中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目的：1、 理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。3、 會(huì)用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。4、 掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。5、 知道曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。6、 知道方程近似解的二分法及切線性。教學(xué)重點(diǎn)：7、 羅爾定理、拉格朗日中值定理；8、 函數(shù)的極值，判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法；9、 函數(shù)圖形的凹凸性；10、 必達(dá)法則

2、。教學(xué)難點(diǎn)：1、羅爾定理、拉格朗日中值定理的應(yīng)用；2、極值的判斷方法；3、圖形的凹凸性及函數(shù)的圖形描繪；4、洛必達(dá)法則的靈活運(yùn)用。§3 1中值定理一、 羅爾定理費(fèi)馬引理設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)X。的某鄰域U(x。)內(nèi)有定義 并且在X。處可導(dǎo)如果對(duì)任意x U(Xo)有f (x) f(Xo)(或 f (x) f(Xo)那么f (Xo) O羅爾定理如果函數(shù)y f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)且有f (a) f (b)那么在(a, b)內(nèi)至少在一點(diǎn)使得f ()0簡(jiǎn)要證明(1)如果f(x)是常函數(shù)則f (x) 0定理的結(jié)論顯然成立如果f (x)不是常函數(shù)則f (x)在(a b

3、)內(nèi)至少有一個(gè)最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn) 不妨設(shè)有一最大值點(diǎn) (a b)于是f(x) f()f() f () lim0x xf ( ) f ( ) lim0所以 f (x)=0.羅爾定理的幾何意義二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 在開區(qū)間(a b)內(nèi)可導(dǎo)那么在(a b)內(nèi)至少有一點(diǎn)(鼠b) 使得等式f (b) f(a) f () (b a)成立拉格朗日中值定理的幾何意義f(b) f(a)b a定理的證明引進(jìn)輔函數(shù)f(b) f(a) 令(x) f (x) f (a) ba (x a) 容易驗(yàn)證函數(shù)f(x)適合羅爾定理的條件(a)(b) 0開區(qū)間(a b)內(nèi)可導(dǎo)且

4、f(b) f(a) (x) f (x)ba根據(jù)羅爾定理可知在開區(qū)間(a b)內(nèi)至少有(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù)在f(b) f(a)f ( ) ba of(b) f(a)由此得ba f 0即f(b) f(a) f ( )(b2定理證畢f(xié)(b) f(a) f ( )(b a)叫做拉格朗日中值公式這個(gè)公式對(duì)于也成立拉格朗日中值公式的其它形式設(shè)x為區(qū)間a b內(nèi)一點(diǎn) X X為這區(qū)間內(nèi)的另一一占(x>0或X<0) 則在Xx ( x0)或x如果記f(x)為y試與微分d y fx x (x<0)應(yīng)用拉格朗日中值公式得f(x X) f (x) f (X X) X (0< <1)則上

5、式又可寫為y f (Xx) x (0< <1)(X) X比較 dy f (x)X是函數(shù)增量y的近似表達(dá)式f(X X)X是函數(shù)增量 V的精確表達(dá)式作為拉格朗日中值定理的應(yīng)用我們證明如下定理定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零那么f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)證 在區(qū)間I上任取兩點(diǎn)XiX2(X1<X2) 應(yīng)用拉格朗日中值定理 就得f (X2) f (xi) f ()(X2 Xi) (xi < < X2)由假定f 00所以f(X2)f(xi) 0即f (X2)f(Xl)因?yàn)閄iX2是I上任意兩點(diǎn)所以上面的等式表明 f(x)在I上的函數(shù)值總是相等的這就是說(shuō)f(x)在

6、區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)例2證明當(dāng)x證設(shè) f(x) ln(l定理 就有f(X)-1 X 1 n(l x)0時(shí) XX) 顯然f(x)在區(qū)間0 X上滿足拉格朗日中值定理的條件0(X 0)0<根據(jù)由于f(o) 0f (x)因此上式即為X F(X)丫 f，x) (a x b)表小 其中x為參數(shù) 如果曲線C上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于橫軸的切線那么在曲線C上必有一點(diǎn) x使曲線上該點(diǎn)的切線平行于連結(jié)曲線端點(diǎn)的弦AB 曲線C上點(diǎn)x 處的切線的斜率為dY f ()dXF-0弦AB的斜率為f(b) f (a)F(b) F(a)干星于是f(a)f ()F(b) F(a) F ()柯西中值定理如果函數(shù)f(x)及F(x

