全等三角形中結(jié)合圖形變換的提高題

1、全等三角形中結(jié)合圖形變換的提高題一請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：將一副直角三角板（RtABC和RtDEF）如圖1所示的方式擺放其中ACB=90°，CA=CB，F(xiàn)DE=90°，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，DFAC于點(diǎn)M，DEBC于點(diǎn)N探究線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系小聰同學(xué)的思路是：連接OC，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）直接寫出上面問題中線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系；（2）將這幅直角三角板如圖2所示的方式擺放使點(diǎn)D落在BA的延長(zhǎng)線上，DEAC，F(xiàn)D的延長(zhǎng)線與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，BC的延長(zhǎng)線與DE交于點(diǎn)N點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)連接ON

2、、OM、MN請(qǐng)你判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論二四邊形ABCD是正方形（提示：正方形四邊相等，四個(gè)角都是90°）（1）如圖1，點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AG，作BFAG于點(diǎn)F，DEAG于點(diǎn)E求證：ABFDAE；（2）直接寫出（1）中，線段EF與AF、BF的等量關(guān)系  ；（3）如圖2，若點(diǎn)G是CD邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C、D重合），連接AG，作BFAG于點(diǎn)F，DEAG于點(diǎn)E，則圖中全等三角形是  ，線段EF與AF、BF的等量關(guān)系是  ；如圖3，若點(diǎn)G是CD延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，連接AG，作BFAG于點(diǎn)F，DEAG于點(diǎn)

3、E，線段EF與AF、BF的等量關(guān)系是  ；（4）若點(diǎn)G是BC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，連接AG，作BFAG于點(diǎn)F，DEAG于點(diǎn)E，請(qǐng)畫圖、探究線段EF與AF、BF的等量關(guān)系一 小明、小敏兩人一起做數(shù)學(xué)作業(yè)，小敏把題讀到如圖（1）所示，CDAB，BEAC時(shí)，還沒把題讀完，就說：“這題一定是求證B=C，也太容易了”她的證法是：由CDAB，BEAC，得ADC=AEB=90°，公共角DAC=BAE，所以DACEAB由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得B=C小明說：“小敏你錯(cuò)了，你未弄清本題的條件和結(jié)論，即使有CDAB，BEAC，公共角DAC=BAE，你的推理也是錯(cuò)誤的看我畫的圖（2），顯然DAC與E

4、AB是不全等的再說本題不是要證明B=C，而是要證明BE=CD”（1）根據(jù)小敏所讀的題，判斷“B=C”對(duì)嗎？她的推理對(duì)嗎？若不對(duì)，請(qǐng)做出正確的推理（2）根據(jù)小明說的，要證明BE=CD，必然是小敏丟了題中條件，請(qǐng)你把小敏丟的條件找回來，并根據(jù)找出的條件，你做出判斷BE=CD的正確推理（3）要判斷三角形全等，從這個(gè)問題中你得到了什么啟發(fā)？四定義：若某個(gè)圖形可分割為若干個(gè)都與他相似的圖形，則稱這個(gè)圖形是自相似圖形探究：（1）如圖甲，已知ABC中C=90°，你能把ABC分割成2個(gè)與它自己相似的小直角三角形嗎？若能，請(qǐng)?jiān)趫D甲中畫出分割線，并說明理由（2）一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要

5、順次連接三角形各邊中點(diǎn)，則可將原三分割為四個(gè)都與它自己相似的小三角形我們把DEF（圖乙）第一次順次連接各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為1階分割（如圖1）；把1階分割得出的4個(gè)三角形再分別順次連接它的各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為2階分割（如圖2）依次規(guī)則操作下去n階分割后得到的每一個(gè)小三角形都是全等三角形（n為正整數(shù)），設(shè)此時(shí)小三角形的面積為Sn若DEF的面積為1000，當(dāng)n為何值時(shí)，3Sn4？（請(qǐng)用計(jì)算器進(jìn)行探索，要求至少寫出二次的嘗試估算過程）當(dāng)n1時(shí)，請(qǐng)寫出一個(gè)反映Sn-1，Sn，Sn+1之間關(guān)系的等式（不必證明）五請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)B、C、E在同

