三角形的五心及相關(guān)習(xí)題.doc2匯總

1、I三角形的五心及相關(guān)習(xí)題三角形中有許多重要的特殊點(diǎn)，特別是三角形的五心”在解題時(shí)有很多應(yīng)用，在本節(jié)中將分別給予介紹.三角形的 五心”指的是三角形的外心，內(nèi)心，重心，垂心和旁心.1、三角形的外心三角形的三條邊的垂直平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱(chēng)為三角形的外心（外接圓圓心）.三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等.都等于三角形的外接圓半徑.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形外.2、三角形的內(nèi)心三角形的三條內(nèi)角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱(chēng)為三角形的內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心）.三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于三角形內(nèi)切圓半徑.內(nèi)切圓半徑 r 的計(jì)算：1S設(shè)三角形面積為 S，

2、并記 p=2（a+b+c），則 r=p.1特別的，在直角三角形中，有 r=1（a+b c）.3、三角形的重心三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱(chēng)為三角形的重心.上面的證明中，我們也得到了以下結(jié)論：三角形的重心到邊的中點(diǎn)與到相應(yīng)頂點(diǎn)的距離之比為1 : 2.4、三角形的垂心三角形的三條高交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱(chēng)為三角形的垂心.斜三角形的三個(gè)頂點(diǎn)與垂心這四個(gè)點(diǎn)中，任何三個(gè)為頂點(diǎn)的三角形的垂心就是第四個(gè)點(diǎn).所以把這樣的四個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為一個(gè)垂心組”5、三角形的旁心三角形的一條內(nèi)角平分線(xiàn)與另兩個(gè)外角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，稱(chēng)為三角形的旁心（旁切圓圓心）.每個(gè)三角形都有三個(gè)旁切圓.OCBA 類(lèi)例題例 1 證明重心定理。1證法 1 如

3、圖，D、E、F 為三邊中點(diǎn)，設(shè) BE、CF 交于 G,連接 EF，顯然 EF J qBC，由三角形相似可得 GB= 2GE，GC=2GF.又設(shè) AD、BE 交于 G，同理可證 GB=2GE，GA=2GD，即 G、G 都是 BE 上從 B 到 E 的三分之二處的點(diǎn)，故 G、G 重合.即三條中線(xiàn) AD、BE、CF 相交于一點(diǎn) G .證法 2 設(shè) BE、CF 交于 G，BG、CG 中點(diǎn)為 H、I .連 EF、FH、HI、IE，因?yàn)?EF =；BC, HI =：BC,所以 EFHI 為平行四邊形.所以 HG=GE、IG=GF , GB=2GE, GC=2GF.同證法 1 可知 AG=2GD, AD、B

4、E、CF 共點(diǎn).即定理證畢.鏈接 證明外心、內(nèi)心定理是很容易的。外心定理的證明：如圖，設(shè) AB、BC 的中垂線(xiàn)交于點(diǎn) 0,則有 0A=0B=0C,故 0 也在 AC 的中垂線(xiàn)上,因?yàn)?0 到三頂點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn) 0 是厶 ABC 外接圓的圓心.因而稱(chēng)為外心.內(nèi)心定理的證明：如圖，設(shè)/ A、/ C 的平分線(xiàn)相交于 I、過(guò) I 作 ID 丄 BC , IE 丄 AC, IF 丄 AB,貝 U有 IE=IF=ID .因此 I 也在/ C 的平分線(xiàn)上，即三角形三內(nèi)角平分線(xiàn)交于一點(diǎn).上述定理的證法完全適用于旁心定理，請(qǐng)同學(xué)們自己完成.例 2 證明垂心定理分析我們可以利用構(gòu)造外心來(lái)進(jìn)行證明。證明 如圖，

5、AD、BE、CF 為厶 ABC 三條高，過(guò)點(diǎn) A、B、C 分別作對(duì)邊的 平行線(xiàn)相交成 ABC,顯然 AD 為 BC 的中垂線(xiàn)；同理 BE、CF 也分別為 AC、AB的中垂線(xiàn)，由外心定理，它們交于一點(diǎn)，命題得證.鏈接 （1）對(duì)于三線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題還可以利用 Ceva 定理進(jìn)行證明，同學(xué)們可以參考第十八講的內(nèi)容。（Ceva 定理）設(shè) X、Y、Z 分別為 ABC的邊 BC、CA、AB 上的一點(diǎn)，則 AX、BY、CZ 所在直線(xiàn)交于一點(diǎn)的充要條件是（2）對(duì)于三角形的五心，還可以推廣到n 邊形，例如，如果我們稱(chēng) n（A3）邊形某頂點(diǎn)同除該點(diǎn)以外的 n-1 個(gè)頂點(diǎn)所決定的 n-1 邊形的重心的連線(xiàn)，為 n 邊形的

