數(shù)模競賽論文

1、一、問題的背景與重述現(xiàn)在不同地區(qū)的人交流頻繁，對飛機的容量提出了更大的要求，而國外在這方面處于壟斷地位，將其高尖技術封鎖，因此發(fā)展具有自主知識產權的大飛機是時代和國情的需要。為了使我國的大飛機具有較好的市場潛力，必須對C919大飛機的市場和價格進行評估和預測進而才與一些措施提高大飛機的競爭力。根據(jù)題意，本文要解決的問題有： （1）參照同類飛機B737-800，從航空公司的角度，結合飛機運營成本，評估一下國產大飛機C919未來的市場潛力。 （2）建立一個合理的數(shù)學模型，為將新開發(fā)的商用飛機預測一個較合理的價格，并結合你的模型對C919的價格進行預測； （3）在第二問已經建立的模型基礎上，結合相關

2、數(shù)據(jù)計算當前A380-800和B737-800兩種商用飛機的價格，對模型進行檢驗并說明所建價格預測模型的優(yōu)缺點；二、問題假設1、假設本題以經濟壽命代表飛機的性能；2、假設以飛機的耗油量代表航空公司的運營成本；3、假設其他因素影響很小（比如物價），用一個修正項可以對其進行修正。三、符號說明 表A-1 符號說明（萬小時）客機的經濟壽命（百萬美元）客機的銷售價格（Kg/h/座）每座每小時的耗油量（座）表示每架客機的客座數(shù)（百萬美元/座）研發(fā)費用（百萬美元/座）飛機的制造成本容價比 = /（架）C919飛機的市場潛力（百萬美元）每架飛機的售價(噸)最大起飛重量（米）機身長（米）機高（米）滿油航程（米/

3、秒）最大巡航速度（立方米）最大載油量四、問題的分析 （一）飛機的市場潛力是由多個指標來進行衡量的，為了使得建立的模型能夠客觀、準確地對飛機價格作出全面的預測，要求： （1）準確找出影響市場潛力的關鍵因素，暫時略去非關鍵因素； （2）除了要定性的比較C919的市場潛力之外，還需量化市場潛力的概念，建立一個數(shù)學模型，預測市場潛力。（二）一個新開發(fā)的商用飛機在預測價格時，我們要考慮到在研制該飛機使得研發(fā)經費和該飛機的制造成本，以及由該飛機性能所決定的一些參數(shù)，利用這些參數(shù)以及最小二乘法可以擬合出一個函數(shù)，用這個函數(shù)模型去預測一個新飛機的售價。然后用一些已知的數(shù)據(jù)代入，驗證模型的好壞。五、模型的建立與

4、求解問題一：（一）定性比較法：表A-2列出了波音B737-800和C919的一些重要參數(shù)，以供比較。 表A-2 B737-800和C919的相關參數(shù)參數(shù)B737-800C919客座數(shù)(兩級/單級)162/189156/168價格（百萬美元）72.581.0< 50耗油量（Kg/Hour/座）15.113.3最大起飛重量（Kg）7050072500 注：C919的直接使用成本（DOC）比B 737-800降低10%.很明顯，波音公司系列產品取得的成功是全世界人民有目共睹的，特別是波音公司與空客公司對現(xiàn)在民航飛機產業(yè)形成了壟斷。國家發(fā)展大飛機項目就是要發(fā)展具有自主知識產權的飛機，打破這種技術

5、封鎖。表A-2給出了兩種飛機的重要參數(shù)，從表A-2中可以看出：1、 二者的座位數(shù)相差不大，但是二者的銷售價格確實相差很大。B737-800在價格上比C919多出了將近3000萬美元?；谶@一點，C919在價格上存在很大的優(yōu)勢。2、 在石油資源日益短缺的現(xiàn)在工業(yè)社會，飛機的耗油量成了飛機運行成本很直接的影響因素。可以從表中的數(shù)據(jù)看出，C919每座每小時耗油量只是B737-800的88%，這一點也是很有利的因素。3、 從表中的注釋部分可以看出，C919的直接使用成本（DOC）比其競爭機B737-800降低了10%，這也是增強C919競爭力的一個很重要方面。4、 一般飛機的經濟壽命在6萬小時左右，性

