高等網(wǎng)絡(luò)理論第六章

1、1896192019872006高等網(wǎng)絡(luò)理論高等網(wǎng)絡(luò)理論上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院研究生學(xué)位課程1896192019872006第六章第六章 網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程3p狀態(tài)方程相關(guān)概念回顧狀態(tài)方程相關(guān)概念回顧p線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法p多端口法和差分形式的狀態(tài)方程多端口法和差分形式的狀態(tài)方程p輸出方程的建立輸出方程的建立p網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的解網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的解主要內(nèi)容主要內(nèi)容4p第第110110頁(yè)頁(yè) 式式6-266-26改為：改為：p第第111111頁(yè)頁(yè) 式式6-316-31等式左邊等式左邊 改為：改為： p

2、第第113113頁(yè)頁(yè) 例例6-16-1中中 “故知故知”下面第一行下面第一行 改為：改為： 倒數(shù)第二行倒數(shù)第二行 改為：改為： 教材勘誤教材勘誤3331 132233 3ll lllllllVRiRQ iRQ iRQ i 3331 132233 3tt tttlltlVRiRQ iRQ iRQ i 120Q 121Q242424242TTlllttlllldiLQ L QQ LL Qdt242424242tlTTlllltttdiLQ L QQ LL Qdt3333TtlGGQ GG3333TtlGGQ G Q5p狀態(tài)變量狀態(tài)變量：電路中獨(dú)立的動(dòng)態(tài)變量的集合，在任何時(shí)：電路中獨(dú)立的動(dòng)態(tài)變量的集

3、合，在任何時(shí)刻的值形成了該時(shí)刻電路的狀態(tài)。刻的值形成了該時(shí)刻電路的狀態(tài)。p電路變量的集合電路變量的集合 滿足以下兩個(gè)條件，可滿足以下兩個(gè)條件，可作為電路作為電路狀態(tài)狀態(tài)：（1 1）如果已知）如果已知 在在 時(shí)刻的值時(shí)刻的值 以及從以及從 開(kāi)始開(kāi)始的輸入的輸入 ，則對(duì)任意，則對(duì)任意 ， 就能完全確定。就能完全確定。 （2 2）由）由 和和 可確定任何其他電路變量集可確定任何其他電路變量集 。 狀態(tài)變量法列寫(xiě)出的狀態(tài)方程是一階微分方程組，狀態(tài)變量法列寫(xiě)出的狀態(tài)方程是一階微分方程組，據(jù)此能分析并求解電路在任意時(shí)刻的全部響應(yīng)。據(jù)此能分析并求解電路在任意時(shí)刻的全部響應(yīng)。 線性非時(shí)變電路線性非時(shí)變電路適用

4、于分析：適用于分析： 線性時(shí)變電路線性時(shí)變電路 非線性電路非線性電路狀態(tài)方程相關(guān)概念狀態(tài)方程相關(guān)概念( )x t( )x t0t0( )x t0t( )w t0tt( )x t( )x t( )w t( )y t狀態(tài)向量狀態(tài)向量6 在線性非時(shí)變電路中，求解電路響應(yīng)所必須的初始條在線性非時(shí)變電路中，求解電路響應(yīng)所必須的初始條件可以由電容的初始電壓和電感的初始電流完全決定，通件可以由電容的初始電壓和電感的初始電流完全決定，通常選取常選取獨(dú)立的電容電壓獨(dú)立的電容電壓 和和獨(dú)立的電感電流獨(dú)立的電感電流 作為狀態(tài)變作為狀態(tài)變量。量。 在非線性電路中，除選電容電壓和電感電流作狀態(tài)變?cè)诜蔷€性電路中，除選電容

5、電壓和電感電流作狀態(tài)變量外，為方便起見(jiàn)，也可選電容的電荷量外，為方便起見(jiàn)，也可選電容的電荷 和電感的磁通和電感的磁通 作狀態(tài)變量。作狀態(tài)變量。 狀態(tài)方程為一階微分方程組，其一般形式為狀態(tài)方程為一階微分方程組，其一般形式為:表示成矩陣形式為表示成矩陣形式為狀態(tài)方程相關(guān)概念狀態(tài)方程相關(guān)概念CuLiCqL1212(, )iinmxfx xxw wwt1,2,in(), xf x w t7 線性非時(shí)變動(dòng)態(tài)電路，狀態(tài)方程為一階線性微分方程線性非時(shí)變動(dòng)態(tài)電路，狀態(tài)方程為一階線性微分方程組，其形式為組，其形式為:表示成矩陣形式為表示成矩陣形式為加上初始條件加上初始條件式中式中 狀態(tài)向量狀態(tài)向量 狀態(tài)向量導(dǎo)數(shù)

6、狀態(tài)向量導(dǎo)數(shù) 輸入向量輸入向量系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 和和 均取決于電路的拓?fù)渚Q于電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和元件特性。結(jié)構(gòu)和元件特性。狀態(tài)方程相關(guān)概念狀態(tài)方程相關(guān)概念11nmiikkijjkjxa xb w1,2,in xAxBw00 xx12,Tnx xxx =12,Tnx xxx =12,Tmw www =*ikn naA =*ijn mbB =狀態(tài)方程的標(biāo)狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式準(zhǔn)形式8 電路狀態(tài)向量的維數(shù)電路狀態(tài)向量的維數(shù)n，即電路獨(dú)立狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)稱，即電路獨(dú)立狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)稱為電路的為電路的復(fù)雜度復(fù)雜度或或自由度自由度。 線性非時(shí)變線性非時(shí)變 元件組成的電路的復(fù)雜性階數(shù)元件組成的電路的復(fù)雜性階數(shù)等于