6、中線(xiàn)，（當(dāng) n-1=2 時(shí)，n-1 邊形退化成一線(xiàn)段，此時(shí)重心即為線(xiàn)段的中心）那么重心定理可推廣如下：n 邊形的各條中線(xiàn)（若有重合，只算一條）相交于一點(diǎn)，各中線(xiàn)被該點(diǎn)分為：（n-1 ）： 1 的兩條線(xiàn)段，這點(diǎn)叫 n 邊形的重心.請(qǐng)同學(xué)們自己研究一下其他幾個(gè)“心”的推廣。情景再現(xiàn)1.設(shè) G 為厶 ABC 的重心，M、N 分別為 AB、CA 的中點(diǎn)，求證：四邊形 GMAN 和厶 GBCB-AZ BX CY- =1ZB XC YA=0CAD的面積相等.2.三角形的任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的二倍.B 類(lèi)例題例 3 過(guò)等腰 ABC 底邊 BC 上一點(diǎn) P 引 PM / CA 交 AB

7、于 M ;引 PN / BA 交 AC 于 N.作點(diǎn) P 關(guān)于 MN 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P.試證：P點(diǎn)在 ABC 外接圓上.（杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題）分析 分析點(diǎn) M和 N 的性質(zhì)，即能得到解題思路。證明由已知可得 MP=MP=MB, NP=NP=NC,故點(diǎn) M 是厶 PBP 的外心，點(diǎn) N 是厶 PPC 的外心.于是有1 1ZBPP2zBMP=ZBAC,221iZPPC=2ZPNC=ZBAC.22/ZBPC=ZBPP+ZPPC=ZBAC.從而，P點(diǎn)與 A、B、C 共圓，即戸在厶 ABC 外接圓上.鏈接本題可以引出更多結(jié)論，例如PP 平分ZBPC、PB: PC=BP: PC 等等.例 4 AD，BE

8、，CF 是厶 ABC 的三條中線(xiàn)，P 是任意一點(diǎn)證明：在厶 PAD，PBE，PCF 中，其中一個(gè)面積等于另外兩個(gè)面積的和.（第 26 屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克）證明 設(shè) G 為厶 ABC 重心，直線(xiàn) PG 與 AB，BC 相交.從 A，C，D，E，F(xiàn) 分別作該直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為A，C，D，E，F(xiàn).易證 AA=2DD ，CC=2FF, 2EE=AA+CC,/EE=DD+FF.有 &PGE=SPGD+SAPGF.兩邊各擴(kuò)大 3 倍，有 SPBE=SXPAD+SAPCF.例 5 設(shè) A1A2A3A4為。O 內(nèi)接四邊形，已,H2,H3, H4依次為 A2A3A4，人3人4凡，厶 A4A!A2, A

9、1A2A3的垂心求證：巴,H2,H3, H4四點(diǎn)共圓，并確定岀該圓的圓心位置 .（1992 ，全國(guó)高中聯(lián)賽）證明 連接 A2H1, A1H2，已戰(zhàn)，記圓半徑為 R.由厶 A2A3A4知A2H,=2R =A2H1=2RcosZA3A2A4；sin EA2人3出由厶 A1A3A4得 A1H2=2RcosZA3A1A4.但ZA3A2A4=ZA3A1A4，故 人2巴=%出.易證 A?H1/ A1A?，于是，A2H1A1H2,故得 H1H2= A2A1.設(shè) H1A1與 H2A2的交點(diǎn)為 M，故 H1H2與 A1A2關(guān)于 M 點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)同理，H2H3與 A2A3, H3H4與 A3A4, H4H1與 A

10、4A1都關(guān)于 M 點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).故四邊形 H1H2H3H4與四邊形 A1A2A3A4關(guān)于 M 點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，兩者是全等四邊形，H1, H2, H3, H4在同一個(gè)圓上.后者的圓心設(shè)為 Q, Q 與 O 也關(guān)于 M 成中心對(duì)稱(chēng).由 O, M 兩點(diǎn)，Q 點(diǎn)就不難確定了 .鏈接三角形的五心有許多重要性質(zhì)，它們之間也有很密切的聯(lián)系，如：（1）三角形的重心與三頂點(diǎn)的連線(xiàn)所構(gòu)成的三個(gè)三角形面積相等;(2)三角形的外心到三頂點(diǎn)的距離相等；(3)三角形的垂心與三頂點(diǎn)這四點(diǎn)中，任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的垂心；(4)三角形的內(nèi)心、旁心到三邊距離相等；(5)三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說(shuō)，三角形的內(nèi)