6、一條直線上，M是線段AF的中點(diǎn)，連接DM，MG探究線段DM與MG數(shù)量與位置有何關(guān)系小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)DM交GF于H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）直接寫出上面問題中線段DM與MG數(shù)量與位置有何關(guān)系  ；（2）將圖1中的正方形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使正方形CEFG對(duì)角線CF恰好與正方形ABCD的邊BC在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）你在（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明（3）如圖3，將正方形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，寫出你的猜想六在課外小組活動(dòng)時(shí)，小

7、慧拿來一道題（原問題）和小東、小明交流原問題：如圖1，已知ABC，ACB=90°，ABC=45°，分別以AB、BC為邊向外作ABD與BCE，且DA=DB，EB=EC，ADB=BEC=90°，連接DE交AB于點(diǎn)F探究線段DF與EF的數(shù)量關(guān)系小慧同學(xué)的思路是：過點(diǎn)D作DGAB于G，構(gòu)造全等三角形，通過推理使問題得解小東同學(xué)說：我做過一道類似的題目，不同的是ABC=30°，ADB=BEC=60度小明同學(xué)經(jīng)過合情推理，提出一個(gè)猜想，我們可以把問題推廣到一般情況請(qǐng)你參考小慧同學(xué)的思路，探究并解決這三位同學(xué)提出的問題：（1）寫出原問題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系；（2）如

8、圖2，若ABC=30°，ADB=BEC=60°，原問題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明；3）如圖3，若ADB=BEC=2ABC，原問題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明。七閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，ABC=BEF=60°，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG，PC，探究PG與PC的位置關(guān)系小穎同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決請(qǐng)你參考小穎同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）請(qǐng)你寫出

9、上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系；（2）將圖1中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題申的其他條件不變（如圖2）你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明，八四邊形ABCD是正方形（1）如圖1，點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn)（不與B、C兩點(diǎn)重合），連接AG，作BFAG于點(diǎn)F，DEAG于點(diǎn)E求證：ABFDAE；（2）在（1）中，線段EF與AF、BF的等量關(guān)系是  （直接寫出結(jié)論即可，不需要證明）；（3）如圖2，點(diǎn)G是CD邊上任意一點(diǎn)（不與C、D兩點(diǎn)重合），連接AG，作BFAG于點(diǎn)F，DEAG于點(diǎn)E那么圖中全等

10、三角形是 ，線段EF與AF、BF的等量關(guān)系是  （直接寫出結(jié)論即可，不需要證明）九把兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的規(guī)則放置：“在同一平面內(nèi)將直角頂點(diǎn)疊合”（1）圖1是一種放置位置及由它抽象出的幾何圖形，B、C、D在同一條直線上，連接EC請(qǐng)找出圖中的全等三角形（結(jié)論中不含未標(biāo)識(shí)的字母），并說明理由；（2）圖2也是一種放置位置及由它抽象出的幾何圖形，A、C、D在同一條直線上，連接BD、連接EC并延長(zhǎng)與BD交于點(diǎn)F請(qǐng)找出線段BD和EC的位置關(guān)系，并說明理由；（3）請(qǐng)你：畫出一個(gè)符合放置規(guī)則且不同于圖1和圖2所放位置的幾何圖形；寫出你所畫幾何圖形中線段BD和EC的位置和數(shù)量關(guān)系

11、；上面第題中的結(jié)論在按照規(guī)則放置所抽象出的幾何圖形中都存在嗎？十【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，ABC中，若AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到ADCEDB的理由是  ASSS      BSAS      CAAS       

12、60;DHL（2）求得AD的取值范圍是  A6AD8   B6AD8  C1AD7  D1AD7【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中【問題解決】（3）如圖2，AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF 求證：AC=BF十一。閱讀下面材料，并解決問題：（1）如圖（1），等邊ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5，則APB=  ，由于PA，PB不在一個(gè)三角形中，為

13、了解決本題我們可以將ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到ACP處，此時(shí)ACP  這樣，就可以利用全等三角形知識(shí)，將三條線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中從而求出APB的度數(shù)（2）請(qǐng)你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：已知如圖（2），ABC中，CAB=90°，AB=AC E、F為BC上的點(diǎn)且EAF=45°，求證：EF2=BE2+FC2十二。如圖1，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E（1）寫出圖1中的一對(duì)全等三角形；寫出圖1中線段DE、AD、BE所具有的等量關(guān)系；（不必說明理由）（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)

