兩次相遇行程問題的解法 (1)

1、兩次相遇行程問題的解法在小學(xué)階段關(guān)于行程的應(yīng)用題是作為一種專項(xiàng)應(yīng)用題出現(xiàn)的，簡稱“行程問題”。有一種“行程問題”中出現(xiàn)了第二次相遇（即兩次相遇）的情況，較難理解。其實(shí)此類應(yīng)題只要掌握正確的方法，解答起來也十分方便。例1甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相向而行，在距A地80千米處相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)，甲車到達(dá)B地、乙車到達(dá)A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米處相遇。求A、B兩地間的路程。分析與解根據(jù)題意可畫出下面的線段圖：由圖中可知，甲、乙兩車從同時(shí)出發(fā)到第二次相遇，共行駛了3個(gè)全程，第一次相遇距A地80千米，說明行完一個(gè)全程時(shí)，甲行了8O千米。兩車同時(shí)出發(fā)同時(shí)停止，共行了3個(gè)全程，說明

2、兩車第二次相遇時(shí)甲共行了8×3240（千米），從圖中可以看出來甲車實(shí)際行了一個(gè)全程多60千米，所以A、B兩地間的路程就是：24060180（千米）例2甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相向而行，在距A地80千米處相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)，甲車到達(dá)B地、乙車到達(dá)A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米處相遇。求A、B兩地間的路程。分析與解根據(jù)題意可畫出線段圖：由圖中可知，甲、乙兩車從同時(shí)出發(fā)到第二次相遇，共行駛了3個(gè)全程，第一次相遇距A地8O千米，說明行完一個(gè)全程時(shí)，甲行了8O千米。兩車同時(shí)出發(fā)同時(shí)停止，共行了3個(gè)全程。說明兩車第二次相遇時(shí)甲車共行了：80×324O（千米），從

3、圖中可以看出來甲車實(shí)際行了兩個(gè)全程少60千米，所以A、B兩地間的路程就是： （24O6O）÷2150（千米）可見，解答兩次相遇的行程問題的關(guān)鍵就是抓住兩次相遇共行三個(gè)全程，然后再根據(jù)題意抓住第一次相遇點(diǎn)與三個(gè)全程的關(guān)系即可解答出來。例1   AB兩城間有一條公路長240千米，甲乙兩車同時(shí)從A、B兩城出發(fā)，甲以每小時(shí)45千米的速度從A城到B城，乙以每小時(shí)35千米的速度從B城到A城，各自到達(dá)對(duì)方城市后立即以原速沿原路返回，幾小時(shí)后，兩車在途中第二次相遇？相遇地點(diǎn)離A城多少千米？     分析:   

4、      從圖上可以看出，甲乙兩人第一次相遇時(shí)，行了一個(gè)全程。然后甲乙兩人到達(dá)對(duì)方城市后立即以原速沿原路返回，當(dāng)小華和小明第二次相遇時(shí)，共行了3個(gè)全程，這時(shí)甲乙共行了多少個(gè)小時(shí)呢？可以用兩城全長的3倍除以甲乙速度和就可以了。     解：（1）甲乙出發(fā)到第二次相遇時(shí)共行了多少千米？240×3=720（千米）         （2）甲乙兩人的速度和是多少？45+35=80（千米）   &

5、#160;      (3）甲乙兩人從出發(fā)到第二次相遇共用了多少小時(shí)？ 720÷80=9（小時(shí)）         （4）相遇地點(diǎn)離A城多少千米？35×9-240=75（千米）     答：9小時(shí)后，兩車在途中第二次相遇，相遇地點(diǎn)離A城75千米?！具厡W(xué)邊練】AB兩地相距119千米，甲乙兩車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)，相向而行，并連續(xù)往返于甲、乙兩地。甲車每小時(shí)行42千米，乙車每小時(shí)行28千米。幾小時(shí)后，兩車在途中第

