解的存在定理

1、第三章 一階微分方程解的存在定理教學(xué)目標(biāo)1. 理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，掌握逐次逼近法，熟練近似解的誤差估計式。2. 了解解的延拓定理及延拓條件。3. 理解解對初值的連續(xù)性、可微性定理的條件和結(jié)論。教學(xué)重難點 解的存在唯一性定理的證明，解對初值的連續(xù)性、可微性定理的證明。教學(xué)方法 講授，實踐。教學(xué)時間 12學(xué)時教學(xué)內(nèi)容 解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，解的延拓概念及延拓條件，解對初值的連續(xù)性、可微性定理及其證明?？己四繕?biāo) 1.理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論，能用逐次逼近法解簡單的問題。2.熟練近似解的誤差估計式，解對初值的連續(xù)性及可微性公式。3.利用解的存在唯

2、一性定理、解的延拓定理及延拓條件能證明有關(guān)方程的某些性質(zhì)。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程來源于生產(chǎn)實踐際，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客觀規(guī)律，能動解釋所出現(xiàn)的各種現(xiàn)象并預(yù)測未來的可能情況。在第二章介紹了一階微分方程初等解法的幾種類型，但是，大量的一階方程一般是不能用初等解法求出其通解。而實際問題中所需要的往往是要求滿足某種初始條件的解。因此初值問題的研究就顯得十分重要，從前面我們也了解到初值問題的解不一定是唯一的。他必須滿足一定的條件才能保證初值問題解的存在性與唯一性，而討論初值問題解的存在性與唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理論

3、，穩(wěn)定性理論以及其他理論的基礎(chǔ)。例如方程 過點的解就是不唯一，易知是方程過的解，此外，容易驗證，或更一般地，函數(shù) 都是方程過點而且定義在區(qū)間上的解，其中是滿足的任一數(shù)。 解的存在唯一性定理能夠很好地解釋上述問題，它明確地肯定了方程的解在一定條件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精確解的微分方程為數(shù)不多，微分方程的近似解法具有重要的意義，而解的存在唯一性是進行近似計算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意義；如果存在不唯一，不能確定所求的是哪個解。而解的存在唯一性定理保證了所求解的存在性和唯一性。1存在性與唯一性定理：（1）顯式一階微分方程 （3.1）這里是在矩形域： （3.2）上連續(xù)。

4、 定理1：如果函數(shù)滿足以下條件：1）在上連續(xù)：2）在上關(guān)于變量滿足李普希茲（Lipschitz）條件，即存在常數(shù)，使對于上任何一對點，均有不等式成立，則方程（3.1）存在唯一的解，在區(qū)間上連續(xù)，而且滿足初始條件 （3.3）其中,稱為Lipschitz常數(shù).思路：1） 求解初值問題(3.1)的解等價于積分方程 的連續(xù)解。2） 構(gòu)造近似解函數(shù)列 任取一個連續(xù)函數(shù)，使得，替代上述積分方程右端的，得到 如果，那么是積分方程的解，否則，又用替代積分方程右端的，得到 如果，那么是積分方程的解，否則，繼續(xù)進行，得到 （3.4）于是得到函數(shù)序列.3） 函數(shù)序列在區(qū)間上一致收斂于，即 存在，對(3.4)取極限,

5、得到 即.4) 是積分方程在上的連續(xù)解.這種一步一步求出方程解的方法逐步逼近法.在定理的假設(shè)條件下,分五個命題來證明定理. 為了討論方便,只考慮區(qū)間,對于區(qū)間的討論完全類似.命題1 設(shè)是方程(3.1)定義于區(qū)間上,滿足初始條件 （3.3）的解,則是積分方程 (3.5)的定義于上的連續(xù)解.反之亦然.證明 因為是方程(3.1)滿足的解,于是有 兩邊取到的積分得到 即有 所以是積分方程定義在區(qū)間上的連續(xù)解.反之,如果是積分方程(3.5)上的連續(xù)解,則 （3.6）由于在上連續(xù),從而連續(xù),兩邊對求導(dǎo),可得 而且 ,故是方程(3.1)定義在區(qū)間上,且滿足初始條件的解.構(gòu)造Picard的逐次逼近函數(shù)序列.

6、（3.7）命題2 對于所有的，（3.6）中的函數(shù)在上有定義，連續(xù)且滿足不等式 （3.8）證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)時，顯然在上有定義、連續(xù)且有 即命題成立. 假設(shè)命題2成立，也就是在上有定義、連續(xù)且滿足不等式 當(dāng)時， 由于在上連續(xù),從而在上連續(xù)，于是得知在上有定義、連續(xù),而且有 即命題2對時也成立.由數(shù)學(xué)歸納法知對所有的均成立.命題3 函數(shù)序列在上是一致收斂的.記,證明 構(gòu)造函數(shù)項級數(shù) (3.9)它的部分和為 于是的一致收斂性與級數(shù)(3.9)的一致收斂性等價. 為此，對級數(shù)(3.9)的通項進行估計. (3.10)由Lipschitz條件得知設(shè)對于正整數(shù),有不等式 成立,則由Lipschitz條