11、心是它旁心三角形的垂心;(6)三角形的外心是它的中點(diǎn)三角形的垂心；(7)三角形的重心也是它的中點(diǎn)三角形的重心；(8)三角形的中點(diǎn)三角形的外心也是其垂足三角形的外心.情景再現(xiàn)3.在 ABC 的邊 AB, BC, CA 上分別取點(diǎn) P, Q, S.證明以 APS,ABQP,ACSQ 的外心為頂點(diǎn)的三角形與 ABC 相似.(B 波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)4.如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條中線(xiàn)圍成的新三角形相似.其逆亦真.C 類(lèi)例題D, E, F 分別是 BC, CA , AB 的中心.一個(gè)以 H 為圓心的0H 交直線(xiàn) EF , FD , DE 于 Ai, A2, Bi,

12、B2, Ci, C2.求證：AAi=AA2=BBi=BB2=CCi=CC2. (1989 ，加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)分析 只須證明 AAi=BBi=CCi即可.證明設(shè) BC=a, CA=b, AB=c,AABC 外接圓半徑為 R,0H 的半徑為 r.2連 HAAH 交 EF 于 M. A A, =AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2- MH2),1 1又 AM2- HM2=(2AHi)2-( AH-AHi)2=AH AH1-AH2=AH2 AB-AH2=cosA bc- AH2,=2R= a2=4R2s in2A.sin A/. AH2+a2=4R2, AH2=4R2-a2

13、.222AA2=r2+b c-9 bc-(4R2-a2)=2 ( a2+b2+c2)-4 R2+r2同理，BB12=1(a2+b2+c2)-4 R2+r2,221CC-I=2 ( a2+b2+c2)-4 R2+r2.故 AA1= BB=CC1.例 7 已知0O 內(nèi)接 ABC,0Q 切 AB, AC 于 E, F 且與0O 內(nèi)切.試證：EF 中點(diǎn) P 是厶 ABC 之內(nèi)心.(B 波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)例 6 H 為厶 ABC 的垂心,AHsin ABH=2R=AH2=4R2COS2A2bcA22中點(diǎn) K 都在/ BAC 平分線(xiàn)上.易知 AQ=sina由 RtEPQ知PQ=Sin : r.：

14、PK=pQ+QK=sin：r+sin：(2R_r)=sin : 2R./.PK=BK.利用內(nèi)心等量關(guān)系之逆定理，即知 P 是厶 ABC 這內(nèi)心.說(shuō)明在第 20 屆 IMO 中，美國(guó)提供的一道題實(shí)際上是例7 的一種特例，但它增加了條件州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題)證明 設(shè) Rt ABC 中，c 為斜邊，先來(lái)證明一個(gè)特性：P( P- c)=( p-a)( p-b).11Tp( p- c)= 2 ( a+b+c) 2(a+b-1=4( a+b)2-c2=ab；1 1(p- a)( p- b)= 艮-a+b+c) (a-b+c)1 1=4【c2-( a- b)2= ab.-p( p- c)=( p-司(p-

15、 b).觀(guān)察圖形，可得ra=AF- AC=p- b，rb=BG- BC=p- a,rc=CK=p.1而 r=2(a+卜 c)= p_c.-r+ra+rb+rc=( p-c)+( p- b)+( p-a)+p=4 p-( a+b+c)=2p.由及圖形易證.例 9 M 是厶 ABC 邊 AB 上的任意一點(diǎn).5 r2， r 分別是 AMC， BMC， ABC 內(nèi)切圓的半徑， q“ q?,q 分別是上述三角形在/A“r部的旁切圓半徑.證明 一 =.( IMO-12)qiq2q證明對(duì)任意 ABC，由正弦定理可知例 8 在直角三角形中，求證:r+ra+rb+L=2p.式中 r，唁，山，L 分別表示內(nèi)切圓半

16、徑及與a, b，c 相切的旁切圓半徑，p 表示半周.證明如圖，顯然 EF 中點(diǎn) P、圓心 Q，BCTQKAQ=MQQN,，QK=MQQNAQ(2R _r)r=$)n(2R_r)r /sin :AB=AC.ACB 內(nèi)ECK2OD=OAsinAB=AB .Bsin2sin AOBsin A：=AB A . B sinsin2 2 .A+B sin2OE= ABABcos cos22.A+Bsin2ODOEAgyg亦即有qi=tg；Atgq22.CMA CNB B tg tg -tgAtg*例 10 銳角 ABC 中，O, G, H 分別是外心、重心、垂心.設(shè)外心到三邊距離和為求證：1 d垂+2 d

