向量組地線性相關(guān)與線性無關(guān)

1、實用標準文案向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)1 .線性組合設 a1，a2, ,at Rn , k1，k2, ,K R,稱匕& k2a2K改 為 a1，a2, ,at 的一個線性組合。kik2【備注1】按分塊矩陣的運算規(guī)則，kiai k2a2ktat (&但，q)二。這Mkt樣的表示是有好處的。2 .線性表示設a1,a2, ,at Rn , b Rn ,如果存在匕乂，K R,使得b 冗& k2a2ktat則稱b可由a1, a2, , Q線性表示。k1k2b k冏 k2a2Kq ,與成矩陣形式，即b (a，a2, ,at)。因此，b可12 t Mktk1k2由a1,a2, ,at

2、線性表小即線性萬程組(a1,a2, ,at)b有解，而該萬程組有解12 t Mkt當且僅當 r(a1，a2, ,at) r(a1，a2, ,at,b)。3 .向量組等價設a1,a2, abb, ,bs Rn,如果a1,a2,生中每一個向量都可以由b1,b2, M線性表示，則稱向量組a1,a2, ,at可以由向量組b1,b2, ,bs線性表示。如果向量組a1,a2, ,at和向量組6,b2, h可以相互線性表示，則稱這兩個向 量組是等價的。文檔實用標準文案向量組等價的性質(zhì)：(1)自反性 任何一個向量組都與自身等價。 對稱性 若向量組I與II等價，則向量組II也與I等價。(3)傳遞性 若向量組I與

3、II等價，向量組II與III等價，則向量組I與III等價。證明：自反性與對稱性直接從定義得出。至于傳遞性，簡單計算即可得到。設向量組I為現(xiàn)色，,ar ,向量組II為Db, ,bs,向量組III為g。,t向量組II可由III線性表示，假設bjk 1s組II線性表示，假設ai Xji bj , i 1,2, j1ss ta Xjibj Xji YkjCkj1j1k1YkjCk,j 1,2, ,s o向量組I可由向量,r o因此，ts(YkjXji )Ck , i 1,2, ,rk1 j1因此，向量組I可由向量組III線性表示。向量組II可由I線性表示，III可由II線性表示，按照上述辦法再做一次，

4、同樣可得出，向量組III可由I線性表示。因此，向量組I與III等價。結(jié)論成立!4 .線性相關(guān)與線性無關(guān)設a1,a2, ,at Rn ,如果存在不全為零的數(shù) 月性，kt R ,使得kta0則稱a1, a2, , at線性相關(guān)，否則，稱a1,a2,出線性無關(guān)。按照線性表示的矩陣記法，a1, a2, , at線性相關(guān)即齊次線性方程組文檔實用標準文案k1k2 (a®, ,at)0Mkt有非零解，當且僅當r(ai,a2, ,aj t。a1,a2, ,Q線性無關(guān)，即kik2 (a®, ,at)0Mkt只有零解，當且僅當r(ai,a2, ,aj t。特別的，若t n,則a1,a2, ,a

5、n Rn線性無關(guān)當且僅當r(a1,a2, a) n ,當且僅當(ai,a2, , an)可逆， 當且僅當(&,a2, ,an) 0 °例1.單獨一個向量a Rn線性相關(guān)即a 0,線性無關(guān)即a 0。因為，若a線性相關(guān)，則存在數(shù)k 0 ,使得ka 0 ,于是a 0。而若a 0,由于1a a 0 , 1 0因此，a線性相關(guān)。例2.兩個向量a,b Rn線性相關(guān)即它們平行，即其對應分量成比例。因為，若a,b線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù) KM,使得ka k2b 0。(k不全為零，不妨假設k1 0,則a b ,故a,b平行，即對應分量成比例。如果a,b平行，不妨假設存在,使得a b ,則a

6、 b 0 ,100例3. 0 , 1 , 0線性無關(guān)，且任意x001方法唯一。事實上，x11x x2 X1 0X305.線性相關(guān)與無關(guān)的性質(zhì)于是a,b線性相關(guān)。為x2 R3都可以由其線性表示，且表示x300x2 1x3 001文檔實用標準文案(1)若一向量組中含有零向量，則其必然線性相關(guān)。證明：設a0，冏 Rn ,其中有一個為零，不妨假設出0,則0 a10a20 ati 1 0 0因此，ai,a2, , at線性相關(guān)。(2)若一向量組線性相關(guān)，則增添任意多個向量所形成的新向量組仍然線性相關(guān)；若一向量組線性無關(guān)，則其任意部分向量組仍然線性無關(guān)。證明：設ai,a2, ,at, 1, 2, , s