6、三次相遇？相遇時(shí)甲車行了多少千米？例2 小華和小明同時(shí)從甲、乙兩城相向而行，在離甲城85千米處相遇，到達(dá)對(duì)方城市后立即以原速沿原路返回，又在離甲城35千米處相遇，兩城相距多少千米？     分析:         從圖上可以看出，小華和小明兩人第一次相遇時(shí)，行了一個(gè)全程，小華行了85千米。當(dāng)小華和小明第二次相遇時(shí)，共行了3個(gè)全程，這時(shí)小華共行了3個(gè)85千米，如果再加上35千米，相當(dāng)于小華行了2個(gè)全程，甲乙兩地全長也就可以求出來了。解：（1）甲乙出發(fā)到第二次相遇時(shí)，小華共行了多

7、少千米？85×3=255（千米）（2）甲乙兩城相距多少千米？（255+35）÷2=290÷2=145（千米）答：兩城相距145千米。甲、乙輛摩托車同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開出，兩車在途中距A地80千米處第一次相遇，然后兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)，卡車達(dá)到B地，摩托車到達(dá)A地后都立刻返回，兩車又在途中距B地20千米處第二次相遇，A、B兩地間的路程是多少千米？例3 客車和貨車同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開出，客車每小時(shí)行54千米，貨車每小時(shí)行48千米，兩車相遇后又以原來的速度繼續(xù)前進(jìn)，客車到達(dá)乙站后立即返回，貨車到達(dá)甲站后也立即返回，兩車再次相遇時(shí)，客車比貨車多行216千米。求甲乙兩站相距多少

8、千米？     分析         如圖，從出發(fā)到第二次相遇時(shí)，客車和貨車共行3個(gè)全程，在這段時(shí)間里客車一共比貨車多行216千米，客車每小時(shí)比貨車快54-48=6千米，這樣可以求出行3個(gè)全程的時(shí)間為216÷6=36小時(shí)，由此可求出行一個(gè)全程時(shí)間：36÷3=12小時(shí)，因而可以求出甲乙兩站的距離。      解：從出發(fā)到第二次是兩車行駛的時(shí)間：216÷（54-48）=36（小時(shí)） 

9、0;        從出發(fā)到第一次相遇所用的時(shí)間：36÷3=12（小時(shí)）          甲乙兩站的距離：（54+48）×12=1224（千米）      答：求甲乙兩站相距1224千米。甲城、乙城相距90千米，小張與小王分別從甲、乙兩城同時(shí)出發(fā)，在兩城之間往返行走(到達(dá)另一城城后馬上返回)。在出發(fā)后2小時(shí)兩人第一次相遇。小王到達(dá)甲城后返回，在離甲城30千米的地方兩

10、人第二次相遇。小張每小時(shí)走多少千米？小王每小時(shí)走多少千米？例4 甲、乙、丙三輛車同時(shí)從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車速度分別為每小時(shí)60千米和48千米，有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發(fā)后6小時(shí)、7小時(shí)、8小時(shí)先后與甲、乙、丙三車相遇。求丙車的速度。     分析:         解答的關(guān)鍵是求出卡車的速度，從圖上明顯看出，甲車6小時(shí)的行程與乙車7小時(shí)的行程差正好是卡車的速度。再根據(jù)速度和、相遇時(shí)間和路程三者之間的關(guān)系，求出丙車速度。   

11、60; 解：（1）卡車的速度：（ 60×6-48×7）÷（7-6）=24÷1=24（千米）         （2）AB兩地之間的距離：（60+24）×6=504（千米）         （3）丙車與卡車的速度和：504÷8=64（千米）         （4）丙車的速度：64-24=40（千米/小時(shí)

