù)的一元次方程，稱為方陣的特征方程 其左端是的次多項式，記作，稱為方陣的特征多項式 = =顯然，的特征值就是特征方程的解特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，其個數(shù)為方程的次數(shù)（重根按重數(shù)計算），因此，階矩陣有個特征值設(shè)階矩陣的特征值為由多項式的根與系數(shù)之間的關(guān)系，不難證明（）（）若為 的一個特征值，則一定是方程的根, 因此又稱特征根，若為方程的重根，則稱為的重特征根方程 的每一個非零解向量都是

3、相應(yīng)于的特征向量，于是我們可以得到求矩陣的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：計算的特征多項式； 第二步：求出特征方程的全部根，即為的全部特征值； 第三步：對于的每一個特征值，求出齊次線性方程組： 的一個基礎(chǔ)解系，則的屬于特征值的全部特征向量是 （其中是不全為零的任意實數(shù)）例1 求的特征值和特征向量.解 的特征多項式為=所以的特征值為 當(dāng)=2時，解齊次線性方程組得解得令=1，則其基礎(chǔ)解系為：=因此，屬于=2的全部特征向量為：.當(dāng)=4時，解齊次線性方程組得令=1，則其基礎(chǔ)解系為：因此的屬于=4的全部特征向量為注：若是的屬于的特征向量，則也是對應(yīng)于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一確定

4、反之，不同特征值對應(yīng)的特征向量不會相等，亦即一個特征向量只能屬于一個特征值.例2 求矩陣 的特征值和特征向量.解 的特征多項式為 = ，所以的特征值為=2（二重根），.對于=2，解齊次線性方程組由 ，得基礎(chǔ)解系為： 因此，屬于=2的全部特征向量為：不同時為零.對于，解齊次線性方程組由 ， 得基礎(chǔ)解系為：因此，屬于的全部特征向量為： 由以上討論可知，對于方陣的每一個特征值，我們都可以求出其全部的特征向量但對于屬于不同特征值的特征向量，它們之間存在什么關(guān)系呢？這一問題的討論在對角化理論中有很重要的作用對此我們給出以下結(jié)論：定理1 屬于不同特征值的特征向量一定線性無關(guān).證明 設(shè)是矩陣的不同特征值，而

5、分別是屬于的特征向量，要證是線性無關(guān)的.我們對特征值的個數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時,由于特征向量不為零,所以結(jié)論顯然成立.當(dāng)1時,假設(shè)時結(jié)論成立.由于是的不同特征值,而是屬于的特征向量,因此 如果存在一組實數(shù)使 (3)則上式兩邊乘以得 (4)另一方面, ,即 (5)(4)(5)有 由歸納假設(shè), 線性無關(guān),因此 而互不相同,所以于是(3)式變?yōu)?因,于是可見線性無關(guān)課后作業(yè)：習(xí)題五12 相似矩陣定義2 設(shè)、都是階方陣，若存在滿秩矩陣， 使得 則稱與相似，記作 ，且滿秩矩陣稱為將變?yōu)榈南嗨谱儞Q矩陣“相似”是矩陣間的一種關(guān)系，這種關(guān)系具有如下性質(zhì)： 反身性： ； 對稱性：若 ，則 ； 傳遞性：若， ，

6、則 相似矩陣還具有下列性質(zhì)：定理2 相似矩陣有相同的特征多項式，因而有相同的特征值.證明設(shè)， 則存在滿秩矩陣，使于是 推論 若階矩陣與對角矩陣 相似，則即是的個特征值定理3 設(shè)是矩陣的屬于特征值的特征向量,且,即存在滿秩矩陣使,則是矩陣的屬于的特征向量證明 因是矩陣的屬于特征值的特征向量，則有 于是 所以是矩陣的屬于的特征向量下面我們要討論的主要問題是：對階矩陣，尋求相似變換矩陣，使為對角矩陣，這就稱為把方陣對角化定理4 階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是：矩陣有個線性無關(guān)的分別屬于特征值的特征向量（中可以有相同的值）證明必要性 設(shè)與對角矩陣相似，則存在滿秩矩陣，使 =設(shè)則由上式得 即 ，因

7、此 所以是的特征值，是的屬于的特征向量，又因是滿秩的，故 線性無關(guān). 充分性 如果有個線性無關(guān)的分別屬于特征值的特征向量，則有 設(shè)則是滿秩的，于是 ，即 =注：由定理4，一個階方陣能否與一個階對角矩陣相似，關(guān)鍵在于它是否有個線性無關(guān)的特征向量（1）如果一個階方陣有個不同的特征值，則由定理1可知，它一定有個線性無關(guān)的特征向量，因此該矩陣一定相似于一個對角矩陣.（2）如果一個階方陣有個特征值（其中有重復(fù)的），則我們可分別求出屬于每個特征值的基礎(chǔ)解系，如果每個重特征值的基礎(chǔ)解系含有個線性無關(guān)的特征向量，則該矩陣與一個對角矩陣相似.否則該矩陣不與一個對角矩陣相似可見，如果一個階方陣有個線性無關(guān)的特征向

