【志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】2014屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第15章 選考部分 矩陣與變換教學(xué)案 蘇教版選修4

1、選修42矩陣與變換1了解二階矩陣的概念，了解矩陣與向量乘法的意義，了解幾種常見的平面變換2會(huì)用映射與變換的觀點(diǎn)看待二階矩陣與平面向量的乘法，理解矩陣變換把平面上的直線變成直線(或點(diǎn))3了解二階方陣乘法的意義并理解其運(yùn)算律，理解逆矩陣的意義及簡(jiǎn)單性質(zhì)4會(huì)用系數(shù)矩陣的逆矩陣解線性方程組，理解線性方程組的存在性、唯一性5理解特征值與特征向量的定義會(huì)求二階矩陣的特征值與特征向量(只要求特征值是兩個(gè)不同實(shí)數(shù)的情形)，并能用它來解決問題1二階方陣左乘向量的運(yùn)算法則是_，從幾何上說，矩陣乘向量的作用是把一個(gè)向量變成另一個(gè)向量；如果把視為點(diǎn)的坐標(biāo)，那它就是把平面上的一個(gè)點(diǎn)變成另一個(gè)點(diǎn)2幾種常見的矩陣變換：(1

2、)因?yàn)椋撟儞Q把點(diǎn)(x，y)變成(x，y)，故矩陣表示_(2)因?yàn)椋撟儞Q把點(diǎn)(x，y)變成(x，y)，故矩陣表示關(guān)于y軸的反射變換；類似地，分別表示關(guān)于_、_和_的反射變換(3)因?yàn)?，該變換把點(diǎn)變成點(diǎn)，在此變換中，點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變成原來的k倍，故矩陣表示y軸方向上的伸縮變換；類似地，矩陣可以用來表示_(4)把點(diǎn)A(x，y)繞著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角的變換，對(duì)應(yīng)的矩陣是.(5)表示的是沿x軸的切變變換，沿y軸的切變變換對(duì)應(yīng)的矩陣是_；(6)，該變換把所有橫坐標(biāo)為x的點(diǎn)都映射到了點(diǎn)(x，0)，因此矩陣表示的是x軸上的投影變換類似地，表示的是_上的投影變換3假設(shè)矩陣A，B，則矩陣A和矩陣B的乘積A

3、B.4在交換律、結(jié)合律、消去律中，矩陣運(yùn)算滿足_律，即_；而通常不滿足交換律和消去律5對(duì)平面上任意一個(gè)向量a，依次實(shí)施兩次變換f和g，使之最終對(duì)應(yīng)于向量a，我們稱之為變換f和變換g的_記作agf(a)，如果變換f和g分別對(duì)應(yīng)矩陣A和B，則有aB(Aa)(BA)a，我們稱BA是矩陣B與矩陣A的_6設(shè)以原點(diǎn)為中心，旋轉(zhuǎn)角為的旋轉(zhuǎn)變換f對(duì)應(yīng)于矩陣A，則A_，如果向量a在變換f的作用下對(duì)應(yīng)到向量a，那么應(yīng)該對(duì)向量a實(shí)施一個(gè)變換f：以原點(diǎn)為中心，旋轉(zhuǎn)角為的旋轉(zhuǎn)變換，方可使之對(duì)應(yīng)到向量a.變換f相應(yīng)的矩陣B_.7如果對(duì)于線性變換f，存在著一個(gè)線性變換f，使得_，則稱變換f可逆，并稱f是變換f的_類比到矩陣

4、，如果和變換f和f相應(yīng)的矩陣分別是二階方陣A、B，有_我們稱矩陣A可逆，并稱B是A的_，記作BA1.8并不是每一個(gè)二階方陣都是可逆的，矩陣A可逆的充要條件是它對(duì)應(yīng)的行列式|A|滿足_，且A1_.9逆矩陣具有兩個(gè)重要的性質(zhì)：(1)_；(2)_10關(guān)于變量x，y的二元一次方程組(其中a，b，c，d均為常數(shù))，寫成矩陣形式可以表達(dá)成_；從線性變換的角度看，該方程組表示向量通過矩陣對(duì)應(yīng)的變換的作用后對(duì)應(yīng)到向量.11因?yàn)槊恳粋€(gè)二元一次方程組都可以用矩陣表示成，如果矩陣A可逆，則方程組的解可以表示成_12對(duì)于給定矩陣M，如果存在一個(gè)非零向量a和實(shí)數(shù)，使得_，則稱是矩陣M的特征值，a是矩陣M的屬于特征值的特

