正弦定理和余弦定理

1、正弦定理和余弦定理高考風(fēng)向1.考察正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)；2.利用正、余弦定理判斷三角形的形狀和解三角形；3.在解答題中對(duì)正弦定理、余弦定理、面積公式以與三角函數(shù)中恒等變換、誘導(dǎo)公式等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)展綜合考察.學(xué)習(xí)要領(lǐng) 1.理解正弦定理、余弦定理的意義和作用；2.通過正弦、余弦定理實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，和三角函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合.基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)I要點(diǎn)梳理Ia b c1.正弦定理：-7- = -7- = -7- = 2R,其中R是三角形外接圓的半徑.由正弦定理可以變形：a ： b ： csin A sin B sin C=sin A : sin _B: sin _C; (2) a=2Rsin A b=

2、 2RSin B, c= 2Rsin C; (3)sinA= _sin B=2R2Rsinc -C=*形式，解決不同的三角形問題.2 R2.余弦定理：a2 = b2 + c2 2bccos A, b2= a2 + c2 2accos_B,c2=a2 + b22abcos C.余弦定理可以變形:b2+c2a2a2 + c2b2a2+b2c2cos A=, cos B=, cos C=-v2bc'2ac '2ab111abc 13 . S；aabc= /bsinC= 2bcsinA= 2acsinB= -4= 2( a+ b + c) r (r 是二角形切圓的半徑 )，并可由此計(jì)算

3、R、r.4 .在ABC, a、b和A時(shí)，解的情況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形c4A心已關(guān)系式a= bsin Absin A<a<ba>ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 .在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC3,A>B? a>b? sin A>sin B； tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC；在銳角三角形中，cosA<sinB,cosA<sinC -2 .根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：（1）化邊為角；（2）化角為邊，并常用正弦（余

4、弦）定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換.基礎(chǔ)自測(cè)I1.在ABC3,假設(shè) A= 60 , a=，3,那么a+b+ csin A+ sinB+ sin C2. (2012 ) ABC勺三邊長(zhǎng)成公比為 小的等比數(shù)列，那么其最大角的余弦值為 .3. (2012 )設(shè)4 ABC勺角 A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c,且 cos A= 3, cos B= 5-, b=3,那么 c= 5134. (2011 課標(biāo)全國(guó))在ABC3, B= 60° , AC= ® 那么AB+ 2BC的最大值為 .5. 圓的半徑為4, a、b、c為該圓的接三角形的三邊，假設(shè)abc=16、/2,那么三角形的面積為()

5、A. 2 ；2B. 8 '2C.回.坐題型為類深度剖析：題型一利用正弦定理解三角形例 1 在ABC43, a=3, b =42, B= 45° .求角 A、C和邊 c.思維啟迪：兩邊與一邊對(duì)角或兩角與一邊，可利用正弦定理解這個(gè)三角形，但要注意解的個(gè)數(shù)的判斷.探究提高 (1)兩角與一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意.變式訓(xùn)練1 a > c分別是 ABC勺三個(gè)角A, B, C所對(duì)的邊，假設(shè)a= 1, b =，3, A+ C= 2B,那么角A 的

6、大小為.題型二利用余弦定理求解三角形例2 在ABC43, a、b、c分別是角 A、B、C的對(duì)邊，且cos Bcos Cb2a+ c求角B的大?。?2)假設(shè) b = yi3, a+c= 4,求 ABC勺面積.cos B b 一.思維啟迪：由 -=-，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解.cos C2a+c探究提高 (1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)展變形是迅速解答此題的關(guān)鍵.(2)熟練運(yùn)用余弦定理與其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用.變式訓(xùn)縹Na, b, C為 ABC勺三個(gè)角，其所的邊分別為a, b, c,且2cosg+ cos A= 0.求角A的值；(2)假設(shè)

7、a=243, b+c= 4,求 ABC勺面積.題型三正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用例 3 (2012 課標(biāo)全國(guó))a,b, c 分別為ABCE個(gè)角A,B,C的對(duì)邊，acosC+ 43asinC bc= 0.(1)求 A;(2)假設(shè)a=2, ABC勺面積為，3,求b, c.思維啟迪：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再利用和差公式可求出A面積公式和余弦定理相結(jié)合，可求出 b, c.探究提高 在關(guān)系式中，假設(shè)既含有邊又含有角.通常的思路是將角都化成邊或?qū)⑦叾蓟山牵俳Y(jié) 合正、余弦定理即可求角.變式訓(xùn)練3在ABC4角A, B, C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a, b, c.(1)假設(shè)c=2, C=,且 ABC勺面積為。3