7、)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 在開區(qū)間(a b)內(nèi)可導(dǎo)且F (x)在(a b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零 那么在(a b)內(nèi)至少有一點(diǎn)使等式f(b) f(a) f () F(b) F(a) F ()成立顯然 如果取F(x) x那么F(b) F(a) b a F (x) 1因而柯西中值公式就可以寫成f (b) f (a) f ( ) (b a) (a< <b) 這樣就變成了拉格朗日中值公式了§ 3. 3泰勒公式對(duì)于一些較復(fù)雜的函數(shù)為了便于研究往往希望用一些簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似表達(dá)由于用多項(xiàng)式表示的函數(shù)只要對(duì)自變量進(jìn)行有限次加、減、乘三種運(yùn)算 便能求出它的函數(shù)值因此我們經(jīng)常用多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)

8、函數(shù)在微分的應(yīng)用中已經(jīng)知道 當(dāng)I x|很小時(shí)es 1有如下的近似等式x ln(l x) x這些都是用一次多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù)的例子首先是精確度不高這所產(chǎn)生的誤差僅是關(guān)于但是這種近似表達(dá)式還存在著不足之處x的高階無(wú)窮小其次是用它來(lái)作近似計(jì)算時(shí)不能具體估算出誤差大小因此對(duì)于精確度要求較高且需要估計(jì)誤差時(shí)候就必須用高次多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù)同時(shí)給出誤差公式設(shè)函數(shù)f(x)在含有X。的開區(qū)間內(nèi)具有直到(n 1)階導(dǎo)數(shù)現(xiàn)在我們希望做的是找出一個(gè)關(guān)于(XX。)的n次多項(xiàng)式p n(x) a o a 1 (x Xo) a 2(x Xo) 2 來(lái)近似表達(dá)f(X)要求P n (X)與f (X)之差是比(X(x) I的

9、具體表達(dá)式我們自然希望pn(x)與f(x)在Xo的各階導(dǎo)數(shù) Pn (x) a o a 1 (x Xo) a 2(x Xo)" Pn (x) a 1 2 a 2 (x Xo)Pn (x) 2 a 2 3 2a 3 (x Xo)Pn (x)3!a 3 43 2a 4(x Xo)an(x Xo )nXO)。高階的無(wú)窮小并給出誤差f(X)Pn(直到(n1)階導(dǎo)數(shù))相等這樣就有nc ( u Y 八、na n (x Xo)n 1n (n l)a n(x Xo)n 2n (n 1) ( n 2) an (x Xo )n 3p n n，(x) n! a n于是pn (xo ) aP n lnl (x

10、) n! a n 按要求有Pn(xo) aPn2(xo) 2!Pn(x) 3!a3從而有呱）f (Xo) P n(Xo)(Xo) P nf(n> (Xo)(Xo)Pn(n)ao(Xo )f (Xo)3!a 3Pn(Xo)(xo )Pn(Xo)22! an!ana3a o f(xo ) a an 存(Xo3!1f(Xo)呂叫）(kn)于是就有Pn(x) f(Xo) f(Xo)（X(Xo)(X1H!f2泰勒中值定理如果函曼*（X）在含有Xo的某個(gè)開區(qū)間（a(n> (xo)（X Xo尸次勃賦李解題p潮幽曳箱則當(dāng)x在（a b）內(nèi)時(shí)f（x）可以表示為（x X。）的一個(gè)+®(X。)(

11、X Xo)n Rn(x) n!f(X) f(Xo) f(Xo)(X7 (n其中尺 81)!' Xo)nl這里(Xo) 1 f (Xo)(X介于Xo與X之間）多項(xiàng)式Pn(x) f (Xo ) f (Xo)(X' f (X。)(X Xo) 2!Xo ）稱為函數(shù)f（x）按（x X。）的幕展開的n次近似多項(xiàng)式1n!公式1f (x) f (Xo) f (Xo) (X Xo) - f (Xo) (X Xo)2f ln，（Xo）（XXo）n存叫）（X x。）國(guó)心）稱為f（x）按（x X。）的幕展開的n階泰勒公式而Rn（X）的表達(dá)式f（n b （）FUx）_L護(hù)（x X。）-其中（n 1）!（

