導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題

1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題重難點歸納 1 f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若f(x)0,則f(x)是增函數(shù)；若f(x)0,則f(x)是減函數(shù) 2 求函數(shù)的極值點應(yīng)先求導(dǎo)，然后令y=0得出全部導(dǎo)數(shù)為0的點，(導(dǎo)數(shù)為0的點不一定都是極值點，例如 y=x3,當x=0時，導(dǎo)數(shù)是0，但非極值點)，導(dǎo)數(shù)為0的點是否是極值點，取決于這個點左、右兩邊的增減性，即兩邊的y的符號，若改變符號，則該點為極值點；若不改變符號，則非極值點，一個函數(shù)的極值點不一定在導(dǎo)數(shù)為0的點處取得，但可得函數(shù)的極值點一定導(dǎo)數(shù)為0 3 可導(dǎo)函數(shù)的最值可通過(a,b)內(nèi)的極值和端點的函數(shù)值比較求得，但不可導(dǎo)函數(shù)的極值有時可能在函數(shù)不可導(dǎo)的點處取得，因此，一

2、般的連續(xù)函數(shù)還必須和導(dǎo)數(shù)不存在的點的函數(shù)值進行比較，如y=|x|,在x=0處不可導(dǎo)，但它是最小值點 典型題例示范講解 例1已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=±1時取得極值，且f(1)=1 (1)試求常數(shù)a、b、c的值；(2)試判斷x=±1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由 命題意圖 利用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值的方法是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的繼續(xù)深入 是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵知識點，通過對函數(shù)極值的判定，可使學(xué)生加深對函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)關(guān)系的理解 知識依托 解題的成功要靠正確思路的選擇 本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進行逆向聯(lián)想，合理地實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化

3、，使抽象的問題具體化 這是解答本題的閃光點 錯解分析 本題難點是在求導(dǎo)之后，不會應(yīng)用f(±1)=0的隱含條件，因而造成了解決問題的最大思維障礙 技巧與方法 考查函數(shù)f(x)是實數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值，再通過極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，建立由極值點x=±1所確定的相等關(guān)系式，運用待定系數(shù)法求值 解 (1)f(x)=3ax2+2bx+cx=±1是函數(shù)f(x)的極值點，x=±1是方程f(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的兩根 由根與系數(shù)的關(guān)系，得又f(1)=1,a+b+c=1, 由解得a=,(2)f(x)=x3x,f(x)=x2=(x1)(x+1

4、)當x1或x1時，f(x)0當1x1時，f(x)0函數(shù)f(x)在(,1)和(1,+)上是增函數(shù)，在(1，1)上是減函數(shù) 當x=1時，函數(shù)取得極大值f(1)=1,當x=1時，函數(shù)取得極小值f(1)=1 例2在甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最省？命題意圖 學(xué)習(xí)的目的，就是要會實際應(yīng)用，本題主要是考查學(xué)生運用導(dǎo)數(shù)知識解決實際問題的意識，思想方法以及能力 知識依托 解決實

5、際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標函數(shù) 把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化，形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題，再劃歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解 錯解分析 本題難點是如何把實際問題中所涉及的幾個變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系式 技巧與方法 根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當選定變化，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系 解法一 根據(jù)題意知，只有點C在線段AD上某一適當位置，才能使總運費最省，設(shè)C點距D點x km,則BD=40,AC=50x,BC=又設(shè)總的水管費用為y元，依題意有 y=30(5ax)+5a (0x50)y=3a

6、+,令y=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義，函數(shù)在x=30(km)處取得最小值，此時AC=50x=20(km)供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省 解法二 設(shè)BCD=Q,則BC=,CD=40cot,(0),AC=5040cot設(shè)總的水管費用為f(),依題意，有f()=3a(5040·cot)+5a·=150a+40a·f()=40a·令f()=0,得cos=根據(jù)問題的實際意義，當cos=時，函數(shù)取得最小值，此時sin=,cot=,AC=5040cot=20(km),即供水站建在A、D之間距甲廠20