14、，請(qǐng)說明DE=AD-BE的理由；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE、AD、BE又具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出這個(gè)等量關(guān)系（不必說明理由）十三。如圖，在RtABC和RtDEF中，ABC=90°，AB=4，BC=6，DEF=90°，DE=EF=4（1）移動(dòng)DEF，使邊DE與AB重合（如圖1），再將DEF沿AB所在直線向左平移，使點(diǎn)F落在AC上（如圖2），求BE的長(zhǎng)；（2）將圖2中的DEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F落在BC上，連接AF（如圖3）請(qǐng)找出圖中的全等三角形，并說明它們?nèi)鹊睦碛桑ú辉偬砑虞o助線，不再標(biāo)注其它字母）十四. 復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識(shí)時(shí)，老師布

15、置了一道作業(yè)題：“如下圖，已知在ABC中，AB=AC，P是ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)，將AP繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AQ，使得QAP=BAC，連接BQ、CP，則BQ=CP”（1）小亮是個(gè)愛動(dòng)腦筋的同學(xué)，他通過對(duì)圖的分析，證明了ABQACP，從而證得BQ=CP請(qǐng)你幫小亮完成證明（2）之后，小亮又將點(diǎn)P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，“BQ=CP”仍然成立嗎？若成立，請(qǐng)你就圖給出證明若不成立，請(qǐng)說明理由十五 問題：如圖，在正方形ABCD和正方形BEFG中，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG，PC試探究PG與PC的位置關(guān)系及 PGPC的值小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H，構(gòu)造

16、全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系及 PGPC的值；（要有具體過程）（2）若將條件“正方形ABCD和正方形BEFG”改為“矩形ABCD矩形BEFG”其它條件不變，畫圖試探求線段PG與PC的關(guān)系十六 已知：如圖，矩形紙片ABCD的邊AD=3，CD=2，點(diǎn)P是邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合，把這張矩形紙片折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P的位置上，折痕交邊AD于點(diǎn)M，折痕交邊BC于點(diǎn)N（1）寫出圖中的全等三角形設(shè)CP=x，AM=y，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）試判斷BMP是否可能等于90°如果可能，請(qǐng)求出此時(shí)C

17、P的長(zhǎng)；如果不可能，請(qǐng)說明理由。 十七。如圖，矩形ABCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B處，點(diǎn)E、F分別是邊AD、BC與MN的交點(diǎn)，Q是MM與對(duì)角線BD的交點(diǎn)，P是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，PHBE于H，PGAD于G（1）不添加輔助線，找出圖中的全等三角形；（至少找出兩組，不要求證明）（2）請(qǐng)你猜想PH、PG、AB它們之間有什么關(guān)系？并證明你的結(jié)論十八。兩個(gè)全等的RtABC和RtDEF重疊在一起，其中A=60°，ACB=DFE=90°且AC=1固定ABC不動(dòng)，將DEF作如下操作：（1）如圖1，DEF沿線段AB向右平移（即D點(diǎn)在線段AB內(nèi)移動(dòng)），連接DC、CF、FB，四邊形CDB

18、F的面積會(huì)變嗎？若不變請(qǐng)求出其面積；（2）如圖2，當(dāng)D點(diǎn)移到AB中點(diǎn)時(shí)，連接DC、CF、FB，BC與DF相交于點(diǎn)O除RtABCRtDEF外，請(qǐng)找出圖中其他所有全等三角形，不必寫理由；（3）如圖3，DEF的D點(diǎn)固定在AB的中點(diǎn)，然后繞D點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)DEF，使DF落在AB邊上，此時(shí)F點(diǎn)恰好與B點(diǎn)重合，連接AE，求：sin的值答案一全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形分析：（1）連接OC，證CON和CMO全等即可；（2）連接OC，證CNMDMN，推出CN=DM=AM，證NCOMAO即可解答：解：（1）OM=ON；（2）OM=ON，OMON，證明：連接OCAC=BC，O是AB中點(diǎn)，ACB=90

19、°，OA=OB，COAB，ACO=BCO=45°，CAB=CBA=45°，CAB=ACO，B=BCO，OC=OA=OB，MAO=NCO=135°，DEMC，F(xiàn)DE=90°，DMC=FDE=90°，DNM=NMCCAB=DAM=45°，MDA=DAM=45°DM=AM，DEMC，CMN=DNM，在DMN和CNM中NDMNCMDNMCMNMNMN，DMNCNM（AAS），CN=DM=AM，DM=NC即CNO=ODM=45°，CN=DM，NCO=MAO=135°，OC=OA，AMOCNO（SAS），O