12、介于X與X。之間） 稱為拉格朗日型余項(xiàng)當(dāng)n。時(shí)泰勒公式變成拉格朗日中值公式f （x） f（Xo） f （ ）（X Xo）（在 Xo 與 X 之間） 因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣（n D（x）|總不超過(guò)一個(gè)常如果對(duì)于某個(gè)固定的n當(dāng)x在區(qū)間（a b）內(nèi)變動(dòng)時(shí)則有估計(jì)式R(X)I ifn tt Xo)nl| 卷伙 XoRn(x)lim -(-) 一 0 及 x Xo(x xo)n可見妝X Xo時(shí) 誤差|Rn(x)|是比(x Xo)n高階的無(wú)窮小即Rn (X) 0(X Xo)n在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí)n階泰勒公式也可寫成f (x) f (xo) f (xo) (x xo) 2- f (x

13、) (x xo)1 f n (xo) (x xo)n 0 (x Xo) n!當(dāng)Xo o時(shí)的泰勒公式稱為麥克勞林公式就是f(x) f(0) f (0)xf叫0)一滬 0 Rn(x)f(x) f(0) f (0)x 罟 X2f(n)<0)Xn 0(Xn) n!其中期f(nl)( ).n 1 (T) !由此得近似公式f(x) f(0) f (0)x(0)X22!誤差估計(jì)式變?yōu)镽缶刈例1 .寫出函數(shù)f(x) 解因?yàn)閒(x) f 所以 f(0) f (0) fe： 1 xx 1e 1 x并有這時(shí)所產(chǎn)性的誤差為e xRn(X)|e，的階麥克勞林公式(x) f (x(0) f(n)(0)(n 1)!(

14、n D! yn 1 |麗 | Xf(n)(x)dxnl(0<(x) sinx f (n) (x)(0) 0(xcos)xsin(x 臨)(0 i f( 4)(0) )1時(shí)可得e的近似式其誤差為 |Rn|< (n 1)! (n 1)!求f (x) sin x的n階麥克勞林公式 因?yàn)?x) cos X f” (x) sinx f (0) 0 f (0)12、3時(shí)有近似公式sin x x _L x3 sin x x 2|：3 sin x3X函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性一、函數(shù)單調(diào)性的判定法如果函數(shù)y f(x)在a b上單調(diào)增加(單調(diào)減少)那么它的圖形是一條沿x軸正向上升(下降)的曲線這時(shí)曲線

15、的各點(diǎn)處的切線斜率是非負(fù)的(是非正的)即y(x) 0(y反過(guò)率(x) 0)由此可見函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的關(guān)系b上連 在(a b)內(nèi)可導(dǎo)b上單調(diào)增加b上單調(diào)減少能否用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性呢 定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)設(shè)函數(shù)y f(x)在a續(xù)如果在(a b)內(nèi)f (x) 0(2)如果朝E么函物內(nèi)鼠x)花)8那么函數(shù)y f(x)在a證明 只證得至IJ由于在上式中在 b上任取兩點(diǎn)Xi X2 (Xi X2 )應(yīng)用拉格朗日中值定理f (X2) f (Xi ) f () (X2 Xi) (Xi X2 )X2 Xi 0因此 如果在(a b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)f(x)保持正號(hào)即(x) 0那么也有f (

16、)0于是f () (X2 Xi ) 0f(Xi f(X2)f (X2 ) f(Xi )即這函數(shù)y f(x)在a b上單調(diào)增加注判定法中的閉區(qū)間可換成其他各種區(qū)間例判定函數(shù)y *53乂在02 上的單調(diào)解 因?yàn)樵?02 性y 1 cos X 0所以由判定法可知函數(shù))內(nèi)y xcos x 在0 2上的單調(diào)增加(沒指明在什么區(qū)間怎么辦)因?yàn)樵?0)內(nèi)y 0所以函數(shù))Pjy 0所以函數(shù)y ex例2討論函數(shù)y es xl的單調(diào)性解y e: 1函數(shù)ye，x " x 1在(在的定義域?yàn)?)0上單調(diào)減少 因?yàn)樵?0)上單調(diào)增加例討論函數(shù)' I，的單調(diào)性解函數(shù)的定義域?yàn)?)當(dāng)時(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y &q