17、外=3 - d重.證明 設(shè)厶 ABC 外接圓半徑為 1,三個(gè)內(nèi)角記為 A , B,C. 易知 d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC,/2d外=2(cosA+cosB+cosC)./AH1=sinB AB=sinB (2 sinC)=2 sinB，sinC,同樣可得 BH2 CH3./3d重= ABC 三條高的和=2 (sinB sinC+sinC sinA+sinA sinB)BH/=2,si n BCH/HH1=cosC BH=2 cosB cosC.同樣可得 HH2, HH3./d垂=HN+HH2+HH3=2(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB

18、)欲證結(jié)論，觀(guān)察、，d外，重心到三邊距離和為 d重，垂心到三邊距離和為 d垂.須證(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB - sinC+sinC sinA+sinA sinB.即可.說(shuō)明本題用了三角法情景再現(xiàn)5. 設(shè)在圓內(nèi)接凸六邊形 ABCDFE 中， AB=BC， CD=DE，EF=FA. 試證： （1） AD，BE，CF 三條對(duì)角線(xiàn)交于一點(diǎn)； （2） AB+BC+CD+DE+EF+FA AK+BE+CF.（1991 ，國(guó)家教委數(shù)學(xué)試驗(yàn)班招生試題 ）6 . ABC 的外心為 O, AB=AC, D 是 AB 中點(diǎn)，E

19、是厶 ACD 的重心.證明 OE 丄 CD.（ 加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題 ）7. ABC 中/ C=30, O 是外心，I 是內(nèi)心，邊 AC 上的 D 點(diǎn)與邊 BC 上的 E 點(diǎn)使得 AD=BE=AB.求證：OI 丄 DE, OI=DE. （1988 ，中國(guó) 數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題 ）習(xí)題 171 .在 ABC 中，/ A 是鈍角，H 是垂心，且 AH = BC，貝 U cosZBHC=（）2.如果一個(gè)三角形的面積與周長(zhǎng)都被一條直線(xiàn)平分，則此直線(xiàn)一定通過(guò)三角形的（） 設(shè) E 是 ABC 的外角ZBAK 的角平分線(xiàn)與 ABC 的外接圓0O 的交點(diǎn)，ED 是0O 的直徑，I 在線(xiàn)段 AD 上，且 DI

20、 = DB，貝 U I 是 ABC的內(nèi)心.正確命題的個(gè)數(shù)是（）A. 0 個(gè)B. 1 個(gè) C. 2 個(gè)D . 3 個(gè)6 .設(shè) ABC 的ZA=60，求證： ABC 的外心 0、內(nèi)心 I、垂心 H 及點(diǎn) B、C 五點(diǎn)在同一個(gè)圓上.7 .已知 P 是口 ABCD 內(nèi)的一點(diǎn)，O 為 AC 與 BD 的交點(diǎn)，M、N 分別為 PB、PC 中點(diǎn)，Q 為 AN 與 DM 的交 點(diǎn).求證：P、Q、O 三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上； PQ=2OQ.8. I 為厶 ABC 之內(nèi)心，射線(xiàn) AI，BI，CI 交厶 ABC 外接圓于 AB, C .則 AA +BB +CCAABC 周長(zhǎng).（1982，澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克）9. T的三

21、邊分別等于厶 T 的三條中線(xiàn)，且兩個(gè)三角形有一組角相等.求證這兩個(gè)三角形相似.（1989，捷克數(shù)學(xué)奧林匹克）10. I 為厶 ABC 的內(nèi)心.取 IBC， ICA， IAB 的外心 O1， O2， O3.求證： O1O2O3與厶 ABC 有公共的外心. （1988，美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克）11. AD 為厶 ABC 內(nèi)角平分線(xiàn).取厶 ABC， ABD， ADC 的外心 O, O1, O2.則厶 OO1O2是等腰三角形.A.內(nèi)心 B.外心 C .重心 D .垂心（1996 年全國(guó)初中聯(lián)賽）3. （1997 年安徽省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽）若 OtggO。，那么，以 siCOSQ，tanoto 為三邊的三角形有內(nèi)

22、切圓、外接圓的半 徑之和是（）sin -+costan -+cot2_C. 2sin -cos.-g1sin -cos4. ABC 中，ZA=45，BC=a，高 BE、CF 交于點(diǎn) H，則 AH=（ ）A. 2玄B . 2 J 2aC . aD.、2a5 .下面三個(gè)命題中： 設(shè) H 為厶 ABC 的高 AD 上一點(diǎn)，ZBHC+ZBAC=180，則點(diǎn) H 是厶 ABC 的垂心; 設(shè) G 為厶 ABC 的中線(xiàn) AD 上一點(diǎn)，且SAAGB=SABGC，則點(diǎn) G 是厶 ABC 的重心；C12. ABC 中ZCb c,有(2)a2, b2, c2成等差數(shù)列.當(dāng)中 abc 時(shí),中 CF BEAAD.CFa