12、）     答：丙車的速度每小時(shí)40千米。甲每分鐘走50米，乙每分鐘走60米，丙每分鐘走70米，甲、乙兩人從A地，丙一人從B地同時(shí)相向出發(fā)，丙遇到乙后2分鐘又遇到甲，A、B兩地相距多少米？由于雙方運(yùn)動(dòng)時(shí)沒有告訴我們具體時(shí)間，所以以雙方行一個(gè)全程為標(biāo)準(zhǔn)來研究他們之間的關(guān)系。以雙方行一個(gè)全程時(shí)某一方行多少路程為基礎(chǔ)，求出兩次（或兩次以上）相遇時(shí)某一方一共行了多少路程是解答兩次（或兩次以上）相遇問題的關(guān)鍵。在分析過程中，如果巧妙地輔之過程圖，就能達(dá)到化繁為簡、化抽象為形象的效果。1、甲乙兩地相距258千米。一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時(shí)分別從兩地相對(duì)開出，經(jīng)過4小時(shí)

13、兩車相遇。已知汽車的速度是拖拉機(jī)速度的2倍。相遇時(shí)，汽車比拖拉機(jī)多行多少千米？2、甲乙兩車分別從A、B兩站同時(shí)出發(fā)，相向而行，第一次相遇時(shí)在距A站28千米處，相遇后兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)，各自到達(dá)B、A兩站后，立即沿原路返回，第二次相遇距A站60千米處。A、B兩站間的路程是多少千米？3、小張與小王早上8時(shí)分別從甲、乙兩地同時(shí)相向出發(fā)，到10時(shí)兩人相距112.5千米；繼續(xù)行進(jìn)到下午1時(shí)，兩車相距還是112.5千米。問兩地相距多少千米？4、甲每分鐘走80米，乙每分鐘走60米。兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在途中相遇后繼續(xù)前進(jìn)，先后分別到B、A兩地后即刻沿原路返回，甲乙二人又再次相遇。如果AB兩地相距420米

14、，那么兩次相遇地點(diǎn)之間相距多少米？1、小冬、小青兩人同時(shí)從甲、乙兩地出發(fā)相向而行，兩人在離甲地40千米處第一次相遇。相遇后兩人仍以原速繼續(xù)行駛，并且在各自到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即沿原路返回，途中兩人在距乙地15千米處第二次相遇，甲乙兩地相距多少千米？（哈爾濱市第十一屆數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）2、甲乙兩站相距360千米，客車和貨車同時(shí)從甲站出發(fā)駛向乙站，客車每小時(shí)行60千米，貨車每小時(shí)行40千米?？蛙嚨竭_(dá)乙站后停留0.5小時(shí)，又以原速返回甲站，兩車相遇地點(diǎn)離乙站多少千米？3、小張、小王兩位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行競(jìng)走訓(xùn)練，小張從甲地、小王從乙地兩人同時(shí)出發(fā)，在兩地之間往返行走（到達(dá)另一地后就馬上返回）。在離甲地3.5千米處

15、他們第一次相遇，又在小張離開乙地3千米處第二次相遇。這樣繼續(xù)下去，當(dāng)他們第四次相遇時(shí)，距甲地多少千米？ 4、如圖，A、B是圓上直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，C離A有80米，在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)有60米，求這個(gè)圓的周長?！菊n外拓展】1、86千米    2、72千米   3、262.5千米    4、120米【走進(jìn)賽題】1、210千米     2、60千米     3、5.5千米 

16、;   4、360米二次相遇問題的解題思路1、 直線二次相遇甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回）.在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少？解：畫示意圖如下：如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時(shí)間是40×3÷602（小時(shí)）.從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了6×2-210（千米）.小王已走了 62=8（千米）.因此，他們的速度分別

17、是小張 10÷25（千米/小時(shí)），小王 8÷2=4（千米/小時(shí)）.答：小張和小王的速度分別是5千米/小時(shí)和4千米/小時(shí).知識(shí)要點(diǎn)提示：甲從A地出發(fā)，乙從B地出發(fā)相向而行，兩人在C地相遇，相遇后甲繼續(xù)走到B地后返回，乙繼續(xù)走到A地后返回，第二次在D地相遇。一般知道AC和AD的距離，主要抓住第二次相遇時(shí)走的路程是第一次相遇時(shí)走的路程的兩倍。例題：1.甲乙兩車同時(shí)從A、B兩地相向而行，在距B地54千米處相遇，它們各自到達(dá)對(duì)方車站后立即返回，在距A地42千米處相遇。請(qǐng)問A、B兩地相距多少千米？A.120B.100C.90D.80【答案】A。解析：設(shè)兩地相距x千米，由題可知，第一次相