17、uot;y 33x (x 0)函數(shù)在x 0處不可導(dǎo)當(dāng)x 0時(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在因?yàn)閤0時(shí)y 0所以函數(shù)在(，0上單調(diào)減少因?yàn)閤0時(shí)y 0所以函數(shù)在0,)上單調(diào)增加如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)只要用麻和解導(dǎo)蝌存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)那么根及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間就能保證f (x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號(hào) 例4 確定函數(shù)f (x) 2x3 解這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：f(x) 6X218x2因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)9x2 12x 3的單調(diào)區(qū)間)X1 1、X2126(x 1) (x 2)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有兩個(gè)列表分析(1Ll 22 )f (X)f（X）/n單調(diào)減

18、少f（x）住區(qū)怛J（1和L2 ）內(nèi)單調(diào)增加在區(qū)間例5討論函數(shù)y2解函數(shù)的定義域?yàn)楹痻?的單調(diào)性數(shù)的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)y x 3而X。z、區(qū)間（內(nèi)是單調(diào)增加的除當(dāng)X 0時(shí)y 0外一般地0及0）內(nèi)都是單調(diào)增加在X o處曲線有的K平切線如果f（X）在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零在其余各點(diǎn)處均有y因此從而在整個(gè)定義域（在其余各點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí)那么f（x）在該區(qū)間上仍|日是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的2坂3 證明1時(shí)x令 f(x)(3 _L)證明X1 . X2(xxX x2)時(shí)f (x) 0 因此f(x)在0 故 f(x) f(l) 0(3 1) 0(x)因?yàn)楫?dāng) f(x) f(l)由于f(l)2 x1也就是'

19、;X 3(x）上f（x）單調(diào)增 從而當(dāng) 加1)二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)凹凸性的概念若在(a b)內(nèi)f (x)<0則f(x)在Eab上的圖形是凸的Xi x2簡(jiǎn)要證明只證(1)設(shè)乂 X2X1 X2 a b 由拉格朗日中值公式得Xl X2ff (Xl) f (xo) f ( 1) (xl Xo)Xo -口 V、 Yc :口Xi i Xof(X2)f(Xo) f ( 2)(X2 Xo) f(2)v.、02-2兩式相加并應(yīng)用拉格朗日中值公式得f (Xl) f (X2)2f (Xo) f ( 2)fCOlVf ( )( 2 1) T o1 2f (為)f(X2) f (Xl_X2)所以f(x)在a b上

20、的圖形是凹的拐點(diǎn)連續(xù)曲線yf(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為這曲線的拐點(diǎn)確定曲線yf(x)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟(1)確定函數(shù)yf (x)的定義域求出在二階導(dǎo)數(shù)f'(X)(3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(4)判斷或列表判斷 確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)注；根據(jù)具體情況(1) (3)步有時(shí)省略例1 判斷曲線y In :的凹凸性1 y y 1解 XX2因?yàn)樵诤瘮?shù)y In x的定義域(o例2 判斷曲線y X?的凹凸性)內(nèi) y <o 所以曲線In x是凸的o內(nèi)為凸的)內(nèi)為凹的解 y 3x 2 y由y 。得x因?yàn)楫?dāng)xo時(shí)y因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)y例3 求曲線y2x6x<o所以

21、曲線在(>o所以曲線在o3x 2x 14的拐點(diǎn)解 y 6x2 6x 12y 12x 6 12 (x *)因?yàn)楫?dāng)線的拐點(diǎn)例4 求曲線y解 (1)函數(shù)y 3x12x3 12x20所以點(diǎn)(3x* 4x3 1的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間4x31 的定義域?yàn)?)(3)解方程y列表判2 x22 Q(o)o(73)2/3(2/3)f(x)0CC 俎 X,。36x2 24x 36x(x 2)在區(qū)間(0和2/3)上曲線是凹的在區(qū)間02/3上曲線是凸的點(diǎn)(0 1)和(2/3 11/27)是曲線的拐點(diǎn) 例5問(wèn)曲線y x 4是否有拐點(diǎn)解 y 4x 3 y)內(nèi)曲線是凹的因此曲線無(wú)拐點(diǎn)當(dāng)x 0時(shí)y0在區(qū)間( 例6求曲線13