7、任何時(shí)間的獨(dú)立電感電流和電容電壓的數(shù)目。等于任何時(shí)間的獨(dú)立電感電流和電容電壓的數(shù)目。 當(dāng)電路中不存在純由電感或電感和獨(dú)立電流源構(gòu)成的當(dāng)電路中不存在純由電感或電感和獨(dú)立電流源構(gòu)成的割集，純由電容或電容和獨(dú)立電壓源構(gòu)成的回路，則復(fù)雜割集，純由電容或電容和獨(dú)立電壓源構(gòu)成的回路，則復(fù)雜性階數(shù)將等于儲(chǔ)能元件的總數(shù)。性階數(shù)將等于儲(chǔ)能元件的總數(shù)。 當(dāng)電路中存在上述電感割集和電容回路時(shí)，則有當(dāng)電路中存在上述電感割集和電容回路時(shí)，則有其中其中 獨(dú)立狀態(tài)變量數(shù)或復(fù)雜性階數(shù)；獨(dú)立狀態(tài)變量數(shù)或復(fù)雜性階數(shù)； 電容和電感元件的總數(shù)；電容和電感元件的總數(shù)； 獨(dú)立電容回路獨(dú)立電容回路數(shù)；數(shù)； 獨(dú)立電感回路獨(dú)立電感回路數(shù)數(shù)狀態(tài)

8、方程相關(guān)概念狀態(tài)方程相關(guān)概念dCLCLnnnndn,(),R L MCCLnCnLn9 由狀態(tài)方程和由狀態(tài)方程和 時(shí)刻的初始狀態(tài)可解出各狀態(tài)變量在時(shí)刻的初始狀態(tài)可解出各狀態(tài)變量在任意時(shí)刻任意時(shí)刻 的值。然后根據(jù)的值。然后根據(jù)KCL，KVL和支路電壓和支路電壓-電流關(guān)系總可求出電路的任意輸出變量集電流關(guān)系總可求出電路的任意輸出變量集 ，并用狀態(tài)，并用狀態(tài)向量向量 和輸入向量和輸入向量 表示出來(lái)。這就是表示出來(lái)。這就是輸出方程輸出方程。 輸出方程的一般形式為輸出方程的一般形式為或表示成矩陣形式或表示成矩陣形式 狀態(tài)方程相關(guān)概念狀態(tài)方程相關(guān)概念0t0()tt( )y t( )x t( )w t121

9、2(, )iinmygx xxw wwt1,2,ir(),yg x w t10 對(duì)線性非時(shí)變動(dòng)態(tài)電路，對(duì)線性非時(shí)變動(dòng)態(tài)電路，輸出方程輸出方程是線性代數(shù)方程組，是線性代數(shù)方程組，其形式為其形式為或表示成矩陣形式或表示成矩陣形式式中式中 稱為輸出向量；稱為輸出向量； 為輸出變量為輸出變量 的的個(gè)數(shù)；系數(shù)矩陣個(gè)數(shù)；系數(shù)矩陣 和和 均取決于電路均取決于電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和元件特性。的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和元件特性。 輸出方程之所以是代數(shù)方程，是因?yàn)榇藭r(shí)的狀態(tài)變量輸出方程之所以是代數(shù)方程，是因?yàn)榇藭r(shí)的狀態(tài)變量（電容電壓和電感電流）均為已知量。若根據(jù)置換定理，（電容電壓和電感電流）均為已知量。若根據(jù)置換定理，分別用電壓源

10、和電流源置換電容和電感元件，則動(dòng)態(tài)電路分別用電壓源和電流源置換電容和電感元件，則動(dòng)態(tài)電路便成為線性電阻性電路。便成為線性電阻性電路。狀態(tài)方程相關(guān)概念狀態(tài)方程相關(guān)概念11nmiikkijjkjyc xd w1,2,iryCxDw12,Tryyyy =riy*ikr ncC =*ijr mdD =11 當(dāng)網(wǎng)絡(luò)含有純電容（和電壓源）的回路和純電感（和當(dāng)網(wǎng)絡(luò)含有純電容（和電壓源）的回路和純電感（和電流源）的割集時(shí)稱其為電流源）的割集時(shí)稱其為病態(tài)網(wǎng)絡(luò)病態(tài)網(wǎng)絡(luò)，或稱其為，或稱其為非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)。 設(shè)網(wǎng)絡(luò)不含受控源，二端元件設(shè)網(wǎng)絡(luò)不含受控源，二端元件R、L、C和獨(dú)立電壓、和獨(dú)立電壓、電流源均選作為一條