7、 km處，可使水管費用最省 例3已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1)(1)設(shè)g(x)=ff(x),求g(x)的解析式；(2)設(shè)(x)=g(x)f(x),試問 是否存在實數(shù),使(x)在(,1)內(nèi)為減函數(shù)，且在(1，0)內(nèi)是增函數(shù) 解 (1)由題意得ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+cf(x2+1)=(x2+1)2+c,ff(x)=f(x2+1)(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,x2+c=x2+1,c=1f(x)=x2+1,g(x)=ff(x)=f(x2+1)=(x2+1)2+1(2)(x)=g(x)f(x)=x4+(2)x2+(2)若滿足條件的存在，則(x)=4x

8、3+2(2)x函數(shù)(x)在(,1)上是減函數(shù)，當x1時，(x)0即4x3+2(2)x0對于x(,1)恒成立2(2)4x2,x1,4x242(2)4,解得4又函數(shù)(x)在(1,0)上是增函數(shù)當1x0時，(x)0即4x2+2(2)x0對于x(1,0)恒成立2(2)4x2,1x0,44x202(2)4,解得4故當=4時，(x)在(,1)上是減函數(shù)，在(1,0)上是增函數(shù)，即滿足條件的存在 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 設(shè)f(x)可導(dǎo)，且f(0)=0,又=1,則f(0)( )A 可能不是f(x)的極值B 一定是f(x)的極值C 一定是f(x)的極小值D 等于02 設(shè)函數(shù)fn(x)=n2x2(1x)n(n為正整數(shù))

9、，則fn(x)在0,1上的最大值為( )A 0B 1C D 3 函數(shù)f(x)=loga(3x2+5x2)(a0且a1)的單調(diào)區(qū)間_ 4 在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當?shù)走吷细邽開時它的面積最大 5 設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間 6 設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x的兩個極值點 (1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)試判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值，并說明理由 7 已知a、b為實數(shù)，且bae,其中e為自然對數(shù)的底，求證 abba 8 設(shè)關(guān)于x的方程2x2ax2=0的兩根為、(),函數(shù)f(x)= (1)求f(

10、)·f()的值；(2)證明f(x)是，上的增函數(shù)；(3)當a為何值時，f(x)在區(qū)間，上的最大值與最小值之差最?。繀⒖即鸢?1 解析 由=1,故存在含有0的區(qū)間(a,b)使當x(a,b),x0時0,于是當x(a,0)時f(0)0,當x(0,b)時，f(0)0,這樣f(x)在(a,0)上單增，在(0,b)上單減 答案 B2 解析 fn(x)=2xn2(1x)nn3x2(1x)n-1=n2x(1x)n-12(1x)nx,令fn(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=時取得最大值，最大值fn()=n2()2(1)n=4·()n+1答案 D3 解析 函數(shù)的定義

11、域是x或x2,f(x)= (3x2+5x2)=,若a1,則當x時，logae0,6x+50,(3x1)(x+2)0,f(x)0,函數(shù)f(x)在(,+)上是增函數(shù)，x2時，f(x)0 函數(shù)f(x)在(,2)上是減函數(shù) 若0a1,則當x時，f(x)0,f(x)在(,+)上是減函數(shù)，當x2時，f(x)0,f(x)在(,2)上是增函數(shù)答案 (,2)4 解析 設(shè)圓內(nèi)接等腰三角形的底邊長為2x,高為h，那么h=AO+BO=R+,解得x2=h(2Rh),于是內(nèi)接三角形的面積為S=x·h=從而令S=0,解得h=R,由于不考慮不存在的情況，所在區(qū)間(0,2R)上列表如下 h(0,R)R(,2R)S+0

12、S增函數(shù)最大值減函數(shù)由此表可知，當x=R時，等腰三角形面積最大 答案 R5 解 f(x)=3ax2+1若a0,f(x)0對x(,+)恒成立，此時f(x)只有一個單調(diào)區(qū)間，矛盾 若a=0,f(x)=10,x(,+),f(x)也只有一個單調(diào)區(qū)間，矛盾 若a0,f(x)=3a(x+)·(x),此時f(x)恰有三個單調(diào)區(qū)間 a0且單調(diào)減區(qū)間為(,)和(,+)，單調(diào)增區(qū)間為(, ) 6 解 f(x)=+2bx+1(1)由極值點的必要條件可知 f(1)=f(2)=0,即a+2b+1=0,且+4b+1=0,解方程組可得a=,b=,f(x)=lnxx2+x(2)f(x)=x-1x+1,當x(0,1)