22、，的拐點(diǎn) 解函數(shù)的定義域?yàn)?1 2(2) 丫(3) 存在的點(diǎn)為9x業(yè)ii比匚Vx無(wú)二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn) 二階導(dǎo)數(shù)不x 0八 X14 _八 rn+ _ /r ran ilJz點(diǎn)(o o)曲線的拐點(diǎn)§3 5函數(shù)的極值與最大值最小值f(x)f(x)f (x)一、函數(shù)的極值及其求法極值的定義定義 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有定義f(Xo) 則稱f (xo)是函數(shù) f(x)的一個(gè)極大值 f(Xo)則稱f (Xo)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值 設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)xo的某鄰域U(Xo)內(nèi)有定義 f (x°)(a, b)如果在x。的某一去心鄰域內(nèi)有 如果在 Xo的某一去心鄰域內(nèi)有如果在

23、去心鄰域U(Xo)內(nèi)有f (x) f (Xo)(或則稱f (Xo)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值(或極小值) 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值 函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)如果f (Xo)是函數(shù)f (x)的一個(gè)極大值 那只是就Xo附近的一個(gè)局部范圍來(lái)說(shuō)f(Xo)是f(x)的一個(gè)最大值如果就f(x)的整個(gè)定義域來(lái)說(shuō)f(Xo )不一定是最大值關(guān)于極小值也類似極值與水平切線的關(guān)系在函數(shù)取得極值處曲線上的切線是水平的但曲線上有水平切線的地方函數(shù)不一定取得極值那么這函數(shù)在Xo定理1 (必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)Xo處可導(dǎo) 且在Xo處取得極值處的導(dǎo)數(shù)為零 即f (Xo)

24、 0證為確定起見假定f(Xo)是極大值(極小值的情形可類似地證明)根據(jù)極大值的定義在x。的某個(gè)去心鄰域內(nèi)對(duì)于任何點(diǎn)X f (x)f(Xo)均成立于是Xo時(shí)f(x) f(Xo)oX Xo因此當(dāng)Xf (Xo)Xo時(shí)limXqf (x)f(Xo)f(x) f(Xo) of (Xo)因此從而得到簡(jiǎn)要證明limx xf (x)Xf(Xo)Xof (Xo) 0 假定f(x。)是極大值 根據(jù)極大值的定義在Xo的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有f (x) f(xo)于是(Xo) f(Xo)limf (Xo)X Xo X Xo(Xo) f(Xo)f(Xo) lim0同時(shí)從而得到f(Xo)駐點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即方程f (X)。的

25、實(shí)根)叫函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)定理1就是說(shuō)可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn)但的過(guò)來(lái)函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)卻不一定是極值占 八、考察函數(shù)f(x) X?在X。處的情況定理2 (第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)Xo的一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù) 在Xo的左右鄰域內(nèi)可 導(dǎo)(1)如果在X。的某一左鄰域內(nèi)f(X)0在X。的某一右鄰域內(nèi)f(x)0那么函數(shù)f(x)在X。處取得極大值(2)如果在X。的某一左鄰域內(nèi)f(x)o在x。的某一右鄰域內(nèi)f(x)o那么函數(shù)f (x)在Xo處取得極小值如果在X。的某一鄰域內(nèi)f(x)不改變符號(hào)那么函數(shù)f(x)在X。處沒有極值)設(shè)函數(shù)f(x)在含X。的區(qū)間(a, b)內(nèi)連續(xù)在(a, X。)

26、及(x。，b)內(nèi)如果在(a, x。)及(x。，b)內(nèi)f (x)的符號(hào)相同那么函數(shù)f(x)在X。處沒有極值定理2(第一種充分條件在(xo, b) |A1 f(x) o那么函數(shù)f(x)在X。處取得極大值可導(dǎo)(1)如果在(a, xo)內(nèi) f (x)如果在(a, xo)內(nèi)f (x)在(xo, b) |Aj f(x) o那么函數(shù)f(x)在x。處取得極小值定理2(第一充分條件Xo) (Xo Xo)內(nèi)可導(dǎo))設(shè)函數(shù)f(x)在X。連續(xù)且在X。的某去心鄰域(X。(1)如果在(X。 處取得極大值(2)如果在(X。 處取得極小值(3)如果在(X。Xo)內(nèi) f在(XoXo)內(nèi) f (X)0 在(Xo XoXo)及(Xo