6、能好的飛機一般也只有8萬小時。而C919的設計壽命達到了9萬小時，這對航空公司來說有很大的吸引力。從以上的直接分析中，可以看出C919的運營成本比同類型的競爭機B737-800要少得多。不僅如此，C919在設計方面采用了最新的復合材料，減輕了飛機重量，降低了機艙的噪音（小于60分貝），飛機的碳排放量較同類飛機降低50%，符合現(xiàn)在的環(huán)保理念，設計上也采用了更加人性化的設計。綜合這些因素，C919的市場潛力是相當大的，對相關的產業(yè)帶動作用也是相當巨大的。（二）模型量化法1、本模型主要采用了多元線性回歸模型，以及最小二乘法處理數(shù)據(jù)。 2、飛機的市場潛力是有很多標準來衡量的，而在這些標準中飛機的市場占

7、有率是最具代表性的。對于每一種的在研制中的飛機來說，我們用別人的首次訂購量可以看出它潛在的市場。這是因為：一種飛機未交付使用之前，知道的只是它在設計時的性能參數(shù)，以及預測的價格。當這種飛機經過實踐以后，它的市場占有率會隨人們對該款飛機的評價而改變。因此在該模型中，我們以該飛機的首次預定量來代表它的未來市場潛力。表A-3為一些飛機的相關參數(shù)。 表A-3部分飛機的相關參數(shù)機型(萬h）(百萬美元）(Kg/h/座)(座)(架）B737-800676.7515.10175.5400.4373B737-900ER781.5014.48183.0400.4453B747-4006253.0020.10524

8、.0200.4828B767-300ER6153.0018.59269.0210.5688B767-400ER6165.5021.43245.0150.6755B777-200ER6218.2522.43301.0100.7251C9199<5013.29162.0<0.309注：以上的符號表示請參閱表A-1符號說明這里對容價比作出解釋。飛機的客座數(shù)不同，其研發(fā)和制造成本就會不同，一般是客座數(shù)越多，價格越多。所以定義容價比=/，這樣更能客觀的反映飛機的價格。這也是模型的的創(chuàng)新之處。3、模型的建立與求解多元線性回歸的一般模型為 =+ （1）其中，, ,，,是未知參數(shù)，是隨機誤差。假定

9、 0, 設對以及, , 同時做了n次觀察，得到n組數(shù)據(jù)（,），（,），（,），它們滿足方程組 =+，=1,2,n （2）記 = = = =則式（1）可以寫成=+ （3） 利用最小二乘法可以求得 = （4）從而得到線性回歸方程 =+ （5）在本題中 =+ （6）帶入表中的數(shù)據(jù)，利用Matlab軟件可以計算得到 = = （7）得到該題的線性回歸方程 =98.9300-0.4529-8.5283-3.5885 （8）利用該方程，將C919的參數(shù)帶入，可以計算得到 =45（架）注：該模型中C919的價格以50百萬美元來算。將與表A-3中的相比較，可以看出C919的市場潛力在同類型的競爭機中有較大的優(yōu)勢

10、，也就是說，C919的市場潛力很大。4、模型的檢驗1）、將式（7）中的與表A-3中的相比較，利用該模型擬合出的結果與實際的誤差都在允許的范圍內，說明利用式（8）計算出的結果大部分都能很好的反映現(xiàn)實情況，從而說明該模型是有價值的。下圖A-1給出了以上型號飛機的首次銷售量與模型預測的首次銷售量之間的關系。從圖中也可以看出該模型在預測市場潛力時有一定的實用性。 表A-1 飛機的首次銷售量2）、標準偏差 （9）代入數(shù)據(jù)可以計算得到 =2.48該值較小，同時也說明了該模型是有實際參考價值的。3）、判定系數(shù) （10）越接近于1，擬合程度越好。代入數(shù)據(jù)得 =0.9772該數(shù)據(jù)更加驗證了該模型的合理性。5、兩