13、時，f(x)0,當x(1,2)時，f(x)0,當x(2,+)時，f(x)0,故在x=1處函數(shù)f(x)取得極小值,在x=2處函數(shù)取得極大值ln2 7 證法一 bae,要證abba,只要證blnaalnb,設(shè)f(b)=blnaalnb(be),則f(b)=lna bae,lna1,且1,f(b)0 函數(shù)f(b)=blnaalnb在(e,+)上是增函數(shù)，f(b)f(a)=alnaalna=0,即blnaalnb0,blnaalnb,abba 證法二 要證abba,只要證blnaalnb(eab,即證,設(shè)f(x)=(xe)，則f(x)=0,函數(shù)f(x)在(e,+)上是減函數(shù)，又eab,f(a)f(b)

14、,即,abba 8 解 (1)f()=,f()= ,f()=f()=4(2)設(shè)(x)=2x2ax2,則當x時，(x)0,函數(shù)f(x)在(，)上是增函數(shù)(3)函數(shù)f(x)在，上最大值f()0,最小值f()0,|f()·f()|=4,當且僅當f()=f()=2時，f()f()=|f()|+|f()|取最小值4，此時a=0,f()=2.課前后備注 新教材中的思維觀點數(shù)學(xué)科學(xué)具有高度的綜合性、很強的實踐性，不斷的發(fā)展性，中學(xué)數(shù)學(xué)新教材打破原教材的框架體系，新增添了工具性、實踐性很強的知識內(nèi)容，正是發(fā)展的產(chǎn)物 新教材具有更高的綜合性和靈活多樣性，更具有朝氣與活力，因此，把握新教材的脈搏，培養(yǎng)深

15、刻嚴謹靈活的數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)成為燃眉之需 新教材提升與增添的內(nèi)容包括簡易邏輯、平面向量、空間向量、線性規(guī)劃、概率與統(tǒng)計、導(dǎo)數(shù)、研究型課題與實習(xí)作業(yè)等，這使得新教材中的知識內(nèi)容立體交叉，聯(lián)系更加密切，聯(lián)通的渠道更多，并且富含更高的實用性 因此在高考復(fù)習(xí)中，要通過總結(jié)、編織科學(xué)的知識網(wǎng)絡(luò)，求得對知識的融會貫通，揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系 做到以下幾點 一、深刻領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法，把立足點放在提高數(shù)學(xué)素質(zhì)上 數(shù)學(xué)的思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，只有運用數(shù)學(xué)思想方法，才能把數(shù)學(xué)的知識與技能轉(zhuǎn)化為分析問題與解決問題的能力，才能形成數(shù)學(xué)的素質(zhì) 知識是能力的載體，領(lǐng)悟并逐步學(xué)會運用蘊含在知識發(fā)生發(fā)展和深化過程中，貫穿

16、在發(fā)現(xiàn)問題與解決問題過程中的數(shù)學(xué)思想方法，是從根本上提高素質(zhì)，提高數(shù)學(xué)科能力的必由之路，只有通過對數(shù)學(xué)思想方法的不斷積累，不斷總結(jié)經(jīng)驗，才能從知識型向能力型轉(zhuǎn)化，不斷提高學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)水平 二、培養(yǎng)用化歸（轉(zhuǎn)化）思想處理數(shù)學(xué)問題的意識 數(shù)學(xué)問題可看作是一系列的知識形成的一個關(guān)系鏈 處理數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)，就是實現(xiàn)新問題向舊問題的轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)化。雖然解決問題的過程不盡相同，但就其思考方式來講，通常將待解決的問題通過一次又一次的轉(zhuǎn)化，直至化歸為一類已解決或很容易解決的問題，從而求得原問題的解答 三、提高用函數(shù)方程思想方法分析問題解決問題的能力 函數(shù)思想的實質(zhì)是拋開所研究對象非數(shù)學(xué)的特性，用聯(lián)系和變化的觀點，建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系 與這種思