11、支路，首先選擇一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)樹(shù)，標(biāo)準(zhǔn)樹(shù)電流源均選作為一條支路，首先選擇一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)樹(shù)，標(biāo)準(zhǔn)樹(shù)選擇的準(zhǔn)則是：選擇的準(zhǔn)則是： （1）包含全部電壓源；）包含全部電壓源； （2）不含電流源；）不含電流源； （3）含盡可能多的電容；）含盡可能多的電容； （4）含盡可能少的電感。）含盡可能少的電感。 p有一個(gè)病態(tài)回路就必有一條電容支路只能作為連支；有一個(gè)病態(tài)回路就必有一條電容支路只能作為連支；p有一個(gè)病態(tài)割集就必有一條電感支路只能作為樹(shù)枝。有一個(gè)病態(tài)割集就必有一條電感支路只能作為樹(shù)枝。線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法12標(biāo)準(zhǔn)樹(shù)選擇的準(zhǔn)則是：標(biāo)準(zhǔn)樹(shù)選擇的準(zhǔn)則是： （1）包含全部電壓

12、源；）包含全部電壓源； （2）不含電流源；）不含電流源； （3）含盡可能多的電容；）含盡可能多的電容； （4）含盡可能少的電感。）含盡可能少的電感。線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法電壓源電壓源樹(shù)支電容樹(shù)支電容樹(shù)支電阻樹(shù)支電阻樹(shù)支電感樹(shù)支電感電流源電流源連支電感連支電感連支電阻連支電阻連支電容連支電容樹(shù)支樹(shù)支 連支連支支路支路1、2、12構(gòu)成電容和電壓源回路構(gòu)成電容和電壓源回路支路支路6、7、9構(gòu)成電感和電流源割集構(gòu)成電感和電流源割集13 將將 （式（式1-15）和）和 （式（式1-13）連支）連支和樹(shù)支次序?qū)φ{(diào)后分別為：和樹(shù)支次序?qū)φ{(diào)后分別為： 和和 按八類(lèi)

13、支路類(lèi)別將基本割集矩陣和基本回路矩陣分塊按八類(lèi)支路類(lèi)別將基本割集矩陣和基本回路矩陣分塊為：為： 線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法|flt1QQ|flt 1BB|ftl 1QQ|ftl1BB111213142122232431323334414243441000010000100001VtCtfRtLtQQQQQQQQQQQQQQQQQ112131411222324213233343142434441000010000100001TTTTIlTTTTLlfTTTTRlTTTTClQQQQQQQQBQQQQQQQQ電壓電壓源源樹(shù)支樹(shù)支電容電容電流電流源源樹(shù)支樹(shù)支

14、電感電感樹(shù)支樹(shù)支電阻電阻連支連支電感電感連支連支電阻電阻連支連支電容電容14 當(dāng)在樹(shù)支中出現(xiàn)一個(gè)電感時(shí)，則此電感一定與某些電當(dāng)在樹(shù)支中出現(xiàn)一個(gè)電感時(shí)，則此電感一定與某些電流源和電感構(gòu)成割集，這個(gè)割集中不會(huì)有電阻和電容。所流源和電感構(gòu)成割集，這個(gè)割集中不會(huì)有電阻和電容。所以以 和和 為零矩陣。為零矩陣。 當(dāng)連支中出現(xiàn)一個(gè)電容時(shí)，只有此電容與某些電壓源當(dāng)連支中出現(xiàn)一個(gè)電容時(shí)，只有此電容與某些電壓源和其他電容構(gòu)成回路的情況下才會(huì)如此，而這些電容已經(jīng)和其他電容構(gòu)成回路的情況下才會(huì)如此，而這些電容已經(jīng)在樹(shù)在樹(shù)T中了。因此以電容作為連支的一個(gè)基本回路中不會(huì)中了。因此以電容作為連支的一個(gè)基本回路中不會(huì)有電阻

15、和電感。所以有電阻和電感。所以 。 由由 可知可知, 。 故基本割集分塊矩陣中故基本割集分塊矩陣中 。線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法43Q44Q4344 0BBTlt QB34430T QB3444430QQQ111213142122232431323341421000010000100000100VtCtfRtLtQQQQQQQQQQQQQQ112131411222324213233314241000010000010000001TTTTIlTTTTLlfTTTRlTTClQQQQQQQQBQQQQQ15支路電流和電壓向量分別表示為支路電流和電壓向量分別

16、表示為其中，其中， 和和 是已知的激勵(lì)源向量，是已知的激勵(lì)源向量， 和和 是狀態(tài)變量，是狀態(tài)變量，其余的十二個(gè)向量均應(yīng)消去。根據(jù)其余的十二個(gè)向量均應(yīng)消去。根據(jù) 和和 得得線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法12341234Tbttttlllliiiiiiiii12341234TbttttllllVVVVVVVVV1tV1li2tV2lifb 0Q ifb 0B V111 112213 3144tlllliQ iQ iQ iQ i 221 122223 3244tlllliQ iQ iQ iQ i 331 132233 3tllliQ iQ iQ i 441 14

17、22tlliQ iQ i 1111212313414TTTTlttttVQ VQ VQ VQ V2121222323424TTTTlttttVQ VQ VQ VQ V3131232333TTTltttVQ VQ VQ V4141242TTlttVQ VQ V(6-10)(6-11)(6-12)(6-13)(6-14)(6-15)(6-16)(6-17)16八類(lèi)支路給出八組元件方程。八類(lèi)支路給出八組元件方程。對(duì)于樹(shù)支電阻和連支電阻有對(duì)于樹(shù)支電阻和連支電阻有樹(shù)支電容和連支電容的電流可表示為樹(shù)支電容和連支電容的電流可表示為考慮到互感，樹(shù)支和連支電感的電壓可表示為考慮到互感，樹(shù)支和連支電感的電壓可表示