20、M=ON，MOA=NOC，NOC+NOA=90°，MOA+NOA=90°OMON點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度二全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB=AD，DAB=90°，根據(jù)垂直定義得出AED=AFB=90°，求出ADE=BAF，根據(jù)AAS證出兩三角形全等即可；（2）根據(jù)全等得出AE=BF，代入即可求出答案；（3）ABFDAE，EF=BF-AF，證法與（1）（2）類似；EF=AF+BF，證明過程類似；（4）根據(jù)正方形性

21、質(zhì)得出AB=AD，DAB=90°，根據(jù)垂直定義得出AED=AFB=90°，求出ADE=BAF，根據(jù)AAS證出兩三角形全等即可解答：（1）證明：四邊形ABCD是正方形，AB=AD，DAB=90°，DAE+BAE=90°，DEAG，BFAG，AED=AFB=90°，EAD+ADE=90°，ADE=BAF，在ABF和DAE中ADEBAFAEDAFBABAD，ABFDAE（AAS）；（2）解：線段EF與AF、BF的等量關(guān)系是EF=AF-BF，理由是：由（1）知：ABFDAE，BF=AE，EF=AF-AE=AF-BF，故答案為：EF=AF-BF

22、；（3）解：ABFDAE，EF=BF-AF，理由是：四邊形ABCD是正方形，AB=AD，DAB=90°，DAE+BAE=90°，DEAG，BFAG，AED=AFB=90°，EAD+ADE=90°，ADE=BAF，在ABF和DAE中ADEBAFAEDAFBABAD，ABFDAE（AAS）；AE=BF，EF=AE-AF=BF-AF，故答案為：ABFDAE，EF=BF-AF；解：EF=AF+BF，理由是：四邊形ABCD是正方形，AB=AD，DAB=90°，DAE+BAF=180°-90°=90°，DEAG，BFAG，AE

23、D=AFB=90°，EAD+ADE=90°，ADE=BAF，在ABF和DAE中ADEBAFAEDAFBABAD，ABFDAE（AAS）；AE=BF，EF=AE+AF=AF+BF，故答案為：EF=AF+BF；（4）解：與以上證法類似：ABFDAE（AAS）；AE=BF，EF=AE-AF=AF-BF；即EF=AF-BF點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，證明過程類似三直角三角形全等的判定專題：閱讀型分析：明顯小敏的推理不正確，因?yàn)樵谂卸ㄈ切稳鹊倪^程中沒有邊的參與要判定兩個(gè)三角形全等，必須有邊的參與解答：解：（1）小敏的推理不正確

24、因?yàn)閮H憑兩個(gè)角不能判定兩三角形全等（2）條件為AB=AC或AE=AD證明：CDAB，BEAC；ADC=AEB=90°；公共角DAC=BAE，AB=AC；DACEAB（AAS）BE=CD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（3）要判斷兩個(gè)三角形全等，不可缺少的元素是邊，至少要有一組對(duì)應(yīng)邊相等點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角四相似三角形的判定與性質(zhì)專題：規(guī)律型分析：（1）過直角頂點(diǎn)作斜邊的垂線即可得出兩個(gè)

25、與原直角三角形相似的三角形由于這兩個(gè)三角形都與原三角形共用一個(gè)銳角，又都有一個(gè)直角，因此有兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，因此都與原三角形相似（2）由圖可知，每分割一次得到的圖形的小三角形的個(gè)數(shù)都是前面一個(gè)圖形中小三角形的個(gè)數(shù)的4倍，因此當(dāng)?shù)趎個(gè)圖時(shí)，如果設(shè)原三角形的面積為S，那么小三角形的面積應(yīng)該是Sn= S4n，按所求的公式進(jìn)行計(jì)算，看n是多少時(shí)Sn的值在3和4之間Sn= S4n= S22n，Sn-1= S4n1= S22n2，Sn+1= S4n+1= S22n+2，由此可看出Sn2=Sn-1Sn+1解答：解：（1）正確畫出分割線CD（如圖，過點(diǎn)C作CDAB，垂足為D，CD即是滿足要求的分割線）理由：B=

