高二數(shù)學空間向量導學案

1、高二數(shù)學 導學案授課教師姚智鑫授課對象徐梓瑩授課時間2013.02.03授課題目空間向量與立體幾何課型復習使用課時4課時教學目標1、了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的線性運算及其坐標表示。2、掌握空間向量的線性運算及其坐標表示。3、掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。4、理解直線的方向向量與平面的法向量。5、能用向量語言表述直線與直線，直線與平面，平面與平面的垂直、平行關系。6、能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）。7、能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量

2、方法在研究立體幾何問題中的應用。教學重點和難點空間向量及其運算，空間向量的應用。參考教材高中數(shù)學1、空間向量的加法和減法：求兩個向量和的運算稱為向量的加法：在空間以同一點為起點的兩個已知向量、為鄰邊作平行四邊形，則以起點的對角線就是與的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則求兩個向量差的運算稱為向量的減法，它遵循三角形法則即：在空間任取一點，作，則2、實數(shù)與空間向量的乘積是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算當時，與方向相同；當時，與方向相反；當時，為零向量，記為的長度是的長度的倍3、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量

3、都共線4、向量共線充要條件：對于空間任意兩個向量，的充要條件是存在實數(shù)，使5、平行于同一個平面的向量稱為共面向量6、向量共面定理：空間一點位于平面內的充要條件是存在有序實數(shù)對，使；或對空間任一定點，有；或若四點，共面，則7、已知兩個非零向量和，在空間任取一點，作，則稱為向量，的夾角，記作兩個向量夾角的取值范圍是：8、對于兩個非零向量和，若，則向量，互相垂直，記作9、已知兩個非零向量和，則稱為，的數(shù)量積，記作即零向量與任何向量的數(shù)量積為10、等于的長度與在的方向上的投影的乘積11、若，為非零向量，為單位向量，則有；，；12、空間向量基本定理：若三個向量，不共面，則對空間任一向量，存在實數(shù)組，使得

4、13、若三個向量，不共面，則所有空間向量組成的集合是這個集合可看作是由向量，生成的，稱為空間的一個基底，稱為基向量空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底14、設，為有公共起點的三個兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换祝?，的公共起點為原點，分別以，的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系則對于空間任意一個向量，一定可以把它平移，使它的起點與原點重合，得到向量存在有序實數(shù)組，使得把，稱作向量在單位正交基底，下的坐標，記作此時，向量的坐標是點在空間直角坐標系中的坐標15、設，則 若、為非零向量，則若，則，則16、空間中任意一條直線的位置可以由上一個定點以及一個定方向確定點是直線

5、上一點，向量表示直線的方向向量，則對于直線上的任意一點，有，這樣點和向量不僅可以確定直線的位置，還可以具體表示出直線上的任意一點17、空間中平面的位置可以由內的兩條相交直線來確定設這兩條相交直線相交于點，它們的方向向量分別為，為平面上任意一點，存在有序實數(shù)對，使得，這樣點與向量，就確定了平面的位置18、直線垂直，取直線的方向向量，則向量稱為平面的法向量19、若空間不重合兩條直線，的方向向量分別為，則，20、若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則，21、若空間不重合的兩個平面，的法向量分別為，則，22、設異面直線，的夾角為，方向向量為，其夾角為，則有23、設直線的方向向量為，平面的法向量為，

6、與所成的角為，與的夾角為，則有24、設，是二面角的兩個面，的法向量，則向量，的夾角（或其補角）就是二面角的平面角的大小若二面角的平面角為，則25、點與點之間的距離可以轉化為兩點對應向量的模計算26、在直線上找一點，過定點且垂直于直線的向量為，則定點到直線的距離為27、點是平面外一點，是平面內的一定點，為平面的一個法向量，則點到平面的距離為要點考向1：利用空間向量證明空間位置關系考情聚焦：1平行與垂直是空間關系中最重要的位置關系，也是每年的必考內容，利用空間向量判斷空間位置關系更是近幾年高考題的新亮點。2題型靈活多樣，難度為中檔題，且?？汲Ｐ??？枷蜴溄樱?空間中線面的平行與垂直是立體幾何中經(jīng)?？?/p>

7、查的一個重要內容，一方面考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；另一個方面考查“向量法”的應用。2空間中線面的平行與垂直的證明有兩個思路：一是利用相應的判定定理和性質定理去解決；二是利用空間向量來論證。例1：（2010·安徽高考理科·18）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，為的中點。 (1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求二面角的大小?！久}立意】本題主要考查了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、二面角的求解的問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。 【思路點撥】可以采用綜合法證明，亦可采用向量法證明?！疽?guī)范解答】AEFBCDHGXYZ(1)(2)