18、為線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法4422tttttllltlllddtddtiVLLVLLi33tt tVRi(6-18)(6-19)(6-20)(6-21)(6-22)33llliGV22tttddtViC44lllddtViC17將式（將式（6-11）代入式（）代入式（6-20）左邊得）左邊得為得到狀態(tài)方程，需要消去上式中的為得到狀態(tài)方程，需要消去上式中的 。由式（由式（6-21）、式（）、式（6-17）知其中）知其中由式（由式（6-19）、式（）、式（6-16）得）得由式（由式（6-18）、式（）、式（6-12）得）得線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)

19、法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法3331 1322333tt ttltltl VRiRQ iRQ iRQ i(6-23)(6-24)(6-25)(6-26)33131232333TTTlllltltltiGVG Q VG Q VG Q V2221 1222233244tttllllddt VCiQ iQ iQ iQ i41241424TTlttllllddddtdtdtVVViCC Q+C Q34,llii18將式（將式（6-26）代入式（）代入式（6-25）得）得令令 左乘上式，并移項(xiàng)得左乘上式，并移項(xiàng)得令令 ，以，以 左乘上式得，左乘上式得，將式將式(6-24)、(6-28)代入式（代

20、入式（6-23），即得所需的狀態(tài)方程），即得所需的狀態(tài)方程線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法(6-28)(6-29)31312323331TTlltltltlTTltlltliG Q VG Q VG Q RQ iG Q RQ iG Q RQ i1llR = G112242423232233332222112313123333121112414TTTttlttlTTttlTtlddtddt VCQ C QQ R Q V + Q R Q RQQiQ R Q VQ R Q RQQiVQ C Q333331312323331 133322TT

21、TTTltltttltlR +Q RQiQ VQ VQ RQ iQ RQ i3333TltR = R +Q RQ1R111131312323331 133322TTTTltttltliR Q VR Q VR Q RQ iR Q RQ i19由式（由式（6-22）和式（）和式（6-13）可得）可得即即式（式（6-30）中的）中的 可表示為樹(shù)支電壓，而樹(shù)支電壓中的可表示為樹(shù)支電壓，而樹(shù)支電壓中的 由式（由式（6-22）可表示為）可表示為將上式和式將上式和式(6-15)、(6-26)、(6-28)各代入式各代入式(6-30)經(jīng)整理經(jīng)整理得得線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系

22、統(tǒng)編寫(xiě)法(6-30)(6-31)4212244142tllllttttltttttlddddddtdtdtdtdtiiiiiVL+ L= -L Q- L Q+ L2421224241ltlllllltlltltdddddtdtdtdtiiiiLVLVL QL Q2142241llllltlltdddtdtiiL - L QVL Q2lV4tV2424242421122323323232333332323221112323313132333331323111414241TTllltttlltTTTTTTtttttlTTTTTTtttttlTlltttddtddtiL +Q L Q-Q L - L

23、 QQQ RQ R QVQ RQ R Q RQQ RQiQQ RQ R QV + Q RQ R Q RQQ RQii+ L QQ L Q20式（式（6-29）和式（）和式（6-31）構(gòu)成了狀態(tài)方程，可合并寫(xiě)成）構(gòu)成了狀態(tài)方程，可合并寫(xiě)成其中其中線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法(6-32)(6-33)(6-34)(6-35)(6-36)21212121ttttlllldddtdtdddtdtVVVVMABBiiiiMM00CML11122122AAAAA11122122BBBBB1122 00BBB21線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程

24、系統(tǒng)編寫(xiě)法(6-37)(6-38)(6-39)(6-40)(6-41)(6-42)(6-43)(6-44)(6-45)(6-46)(6-47)(6-48)112414Tl BQ C Q2424TMtlC= CQ C Q122323333323232TTTtttAQ RQ R Q RQQ RQ42424242TTMlltttlltL= L +Q L Q-Q L - L Q1112323T AQ R Q11223333222TtAQ R Q RQQ12122323323TTTtAQQ RQ R Q1112313T BQ R Q11223333121TtBQ R Q RQQ22414241Tlttt

25、 BL QQ L Q12112323313TTTtBQQ RQ R Q122323333313231TTTtttBQ RQ R Q RQQ RQ22線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法(6-49)(6-50)(6-51)122323333323232TTTtttAQ RQ R Q RQQ RQ122323333313231TTTtttBQ RQ R Q RQQ RQ為簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)化 的表達(dá)式，的表達(dá)式，可令可令以以 左乘上式得左乘上式得以以 左乘左乘 中的公共因子，并將式中的公共因子，并將式(6-27)、(6-49)、(6-50)代入得，代入得，即即3333TtlG

26、 = G +Q G Q11333333331133333333133333333TttltTltTlltlGRQ R= G +Q GQRQ RQ RQ GQ RQ RQ GRQ RQRQ G1G113333tlRQ RG Q GG2222A ,B1133333333133333333TTttttttTTltlt 11G RRQ R Q RGRG RQ RQ RQ G Q RG G Q G Q R113333TtttGRRQ R Q R23線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法(6-52)(6-53)(6-54)(6-55)1223232T AQ G Q122323