11、種方法的比較定性比較法只能是從人的感性角度去評判這種產品的好壞，并不能很好的反映該產品的的實際性能。當選擇某種代表性數(shù)據(jù)，同時建立數(shù)學模型來對該產品的好壞進行量化比較時，結果很直觀，也很具有說服力。本題的創(chuàng)新點正是基于這一點，用數(shù)字量化市場潛力，得到更加直觀，更加可信的結果。問題二:（一）多元線性回歸模型1、在第一問的基礎上，我們可以將問題簡化，也采取多元線性回歸模型來預測C919的市場價格。2、在價格預測方面，要考慮的因素很多。比如說，市場潛力、飛機的制造成本、研制該飛機投入的科研經費、以及航空公司的運營成本等方面。本模型中著重考慮飛機的制造成本、研制該飛機投入的科研經費、以及航空公司的運營

12、成本三個方面。為了使不同型號的飛機更具比較性，我們將制造成本和科研經費的單位化為百萬美元/座，運營成本仍然定為耗油量。假設其他因素（比如物價的變化等）影響很小，可以用一個修正項對其修正。表A-4給出了某些機型的相關數(shù)據(jù)。表A-4 部分波音客機和空客客機的費用機型Kg/h/座百萬美元/座百萬美元/座百萬美元B747-40020.1013.170.39253.00B767-300ER18.5922.300.45153.00B777-400ER22.4321.590.71165.50B787-318.6027.680.44152.75A38022.1416.610.42327.40A350-8001

13、8.7016.210.60208.70C91913.2929.760.25注：以上的符號表示請參閱表A-1符號說明3、模型的建立與求解預測價格時仍然用多元線性回歸模型，利用式（1）-（6）可以得到該題的線性回歸方程 =+ + （11）帶入表中的數(shù)據(jù)，利用Matlab軟件可以計算得到 = = （12）將的值帶入式（11）可以得到該題的線性回歸方程是=-11.9359+ 27.0365-7.0158-351.3869 （13）將C919的數(shù)據(jù)代入式（12），可得 =50.7（百萬美元）在該題假設的條件下，可以算得C919的大致售價在5000萬美元左右。4、模型的檢驗由于問題三是對該模型的檢驗，所以

14、具體的討論過程詳見問題三。(二)RBF神經網絡預測模型1、表征飛機性能的參數(shù)有很多，這里取6個參數(shù)進行分析，他們是：最大起飛重量，機身長，機高，滿油航程，最大巡航速度，最大載油量。部分波音客機和空客客機的參數(shù)下表A-5所示。表A-5 部分波音與空客客機的性能參數(shù)機型）747-400396.0070.60 19.40 13.57274.0 216.84253.00 767-300ER187.0054.94 16.90 11.39272.0 90.916153.00 777-200ER297.5563.73 18.50 14.00285.6 171.16218.25 787-3163.0055.5

15、0 16.50 15.70289.0 120.00152.75 A350-800245.0059.00 17.02 13.60292.4 139.10208.70 A380560.0073.00 24.10 15.00302.6 310.00327.40 C91972.5038.0012.005.55288.221.6下面將建立基于RBF的神經網絡模型，預測C919的售價。2、RBF模型的建立與求解（1）、RBF神經網絡原理 RBF神經網絡由三層組成，結構圖如圖A-2所示。圖A-2 RBF神經網絡結構RBF網絡隱節(jié)點激勵函數(shù)(=1,2,n)定義為具有徑向對稱性質的基函數(shù)，通常采用如下形式的高斯

16、函數(shù) （14）式中為輸入向量；是個隱節(jié)點的中心（稱中心向量），與具有相同的維數(shù)，是向量的范數(shù)，它通常表示與之間的距離；是第個感知變量，它決定了該基向量圍繞中心點的寬度。網絡的輸出為 （15）式中是網絡的輸出權值，n是感知單元的個數(shù)（隱含層節(jié)點數(shù)）。（2）、RBF神經網絡改進算法由于原始的RBF模型中，各層所完成的任務是不盡相同的，因此下面將對RBF神經網絡算法進行改進。1）用均值聚類法確定初值中心,、方差 a）初始化聚類中心。從輸入樣本,中選擇個樣本作為聚類中心。 b)將輸入樣本按最近規(guī)則分組，即將,分配給中心為,的輸入樣本聚類集合，亦即，且滿足。式中：表示最小歐氏距離。 c）計算中樣本的平均