18、遇兩車共走了x，第二次相遇兩車共走了2x，由于速度不變，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分別為第一次相遇的二倍，即54×2=x-54+42，得出x=120。54乘3再減去42=120，再用120減去54加42的和=24因?yàn)榈谝淮蜗嘤鼍嚯xB地54千米，說明行完一個(gè)全程乙走了54千米，到甲乙第二次相遇時(shí)總共走了三個(gè)全程，也就是說，這時(shí)乙走了54乘3千米，也就是162千米，這個(gè)162千米也是乙走完一個(gè)全程后還包括多走的42千米，所以用162減去42就是一個(gè)AB之間的全程。再用120減去兩次相遇距離A地和B地的距離，就是兩相遇點(diǎn)之間的距離。2.兩汽車同時(shí)從A、B兩地相向而行，在離A城52

19、千米處相遇，到達(dá)對(duì)方城市后立即以原速沿原路返回，在離A城44千米處相遇。兩城市相距（    ）千米A.200B.150C.120D.100【答案】D。解析：第一次相遇時(shí)兩車共走一個(gè)全程，第二次相遇時(shí)兩車共走了兩個(gè)全程，從A城出發(fā)的汽車在第二次相遇時(shí)走了52×2=104千米，從B城出發(fā)的汽車走了52+44=94千米，故兩城間距離為（104+96）÷2=100千米。繞圈問題：3.在一個(gè)圓形跑道上，甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，8分鐘后兩人相遇，再過6分鐘甲到B點(diǎn)，又過10分鐘兩人再次相遇，則甲環(huán)行一周需要（   

20、 ）？A24分鐘B26分鐘C28分鐘D30分鐘【答案】C。解析：甲、乙兩人從第一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16分鐘。也就是說，兩人16分鐘走一圈。從出發(fā)到兩人第一次相遇用了8分鐘，所以兩人共走半圈，即從A到B是半圈，甲從A到B用了8+6=14分鐘，故甲環(huán)行一周需要14×2=28分鐘。也是一個(gè)倍數(shù)關(guān)系。甲乙二人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，并在兩地間往返行走。第一次二人在距離B點(diǎn)400米處相遇，第二次二人又在距離B點(diǎn)100米處相遇，問兩地相距多少米？(1)第一次二人在距離B點(diǎn)400米處相遇.說明第一次相遇時(shí)乙行400米.(2)甲、乙從出發(fā)到第二次相遇共行3個(gè)全程。從第一次相遇后時(shí)到

21、第二次相遇他們共行2個(gè)全程。在這2個(gè)全程中甲行400+100=500米。說明甲在每個(gè)全程中行500/2=250米。（3）因此在第一次相遇時(shí)（一個(gè)全程）250+400=650米 答：兩地相距650米。甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩站相對(duì)開出，第一次相遇離A站有90千米，然后各自按原速繼續(xù)行駛，分別到達(dá)對(duì)方出發(fā)站后立即沿原路返回。第二次相遇時(shí)離A站的距離占AB兩站全長的65%。求AB兩站的距離。答案：兩車第一次相遇時(shí)，共行了1個(gè)全程，其中甲車行了90千米兩車第二次相遇時(shí)，共行了3個(gè)全程，其中甲車行了1個(gè)全程加上全程的1-65%=35%，為1+35%=1.35個(gè)全程兩車共行3個(gè)全程，甲車應(yīng)該行90