27、1T BQ G Q將式（將式（6-51）代入式（）代入式（6-42）、式（）、式（6-46）得）得將式（將式（6-50）代入式（）代入式（6-41）、式（）、式（6-45）得）得改動(dòng)之后使表達(dá)式簡(jiǎn)明，且具有對(duì)應(yīng)相似的形式。改動(dòng)之后使表達(dá)式簡(jiǎn)明，且具有對(duì)應(yīng)相似的形式。3333TtlG = G +Q G Q12122323323TTTlAQQ G Q G Q12112323313TTTlBQQ G Q G Q1112323T AQ R Q11223333222TtAQ R Q RQQ1112313T BQ R Q11223333121TtBQ R Q RQQ1223232T AQ G Q12232

28、31T BQ G Q12122323323TTTlAQQ G Q G Q12112323313TTTlBQQ G Q G Q3333TltR = R +Q RQ24p用系統(tǒng)法建立狀態(tài)方程可分以下幾步驟：用系統(tǒng)法建立狀態(tài)方程可分以下幾步驟： （1 1）將支路按規(guī)定排列、編號(hào)定方向；）將支路按規(guī)定排列、編號(hào)定方向； （2 2）作相應(yīng)線圖）作相應(yīng)線圖G G，并畫(huà)出標(biāo)準(zhǔn)樹(shù)；，并畫(huà)出標(biāo)準(zhǔn)樹(shù)； （3 3）列寫(xiě)基本割集矩陣及其各分塊矩陣；）列寫(xiě)基本割集矩陣及其各分塊矩陣； （4 4）求矩陣）求矩陣 ； （5 5）求）求 中各分中各分塊矩陣，即得所需狀態(tài)方程。塊矩陣，即得所需狀態(tài)方程。線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程

29、系統(tǒng)編寫(xiě)法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法,tllllttlttC CLLLLR G21212121ttttlllldddtdtdddtdtVVVVMABBiiii25p例例6-1 6-1 建立下圖所示的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程建立下圖所示的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法基本割集矩陣：基本割集矩陣：100000001001010000001101001000110010000100001000000010100000000001101000fQ26p例例6-1 6-1 建立下圖所示的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程建立下圖所示的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法

30、線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法1300tCCC2lCC120000ttllLLLLL23333300TtltGGG = G +Q GQG1400lRRR = R27p例例6-1 6-1 建立下圖所示的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程建立下圖所示的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法122424300TMtlCCCC= CQ C Q424212TMllttLLL= L +Q L Q111112323400TGG AQ R QR112233332222210Tt AQ R Q RQQQ1212232332310TTTl AQQ G Q GQ212232322301100

31、0TRRR AQ G Q28p例例6-1 6-1 建立下圖所示的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程建立下圖所示的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法21124140TlC BQ C Q1112313T 0BQ R Q112233331210011TtBQ R Q RQQ2241424110TltttL BL QQ L Q 121123233131TTTlBQQ G Q G Q2122323130001000010TRR BQ G Q29p例例6-1 6-1 建立下圖所示的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程建立下圖所示的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編

32、寫(xiě)法112112313431122221220001000000000011000001010000CSCSCSCSLSLSdVdVdtdtCCGVVCdVdiCGVidtdtLLRiiLdididtdt30p 含有受控源的線性電路的狀態(tài)方程有時(shí)難含有受控源的線性電路的狀態(tài)方程有時(shí)難以列出，因?yàn)樗膹?fù)雜性階數(shù)在一般情況下不以列出，因?yàn)樗膹?fù)雜性階數(shù)在一般情況下不能依據(jù)電路的拓?fù)鋪?lái)確定。非線性電路的狀態(tài)能依據(jù)電路的拓?fù)鋪?lái)確定。非線性電路的狀態(tài)方程通常用電容的電荷和電感的磁通鏈作為狀方程通常用電容的電荷和電感的磁通鏈作為狀態(tài)變量，它的編列過(guò)程比線性電路更為復(fù)雜。態(tài)變量，它的編列過(guò)程比線性電路更為復(fù)

33、雜。線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法線性非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程系統(tǒng)編寫(xiě)法31多端口法多端口法 將電容、電感以及獨(dú)立源抽出，余下的將是一個(gè)多將電容、電感以及獨(dú)立源抽出，余下的將是一個(gè)多端口電阻網(wǎng)絡(luò)。根據(jù)多端口網(wǎng)絡(luò)端口電壓、電流的關(guān)系端口電阻網(wǎng)絡(luò)。根據(jù)多端口網(wǎng)絡(luò)端口電壓、電流的關(guān)系是，即可獲狀態(tài)方程。是，即可獲狀態(tài)方程。設(shè)網(wǎng)絡(luò)有：設(shè)網(wǎng)絡(luò)有： u個(gè)電感個(gè)電感 （q-u）個(gè)獨(dú)立電流源個(gè)獨(dú)立電流源 w個(gè)獨(dú)立電壓源個(gè)獨(dú)立電壓源 （m-q-w）個(gè)電容）個(gè)電容注：電感和電容上電壓和電注：電感和電容上電壓和電流的參考方向均相反，故有流的參考方向均相反，故有LLddt iVLCCddt ViC(6-63)(6-6