7、Rn , a1,a2, ,at線性相關(guān)。存在不全為零的數(shù)ki, k2, , kt ,使得00 s 0s線性相關(guān)。這樣,k1, k2,kt atk1a1ktat 002,kt不全為零，因此a1, a2 , at ,1,2,后一個結(jié)論是前一個結(jié)論的逆否命題，因此也正確。(3)若一個向量組線性無關(guān)，在其中每個向量相同位置之間增添元素，所得到的 新向量組仍然線性無關(guān)。證明：設a1,a2, ,at Rn為一組線性無關(guān)的向量。不妨假設新的元素都增加在向量,J , b1,b2, ,bt是同維的列向量。令 btatKa k2a2ktat 0btk1bl k2b2ktbt最后一個分量之后，成為 a1 , a2b

8、b2a1a2K 1 k2 2bb2文檔實用標準文案則Ka k2a2K4 0。由向量組a1,a2, ,at線性相關(guān)，可以得到k1 k2kt 0 o結(jié)論得證！(4)向量組線性相關(guān)當且僅當其中有一個向量可以由其余向量線性表示。證明：設ai,a2, ,at Rn為一組向量。必要性若aa2,出線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù) kik, ,K,使得ki ai k2a2kt at 0ki,k2, ,kt不全為零，設kj 0,則kiaikj 同 i kj 同 iktataj k充分性若ai,a2, ,at中某個向量可以表示成其余向量的線性組合，假設 aj 可以表示成a1，問i©i,出的線性組合，則存

9、在一組數(shù)ki,kj i,kj i,kt,使得aj kiaikj 同 i kj 問 iktat也就是kiaikj iaj i aj kj iaj iktat 0但ki, , kji, i,kji, ,kt不全為零,因此，ai,a2, a線性無關(guān)。【備注2】請準確理解其意思，是其中某一個向量可以由其余向量線性表示，而 不是全部向量都可以。(5)若ai©, ,at Rn線性無關(guān)，b Rn,使得a1, a2, , a, b線性相關(guān)，則b可由 ai,a2, ,at線性表示，且表示方法唯一。證明：ai,a2, ,at,b線性相關(guān),因此，存在不全為零的數(shù) ki,k2, ,kt,kti,使得文檔實用

10、標準文案k1al k2a2Ka kt 1b 0kt 1 0,否則kti 0,則卜冏 k2a2Ka 0。由4©2, a線性無關(guān)，我們就得到ki k2kt 0 ,這樣，ki,k2, ,kt,kt i均為零，與其不全為零矛盾！這樣，kiaik2a2ktatkt i因此，b可由ai,a2, , Q線性表示。假設 bXiaiX2a2xtatyiaiy2a2ytat(Xiyi)ai (X2y2)a2(Xtyt)at 0由a1，a2, , at線性無關(guān)，有XiyiX2y2XtytXiyi, X2y2,Xtyt因此，表示法唯一?！緜渥?】剛才的證明過程告訴我們，如果向量b可由線性無關(guān)向量組ai, ,

11、at線 性表示，則表示法唯一。事實上，向量 b可由線性無關(guān)向量組ai,出線性表示， 即線性方程組(現(xiàn)，,at)X b有解。而現(xiàn)，,at線性無關(guān)，即r(a，仇)t。因此， 若有解，當然解唯一，即表示法唯一。(6)若線性無關(guān)向量組a1,a2,改可由向量組b,b2, ,bs線性表示，則t s。證明：假設結(jié)論不成立，于是t so ai,a2, ,at可由b,b2, ,bs線性表示。假設XiiX21ai Xnb X2ib2Xsibs (bb, ,bs) 一 ，MXsi文檔實用標準文案X12a?X22b2.z. 1,、 X22Xs2bs0心，,bs) 一 ，MXs2X1t.xX2tat為thX2tb2Xs