27、 Xo)內(nèi) f (X)內(nèi) f (X)|Ajf (X)的號(hào)相同那么函數(shù)f(x)在X。那么函數(shù)f(x)在X。那么函數(shù)f(x)在X。處沒有定理2也可簡(jiǎn)單地這樣說(shuō)當(dāng)x在X。的鄰近漸增地經(jīng)過(guò)X。時(shí)如果f (x)的符號(hào)由負(fù)那么f(x)在X。處取得極極值變正 那么f(x)在X。處取得極大值如果f (x)的符號(hào)由正變負(fù)小值 如果f (x)的符號(hào)并不改變 那么f(x)在X。處沒有極值(注定理的敘述與教材有所不同)確定極值點(diǎn)和極值的步驟(1)求出導(dǎo)數(shù)f (X)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(3)列表判斷(考察f(x)的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況以便確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn)如果是極值點(diǎn)還要按定理2確定對(duì)

28、應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值)(4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值例1求函數(shù)出局用的極值解£(外在(f3”)內(nèi)連續(xù)除X 1外處處可導(dǎo)令f (x) 0得駐點(diǎn)X 1 X1為f(X)的不可導(dǎo)點(diǎn)(Xo) 0那么該點(diǎn)Xo一定是X(1)1(1 1)1(1)f (x)不可導(dǎo)0f(x)g 、五)ox/g M) U0gkA； O?)u |±± g ) /(Xo)的符來(lái)判由1)極N檢循3，)設(shè)函數(shù)f(X)在點(diǎn)Xo處具有二階導(dǎo)數(shù)且(3)劑發(fā)腳并且可以按二階導(dǎo)數(shù)(X)曲淵峨叔(也)a。定理3 (第二種充分條件 (Xo) 0那么(Xo) 0(1)當(dāng) f(xo)當(dāng)f(xo)證明在情形0時(shí)0時(shí)由

29、于f根據(jù)函數(shù)極限的局部保號(hào)性函數(shù)f(x)在Xo處取得極大值函數(shù)f(x)在Xo處取得極小值(Xo)O按二階導(dǎo)數(shù)的定義有Im f (X) f (XQ zxf (Xo) lim ° °xs0 X Xo當(dāng)X在Xo的足夠小的去心鄰域內(nèi)時(shí)f(X)f (X。)X Xo但f (Xo) 0所以上式即f (X)從而知道對(duì)于這去心鄰域內(nèi)的X來(lái)說(shuō)即 x Xo 時(shí) f (x) 0 當(dāng) x Xo 0 即 x Xo 時(shí) fX Xof (X)與X Xo符號(hào)相反(x) 0根據(jù)定理2取得極大值因此 當(dāng)x Xo 0f(x)在點(diǎn)Xo處類似地可以證明情形(2)簡(jiǎn)要證明在情形(1)f (x) f (Xo)f (Xo)

30、 lim由于f(Xo) 0f (Xo) 0按二階導(dǎo)數(shù)的定義有根據(jù)函數(shù)極限的局部保號(hào)性-0(X)從而在該鄰域內(nèi) 當(dāng)X Xo時(shí)在點(diǎn)Xo處取得極大值定理解極值點(diǎn) 令f(3)f 因因f0lim f(x>x " X Xo在Xo的某-去心鄰域內(nèi)有(x) 0 當(dāng) x Xo 時(shí)(X) 0根據(jù)定理2 f(x)f 如果函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)Xo處的二導(dǎo)數(shù)f(X)6x(/1)'(x) 0(X) 6(X2(0) 6：(1)所以f(x)在求得駐點(diǎn)Xi1) (5x2 1)0所以f (x)在1處沒有極值X2 0 X3 1X 0處取得極小值 用定理3無(wú)法判別極小值為因?yàn)樵趂 (0) 01的左右鄰域內(nèi)同理