34、4)32多端口法多端口法 前前q個(gè)端口和后（個(gè)端口和后（m-q）個(gè)端口的電壓、電流，分別）個(gè)端口的電壓、電流，分別用向量用向量 表示，則表示，則式中式中 為多端口網(wǎng)絡(luò)的混合參數(shù)矩陣，其為多端口網(wǎng)絡(luò)的混合參數(shù)矩陣，其各分塊矩陣可以用直觀法計(jì)算或通過(guò)關(guān)聯(lián)矩陣和支路導(dǎo)各分塊矩陣可以用直觀法計(jì)算或通過(guò)關(guān)聯(lián)矩陣和支路導(dǎo)納矩陣計(jì)算。納矩陣計(jì)算。 為使與抽出的元件對(duì)應(yīng)，為使與抽出的元件對(duì)應(yīng)， 都可以再都可以再分成四個(gè)分塊矩陣。分成四個(gè)分塊矩陣。1122,V i Vi111121221222VHHiiHHV11122122HHHHH11122122,，HHHH33多端口法多端口法 為使與抽出的元件對(duì)應(yīng)，為使與

35、抽出的元件對(duì)應(yīng)， 都可以再都可以再分成四個(gè)分塊矩陣。分成四個(gè)分塊矩陣。同樣同樣 也可表示為也可表示為1122,V i Vi11111212111112122121222221212222ababcdcdababcdcdHHHHHHHHH =HHHHHHHH11122122,，HHHH1LisVVV1Lsiii2SCVVV2vsCiii電感電壓向量電流源端電壓向量電感電流向量獨(dú)立電流源向量獨(dú)立電壓源向量電容電壓向量電壓源端電流向量電容電流向量34多端口法多端口法取上式第一、四行等式并用式取上式第一、四行等式并用式(6-63)、(6-64)代入得代入得 令令則有則有1111121211111212

36、2121222221212222LababLiscdcdsvsababsCcdcdCVHHHHiVHHHHi=iHHHHViHHHHV(6-65)1111121221212222La Lb sasbCCc Ld scsdCddtddtiLHi + HiHVHVVCHiHiHVHV00LMC111211121121222122LabLbascdCdcsCdidtdVdtHHiHHi= MMHHVHHV(6-69)35多端口法多端口法電感數(shù)電感數(shù)u=2，電流源數(shù)為零，電流源數(shù)為零，電壓源數(shù)電壓源數(shù)w=1，電容數(shù)為，電容數(shù)為1，m=4p例例6-2 6-2 所示電路所示電路 現(xiàn)以現(xiàn)以 為狀態(tài)變量建立狀

37、態(tài)方程。為狀態(tài)變量建立狀態(tài)方程。13624856 ,5 ,12 ,20RRRRRRR 791216 ,14 ,1,2,1 ,RRLH LH CF12,LLiiCV11134412.314H120.16670.16670.36190.0952H210.16670.36190.16670.0952H220.0706350.0039680.0039680.059523H36多端口法多端口法p例例6-26-2（續(xù)（續(xù)1 1）1111134412.314aH= H120.16670.0952bH210.16670.0952cH220.059523dH因?yàn)橐驗(yàn)閡=q=2，故知，故知111112121111

38、12122121222221212222LababLiscdcdsvsababsCcdcdCVHHHHiVHHHHi=iHHHHViHHHHV120.16670.3619aH210.16670.3619aH220.070635aH220.003968bH220.003968cH11000.5L 11C110000.50001M37多端口法多端口法p例例6-26-2（續(xù)（續(xù)2 2）經(jīng)整理計(jì)算經(jīng)整理計(jì)算111211121121222122LabLbascdCdcsCdidtdVdtHHiHHi= MMHHVHHV11221340.16670.166726.15720.04760.18100.166

39、70.09520.05950.0039LLLLsCCdidtdidtdVdti=iVV38差分形式的狀態(tài)方程差分形式的狀態(tài)方程 如果將時(shí)間分成相等的小間隔，經(jīng)過(guò)一個(gè)小間隔后如果將時(shí)間分成相等的小間隔，經(jīng)過(guò)一個(gè)小間隔后的狀態(tài)可以表示為現(xiàn)有時(shí)刻狀態(tài)和激勵(lì)的線性組合，這的狀態(tài)可以表示為現(xiàn)有時(shí)刻狀態(tài)和激勵(lì)的線性組合，這種形式的方程稱為差分形式的狀態(tài)方程。根據(jù)差分形式種形式的方程稱為差分形式的狀態(tài)方程。根據(jù)差分形式的狀態(tài)方程和狀態(tài)初值，可以依次遞推出各種時(shí)刻的狀的狀態(tài)方程和狀態(tài)初值，可以依次遞推出各種時(shí)刻的狀態(tài)量。將電感和電容用線性化的模塊代替后即可推出差態(tài)量。將電感和電容用線性化的模塊代替后即可推出差

