基本計數(shù)原理(共5頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上基本計數(shù)原理一、主要內容 一般計數(shù)原理部分的考試，分為兩種，一是排列組合二項式定理單獨出題，二是在概率中需要用到排列組合二項式定理。1、 基本計數(shù)原理2、 排列和組合3、 常用方法二、知識梳理1、 基本計數(shù)原理（1） 分類加法計數(shù)原理 從甲地到乙地，可乘坐三類交通工具：可以乘火車，可以坐汽車，還可以乘輪船，假定火車每日1班，汽車每日3班，輪船每日2班，那么一天中從甲地到乙地有多少種不同的走法？（1+3+2=6種） 做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中，有種不同的方法，在第二類辦法中，有種不同的方法，以此類推，在第n類辦法中，有種不同的方法，那么完成這件事共有種不

2、同的方法。（2） 分步乘法計數(shù)原理。 某中學的閱覽室有50本不同的科技書，80本不同的文藝書，現(xiàn)在張三同學想借1本科技書和1本文藝書，共有多少種借法？（50*80=4000） 做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟有種不同的方法，做第二個步驟有種不同的方法，以此類推，做第n個步驟有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。 以上兩個基本計數(shù)原理是解決計數(shù)問題最基本的理論依據。他們分別給出了兩種不同方式完成一件事的方法總數(shù)的不同計算方法。注意：分類要“不重不漏”，每類的每一種方法都能獨立完成事件； 分步要“步驟完整”，每一步不能完成事件，只有各步依次都完成，才能完成事件。2、 排列與

3、組合（1） 排列有紅球、白球、黃球各一個，現(xiàn)從這三個小球中任取兩個，分別放入甲、乙盒子里，有多少種不同的方法？（3*2=6）我們把被取的對象叫做元素。取出的元素按照已知的順序排成一列，我們稱它為該問題的一個排列。一般地，從個不同元素中任取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列。兩個排列相同，則組成排列的元素相同，并且元素的排列順序也相同。從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示。根據分步乘法計數(shù)原理，得到公式這里，并且，這個公式叫做排列數(shù)公式。一般地，個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列，這

4、時，則有，這個公式是由1到。我們把正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘，用表示。所以個不同元素的全排列數(shù)公式可以寫成排列數(shù)的公式還有下面的另一種形式：，我們規(guī)定。（2） 組合有紅球、黃球、白球各一個，從這三個小球中，任意取出兩個小球，共有多少種不同的取法？（與順序無關，共3種）一般地，從個不同元素中，任意取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中任取個元素的一個組合。從個不同元素中，任意取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中，任意取出個元素的組合數(shù)，用符號表示。一般地，從個不同元素中，任取個元素的排列，可以分兩步完成：第一步 選取元素 從個不同元素中，任意個元素的組合，有種方法；第二步 排位置

5、選出的個不同元素的全排列，有種方法。根據分步乘法計數(shù)原理，得：由的計算公式和可以得出組合數(shù)的計算公式為：通過上面兩個公式還可以推出：（3） 組合數(shù)的兩個性質性質1 性質2 3、 排列組合的常用方法（1） 捆綁法解決相鄰問題；（2） 插空法解決不相鄰問題；（3） 除序法解決相同元素問題，除序法是除法；（4） 排除法解決算多了需要減掉多余的，排除法是減法；（5） 特殊元與特殊位優(yōu)先解決，再解決一般；（6） 窮舉法。練習題1、 一個科技小組中有3名女同學，5名男同學 （1）若從中任選一名同學參加學科競賽，共有多少種選派方法？ （2）若從中任選一名女同學和一名男同學參加學科競賽，共有多少種選派方法？2

6、、 求證：3、 （1）4個同學分配到3個課外小組中，共有幾種分配方法？ （2）4個同學爭奪3項競賽的冠軍，冠軍的獲得者共有幾種可能情況？4、 4名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？5、 四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空，則不同的放法有？6、 某市植物園要在30天內接待20所學校的學生參觀，但每天只能安排一所學校，其中有一所學校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內不同的安排方法有多少種？7、  從6名男生和4名女生中，選3名代表，要求至少包含1名女生，則不同的選法有_種？8、 12個籃球隊中有3個強隊，將這12個隊

7、任意分成3個組，則3個強隊恰好被分在同一組的概率為？9、 7人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法？10、 3個歌舞，4個獨唱，2個小品排成一份節(jié)目單，3個歌舞中任意兩個都不排在一起，共有多少種排法？11、 求三元一次方程（）解的個數(shù)？12、 5名運動員參加軍事三項賽，射擊、游泳和長跑各設一名冠軍，則三項冠軍獲得者的結果有多少種？13、 有3枚一分硬幣，6枚一角硬幣，4張十元硬幣，共組成多少種非零幣值？14、 甲乙丙丁參加400米接力比賽，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同跑法？15、 某宿舍4個人互贈賀卡，每個人都拿到不是自己的賀卡情況有多少種？16、 8個人

8、排隊照相，按如下要求各有多少種不同的排隊方法： （1）甲乙丙三人必須相鄰，丁戊不相鄰； （2）甲乙兩人必須站中間，丙丁兩人不站兩端； （3）甲不在左端且不在乙右側的任何位置； （4）8人中，有4個男生4個女生，要求同性別不相鄰。17、 8個人中，3個大人5個小孩，要求每個大人右邊相鄰的必是小孩，有幾種方法？18、 8人中3名教師，5名學生（1）3名教師隨意站，5名學生必須從左至右從高到低，共有幾種方法？（2）甲乙兩人必須相鄰，且甲乙都不與丙相鄰，共有多少種排法？19、 用09這十個數(shù)字組成無重復數(shù)字的自然數(shù)（1）可組成多少個四位的自然數(shù)？（2）可組成多少個四位偶數(shù)？（3）可組成多少個被25整除的四位數(shù)？（4）可組成多少個從高位開始偶數(shù)位上是偶數(shù)的四位數(shù)？（5）可組成的四位自然數(shù)的個位上的數(shù)字之和？（6）比5612大的四位數(shù)有多少個？（7）將組成的所有四位數(shù)按大小從小到大排隊，第1010個數(shù)是哪個?20、 從16人中選出3名會議代表，其中甲乙丙三人至少一人當代