12、tbs(bb,M)一MXst任取KM, ,K,則X11X12LX1tX21X22LX2tMMOMXs 1Xs2LXstk1，“- 、r，k2必有非零解，設為 .k1,-一 一、& , (a1,a2,at) 一 (bb,M kt為一個s t階矩陣，而tX11X12LX1tX21X22LX2tXMMOMXs1Xs2LXst,于是 k1al k2a2ktX11X12LX1tk1X21X22LX2tk2,bs)MMOMMXs1Xs2LXstkts,因此，方程組0。因此，存在一組不全為kt零的數(shù)k1,k2,冗，使得女危 k2a2Kat 0。因止匕，向量組a1,a2,A線性相關(guān)，這與向量組a1,a

13、2, ,at線性無關(guān)矛盾！因此，t s。(7)若兩線性無關(guān)向量組a1,a2, ,a和匕電，bs可以相互線性表示，則t s證明:由性質(zhì)(6), t s , s t,因此，s t文檔實用標準文案【備注4】等價的線性無關(guān)向量組所含向量個數(shù)一樣。(8)設ai,a2,a Rn , P為n階可逆矩陣，則出0，出線性無關(guān)當且僅當Pai,Pa2, ,Pat線性無關(guān)。b可由a1,a2,，出線性表示，當且僅當Pb可由Pai,Pa2, ,Pat線性表示。若可以線性表示，表示的系數(shù)不變。證明：由于P可逆，因此ki&k2a2ktat0P(kiai k2a2ktat) 0ki(P&) k2(Pa2)kt

14、(Pat) 0kaik2 a2ktat bP(ki& k2a2ktat) bki(Pa) k2(Pa2)kt(Pat) Pb如此，結(jié)論得證!6.極大線性無關(guān)組定義i設a1,a2, ,at Rn ,如果存在部分向量組ah, ai2, ar ,使得 aii , ai2 , ,air線性無關(guān)； ai,a2,自中每一個向量都可以由 周同2, ,air線性表示；則稱ay, %, ,%為a1,a2,仇的極大線性無關(guān)組?！緜渥?】 設ai,a2, ,at Rn ,叫出2, ©工為其極大線性無關(guān)組。按照定義， ai,a2,自可由周，即，皿線性表示。但另一方面，ah, ai2, ,ar也顯然可

15、以由 ai,a2, ,at線性表示。因此，a1, a2, , &與a%,劭，凱等價。也就是說，任何一 個向量組都與其極大線性無關(guān)組等價。向量組的極大線性無關(guān)組可能不止一個， 但都與原向量組等價，按照向量組 等價的傳遞性，它們彼此之間是等價的，即可以相互線性表示。它們又都是線性文檔實用標準文案無關(guān)的，因此，由之前的性質(zhì)（7）,向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組含有相同 的向量個數(shù)。 這是一個固定的參數(shù)，由向量組本身所決定，與其極大線性無關(guān) 組的選取無關(guān)，我們稱其為向量組的 秩，即向量組的任何一個極大線性無關(guān)組所 含的向量個數(shù)?！緜渥?】按照定義，向量組ai,a2, ©線性無關(guān)，充分

16、必要條件即其秩為to 定義2設ai,a2, ,at Rn ,如果其中有r個線性無關(guān)的向量 用出2, ar ,但沒有 更多的線性無關(guān)向量，則稱ai1,ai2, ,%為a1,a2,后的極大線性無關(guān)組，而r為 a1，a2, ,at 的秩?！緜渥?】 定義2生動地體現(xiàn)了極大線性無關(guān)組的意義。一方面，有 r個線性 無關(guān)的向量，體現(xiàn)了 “無關(guān)性”，另一方面，沒有更多的線性無關(guān)向量，又體現(xiàn) 了 “極大性”?！緜渥?】兩個定義之間是等價的。一方面，如果 ai，ai2，,凡線性無關(guān)，且 ai,a2, ,at中每一個向量都可以由 凡凡，氏線性表示，那么，a1,a2, ,a就沒 有更多的線性無關(guān)向量，否則，假設有，