40、分形式的狀態(tài)方程。分形式的狀態(tài)方程。 設(shè)電感（或電容）的電壓、電流參考方向取一致，設(shè)電感（或電容）的電壓、電流參考方向取一致，則則由上式可得由上式可得或或 式中式中( )( )()( )kLkLkLkLkt tdi ti ti ttV tLLdtt(6-71)(6-72)(6-73)(6-74)1( )( )()LkLLkLki tG V ti t(1)LkLLks kiG ViLtGL(1)1()s kLkii t39差分形式的狀態(tài)方程差分形式的狀態(tài)方程同理，對(duì)電容有同理，對(duì)電容有或或 并簡(jiǎn)化為并簡(jiǎn)化為式中式中1( )()( )CkCkCkVtVtitCt(6-75)(6-76)(6-77)

41、(6-78)(6-79)CCGt(1)(1)s kCC kiG V 1( )( )()CkCCkskitG Vti t1()CkCCkskiG Vi t由式（由式（6-716-71）和式（）和式（6-766-76）可作電感、電容等效電路。）可作電感、電容等效電路。時(shí)間間隔是確定的，所以時(shí)間間隔是確定的，所以 相當(dāng)于確定的線性電導(dǎo)。相當(dāng)于確定的線性電導(dǎo)。,LCGG電感等效電路電感等效電路 電容等效電路電容等效電路40差分形式的狀態(tài)方程差分形式的狀態(tài)方程不同瞬間計(jì)算時(shí)不同瞬間計(jì)算時(shí) 值不變，只有等效電流源值不變，只有等效電流源 變變動(dòng)。所有電感和電容用等效電路替代后，所面對(duì)的僅是動(dòng)。所有電感和電容

42、用等效電路替代后，所面對(duì)的僅是一個(gè)純電阻網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)一個(gè)純電阻網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)2.12.1節(jié)方法建立節(jié)點(diǎn)電壓方程，節(jié)方法建立節(jié)點(diǎn)電壓方程，每一瞬間節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣都相同。每一瞬間節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣都相同。其中其中 是是 和和 的線性組合。的線性組合。,LCGG電感等效電路電感等效電路 電容等效電路電容等效電路(1)s ki1(1)nkns kbskskVYAiAYVAi(1)s ki(1)C kV(1)L ki(6-80)41差分形式的狀態(tài)方程差分形式的狀態(tài)方程整理式（整理式（6-806-80）可簡(jiǎn)化為）可簡(jiǎn)化為電容電壓和電感電流可以表示為節(jié)點(diǎn)電壓的線性組合，可得電容電壓和電感電流可以表示為節(jié)點(diǎn)電壓的線性組合，

43、可得(6-81)(6-82)(1)12(1)C ksknkL kskVVVKKii(1)12(1)C kCkskL kLkskVVVKKiii42輸出方程輸出方程 待求的電壓、電流等輸出向量可用列向量待求的電壓、電流等輸出向量可用列向量 表示，則有表示，則有其中其中C、D為參數(shù)矩陣，可由電阻部分網(wǎng)絡(luò)推出。為參數(shù)矩陣，可由電阻部分網(wǎng)絡(luò)推出。 由式（由式（6-83）可知：當(dāng)?shù)谝粋€(gè)電容用）可知：當(dāng)?shù)谝粋€(gè)電容用1伏電壓源替代，其伏電壓源替代，其余電容和電壓源短路，電感和電流源斷開(kāi)，所解得輸出向量余電容和電壓源短路，電感和電流源斷開(kāi)，所解得輸出向量即即C的第一列；第二個(gè)電容用的第一列；第二個(gè)電容用1伏電

44、壓源替換時(shí)獲伏電壓源替換時(shí)獲C的第二列，的第二列，依次類(lèi)推。輪到電感時(shí)應(yīng)用依次類(lèi)推。輪到電感時(shí)應(yīng)用1安的電流源替換，同樣可得安的電流源替換，同樣可得C的的后面各列。后面各列。 同理，求矩陣同理，求矩陣D各列時(shí)，可依次將各電壓源和電流源用各列時(shí)，可依次將各電壓源和電流源用單位元替換，其余皆短接或斷開(kāi)。單位元替換，其余皆短接或斷開(kāi)。(6-83)sCsLVVY = CDiiY43輸出方程輸出方程p例例6-3 6-3 所示電路網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)所示電路網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)44為參考并以節(jié)點(diǎn)為參考并以節(jié)點(diǎn)11、 2 2、 3 3的電壓為輸出。試求輸出方程。的電壓為輸出。試求輸出方程。 解：將電感用電流源替代、電容用解：將

45、電感用電流源替代、電容用電壓源替代后，得到電阻網(wǎng)絡(luò)的對(duì)電壓源替代后，得到電阻網(wǎng)絡(luò)的對(duì)應(yīng)拓?fù)鋱D，并由圖得關(guān)聯(lián)矩陣。應(yīng)拓?fù)鋱D，并由圖得關(guān)聯(lián)矩陣。支路導(dǎo)納矩陣：支路導(dǎo)納矩陣：支路電壓源和電流源向量分別為：支路電壓源和電流源向量分別為：101010011010111100011000110A111111100612206161214bdiagY0000000TssCVVV120000000TsLLiii44輸出方程輸出方程p例例6-36-3（續(xù)）（續(xù)） 各代入式（各代入式（2-242-24）、式（）、式（2-252-25）分別得）分別得故得輸出向量故得輸出向量 或或0.371430.050000.25