23、)2.據(jù)“三角形的三條中線(xiàn)圍成的新三角形面積等于原三角形面積的色”，有毎=34 S.)4CF2- 3a2=4CF2=2a2+b2-c2-a2+c?=2b2.I 為厶 ACE 的內(nèi)心.從而有 ID=CD=DE, IF=EF=FA, IB=AB=BC.ErdOBS+DI+FIA2 (IP+IQ+IS).不難證明 IE=2IP, IA=2IQ , IC=2IS./.BI+DI+FIAIA+IE+IC. / AB+BC+CD+DE+EF + FA=2( BI+DI +FI)(IA+IE+IC)+( BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I 就是一點(diǎn)兩心 6 .提示：設(shè) AM 為高亦為中線(xiàn)，取 AC 中

24、點(diǎn)F , E 必在 DF 上且 DE: EF=2:1.設(shè)CD 交 AM 于 G, G 必為 ABC 重心.連 GE，MF，MF 交 DC 于 K.易證：11 1DG: GK= DC:() DC=2:1.323.：DG: GK=DE: EF= GE/ MF.TOD 丄 AB, MF / AB,/OD 丄 MF=OD 丄 GE.但 OG 丄 DE =G 又是 ODE 之垂心.易證 OE 丄 CD.7 .提示：輔助線(xiàn)如圖所示，作/ DAO 平分線(xiàn)交 BC 于 K.易證AIDAIBAEIB，ZAID =ZAIB=ZEIB.利用內(nèi)心張角公式，有1ZAIB=90+2ZC = 105,1/ZDIE =360

25、 -105 X3=45.TZAKB=30+ZDAO=30/AK / IE.由等腰 AOD 可知 DO 丄 AK,/ DO 丄 IE，即 DF+1 (ZBAC-ZBAO)=30+1 (ZBAC-60)=2ZBAC=ZBAI =ZBEI.是厶 DIE 的一條高.同理 EO 是厶 DIE 之垂心，OI 丄 DE.由ZDIE=ZIDO，易知 OI=DE.習(xí)題 17 解答1. B; 2. A ; 3 . A; 4 . C ; 5 .選 B，只有（3）是對(duì)的；6.略；7 .略；8.略；9.略；10.略；11.略；12. H 的軌跡是一條線(xiàn)段. 補(bǔ)充：第五講三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、內(nèi)心及旁心，

26、統(tǒng)稱(chēng)為三角形的五心一、外心.三角形外接圓的圓心，簡(jiǎn)稱(chēng)外心.與外心關(guān)系密切的有圓心角定理和圓周角定理.例 1 .過(guò)等腰 ABC 底邊 BC 上一點(diǎn) P 引 PM / CA 交 AB 于 M ;引 PN / BA 交 AC 于 N.作點(diǎn) P 關(guān)于 MN 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P .試證：P 點(diǎn)在 ABC 外接圓上.（杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題）分析：由已知可得 MP =MP=MB, NP =NP=NC,故點(diǎn) M 是厶 P BP 的外心，點(diǎn)N 是厶 P PC 的外心.有,11ZBPP=ZBMP=ZBAC,22,11ZPPC=ZPNC=ZBAC.22:.Z BPC=ZBPF+ZP PC=ZBAC.從而，P點(diǎn)與 A,

27、 B, C 共圓、即戸在厶 ABC 外接圓上.由于 P P 平分ZBP C,顯然還有P B: P C=BP: PC.例 2 .在 ABC 的邊 AB, BC, CA 上分別取點(diǎn) P, Q, S.證明以 APS,ABQP,ACSQ 的外心為頂點(diǎn)的三角形與 ABC 相似.（B 波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克）分析：設(shè) 0, O2, O3是厶 APS, BQP, CSQ 的外心，作出六邊形O1PO2QO3S 后再由外心性質(zhì)可知ZP0iS=2ZA,ZQO2P=2ZB,ZSO3Q=2ZC.:ZPO1S+ZQO2P+ZSO3Q=36O .從而又知ZO1PO2+ZO2QO3+ZO3SOI=36O將厶 O2QO3

28、繞著 O3點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到厶 KSO3，易判斷厶 KSOi O2PO1，同時(shí)可得 OiO2O3 O1KO3.1-ZO2O1O3=ZKO1Os=ZO2O1K21=(ZO2O1S+ZSO1K)21=(ZO2O1S+ZPO1O2)21=ZPO1S=ZA;2同理有ZO1QO3=Z8.故厶 O1O2O3ABC.、重心三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，叫做三角形的重心 .掌握重心將每 條中線(xiàn)都分成定比 2:1 及中線(xiàn)長(zhǎng)度公式，便于解題.例 3 . AD , BE, CF 是厶 ABC 的三條中線(xiàn)，P 是任意一點(diǎn).證明：在厶 PAD , PBE , PCF 中，其中一個(gè)面積等于另外兩個(gè)面積的和（ 第 26 屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克