8、,求a, b的值;3代數(shù)化簡(jiǎn)或三角運(yùn)算不當(dāng)致誤典例：(12 分)在ABC 假設(shè)(a2+b2)sin( A B)=(a2b2) - sin( A+ B),試判斷 ABC勺形狀.審題視角(1)先對(duì)等式化簡(jiǎn)，整理成以單角的形式表示.(2)判斷三角形的形狀可以根據(jù)邊的關(guān)系判斷，也可以根據(jù)角的關(guān)系判斷，所以可以從以下兩種不同方 式切入：一、根據(jù)余弦定理，進(jìn)展角化邊；二、根據(jù)正弦定理，進(jìn)展邊化角.溫馨提醒 (1)利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀時(shí)，對(duì)所給的邊角關(guān)系式一般都要先化為純粹的邊 之間的關(guān)系或純粹的角之間的關(guān)系，再判斷.(2)此題也可分析式子的結(jié)構(gòu)特征，從式子看具有明顯的對(duì)稱性，可判斷圖形為等腰或

9、直角三角形.(3)易錯(cuò)分析：方法一中由sin 2 A= sin 2 B直接彳#到A= B,其實(shí)學(xué)生忽略了 2A與2B互補(bǔ)的情況，由于計(jì)算問題出錯(cuò)而結(jié)論錯(cuò)誤.方法二中由c2( a2- b2) = (a2+ b2)( a2- b2)不少同學(xué)直接得到 c2= a2+ b2,其實(shí)是學(xué)生忽略了 a2- b = 0的情況，由于化簡(jiǎn)不當(dāng)致誤.結(jié)論表述不規(guī).正確結(jié)論是ABC為等腰三角形或直角三角形，而不少學(xué)生答復(fù)為：等腰直角三角形.高考圈題系列4高考中的解三角形問題典例：(12分)(2012 )在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b, c.角AB,C成等差數(shù)列.求cos B的值；(2)邊a, b, c成等

10、比數(shù)列，求 sin Asin C的值.解后反思 (1)在解三角形的有關(guān)問題中，對(duì)所給的邊角關(guān)系式一般要先化為只含邊之間的關(guān)系或只含角之間的關(guān)系，再進(jìn)展判斷.(2)在求解時(shí)要根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征判斷使用哪個(gè)定理以與變形的方向思想方法感悟提高方法與技巧1 .應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用角和定理：A+ B+ C=兀，A+1+ C=，中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù).2 .正、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由正、余弦定理結(jié)合得sin 2A= sin 2B+ sin A組專項(xiàng)根底訓(xùn)練（時(shí)間：35分鐘，總分值：57分）、選擇題（每題5分，共20分） (2012 )在 ABC4 假設(shè)/ A= 60

11、76; , / B= 45° , BC= 3小,那么 AC等于()A. 4 3B. 2 3C. 3D. "23 (2011 )在 ABO43,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a, b, c.假設(shè)acosA=bsinB,那么sin Acos A+ cos2B等于()A. - Jb. ：C. - 1 D . 1C2sin B- sin C cos A,可以進(jìn)展化簡(jiǎn)或證明.失誤與防1 .在利用正弦定理解三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可 能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進(jìn)展分類討論.2 .利用正、余弦定理解三角形時(shí)，要注意三角形角和定理對(duì)角的圍的限制.A

12、.等腰直角三角形B .直角三角形練出高分C.等腰三角形D .等腰三角形或直角三角形4. (2012 - ) ABO43.在ABC43,a,b, c分別為角A,B,C所對(duì)的邊，假設(shè)a=2bcosC,那么此三角形一定是（）, AC=亞 BC= 2, B= 60° ,那么 BC邊上的高等于(二、填空題（每題5分，共15分）.，.， , 兀1 一，5. （2011 ）在 ABC3,假設(shè) b=5, / B= , sin A= 3,那么 a=.6. （2011 ）假設(shè) ABC勺面積為 小,BO 2, C= 60° ,那么邊 AB的長(zhǎng)度等于 97. 在ABC3,假設(shè) AB= 5/5, A

13、O 5,且 cos C=而，那么 BO.三、解答題（共22分）8. (10分)在ABC,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且?黃足cosA= 255, Ab-及A 3.(1)求 ABC勺面積；(2)假設(shè)b+c=6,求a的值.9B+ C79. (12分)在ABC,a、b、c 分別為角A、B、C 的對(duì)邊，4sin - cos 2 A=-.(1)求A的度數(shù)；(2)假設(shè) a = 43, b+c = 3,求 b、c 的值.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，總分值：43分)一、選擇題(每題5分，共15分)1. (2012 )在 ABC3,假設(shè) sin 2A+ sin 2B<sin 2C,那么 A

14、BC勺形大是()A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D .不能確定2. (2011 ) ABC勺三個(gè)角 A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b, c,asinAsinB+bcos2A= 2a,那么，等于()A. 2 3B. 2 2C. 3D. 23. (2012 )設(shè) ABC勺角A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c,假設(shè)三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A>B>C,3b= 20acos A 那么 sin A： sin B： sin 。為()A. 4：3：2 B. 5：6：7C. 5：4：3 D , 6：5：4二、填空題(每題5分，共15分)4 .在ABC43,a、b、c分別為/ A /B、/C的對(duì)邊長(zhǎng)，a, b, c成等比數(shù)列，且a2-c2=ac-bc,那么/A=, ABC勺形斗犬為 . .一、一一l 一一 .a + b + c,.5 . 在ABC43,彳初設(shè)/ A= 60 , b= 1