22、5;3=270千米所以AB距離270/1.35=200千米例題 甲乙2人從AB兩地相向而行，甲速度42km/h，乙速度30km/h，兩人在途中相遇后繼續(xù)前行，各自到達(dá)AB點(diǎn)后返回，途中再次相遇，與第一次相遇點(diǎn)距離80km，求AB點(diǎn)距離?用算術(shù)方法解：第一次相遇，甲走全程的：42/(42+30)=7/12 乙走全程的：1-7/12=5/12第二次相遇，甲乙共走全程的3倍，甲走了3*7/12=21/12，從折返算起，走了21/12-1=9/12.距甲開始出發(fā)地距離為1-9/12=3/12，兩點(diǎn)之間距離為全程的：7/12-3/12=4/12=1/3，就是80km,則全程=80/（1/3）=240(k

23、m)例題 甲乙二人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，并在兩地間往返行走。第一次二人在距離B點(diǎn)400米處相遇，第二次二人又在距離B點(diǎn)100米處相遇，問兩地相距多少米？ 解析：(1)第一次二人在距離B點(diǎn)400米處相遇.說明第一次相遇時(shí)乙行400米. (2)甲、乙從出發(fā)到第二次相遇共行3個(gè)全程。從第一次相遇后時(shí)到第二次相遇他們共行2個(gè)全程。在這2個(gè)全程中甲行400+100=500米。 說明甲在每個(gè)全程中行500/2=250米。 （3）因此在第一次相遇時(shí)（一個(gè)全程） 250+400=650米 答：兩地相距650米。 2、 環(huán)形二次相遇環(huán)形跑道問題，從同一地點(diǎn)出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同

24、向而行，則每追上一圈相遇一次這個(gè)等量關(guān)系往往成為我們解決問題的關(guān)鍵。 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)6O米.求這個(gè)圓的周長.解：第一次相遇，兩人合起來走了半個(gè)周長；第二次相遇，兩個(gè)人合起來又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個(gè)人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時(shí)兩人合起來所走的行程是第一次相遇時(shí)合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍，即A到D是80×3240（米）.240-60=180（米）.180×2360（米）.答：這個(gè)圓的周長是360米.如

25、圖38-1，A、B是圓的一條直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)逆時(shí)針而行，第一周內(nèi)，他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，在D點(diǎn)第二次相遇。已知C點(diǎn)離A點(diǎn)80米，D點(diǎn)離B點(diǎn)60米。求這個(gè)圓的周長。【分析】這是一個(gè)圓周上的追及問題。從一開始運(yùn)動(dòng)到第一次相遇，小張行了80米，小王行了“半個(gè)圓周長+80”米，也就是在相同的時(shí)間內(nèi)，小王比小張多行了半個(gè)圓周長，然后，小張、小王又從C點(diǎn)同時(shí)開始前進(jìn)，因?yàn)樾⊥醯乃俣缺刃埧?，要第二次再相遇，只能是小王沿圓周比小張多跑一圈。從第一次相遇到第二次相遇小王比小張多走的路程（一個(gè)圓周長）是從開始到第一次相遇小王比小張多走的路程（半個(gè)圓周長）的2倍。也就是，前者所花的時(shí)間是后者的2倍。對(duì)于小張來說，從一開始到第一次相遇行了80米，從第一次相遇到第二次相遇就應(yīng)該行160米，一共行了240米。這樣就可以知道半個(gè)圓周長是180（=240-60）米。【解】（80+80×2-60）×2=360（米）在小學(xué)階段關(guān)于行程的應(yīng)用題是作為一種專項(xiàng)應(yīng)用題出現(xiàn)的，簡稱“行程問題”。有一種“行程問題”中出現(xiàn)了第二次相遇（即兩次相遇）的情況，較難理解。其實(shí)此類應(yīng)題只要掌握正確的方法，解答起來也十分方便。例1甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相向而行，在距A地80千米處相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)，甲車到達(dá)B地、乙車到達(dá)A地后均立即按原路返回，