29、）分析：設(shè) G 為厶 ABC 重心，直線(xiàn) PG 與 AB,BC 相交.從 A , C , D , E , F 分別 作該直線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為 A ,C,D , E , F.易證 AA =2DD , CC =2FF , 2EE =AA +CC:.EE =DD +FFSPGE=SxPGD+SAPGF.兩邊各擴(kuò)大 3 倍，有SAPBE=SPAD+SPCF.例 4 .如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條中線(xiàn)圍成的新三角形相似.其逆亦真.分析：將厶 ABC 簡(jiǎn)記為，由三中線(xiàn) AD，BE，CF 圍成的三角形簡(jiǎn)記為 .G 為重心，連 DE 到 H,使 EH = DE，連 HC, HF，則就

30、是厶 HCF.（i）a，b2，c2成等差數(shù)列二.若厶 ABC 為正三角形，易證.不妨設(shè) abc，有CF=22a22b2-c212 2 2BE=,2c 2a -b21 2 2 2AD=2b22c2-a2.2將 a2+c2=2b2,分別代入以上三式，得、33匚.3CF=a，BE=b，AD=c.22 2V3U3v3/CF: BE: AD =a:b：c222=a: b: c.故有 .“= a2，b2，c2成等差數(shù)列.當(dāng)中 abc 時(shí)，中 CF BEAAD. (CF)s.,a= a2+c2=2b2.三、垂心.由三角形的垂心造成的四個(gè)等（外接）圓三角形，給我們解題提供了極大的便利例 5.設(shè) A1A2A3A

31、4為OO 內(nèi)接四邊形，比，H2，H3，H4依次為A2ASA4，A3A4A1， A4AA2，AA1A2A3的垂心.求證：H1, H2，H3,H4四點(diǎn)共圓，并確定出該圓的圓心位置（1992，全國(guó)高中聯(lián)賽）據(jù)“三角形的三條中線(xiàn)圍成的新三角形面積等于原三角形面積的色”，有魚(yú)=34 S., 4CF2a23a2=4CF2=2a2+b2- c2三角形三條高的交戰(zhàn)，稱(chēng)為三角形的垂心分析：連接 A2H1, A1H2, H1H2,記圓半徑為 R.由厶 A2A3A4知A2H1- =2RA2H1=2Rcos/ A3A2A4；sinZA2A3H1由厶 A1A3A4得AiH2=2 RcosZA3A1A4.但/人3人2人4

32、=/ A3A1A4,故 A2H1=A1H2.易證 A2H1/ A1A2，于是，A2H1A1H2,=故得 H1H2A2A1.設(shè)=A1與 H2A2的交點(diǎn)為 M，故 H1H2與 A1A2關(guān)于 M 點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).同理，H2H3與 A2A3，H3H4與 A3A4，H4H1與 A4A1都關(guān)于 M 點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).故四邊形 H1H2H3H4與四邊形 A1A2A3A4關(guān)于 M 點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，兩者是全等四邊形， 巴，H2，H3，H4在同一個(gè)圓上.后者的圓心設(shè)為 Q, Q 與 0 也關(guān)于 M 成中心對(duì)稱(chēng).由 0, M 兩點(diǎn)，Q 點(diǎn)就不 難確定了 .例 6. H 為厶 ABC 的垂心，D，E，F(xiàn) 分別是 BC，CA，

33、AB 的中心.一個(gè)以 H 為圓心的0H 交直線(xiàn) EF, FD，DE 于 A，A2, B，Eb, C“ C2.求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)分析：只須證明 AA1=BB1=CC1即可.設(shè)BC=a, CA=b,AB=c,AABC 夕卜 接圓半徑為 R,0H 的半徑為r.連 HA1, AH 交 EF 于 M.AA=AM2+A1M2=AM2+r2- MH2=r2+(AM2- MH2),11又 AM2- HM2=( AH1)2-( AH-AH1)222AH AH1-AH2=AH2 AB-AH2=cosA bc- AH2,=2R= a2=4R2

34、s in2A.sin A/. AH2+a2=4R2, AH2=4R2-a2由、有=l(a2+b2+c2)-4 R2+r2同理，BB12=1(a2+b2+c2)-4 R2+r2,AHsin ABH=2R= AH2=4R2cos2A,AA12=r2+b2c2- a22bc-bc-(4 R2- a2)AEA1FHBCC1DEC2耳12CC12=1(a2+b2+c2)-4 R2+r2.24四、內(nèi)心三角形內(nèi)切圓的圓心，簡(jiǎn)稱(chēng)為內(nèi)心.對(duì)于內(nèi)心，要掌握張角公式，還要記住下面一個(gè)極為有用的等量關(guān)系:設(shè) I 為厶 ABC 的內(nèi)心，射線(xiàn) AI 交厶 ABC 外接圓于 A ,則有 A l=A B=A C.換言之，點(diǎn)