5、征向量13矩陣M有特征值的充要條件是_14如果矩陣M有特征值和屬于特征值的特征向量a，則可以得到以下兩個(gè)重要的結(jié)論：(1)Mta_；(2)Mna_(其中nN*)1若點(diǎn)A(2,2)在矩陣M對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B(2,2)，求矩陣M的逆矩陣2(2012江蘇泰州第一學(xué)期期末)已知矩陣A，B，求滿足AXB的二階矩陣X.3已知為矩陣A屬于的一個(gè)特征向量，求實(shí)數(shù)a，的值及A2.1如何求兩個(gè)矩陣乘積的逆矩陣？提示：求兩個(gè)矩陣乘積的逆矩陣有兩種方法，即先求乘積AB，再求逆矩陣(AB)1；也可利用性質(zhì)(AB)1B1A1求解，但要注意順序，不能誤以為其逆矩陣是A1B1.2是不是所有的二階矩陣都存在逆矩陣？矩

6、陣的乘法滿足什么運(yùn)算律？提示：并不是所有的二階矩陣都存在逆矩陣，有些二階矩陣是不可逆的矩陣的乘法只滿足結(jié)合律，不滿足交換律與消去律一、二階矩陣與平面向量的乘法【例1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓4x2y21在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線F，求F的方程方法提煉二階矩陣A與平面向量的乘積仍然是一個(gè)平面向量，它的第一個(gè)分量為A的第一行的元素與的對(duì)應(yīng)位置元素乘積的和，第二個(gè)分量為A的第二行的元素與的對(duì)應(yīng)位置元素乘積的和請(qǐng)做針對(duì)訓(xùn)練1二、線性變換的基本性質(zhì)【例2】(2012江蘇南京三模)已知曲線C：x2y21，對(duì)它先作矩陣A對(duì)應(yīng)的變換，再作矩陣B對(duì)應(yīng)的變換，得到曲線C：y21.求實(shí)數(shù)b的值方法提煉

7、二階矩陣對(duì)應(yīng)的變換(線性變換)把平面上的直線變成直線(或點(diǎn))請(qǐng)做針對(duì)訓(xùn)練2三、逆變換與逆矩陣【例3】已知矩陣A.(1)求出矩陣A的逆矩陣A1；(2)A決定的線性變換A將哪一個(gè)點(diǎn)變換到點(diǎn)(3,1)?方法提煉1設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，如果A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的此時(shí)，記A的逆矩陣為A1，則有A1AAA1，可通過解線性方程組確定A1中的各個(gè)值，從而求得A1.2矩陣的行列式adbc，如果adbc0，則矩陣存在逆矩陣3矩陣的逆矩陣為.請(qǐng)做針對(duì)訓(xùn)練3四、特征值與特征向量【例4】(2012江蘇揚(yáng)州第一學(xué)期期末)求矩陣M的特征值和特征向量方法提煉1A是一個(gè)二階矩陣，則f()2(ad)adbc稱為A的特征多

8、項(xiàng)式2矩陣M的特征值滿足(a)(d)bc0，屬于的特征向量滿足M.請(qǐng)做針對(duì)訓(xùn)練4矩陣與變換以初中數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)，以二階矩陣為研究對(duì)象，通過平面圖形的變換討論二階矩陣的乘法及性質(zhì)、逆矩陣和矩陣的特征向量等概念，并以變換的觀點(diǎn)理解解線性方程組的意義，初步展示矩陣應(yīng)用的廣泛性，題目難度適中1已知矩陣A，向量，求向量，使得A2.2如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)O(0,0)，A(2,0)，B(2，1)，C(0，1)將矩形OABC繞坐標(biāo)原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到矩形OA1B1C1；再將矩形OA1B1C1沿x軸正方向作切變變換，得到平行四邊形OA1B2C2，且點(diǎn)C2的坐標(biāo)為(，1)求此矩形OABC變?yōu)槠叫兴?/p>