31、f(x)在1處也沒有極值(X)二、最大值最小值問(wèn)題在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中常常會(huì)遇到這樣一類問(wèn)題怎樣使“產(chǎn)品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等問(wèn)題 上有時(shí)可歸結(jié)為求某一函數(shù)(通常稱為目標(biāo)函數(shù))的最大值或最小值問(wèn)題極值與最值的關(guān)系設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù)則函數(shù)的最大值和最小值一定存在值和最小值有可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得如果最大值不在區(qū)間的端點(diǎn)取得在一定條件下 這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)(a b)內(nèi)取得在這種情況下最大值一定是函數(shù)的極大值因此函數(shù)的最大 必在開區(qū)間 數(shù)在閉區(qū)間a b上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最大者 函數(shù)在閉區(qū)間a b上的最小值一定

32、是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最 小者則函同理最大值和最小值的求法設(shè)f(x)在(a b)內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn) 則比較佗們是可能的極值點(diǎn))為Xi X2Xnf (a) f (x i)的大小其中最大的便是函數(shù)的最小值f(Xn) f(X)在af(b)b上的最大值最小的便是函數(shù)f(x)在ab上例3求函數(shù)f(x) x2 3x 2在341上的最大值與最小(x)在(34)內(nèi)由于f( 3)x2 3x 2 x2 3x值3,12,42x 32x 3f(x)的駐點(diǎn) 為20 f得它在34上的最大值(3.S2) 4)(1.2)02032 不可導(dǎo)點(diǎn)為x 1和x(3)4 在xf(2) 0f(4) 6 比較可得f(

33、x)在x1和x 2處取它在3 4上的最小值03處取例4工廠鐵路線上AB段的距離為為100km工廠C距A處為20km AC垂直于AB了運(yùn)輸需要要在AB線上選定一點(diǎn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比3:5問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)選在何處D向工廠修筑一條公路為了使貨物從供應(yīng)站已知鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)B 運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省100km設(shè)從B點(diǎn)到C點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為y那么5k CD 3kDB (k是某個(gè)正數(shù))y 5k、400 x2 現(xiàn)在 問(wèn)題就歸結(jié)為 先求V對(duì)X的導(dǎo)數(shù)5xy(T 400 x2解方程y 0得x 15 (km)3k (100 x)在03) CD(0 x 100) x100內(nèi)取何值時(shí)目標(biāo)函數(shù)y的值最小400 X1i

34、x 100 500kJ 2由于 y |x o 400k y|x 15380k ° 其中以 y x 15380k 為最小因此當(dāng)AD x 15km時(shí)總運(yùn)費(fèi)為最省例2工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km, A點(diǎn)到火車站B的距離為100km.欲 修一條從工廠 到鐵路的公路CD.已知鐵路與公路每公里運(yùn)費(fèi)之比為3:5.為了使火車站B與 工廠C間的運(yùn)費(fèi)最省， 問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)選在何處解設(shè)AD x (km) B與C間的運(yùn)費(fèi)為y貝U注意 f(x)在一個(gè)區(qū)間(有限或無(wú)限開或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)Xo并且這個(gè)駐點(diǎn)Xo是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)那么當(dāng)f(Xo)是極大值時(shí)f(Xo)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值當(dāng)f(

35、Xo)是極小值時(shí)f(Xo)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值A(chǔ)y0f(x)那么露此吸11r條趣懶嘲豳履最小值gf(x )在定義區(qū)間內(nèi)部 Xo例6把一根直徑為d的圓木鋸成截面為矩形的梁?jiǎn)柧匦谓孛娴母遅 bh26h和寬b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量解b與h有下面的關(guān)系h 2 d 2 b 2因而 這樣 現(xiàn)在W b(d2 tr) (0<b<d)6:b的函數(shù)b的變化范W就是自變量等于多少時(shí)目標(biāo)函數(shù) 問(wèn)題化為是(0/取最大值為此的導(dǎo)數(shù)W 6(d2 3b2)b Jld解方程W 0得駐點(diǎn)由于梁的最大抗彎截面模量一定存在1而且在(0d)內(nèi)部取得現(xiàn)在函數(shù)W _L b (d2 b2)八d)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)

36、所以當(dāng)W的值最大這時(shí)y 5k CD 3k DB 其中k是某一正數(shù)5k、400 x2 3k(100 x) (° x 100),y k(. 4cOxx2 3： 0 由得x 15由于y I x o 400k y x 15 因此當(dāng)AD x 15km時(shí)y|x J 1380 k ioo 500k 1 52 總運(yùn)費(fèi)為最省其中以y I x15380k為最小h2 d2 b2 d2 3d2 2d2(x) 6x 22 (3x 1)f (x) 0的根為x 1/3d:h:b .3： 2:1解把w表示成b的函數(shù)W Ibh- lb(d求出一階、二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)求出一階、二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) 列表分析確定曲線的單調(diào)性