17、設為 b1,b2, ,bs, s r 0 b1,b2, ,bs當然 可以由ail，%, , 2卜線性表示，且還線性無關(guān)，按照性質(zhì)（6）, s r ,這與假設矛 盾！另一方面，假設aa2, ©r為ai,a2,仇中r個線性無關(guān)向量，但沒有更多 的線性無關(guān)向量，任取ai,a2, ,at中一個向量，記為b,則叫,即，©2線性相 關(guān)。按照性質(zhì)（5）, b可有a%,九,線性表示（且表示方法唯一）?！緜渥?】設向量組ai,a2, ,at的秩為r ,則其極大線性無關(guān)向量組含有r個向量。 反過來，其中任何r個線性無關(guān)向量所成的向量組也是 ai,a2, ,at的一個極大線 性無關(guān)組。這從定義即

18、可得到。6.向量組的秩的矩陣的秩的關(guān)系文檔實用標準文案稱矩陣A的列向量組的秩為A的列秩，行向量組轉(zhuǎn)置后所得到的列向量組的秩稱為矩陣A的行秩。定理1任意矩陣的秩等于其行秩等于其列秩 證明:設A (a. Rm n , r(A) r。將其按列分塊為A 0，a)。存在m階b1,n b2,nM br,n 0L0可逆矩陣P ,使得PA為行最簡形，不妨設為10 L 0bi,r+iL1 L 0b2,r 1 LO M M LPA (Pai,Pa2, ,Pan)1br,r 1 L00L00LLLLL L L00L00L100010MMM0,0, , 1線性無關(guān)，且PA中其余列向量都可以由其線性表示，因此，000M

19、MM000100010MMM0,0, , 1為PA的極大線性無關(guān)組，其個數(shù)為r ,因此，a1,a2, , a線性無000MMM000關(guān)，且A中其余列向量均可由其線性表示(且表示的系數(shù)不變)。因此，A的列秩 等于A的秩文檔實用標準文案bT將A按行分塊，A M，則At （bb, ,bm）,因此，按照前面的結(jié)論，A £的行秩為AT的秩，而AT的秩等于A的秩。至此，結(jié)論證明完畢！【備注10】證明的過程其實也給出了求極大線性無關(guān)組的方法。7 .擴充定理定理2設ai,a2, ,at Rn ,秩為r , a5%,即為其中的k個線性無關(guān)的向量，k r ,則能在其中加入ai,a2,4中的（r k）個向

20、量，使新向量組為a1,a2,自的 極大線性無關(guān)組。證明：如果k r ,則ai1, a2, ,aik已經(jīng)是a1,a2,自的一個極大線性無關(guān)組，無須再 添加向量。如果k r ,則a1,ai2, ak不是，at的一個極大線性無關(guān)組，于是， ai,a2, ,at必有元素不能由其線性表示，設為 aik i ,由性質(zhì)（5）,向量組 ai1 , ai2 , aik , aik 1 線性無關(guān)。如果k 1 r,則222,凡，akl已經(jīng)是&但，©的一個極大線性無關(guān)組， 無須再添加向量。如果k 1 r ,則a,即，ak, aik 1不是a1, a2,生的一個極大線性無關(guān)組,于 是，ai,a2,同必

21、有元素不能由其線性表示，設為 即？，由性質(zhì)（5）,向量組 ai1 , ai2, ,aik ,aik 1，aik 2 線性無關(guān)。同樣的過程一直進行下去，直到得到r個線性無關(guān)的向量為止?！緜渥?1】證明的過程其實也給出了求極大線性無關(guān)組的方法。只是，這方法 并不好實現(xiàn)。文檔實用標準文案8 .求極大線性無關(guān)組并將其余向量由極大線性無關(guān)組線性表示求向量組ai,a2, at Rn的極大線性無關(guān)組，可以按照下面的辦法來實現(xiàn)(1)將a1,a2, at合在一起寫成一個矩陣 A (&a, a);(2)將A通過初等行變換化成行階梯形或者行最簡形，不妨設化得的行階形為bnbi2Lbir0 b22Lb2rM LOMA 00 L brr00L0MLLM00L0b1,r 1Lb1,nb2, r 1Lb2, nMLMbr,r1Lbr,nB,b.0L0MLM0L00,i 1,2, ,r, r r(A)(3)在上半部分找出r個線性無關(guān)的列向量，設為j1,j2, , jr列，則j1, j2, ,jr為B列向量組的極大線性