9、邊形OA1B2C2的線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣3設(shè)矩陣M(其中a0，b0)(1)若a2，b3，求矩陣M的逆矩陣M1；(2)若曲線C：x2y21在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C：y21，求a，b的值4(2012江蘇鹽城二模)已知二階矩陣A將點(diǎn)(1,0)變換為(2,3)，且屬于特征值3的一個(gè)特征向量是，求矩陣A.參考答案基礎(chǔ)梳理自測(cè)知識(shí)梳理1.2(1)恒等變換(2)x軸直線yx直線yx(3)水平伸縮變換(5)(6)y軸4結(jié)合A(BC)(AB)C5復(fù)合變換乘積6.7ffffI(I是恒等變換)逆變換ABBAE2逆矩陣8|A|adbc09(1)如果矩陣A可逆，則A1是唯一的(2)(AB)1B1A110.

10、11.112Maa13方程0有解14(1)ta(2)na基礎(chǔ)自測(cè)1解：M，即，所以解得所以M.由M1M，得M1.2解：由題意得A1.因?yàn)锳XB，所以XA1B.3解：由條件可知，所以解得a2.因此A，所以A2.考點(diǎn)探究突破【例1】 解：設(shè)P(x0，y0)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P(x0，y0)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P(x0，y0) ，則有 ，即所以 又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，故4xy1，從而(x0)2(y0)21. 所以曲線F的方程為 x2y21.【例2】 解：從曲線C1變到曲線C2的變換對(duì)應(yīng)的矩陣為BA·.在曲線C1上任意選一點(diǎn)P(x0，y0)，設(shè)它在矩陣BA對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻(x，y

11、)，則有·，即.故解得代入曲線C1的方程得，y221，即曲線C2的方程為2x2y21.與已知的曲線C2的方程y21比較得(2b)24.所以b±1.【例3】解：(1)方法一：A的行列式2，A1.方法二：設(shè)A的逆矩陣為A1，由AA1得解得所以A1.(2)設(shè)A決定的線性變換A將點(diǎn)(x，y)變到(3,1)則，A決定的線性變換A將點(diǎn)變到(3,1)【例4】解：由題意知，f()(1)(6)82514(7)(2)，由f()0可得17，22.由可得屬于17的一個(gè)特征向量為.由可得屬于22的一個(gè)特征向量為.所以矩陣M的特征值和特征向量分別為17，或22，.演練鞏固提升針對(duì)訓(xùn)練1解：A2.設(shè).由

12、A2，得，從而解得所以.2解法一：設(shè)矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將矩形OABC變?yōu)榫匦蜲A1B1C1，則M.設(shè)矩陣N對(duì)應(yīng)的變換將矩形OA1B1C1變?yōu)槠叫兴倪呅蜲A1B2C2.可設(shè)矩陣N(k>0)，因?yàn)辄c(diǎn)C2的坐標(biāo)為(，1)，所以，解得k.所以N.將矩形OABC變換為平行四邊形OA1B2C2的線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣為NM，NM，因此將矩形OABC變換為平行四邊形OA1B2C2的線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣為.解法二：因?yàn)榫匦蜲A1B1C1是矩形OABC繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到的，所以A1(2,0)，B1(2,1)，C1(0,1)又矩形OA1B1C1沿x軸正方向作切變變換得到平行四邊形OA1B2C2，且C2的坐標(biāo)為(，1)，所以點(diǎn)B2的坐標(biāo)為(2,1)設(shè)將矩形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅蜲A1B2C2的線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣為，則，所以得因此所求矩陣為.3解：(1)設(shè)矩陣M的逆矩陣M1