17、值（即）： （16）式中，為中的輸入樣本數(shù)。 d)其方差為 （17）式中，為所選中心之間的最大距離。2）利用最小二乘法確定初始權值已知RBF的中心、方差，由最小二乘法可得的解為 （18）式中， ， （19）由表A-5數(shù)據(jù)以及式（16）、式（17）、式（18）、式（19），利用Matlab軟件可以算出 （20） （21） （22）（23）由式（15）可知 可以算出 （24）代入C919和式（23）的數(shù)據(jù)可以得到 （百萬美元）由RBF神經網絡模型可以計算出C919的售價為4300萬美元。 3、模型的檢驗由于問題三也是對該模型的檢驗，所以具體的討論過程詳見問題三。（三）價格預測綜合以上兩個模型的預測

18、結果，我們給出C919的價格區(qū)間為4300-5000萬美元。問題三：1、 多元線性回歸模型的檢驗與評價（1）當前A380-800和B737-800兩種商用飛機的價格分別是（以均值計）：327.4百萬美元和76.75百萬美元。利用多元線性回歸模型，根據(jù)式（13） =-11.9359+ 27.0365-7.0158-351.3869可以算得A380-800和B737-800兩種商用飛機的價格分別是：322.5百萬美元和87.7百萬美元，誤差分別是：1.5%和14.3%。這兩個數(shù)據(jù)中一個符合的很好，另一個卻有較大的誤差，由此可以看出該模型在預測價格方面還是存在一定缺陷的。下面給出了該模型的具體檢驗與

19、評價。（2）該模型的具體檢驗與評價1）、總體評價將式（12）中的數(shù)據(jù)與表A-4中的數(shù)據(jù)相比較，可以得到， 用線性回歸方程算得的都要比實際數(shù)據(jù)要大，由此可以進一步預見C919的價格將低于5000萬美元。另外，的數(shù)據(jù)比最多高了20%，由此粗略的估計C919的價格下限在4000萬美元左右。最終利用該模型預測C919的價格在4000-5000萬美元左右，而這之間的價格變動會由市場競爭引起，在實際的市場競爭中每種飛機的價格都是有一個價格區(qū)間的，市場的其他因素會調節(jié)飛機的價格，這也是符合市場規(guī)律的。下圖A-3反映了當前飛機的價格和預測價格之間的差別。表A-2 但前飛機的價格和預測價格2）、標準偏差（參見式

20、（9） 代入數(shù)據(jù)算得 =52.103）、判定系數(shù)（參見式（10） 越接近于1，擬合程度越好。代入數(shù)據(jù)得 =0.81084）、根據(jù)標準偏差和判定系數(shù)的的結果可以看見，該模型預測的結果與實際結果還有一定的偏差。原因是我們在建立模型時假設忽略了很多因素，而在這些因素中，某些變量有可能是是影響客機價格的重要原因。所以綜合以上因素，這個模型在價格預測方面還是一定誤差的。2、 RBF神經網絡模型的檢驗與評價 （1）當前A380-800和B737-800兩種商用飛機的價格分別是（以均值計）：327.4百萬美元和76.75百萬美元。利用RBF神經網絡模型，根據(jù)式（15）和式（23）以及兩種飛機參數(shù) 可以計算得到A380-800和B737-800兩種商用飛機的價格分別是：324.40百萬美元和71.56百萬美元,誤差分別是:1%和6%。可以看出該模型得到的結果有較好的預期性，也反映了該模型的可行性。下面給出該模型的進一步檢驗與評價。 （2）該模型的進一步檢驗與分析將式（24）中的數(shù)據(jù)與表A-5中的數(shù)據(jù)相比較可以看出：用RBF神經網絡模型算得的數(shù)據(jù)與實際結果之間的誤差都是在可控的誤差范圍內，說明該模型是一個很好的價格預測模型。但是，客機的性能參數(shù)并不是決定價格的唯一因素。市場的反饋作用在很大程度上也能影響飛機的價格，而在該題的RBF神經網絡模型中，我們并沒有考慮這么多因素。下表A-4