26、B，CDB=ACB=90°BCDACB；（2）DEF 經(jīng)N階分割所得的小三角形的個(gè)數(shù)為14nSn=10004n當(dāng) n=3時(shí)，S3=1000S315.62當(dāng) n=4時(shí)，S4=1000S43.91當(dāng) n=4時(shí)，3S44Sn=S4n=S22n，Sn-1=S4n1=S22n2，Sn+1=S4n+1=S22n+2S 2n=Sn-1×Sn+1，Sn-1=4Sn+1點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似形的識(shí)別，關(guān)鍵要聯(lián)系實(shí)際，根據(jù)相似圖形的定義得出要根據(jù)前面幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形得出一般化規(guī)律，然后用得出的規(guī)律來求解五旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的

27、性質(zhì)專題：幾何綜合題分析：（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得DAM=HFM，然后利用“角邊角”證明ADM和FHM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DM=HM，AD=FH，再求出GD=GH，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答；（2）延長(zhǎng)DM交CF于H，連接GD，GH，同（1）可得DM=HM，AD=FH，再利用“邊角邊”證明CDG和FHG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得GD=GH，CGD=FGH，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答；（3）過點(diǎn)F作FHAD交DM的延長(zhǎng)線于H，交DC的延長(zhǎng)線于N，同（1）可得DM=HM，AD=FH，根據(jù)等角的余角相等求出DCG=HFG，然后利用“邊角邊”證明CDG和F

28、HG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得GD=GH，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答解答：（1）解：如圖1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，ADBCGF，DAM=HFM，M是線段AF的中點(diǎn)，AM=FM，在ADM和FHM中，DAMHFMAMFMAMDFMH，ADMFHM（ASA），DM=HM，AD=FH，GD=CG-CD，GH=GF-FH，AD=CD，CG=GF，GD=GH，DGH是等腰直角三角形，DM=MG且DMMG；（2）如圖2，延長(zhǎng)DM交CF于H，連接GD，GH，同（1）可得DM=HM，AD=FH，CF恰好與正方形ABCD的邊BC在同一條直線上，DCG=90°-45°

29、=45°，HFG=45°，DCG=HFG，在CDG和FHG中，CDFHDCGHFGCGFG，CDGFHG（SAS），GD=GH，CGD=FGH，DGH=CGD+CGH=FGH+CGH=CGF=90°，DGH是等腰直角三角形，DM=MG且DMMG；（3）如圖3，過點(diǎn)F作FHAD交DM的延長(zhǎng)線于H，交DC的延長(zhǎng)線于N，同（1）可得DM=HM，AD=FH，易得NCE=EFN，DCG+NCE=180°-90°=90°，HFG+EFN=90°，DCG=HFG，在CDG和FHG中，CDFHDCGHFGCGFG，CDGFHG（SAS），G

30、D=GH，CGD=FGH，DGH=CGD+CGH=FGH+CGH=CGF=90°，DGH是等腰直角三角形，DM=MG且DMMG點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，在正方形中證明三角形全等，并運(yùn)用全等的性質(zhì)解題是中考的熱點(diǎn)，本題作輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵六全等三角形的判定與性質(zhì)專題：壓軸題；閱讀型分析：本題的解題思路是通過構(gòu)建全等三角形來求解先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)得到一些隱含的條件，然后根據(jù)所得的條件來證明所構(gòu)建的三角形的全等；再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出DF=EF的猜想解答：解：（1）DF=EF（2）猜想：DF=FE證明

31、：過點(diǎn)D作DGAB于G，則DGB=90度DA=DB，ADB=60度AG=BG，DBA是等邊三角形DB=BAACB=90°，ABC=30°，AC=12AB=BGDBGBACDG=BCBE=EC，BEC=60°，EBC是等邊三角形BC=BE，CBE=60度DG=BE，ABE=ABC+CBE=90°DFG=EFB，DGF=EBF，DFGEFBDF=EF（3）猜想：DF=FE證法一：過點(diǎn)D作DHAB于H，連接HC，HE，HE交CB于K，則DHB=90度DA=DB，AH=BH，1=HDBACB=90°，HC=HBEB=EC，HE=HE，HBEHCE2=3

