淺析小波變換

1、小波變換的思想小波變換的思想 Wavelet Transform 基本思想：將信號分解成一系列不同頻率的連續(xù)正弦波的疊加。缺陷：丟掉了時間信息，無法根據(jù)變換結(jié)果判斷一個特定的信號是在什么時候發(fā)生的。傅立葉變換傅立葉變換 引言引言-小波變換的由來小波變換的由來4實際采集的地震信號實際采集的地震信號它們的頻域特性都隨時間而變化。分析它需要提取某一時間段的頻域信息或某一頻率段所對應(yīng)的時間信息。如何完成只分析數(shù)據(jù)中的一小部分?引言引言-短時傅里葉變換短時傅里葉變換 連續(xù)小波變換（連續(xù)小波變換（Continuous Wavelet TransformContinuous Wavelet Transfor

2、m， CWTCWT）用下式表示）用下式表示： (,)( ) (, )scale positionf tscale positionCt dt表示小波變換是表示小波變換是信號信號f f( (x x) )與與被縮放和平移被縮放和平移的的小波函數(shù)小波函數(shù)()()之積在信號存在的整個期間里求和的結(jié)果。之積在信號存在的整個期間里求和的結(jié)果。CWTCWT的的變換結(jié)果變換結(jié)果是許多是許多小波系數(shù)小波系數(shù)C C，這些系數(shù)是縮放因，這些系數(shù)是縮放因子（子（scalescale）和平移（）和平移（positionposition）的函數(shù)。）的函數(shù)。 基本小波函數(shù)()的縮放和平移操作 (1) (1) 縮放縮放。就是

3、壓縮或伸展基本小波， 縮放系數(shù)越小， 則小波越窄小波的縮放操作 OOOf (t)f (t)f (t)tttf (t)(t)；scale1f (t)(2t)；scale0.5f (t)(4t)；scale0.25(2) (2) 平移平移。小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上, ,函數(shù)函數(shù)f f( (t t) )延延遲遲k k的表達(dá)式為的表達(dá)式為f f( (t-kt-k) )，小波的平移操作(a) 小波函數(shù)(t)； (b) 位移后的小波函數(shù)(t-k) 2 2、小波尺度和信號頻率的關(guān)系、小波尺度和信號頻率的關(guān)系小尺度小尺度 信號的高頻信號的高頻大尺度大尺度 信號的低頻信號的低頻v 在

4、在每個可能的縮放因子和平移參數(shù)下計算小波系數(shù)每個可能的縮放因子和平移參數(shù)下計算小波系數(shù)，其計算量相當(dāng)大，將產(chǎn)生其計算量相當(dāng)大，將產(chǎn)生驚人的數(shù)據(jù)量驚人的數(shù)據(jù)量，而且有，而且有許多許多數(shù)據(jù)是無用數(shù)據(jù)是無用的。的。v 如果如果縮放因子和平移參數(shù)都選擇為縮放因子和平移參數(shù)都選擇為2 2j j（j j00且為整且為整數(shù)）的倍數(shù)數(shù)）的倍數(shù)， 即只選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來即只選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來進(jìn)行計算，進(jìn)行計算， 就會使分析的就會使分析的數(shù)據(jù)量大大減少數(shù)據(jù)量大大減少。v 使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換稱為使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換稱為雙雙尺度小波變換（尺度小波變換（Dyad

5、ic Wavelet TransformDyadic Wavelet Transform），它是，它是離散小波變換離散小波變換（Discrete Wavelet TransformDiscrete Wavelet Transform， DWTDWT）的一種形式。的一種形式。通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。 DWT的由來的由來v 執(zhí)行離散小波變換的執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器有效方法是使用濾波器， 該該方法是方法是MallatMallat于于19881988年提出的，稱為年提出的，稱為MallatMallat算法算法( (馬馬拉拉) )。這種