46、0000.050000.362500.062500.250000.062500.31250Tnb YAY A112222660121266sLsLCCnbssLLssLLViViVViiVViiJAYV - Ai1111223260126sLnCnnLnnsLViVVViVViYYY 120.166677.00004.00000.166670.28572.00001.14290.047620.190486.00006.17150.40953CLsLViVi Y45網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的解網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的解 狀態(tài)方程適宜于采用數(shù)值求解。數(shù)值計(jì)算的歐拉法和狀態(tài)方程適宜于采用數(shù)值求解。數(shù)值計(jì)算的歐拉法和龍格庫(kù)

47、塔法均可直接適用于解狀態(tài)方程。本節(jié)將推導(dǎo)方程龍格庫(kù)塔法均可直接適用于解狀態(tài)方程。本節(jié)將推導(dǎo)方程的解析解。的解析解。 將式（將式（6-326-32）兩邊乘以）兩邊乘以 , ,并將激勵(lì)源向量和激勵(lì)并將激勵(lì)源向量和激勵(lì)源的一階導(dǎo)數(shù)向量合并可簡(jiǎn)寫(xiě)為源的一階導(dǎo)數(shù)向量合并可簡(jiǎn)寫(xiě)為其中其中 即狀態(tài)向量，即狀態(tài)向量， 實(shí)際上是（實(shí)際上是（6-326-32）中）中 ， 是激是激勵(lì)源向量，勵(lì)源向量， 實(shí)際上是實(shí)際上是 。對(duì)上式兩邊取拉氏。對(duì)上式兩邊取拉氏變換，得變換，得或或 1MddtXAXBFXA1MA FB1MBB( )(0)( )( )ssss1XXAXBF( )(0)( )sss1A XXBF(6-85)

48、(6-86)46網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的解網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的解令令并以并以 左乘式（左乘式（6-866-86）兩邊得）兩邊得式（式（6-886-88）就是狀態(tài)向量的頻域解，其中第一項(xiàng)是）就是狀態(tài)向量的頻域解，其中第一項(xiàng)是零輸入零輸入相應(yīng)相應(yīng)；第二項(xiàng)是；第二項(xiàng)是零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)。 稱為稱為預(yù)解矩陣預(yù)解矩陣，或稱為，或稱為分解矩陣。分解矩陣。由式（由式（6-886-88）得）得預(yù)解矩陣預(yù)解矩陣 包含了網(wǎng)絡(luò)的固有特性?？梢郧蟪霭司W(wǎng)絡(luò)的固有特性?？梢郧蟪?的的原函數(shù)，并用原函數(shù)，并用 表示，即表示，即稱稱 為為網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。1( ) ss1A ( )( )(0)( )( )ssssX

49、XBF(6-87)(6-88)(6-89)(6-90)( ) s ( ) s 1( )( )(0)( )( )tLsssXXBF( ) s ( ) s ( ) t 1( )( )tLs( ) t 47網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的解網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的解 由式（由式（6-896-89）、式（）、式（6-906-90）以及拉氏變換的卷積定理）以及拉氏變換的卷積定理得得或或 式（式（6-926-92）表明：由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中）表明：由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中 可以將可以將t0t0時(shí)時(shí)的狀態(tài)的狀態(tài) 轉(zhuǎn)移至任意瞬間轉(zhuǎn)移至任意瞬間t t時(shí)的狀態(tài)時(shí)的狀態(tài) ，只需知道大，只需知道大于于t0t0的激勵(lì)向量就可以了。的激勵(lì)向量就可以了。 狀態(tài)轉(zhuǎn)

50、移矩陣中狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中 是網(wǎng)絡(luò)所固有的。對(duì)給定網(wǎng)絡(luò)建是網(wǎng)絡(luò)所固有的。對(duì)給定網(wǎng)絡(luò)建立網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程獲得系數(shù)矩陣立網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程獲得系數(shù)矩陣 后，可以直接通過(guò)時(shí)域后，可以直接通過(guò)時(shí)域法表示法表示 。 (6-91)(6-92)0( )( )(0)()( )ttttdXXBf A22( )2!ktktttetk 1AAAA ( ) t 000( )()( )()( )tttttttdXXBf0( )tX( ) tX( ) t ( ) t 48網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的解網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的解p例例 ，求，求解：解： 0213AteA23232323231002266140113377152!3!71233371 33.

51、52.526tttetttttttttttt A22( )2!ktktttetk 1AAAA 結(jié)果以無(wú)窮級(jí)數(shù)表示，可以用數(shù)值方法計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。49網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的解網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的解p例例 ，求，求 0213AteA通過(guò)頻域變換的方法，可以獲閉合形式的解。112321( )131(1)(2)ssssssss1A 其中分母多項(xiàng)式的根就是網(wǎng)絡(luò)的固有頻率。將上式每其中分母多項(xiàng)式的根就是網(wǎng)絡(luò)的固有頻率。將上式每一元素按部分分式開(kāi)展，得到一元素按部分分式開(kāi)展，得到得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：221211( )1112(1)(2)sss 2212222212222( )( )11122tttttttttteeeetLseeeeee50網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的解網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程的解設(shè)設(shè)即設(shè)即設(shè) 有有 重根。則將預(yù)解矩陣每個(gè)元件有理分式分解重根。則