32、，4=BEHHKBCBKE=90°ADB=BEC=2ABC，HDB=BEH=ABCDBC=DBH+ABC=DBH+HDB=90°，EBH=EBK+ABC=EBK+BEK=90°DBHE，DHBE四邊形DHEB是平行四邊形DF=EF證法二：分別過點(diǎn)D、E作DHAB于H，EKBC于K，連接HK，則DHB=EKB=90度ACB=90°，EKACDA=DB，EB=EC，AH=BH，1=HDB，CK=BK，2=BEKHKAC點(diǎn)H、K、E在同一條直線上下同證法一點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，在做題時(shí)要注意隱

33、含條件的運(yùn)用七菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；解直角三角形分析：（1）根據(jù)題意可知小穎的思路為，通過判定三角形DHP和PGF為全等三角形來得出證明三角形HCG為等腰三角形且P為底邊中點(diǎn)的條件；（2）思路同上，延長(zhǎng)GP交AD于點(diǎn)H，連接CH，CG，本題中除了如（1）中證明GFPHDP（得到P是HG中點(diǎn)）外還需證明HDCGBC（得出三角形CHG是等腰三角形）解答：解：（1）線段PG與PC的位置關(guān)系是PGPC理由：延長(zhǎng)GP，交CD于點(diǎn)H，四邊形ABCD與四邊形BEFG是菱形，CDABGF，PDH=PFG，DHP=PGF，P是線段DF的中點(diǎn)，DP=PF，在DPH和FGP中，PDHPFG

34、DHPPGFDPPF，DPHFGP（AAS），PH=PG，DH=GF，CD=BC，GF=GB=DH，CH=CG，CPHG，即PGPC；（2）猜想：（1）中的結(jié)論沒有發(fā)生變化證明：如圖，延長(zhǎng)GP交AD于點(diǎn)H，連接CH，CG，P是線段DF的中點(diǎn)，F(xiàn)P=DP，ADFG，GFP=HDP又GPF=HPD，GFPHDPGP=HP，GF=HD，四邊形ABCD是菱形，CD=CB，HDC=ABC=60°由ABC=BEF=60°，且菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，GBC=60°HDC=GBC四邊形BEFG是菱形，GF=GBHDCGBCCH=CGPH=

35、PG，PGPC點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用八 無九 全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形分析：（1）可證BAD=CAE，運(yùn)用SAS證明ABD與ACE全等；（2）根據(jù)SAS證明ABD與ACE全等，得BD=CE；ADB=AEC根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明CFD=CAE=90°可判斷位置關(guān)系；（3）當(dāng)ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)與ADE重疊時(shí)結(jié)論仍成立解答：解：（1）ABDACE（1分）ABC是直角三角形，AB=AC，BAC=90°（1分）同理 AD=AE，EAD=90&#

36、176;（1分）BAC=EADBAC+CAD=EAD+CAD即BAD=CAE（1分）在ABD和ACE中，ABACBADCAEADAEABDACE（2）在ABD和ACE中，ABACBADCAEADAEABDACEADB=AEC（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）（1分）ACE=DCF，（對(duì)頂角相等）ADB+DCF+EFD=180°，（三角形內(nèi)角和180°）AEC+ACE+EAC=180°，（三角形內(nèi)角和180°）（1分）EAC=EFD（1分）BAC=90°，EAC=90°即EFD=90°BDEC（垂直定義）（1分）（3）如圖：（1分）BD

37、=EC，BDEC（2分）存在（1分）點(diǎn)評(píng)：此題考查全等三角形的判定和垂直的定義，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型是難點(diǎn)十全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系分析：（1）根據(jù)AD=DE，ADC=BDE，BD=DC推出ADC和EDB全等即可；（2）根據(jù)全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三邊關(guān)系定理得出8-62AD8+6，求出即可；（3）延長(zhǎng)AD到M，使AD=DM，連接BM，根據(jù)SAS證ADCMDB，推出BM=AC，CAD=M，根據(jù)AE=EF，推出CAD=AFE=BFD，求出BFD=M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可解答：（1）解：在ADC和EDB中ADDEADCBDEBDCD，ADCEDB（S