8、量，則該矩陣與一個階對角矩陣相似，并且以這個線性無關(guān)的特征向量作為列向量構(gòu)成的滿秩矩陣，使為對角矩陣，而對角線上的元素就是這些特征向量順序?qū)?yīng)的特征值例3 設(shè)矩陣，求一個滿秩矩陣，使為對角矩陣解 的特征多項式為 所以的特征值為.對于 解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系，即為的兩個特征向量對于=2，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系 ，即為的一個特征向量. 顯然是線性無關(guān)的，取 ，即有 .例4 設(shè) ，考慮是否相似于對角矩陣解 所以的特征值為.對于 解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系即為一個特征向量，對于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系，即為的另一個特征向量. 由于只有兩個線性無關(guān)的特征向量，因此不能相似于一個對角矩

9、陣課后作業(yè)：習(xí)題五 1316 向量組的正交性在解析幾何中，二維、三維向量的長度以及夾角等度量性質(zhì)都可以用向量的內(nèi)積來表示，現(xiàn)在我們把內(nèi)積推廣到維向量中定義3 設(shè)有維向量，令 =，則稱為向量和的內(nèi)積注：內(nèi)積是向量的一種運算，若用矩陣形式表示，當(dāng)和是行向量時，當(dāng)和都是列向量時，內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中為維向量，為常數(shù)）：（1）=；（2）=；（3）=+；（4），當(dāng)且僅當(dāng)=0時等號成立定義4 令 |=稱|為維向量的模（或長度）向量的模具有如下性質(zhì)：（1）當(dāng)0時，|0；當(dāng)=0時，|=0；（2）|=| |，（為實數(shù)）；（3）|；（4）|+|；特別地，當(dāng)|=1時，稱為單位向量.如果|0，由性質(zhì)（2），向量是一

10、個單位向量可見，用向量的模去除向量，可得到一個與同向的單位向量，我們稱這一運算為向量的單位化，或標(biāo)準(zhǔn)化 如果、都為非零向量，由性質(zhì)（3） 1，于是有下述定義：定義5 當(dāng)| 0，|0時 稱為維向量、的夾角特別地：當(dāng)=0時，因此有定義 當(dāng)=0時，稱向量與正交（顯然，若=0，則與任何向量都正交）向量的正交性可推廣到多個向量的情形.定義6 已知個非零向量，若=0 ，則稱為正交向量組定義7 若向量組為正交向量組，且|=1，則稱為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組例如，維單位向量組=，是正交向量組正交向量組有下述重要性質(zhì)：定理5 正交向量組是線性無關(guān)的向量組定理的逆命題一般不成立，但是任一線性無關(guān)的向量組總可以通過如下所述的

11、正交化過程，構(gòu)成正交化向量組，進(jìn)而通過單位化，構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正交向量組定理6設(shè)向量組線性無關(guān)，由此可作出含有個向量的正交向量組，其中， ， ， .再取 則為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組上述從線性無關(guān)向量組導(dǎo)出正交向量組的過程稱為施密特（Schimidt）正交化過程它不僅滿足與等價，還滿足：對任何，向量組與等價例5 把向量組=（1，1，0，0），=（1，0，1，0），=（-1，0，0，1）化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組解 容易驗證，是線性無關(guān)的.將，正交化，令=，=，再把單位化 ， 則即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組定理7 若是維正交向量組，則必有維非零向量，使，成為正交向量組推論 含有個（）向量的維正交（或標(biāo)準(zhǔn)正交）向量組，總可以添

12、加個維非零向量，構(gòu)成含有個向量的維正交向量組例6 已知，求一組非零向量，使，成為正交向量組.解 應(yīng)滿足方程=0，即 .它的基礎(chǔ)解系為 把基礎(chǔ)解系正交化，即為所求亦即取 其中于是得 定義8 如果階矩陣滿足（即），那么稱為正交矩陣正交矩陣具有如下性質(zhì)：（1）矩陣為正交矩陣的充分必要條件是；（2）正交矩陣的逆矩陣是正交矩陣；（3）兩個正交矩陣的乘積仍是正交矩陣；（4）正交矩陣是滿秩的，且|=1或由等式 可知，正交矩陣的元素滿足關(guān)系式 （其中）可見正交矩陣任意不同兩行（列）對應(yīng)元素乘積之和為0，同一行（列）元素的平方和為1，因此正交矩陣的行（列）所構(gòu)成的向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，反之亦然于是有定理8 一個階矩陣為正交矩陣的充分必要條件是它的行（或列）向量組是一個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組課后作業(yè)：習(xí)題五 14 實對稱矩陣的相似對角化在中，我們討論了相似矩陣的概念和性質(zhì)以及一般的階矩陣與對角矩陣相似的問題本節(jié)將進(jìn)一步討論用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣的問題為此首先給出下面幾個定理定理9 實對稱矩陣的特征值恒為實數(shù)從而它的特征向量都可取為實向量定理10實對稱矩陣的不同特征值的特征向量是正交的證明 設(shè)是實對稱矩陣的兩個不同的特征值，即 是分別屬于的特征向量，則 ，根據(jù)內(nèi)積的性質(zhì)有 ，又 所以 ，因 ，故 ，即與 正交.定理11設(shè)為階對稱矩陣，是的特征方程的重根，則矩陣的秩