6、方法實際上是一種信號分解的方法，。這種方法實際上是一種信號分解的方法， 在數(shù)在數(shù)字信號處理中常稱為字信號處理中常稱為雙通道子帶編碼雙通道子帶編碼。一個濾波器為低通濾波器，通過該濾波器可得到信號的近似值A(chǔ)（Approximations）另一個為高通濾波器， 通過該濾波器可得到信號的細(xì)節(jié)值D（Detail）。實際應(yīng)用中，實際應(yīng)用中，信號的低頻分量往往是最重要的信號的低頻分量往往是最重要的，而高頻分量只，而高頻分量只起一個修飾的作用。如同一個人的聲音一樣，起一個修飾的作用。如同一個人的聲音一樣， 把高頻分量去掉把高頻分量去掉后，聽起來聲音會發(fā)生改變，但還能聽出說的是什么內(nèi)容，但后，聽起來聲音會發(fā)生改

7、變，但還能聽出說的是什么內(nèi)容，但如果把低頻分量刪除后，就會什么內(nèi)容也聽不出來了。如果把低頻分量刪除后，就會什么內(nèi)容也聽不出來了。 圖圖 多級信號分解示意圖多級信號分解示意圖（a a） 信號分解；信號分解； (b) (b) 小波分樹；小波分樹； （c c）小波分解樹）小波分解樹 在使用濾波器對真實的數(shù)字信號進(jìn)行變換時，在使用濾波器對真實的數(shù)字信號進(jìn)行變換時，得到的數(shù)據(jù)將是得到的數(shù)據(jù)將是原始數(shù)據(jù)的兩倍原始數(shù)據(jù)的兩倍。 根據(jù)根據(jù)耐奎斯特耐奎斯特(Nyquist)(Nyquist)采樣定理就采樣定理就提出了降采樣的方提出了降采樣的方法，即在每個通道中每兩個樣本數(shù)據(jù)取一個，得到的法，即在每個通道中每兩個

8、樣本數(shù)據(jù)取一個，得到的離散小波變換的系數(shù)離散小波變換的系數(shù)(coefficient)(coefficient)分別用分別用cDcD和和cAcA表示表示 將信號的小波分解的分量進(jìn)行處理后，一般還要根將信號的小波分解的分量進(jìn)行處理后，一般還要根據(jù)需要把據(jù)需要把信號恢復(fù)出來信號恢復(fù)出來，也就是利用信號的小波分解，也就是利用信號的小波分解的系數(shù)還原出原始信號，這一過程稱為的系數(shù)還原出原始信號，這一過程稱為小波重構(gòu)小波重構(gòu)（Wavelet ReconstructionWavelet Reconstruction）或叫做或叫做小波合成小波合成（Wavelet SynthesisWavelet Synthe

9、sis）。）。 這 一 合 成 過 程 的 數(shù) 學(xué) 運 算 叫 做這 一 合 成 過 程 的 數(shù) 學(xué) 運 算 叫 做 逆 離 散 小 波 變 換逆 離 散 小 波 變 換（Inverse Discrete Wavelet TransformInverse Discrete Wavelet Transform， IDWTIDWT）。）。 小波重構(gòu)算法示意圖 SHLHL (1) (1) 重構(gòu)近似信號與細(xì)節(jié)信號重構(gòu)近似信號與細(xì)節(jié)信號由小波分解的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以重構(gòu)出原由小波分解的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以重構(gòu)出原始信號。始信號。同樣，可由近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)分別重構(gòu)出信號同樣，可由近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)

10、分別重構(gòu)出信號的的近似值近似值或或細(xì)節(jié)值細(xì)節(jié)值，這時只要近似系數(shù)或細(xì)節(jié)系數(shù)置，這時只要近似系數(shù)或細(xì)節(jié)系數(shù)置為零即可。為零即可。 重構(gòu)近似和細(xì)節(jié)信號示意（a） 重構(gòu)近似信號； (b) 重構(gòu)細(xì)節(jié)信號 A1HL1000個 樣 點0約 500個 0cA1約 500個 近 似 分 量(a)D1HL1000個 樣 點(b)約 500個 0約 500個 近 似 分 量0cD1 (2)多層重構(gòu)重構(gòu)出信號的近似值A(chǔ)1與細(xì)節(jié)值D1之后，則原信號可用A1D1S重構(gòu)出來。對應(yīng)于信號的多層小波分解，小波的多層重構(gòu)圖: 重構(gòu)過程為：A3D3A2；A2D2A1；A1+D1S。A3D3A2D2SA1D1n信號重構(gòu)中，信號重構(gòu)