38、AS），故選B；（2）解：由（1）知：ADCEDB，BE=AC=6，AE=2AD，在ABE中，AB=8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8-62AD8+6，1AD7，故選C（3）證明：延長(zhǎng)AD到M，使AD=DM，連接BM，AD是ABC中線，BD=DC，在ADC和MDB中BDDCADCBDMADDM，ADCMDB，BM=AC，CAD=M，AE=EF，CAD=AFE，AFE=BFD，BFD=CAD=M，BF=BM=AC，即AC=BF點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中線，三角形的三邊關(guān)系定理，等腰三角形性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力十一 無十二全等三角形的判定與性質(zhì)分

39、析：（1）證明ADCBEC（AAS）即可：已知已有兩直角相等和AC=BC，再由同角的余角相等證明DAC=BCE即可；（2）根據(jù)垂直定義求出BEC=ACB=ADC，根據(jù)等式性質(zhì)求出ACD=CBE，根據(jù)AAS證出ADC和CEB全等即可；（3）同樣由三角形全等尋找邊的關(guān)系，根據(jù)位置尋找和差的關(guān)系解答：解：（1）ADCCEB理由如下：ACB=90°，ADC=90°，BEC=90°ACD+DAC=90°，ACD+BCE=90°，DAC=BCE，在ADC與BEC中，ADCBEC90°  DACBCE  AC

40、BC，ADCBEC（AAS）；DE=CE+CD=AD+BE理由如下：由知，ADCBEC，AD=CE，BE=CD，DE=CE+CD，DE=AD+BE；（2）ADMN于D，BEMN于EADC=BEC=ACB=90°，CAD+ACD=90°，ACD+BCE=90°CAD=BCE在ADC和CEB中CDABCEADCBECACCB，ADCCEBCE=AD，CD=BEDE=CE-CD=AD-BE（3）同（2），易證ADCCEBAD=CE，BE=CDCE=CD-EDAD=BE-ED，即ED=BE-AD；當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，AD、DE、BE所滿足的等量關(guān)系是DE=BE-AD

41、（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂線的定義等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出證明ADC和CEB全等的三個(gè)條件題型較好十三旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)專題：幾何綜合題分析：本題是關(guān)于三角形知識(shí)的綜合題，既運(yùn)用三角形相似，又考查了三角形全等不失為一道好題解答：解：（1）EFBC，AEFABC，AEABEFBCAB=4，BC=6，DE=EF=4，AE446，AE83BE=AB-AE=4-8343（2）RtAEFRtFBA在RtAEF和RtFBA中，EF=BA，AF=FA，B=E=90°，RtAEFRtFBA（HL）點(diǎn)

42、評(píng)：本題考查了圖形的平移變換及三角形相似性質(zhì)的運(yùn)用十四。無十五。正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)專題：幾何綜合題分析：（1）利用角邊角證明GFPHDP，證得GP=HP，GF=HD，進(jìn)而利用正方形的性質(zhì)可得CH=CG，即可得所求；（2）由（1）同法可得GP=HP，GF=HD，根據(jù)所給矩形全等可得CH=CG，即可得所求解答：解：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A，B，E在同一條直線上時(shí)，有結(jié)論：PGPC，PG=PC延長(zhǎng)GP交DC與點(diǎn)HP是線段DF的中點(diǎn)，F(xiàn)P=DP由題意知DCAE，GFP=HDP，GPF=HPD，GFPHDP，GP=HP，GF=HD，四邊形ABCD、BEFG是正方形，CD=CB，

43、GB=GFCH=CG，又HCG=90°，GP=HP，PGPC，PG=PC；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A，B，E在同一條直線上時(shí)，有結(jié)論：PGPC，PG=PC延長(zhǎng)GP交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)HP是線段DF的中點(diǎn)，F(xiàn)P=DP由題意可知DCGF，GFP=HDP，GPF=HPD，GFPHDP，GP=HP，GF=HD，矩形ABCD矩形BEFG，CD=GB，CB=GF，CH=CG又HCG=90°，GP=HP，PGPC，PG=PC點(diǎn)評(píng)：綜合考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；采用類比的思想做相類似的問題是解決本題的關(guān)鍵；利用證明三角形全等的方法求解是解決本題的基本思路十六。翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)分析：（1）由折疊的性質(zhì)可得：MBNMPN，即可得MB=MP，又由四邊形ABCD是矩形，可得AB=CD，A=D=90°，然后分別在RtABM與RtDMP中，利用勾股定理，可得MB2=AM2+AB2=y2+4，MP2=MD2+PD2=（3-y）2+（2-x）2，繼而求得y與x的函數(shù)關(guān)