8、(3) 【方法技巧】1、證明線面平行通常轉化為證明直線與平面內的一條直線平行；2、證明線面垂直通常轉化為證明直線與平面內的兩條相交直線垂直；3、確定二面角的大小，可以先構造二面角的平面角，然后轉化到一個合適的三角形中進行求解。4、以上立體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標系，轉化為向量問題進行求解證明。應用向量法解題，思路簡單，易于操作，推薦使用。要點考向2：利用空間向量求線線角、線面角考情聚焦：1線線角、線面角是高考命題的重點內容，幾乎每年都考。2在各類題型中均可出現(xiàn)，特別以解答題為主，屬于低、中檔題?？枷蜴溄樱?利用空間向量求兩異面直線所成的角,直線與平面所成的角的方法及公

9、式為:（1）異面直線所成角設分別為異面直線的方向向量，則（2）線面角設是直線的方向向量，是平面的法向量，則2運用空間向量坐標運算求空間角的一般步驟為：（1）建立恰當?shù)目臻g直角坐標。（2）求出相關點的坐標。（3）寫出向量坐標。（4）結合公式進行論證、計算。（5）轉化為幾何結論。例2：（2010·遼寧高考理科·19）已知三棱錐PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.（）證明：CMSN；（）求SN與平面CMN所成角的大小.【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的計算問題，考查

10、了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。【思路點撥】建系，寫出有關點坐標、向量的坐標，計算的數(shù)量積，寫出答案；求平面CMN的法向量，求線面角的余弦，求線面角，寫出答案?！疽?guī)范解答】設PA1，以A為原點，射線AB、AC、AP分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系，如圖。則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, )，N(,0,0)，S(1,0)（I）【方法技巧】（1）空間中證明線線，線面垂直，經(jīng)常用向量法。 （2）求線面角往往轉化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解決。 （3）線面角的范圍是0°90°，因此直線的方向向量與平面法

11、向量的夾角的余弦是非負的，要取絕對值。要點考向3：利用空間向量求二面角考情聚焦：1二面角是高考命題的重點內容，是年年必考的知識點。2常以解答題的形式出現(xiàn)，屬中檔題或高檔題。考向鏈接：求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。其計算公式為：設分別為平面的法向量，則與互補或相等， 例3：（2010·天津高考理科·9）如圖，在長方體中，、分別是棱,上的點，,求異面直線與所成角的余弦值；證明平面求二面角的正弦值?！久}立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂

12、直、二面角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力?！舅悸伏c撥】建立空間直角坐標系或常規(guī)方法處理問題?！疽?guī)范解答】方法一：以A為坐標原點，AB所在直線為X軸，AD所在直線為Y軸建立空間直角坐標系（如圖所示），設,依題意得,易得,，于是，所以異面直線與所成角的余弦值為。證明：已知,于是·=0，·=0.因此，,又所以平面(3)解：設平面的法向量，則,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，為平面的一個法向量。于是，從而所以二面角的正弦值為課后作業(yè)：一、選擇題(每小題6分，共36分)1.已知點A（-3,1,-4），則點A關于x軸的對稱

13、點的坐標為( )(A)（-3,-1,4）(B)(-3,-1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4)2.在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中點，AB1BC1，則平面DBC1與平面CBC1所成的角為( )(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°3. 設動直線與函數(shù)和的圖象分別交于、兩點，則的最大值為（ ） A B C2 D34. 在直角坐標系中，設，沿軸把坐標平面折成的二面角后，的長為（ ）A B C D5. 矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為（

14、 ）ABCD6. 如圖：在平行六面體中，為與的交點。若，則下列向量中與相等的向量是（ ）（A） （B）（C） （D）二、填空題（每小題6分，共18分）7，是空間交于同一點的互相垂直的三條直線，點到這三條直線的距離分別為,，則,則_ _。8平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB、AD、AA1兩兩之間夾角均為600，則= 9將正方形沿對角線折成直二面角后，有下列四個結論：（1）； （2）是等邊三角形；（3）與平面成60° ；（4）與所成的角為60°其中正確結論的序號為_（填上所有正確結論的序號）三、解答題（共46分）10. 如圖，在四棱錐PABCD中，底面是邊長為 2的菱形，BAD=60°，對角線AC與BD相交于點O，,E、F分別是BC、AP的中點 （1）求證：EF平面PC