11、中，濾波器的選擇濾波器的選擇非常重要，關(guān)系非常重要，關(guān)系到能否重構(gòu)出滿意的原始信號。低通分解濾到能否重構(gòu)出滿意的原始信號。低通分解濾波器（波器（L）和高通分解濾波器（）和高通分解濾波器（H）及重構(gòu)）及重構(gòu)濾波器組（濾波器組（L和和H）構(gòu)成一個系統(tǒng)，）構(gòu)成一個系統(tǒng)， 這個這個系統(tǒng)稱為系統(tǒng)稱為正交鏡像濾波器（正交鏡像濾波器（Quadrature Mirror Filters， QMF）系統(tǒng)）系統(tǒng)。多層小波分解和重構(gòu)示意圖 一、一、HaarHaar小波小波101/2( )11/210ttt 其它/224( )sin/4iie 二、二、 DaubechiesDaubechies小波小波D4尺度函數(shù)與小

12、波尺度函數(shù)與小波 012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4-2-10123-1.5-1-0.500.511.52D6尺度函數(shù)與小波尺度函數(shù)與小波 三三. Morlet. Morlet小波小波20/2( )itttee20() /2( )2 e MorletMorlet小波不存在尺度函數(shù)小波不存在尺度函數(shù); ; 快速衰減但非緊支撐快速衰減但非緊支撐. . Morlet小波是Gabor 小波的特例。 2221/421ti tg tetg t e Gabor 小波Morlet小波1,5四四. . 高斯小波高斯小波 2/212ttte 2/2i e ( ) t( ) 這是高

13、斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，在信號與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。這是高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，在信號與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于階梯型邊界的提取。主要應(yīng)用于階梯型邊界的提取。 特性：特性： 指數(shù)級衰減，非緊支撐；具有非常好的時間頻率局部化；指數(shù)級衰減，非緊支撐；具有非常好的時間頻率局部化； 關(guān)于關(guān)于0 0軸反對稱。軸反對稱。五五. Marr. Marr小波小波( ) 這是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，在信號與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。這是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，在信號與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于屋脊型邊界和主要應(yīng)用于屋脊型邊界和DiracDirac邊緣的提取。邊緣的提取。 22/2

14、2( )(1)3ttte242/22 2( )3e （也叫墨西哥草帽小波） 特性：特性： 指數(shù)級衰減，非緊支撐；具有非常好的時間頻率局部化；指數(shù)級衰減，非緊支撐；具有非常好的時間頻率局部化； 關(guān)于關(guān)于0 0軸對稱。軸對稱。 t六六. Meyer. Meyer小波小波它的小波函數(shù)與尺度函數(shù)都是在頻域中進(jìn)行定義的。具體定義如下： 122324sin1 22333481 2433280 ,332cosivve 42335847020 0,1v tttttt 121222 33242cos1 223340 3v t( ) 七七. Shannon. Shannon小波小波 sin1/2sin21/21/

15、2tttt /21, 20, ie 其它在時域，在時域，ShannonShannon小波是無限次可微的，具有無窮階消失矩，不小波是無限次可微的，具有無窮階消失矩，不是緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域，是緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域，ShannonShannon小波是小波是頻率帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。頻率帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。 t八八. Battle-Lemarie. Battle-Lemarie樣條小波樣條小波 224222412sin164sin241sin3 8sin8sin34441( )() ()222 ige Battle-LemarieBattle-Lemarie線性樣條小波及其頻域函數(shù)的圖形線性樣條小波及其頻域函數(shù)的圖形 t總總 結(jié)結(jié)( )( ) t總總 結(jié)結(jié)Wavelet: 小波Ondelettes: 小波Compact support: 緊支撐Wavelet transform (WT): 小波變換Continuous Wavelet transform (CWT): 連續(xù)小波變換Discrete Wavelet transform (DWT): 離散小波變換Filter bank: 濾波器族Dyadic wavelet: 二進(jìn)小波Scaling function: 尺度函數(shù)Bas