37、和凹凸性 確定曲線的漸近性 確定并描出曲線上極值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、拐點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、其它點(diǎn)(6)聯(lián)結(jié)這些點(diǎn)畫出函數(shù)的圖形例1 畫出函數(shù)yx'x'x 1的圖形解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?)(2) f (x) 3x2 2x 1(3x 1) (x 1) ff (x)0 的根為 x 1/3 1 卜) 6f(32) 38描點(diǎn)聯(lián)線畫出圖形(0<b<d)W ?(d2 3b2) 0u由6得駐點(diǎn)b - 3 M由于梁的最大抗彎截面模量一定存在而且在(0 d)內(nèi)部取得現(xiàn)在函數(shù)W在(0 d)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)b . 3 Th鳥所以當(dāng)b .3 Y時(shí) 抗彎截面模量W最大這時(shí) 3§3 8函數(shù)圖形的

38、描繪X(1/3)1/3(1/31/3)1/3(1/31)1(1)f (x)00f(x)0f (x)/極大拐點(diǎn)極小/當(dāng)X時(shí)y當(dāng)X時(shí)y計(jì)算特殊點(diǎn)f( 1/3)32/27f(l/3)16/27f(l) 0f(0)1 f(確定函數(shù)的定義域并求函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)圖形的一般步驟(3)列表分1)例2作函數(shù)解(1)函數(shù)為偶函數(shù)(x)± 產(chǎn)2 e*的圖形定義域?yàn)?) 圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(X 1)(X 1) e 2x2令 f(x)、2 ,(x)列°得x 0令f (x) 0得x 1和x 1 表X7k U1ko>X117f w+o11hg+o1o+1f7V1±11極大值T

39、2 a(4)曲線有水平漸近y o)內(nèi)的圖形 然后利用對(duì)稱性作出區(qū)間(，0)內(nèi)的圖形先作出區(qū)間(0, y例3作函數(shù)36x(X 3)2的圖形3) ( 3f(x)吟(x 3)3令 f (x) 0 得 x 3f(x) 令f72(x 6)(x 3)，(x) 0 得 x 6解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?數(shù)值數(shù)0)=1 f( 1)(6)作圖X(3)(33)3(36)6(6)f (x)0f(x)0f(x)4極大11/3拐點(diǎn)(3)列表分析8 f( 9)8 f( 15)11/4(4)x 3是曲線的鉛直漸近線 y 1 是曲線的水平漸近線(5)計(jì)算特殊點(diǎn)的函§ 3 9曲率一、弧微分設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(ab)內(nèi)

40、具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)在曲線y f(x)上取固定點(diǎn)M o(x oy o)作為度量弧長(zhǎng)的基點(diǎn)并規(guī)定依x增大的方向作為曲線的正向?qū)η€上任一點(diǎn)M(x y)規(guī)定有向弧段了的值S （簡(jiǎn)稱為弧S）如下S的絕對(duì)值等于這弧段的長(zhǎng)度當(dāng)有向弧段了的方向與曲線的正向一致時(shí)s>0相反時(shí)s0顯然弧s V是x的函數(shù)s s(x)而且s(x)是X的單調(diào)增加函數(shù)下面來(lái)求s(x)的導(dǎo)數(shù)及微分設(shè)對(duì)應(yīng)于b)內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn)弧s的增量為它們?cè)谇€yf(x)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M N并MNxMNIMNMN |MN(x)2 ( y)2(x)2MNMNMN 2J MNMN |MN因?yàn)镸N I MN 因此lim yX y由于s s(x)是單調(diào)增加函數(shù) 是弧微分公式dsdxTVdsds從而 dx >o dx . 1 y2于是ds " dx這就因?yàn)楫?dāng)x 0時(shí)S、3" x又s與同號(hào)所以型 lim lim 3lim 1 ( y)2dx x o x x o x!xO' x . 1 y因此ds . 1 y =dx這就是弧微分公式、曲率及其計(jì)算公式曲線