35、A必是 IBC 之外心(內(nèi)心的等量關(guān)系 之逆同樣有用).D例 7 . ABCD 為圓內(nèi)接凸四邊形，取 DAB，ABC,ABCD， CDA 的內(nèi)心 Oi， O2，O3， 04.求證：O1O2O3O4為矩形.(1986，中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題)證明見(jiàn)中等數(shù)學(xué)1992; 4例 8.已知0O 內(nèi)接 ABC， Q 切 AB，AC 于 E，F(xiàn) 且與0O 內(nèi)切.試證：EF中點(diǎn) P 是厶 ABC 之內(nèi)心.(B 波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：在第 20 屆 IMO 中，美國(guó)提供的一道題實(shí)際上是例8 的一種特例，但它增加了條件 AB=AC.當(dāng) AB = AC，怎樣證明呢?r如圖，顯然 EF 中點(diǎn) P、圓心 Q

36、，BC 中點(diǎn) K 都在/ BAC 平分線(xiàn)上.易知 AQ=si na由 RtEPQ知 PQ=sint r./.PK=PQ+QK=s in：r+s in：(2R_r)=s in：/.PK=BK.:-利用內(nèi)心等量關(guān)系之逆定理，即知 P 是厶 ABC 這內(nèi)心.五、旁心三角形的一條內(nèi)角平分線(xiàn)與另兩個(gè)內(nèi)角的外角平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)，是旁切圓的圓心，稱(chēng)為旁心 .旁心常常與內(nèi)心聯(lián)系在一起,旁心還與三角形的半周長(zhǎng)關(guān)系密切 例 9.在直角三角形中，求證：r+ra+rb+rc=2p.式中 r，ra，rb，rc分別表示內(nèi)切圓半徑及與 a， b, c 相切的旁切圓半徑，p 表示半周.(杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題)分析：設(shè) R

37、t ABC 中，c 為斜邊，先來(lái)證明一個(gè)特性:P( P- c)=( p-a)( p-b).11/ p( p- c)= ( a+b+c) (a+b-c)22故有AAi=BBi=CCi.TQKAQ=MQQN,MQ QN/QK=一AQ(2R-r)r=sin :(2R-r)r /sin二2R.(a+b)2-c2aPCK、REODOEg ftg1ab ；211(p-a)( p- b)=(- a+b+c) ( a- b+c)221 1c2-( a- b)2=ab.4-p( p- c)=( p-司(p- b).觀(guān)察圖形，可得ra=AF- AC=p- b,b=BG-BC=D- a, rc=CK=p.1而 r=

38、 ( a+b-c)2=p- c-r+ra+rb+rc=(p- c)+( p- b)+( p-a)+p=4 p-( a+b+c)=2p.由及圖形易證.例 10. M 是AABC 邊 AB 上的任意一點(diǎn).r，, r 分別是 AMC , BMC,AABC 內(nèi)切圓的半徑，q?, q 分別是上述三角形在/部的旁切圓半徑.證明： E 2=丄.q q2q(IMO-12)分析：對(duì)任意 A B C,由正弦定理可知ACB 內(nèi)OD=OA.Bsin2sinAOBsin A.A . Bsin sin2 2.A+Bsin2BO E= A BABcos cos22.A+Bsin2.CMA . CNBtg2 2tg Atg_

39、B=六、眾心共圓這有兩種情況：(1)同一點(diǎn)卻是不同三角形的不同的心；(2)同一圖形出現(xiàn)了同一三角形的幾個(gè)心 .例 11.設(shè)在圓內(nèi)接凸六邊形 ABCDFE 中，AB=BC, CD=DE, EF=FA.試證：(1) AD, BE, CF 三條對(duì)角線(xiàn)交于一點(diǎn);(2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAAK+BE+CF.(1991，國(guó)家教委數(shù)學(xué)試驗(yàn)班招生試題)分析：連接 AC , CE, EA,由已知可證 AD, CF, EB 是厶 ACE 的三條內(nèi)角平分線(xiàn)，I 為厶ACE 的內(nèi)心.從而有 ID=CD=DE,IF=EF=FA,IB=AB=BC.再由 BDF，易證 BP, DQ, FS 是它的三條高，I

40、 是它的垂心，利用不等式有:BI+DI+FI 2 (IP+IQ4E5dos不難證明 IE=2IP , IA=2IQ , IC=2IS./BI+DI+FI IA+IE+IC./.AB+BC+CD + DE+EF + FA=2( BI+DI+FI)(IA+IE+IC)+( BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I 就是一點(diǎn)兩心例 12. ABC 的外心為 O, AB=AC , D 是 AB 中點(diǎn)，E 是厶 ACD 的重心.證明 0E 丄 CD.( 加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)分析：設(shè) AM 為高亦為中線(xiàn)，取 AC 中點(diǎn)F , E 必在 DF 上且 DE: EF=2:1.設(shè)CD 交 AM 于 G, G

41、 必為 ABC 重心.連 GE, MF , MF 交 DC 于 K.易證：111DG: GK= DC:()DC=2:1.323/.DG: GK=DE: EF=GE/MF.TOD 丄 AB, MF / AB,/OD 丄 MF=，OD 丄 GE.但 OG 丄 DE = 易證 OE 丄 CD.例 13. ABC 中/C=30, O 是外心，I 是內(nèi)心，邊 AC 上的 D 點(diǎn)與邊 BC 上的 E 點(diǎn)使得 AD=BE=AB.求證：OI 丄 DE, OI=DE.(1988，中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題)分析：輔助線(xiàn)如圖所示，作/ DAO 平分線(xiàn)交 BC 于 K.易證AIDAIBAEIB,亦即有J12=tgtgq

42、22G 又是 ODE 之垂心.ADIF.KC例 14.分析:ZAID =ZAIB=ZEIB.利用內(nèi)心張角公式，有1ZAIB=90+ZC=105,2:.Z DIE =360 -105 X3=45vZAKB=30+1ZDAO=301+(ZBAC-ZBAO)2=30+ _ (ZBAC-60)21=ZBAC=ZBAI=ZBEI.2:.AK /IE.由等腰 AOD 可知 DO 丄 AK,:.DO 丄 IE，即 DF 是厶 DIE 的一條高.同理 EO 是厶 DIE 之垂心，OI 丄 DE.由ZDIE=ZIDO，易知 OI=DE.銳角 ABC 中，O, G，H 分別是外心、重心、垂心.設(shè)外心到三邊距離和為

43、離和為 d重，垂心到三邊距離和為 d垂.求證：1 d垂+2 d外=3 - d重.這里用三角法.設(shè)厶 ABC 外接圓半徑為 1，三個(gè)內(nèi)角記為 A，B，C. 易知 d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC，：2d外=2(cosA+coSB+cosC).vAH1=sinBAB=sinB(2 sinC)=2 sinB，sinC，同樣可得 BH2 CH3.：.3d重= ABC 三條高的和=2 (sinB sinC+sinC sinA+sinA sinB)BH:=2,si n BCH:-HH1=cosC BH=2 cosB cosC.同樣可得 HH2，HH3.:.d垂=HH1+HH2+H

44、H3=2(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)欲證結(jié)論，觀(guān)察、，d外，重心到三邊距O1G1H12須證(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)= sinB sinC+sinC sinA+sinA sinB.即可.練習(xí)題1.1為厶ABC 之內(nèi)心，射線(xiàn) AI, Bl, CI 交厶 ABC 外接圓于 AB,C.則 AA+BB+CCAABC 周長(zhǎng).（1982，澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克）2. T的三邊分別等于厶 T 的三條中線(xiàn)，且兩個(gè)三角形有一組角相等 .求證這兩個(gè)三角形相似.（1989，捷克數(shù)學(xué)奧林匹克）3. I 為厶 A

45、BC 的內(nèi)心.取厶 IBC， ICA， IAB 的外心 Oi, O2，O3.求證： O1O2O3與厶 ABC 有公共的外心.（1988，美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克）4. AD 為厶 ABC 內(nèi)角平分線(xiàn).取厶 ABC， ABD， ADC 的外心 O, O“ O?.則厶 OOQ?是等腰三角形.5. ABC 中/C 90，從 AB 上 M 點(diǎn)作 CA, CB 的垂線(xiàn) MP, MQ. H 是厶 CPQ 的垂心.當(dāng) M 是 AB 上動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求 H 的軌跡.（IMO-7）16. ABC 的邊 BC= （ AB+AC），取 AB, AC 中點(diǎn) M , N, G 為重心，I 為內(nèi)心.試證：過(guò) A, M , N 三點(diǎn)的圓與直線(xiàn) GI 相切.（第 27 屆莫斯2科數(shù)學(xué)奧林匹克）7. 銳角 ABC 的垂心關(guān)于三邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是 比，H2, H3.已知：比，H2,出，求作 ABC.（第 7 屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克）8. 已知 ABC 的三個(gè)旁心為 I1, I2, d 求證： I1I2I3是銳角三角形.9. AB