7、件得知,當(dāng)時,有 于是由數(shù)學(xué)歸納法可知, 對所有正整數(shù),有 (3.11)由正項級數(shù) 的收斂性,利用Weierstrass判別法,級數(shù)(3.9)在上一致收斂.因而序列在上一致收斂. 設(shè),則也在上連續(xù),且 命題4 是積分方程(3.5)的定義在上的連續(xù)解.證明 由Lipschitz條件 以及在上一致收斂于,可知在上一致收斂于.因此 即 故是積分方程(3.5)的定義在上的連續(xù)解.命題5 設(shè)是積分方程(3.5)的定義在上的一個連續(xù)解,則,.證明 設(shè),則是定義在的非負(fù)連續(xù)函數(shù),由于 而且滿足Lipschitz條件,可得 令,則是的連續(xù)可微函數(shù),且,即,于是在上, 故,即,命題得證.對定理說明幾點:(1)存

8、在唯一性定理中的幾何意義.在矩形域中,故方程過的積分曲線的斜率必介于與之間,過點分別作斜率為與的直線.當(dāng)時，即,（如圖(a)所示），解在上有定義；當(dāng)時,即,（如圖(b)所示），不能保證解在上有定義，它有可能在區(qū)間內(nèi)就跑到矩形外去，只有當(dāng)才能保證解在內(nèi)，故要求解的存在范圍是. (2)、 由于李普希茲條件的檢驗是比較費事的，而我們能夠用一個較強的，但卻易于驗證的條件來代替他，即如果函數(shù)在矩形域上關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)存在并有界，即，則李普希茲條件條件成立. 事實上 這里. 如果在上連續(xù)，它在上當(dāng)然滿足李普希茲條件.但是,滿足李普希茲條件的函數(shù)不一定有偏導(dǎo)數(shù)存在.例如函數(shù)在任何區(qū)域都滿足李普希茲條件,但它在處

9、沒有導(dǎo)數(shù). (3)、設(shè)方程(3.1)是線性的,即方程為 易知,當(dāng)在區(qū)間上連續(xù)時,定理1的條件就能滿足,且對任一初值所確定的解在整個區(qū)間上有定義、連續(xù). 實際上,對于一般方程(3.1),由初值所確定的解只能定義在上,是因為在構(gòu)造逐步逼近函數(shù)序列時,要求它不越出矩形域,此時,右端函數(shù)對沒有任何限制,只要取. (4)、Lipschitz條件 是保證初值問題解惟一的充分條件，而非必要條件. 例如 試證方程 經(jīng)過平面上任一點的解都是唯一的. 證明 時, ,在上連續(xù), 也在上連續(xù),因此對軸外的任一點,方程滿足的解都是唯一存在的.又由 可得方程的通解為 ,其中為上半平面的通解, 為下半平面的通解,它們不可能

10、與相交.注意到是方程的解,因此對軸上的任一點,只有通過,從而保證平面上任一點的解都是唯一的. 但是 因為,故不可能存在,使得 所以方程右端函數(shù)在的任何鄰域并不滿足Lipschitz條件. 此題說明Lipschitz條件 是保證初值問題解惟一的充分條件，而非必要條件. 2)考慮一階隱方程 (3.12)由隱函數(shù)存在定理,若在的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且,而,則必可把唯一地表為的函數(shù) (3.13)并且于的某一鄰域連續(xù),且滿足如果關(guān)于所有變元存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),則對也存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),并且 (3.14)顯然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)滿足初始條件的解存在且唯一.從而得到下面的定理.定理2 如果在點的

11、某一鄰域中:) 關(guān)于所有變元連續(xù),且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；）則方程（3.12）存在唯一的解 （為足夠小的正數(shù)）滿足初始條件 （3.15）1、 近似計算和誤差估計求方程近似解的方法Picard的逐次逼近法 對方程的第次近似解和真正解在內(nèi)的誤差估計式 （3.16）此式可用數(shù)學(xué)歸納法證明. 設(shè)有不等式 成立,則 例1 討論初值問題 , 解的存在唯一性區(qū)間,并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超過0.05的近似解,其中, .解 ,由于,根據(jù)誤差估計式(3.16) 可知.于是 就是所求的近似解,在區(qū)間上,這個解與真正解得誤差不超過0.05.§2 解的延拓上節(jié)我們學(xué)習(xí)了解的存在唯一性定理，當(dāng)?shù)挠叶撕瘮?shù)在上

12、滿足解的存在性唯一性條件時，初值問題的解在上存在且唯一. 但是，這個定理的結(jié)果是局部的，也就是說解的存在區(qū)間是很小的. 可能隨著的存在區(qū)域的增大，而能肯定的解得存在區(qū)間反而縮小。例如，上一節(jié)的例1，當(dāng)定義區(qū)域變?yōu)闀r，解的范圍縮小為. 在實際引用中，我們也希望解的存在區(qū)間能盡量擴大，下面討論解的延展概念，盡量擴大解的存在區(qū)間，把解的存在唯一性定理的結(jié)果由局部的變成大范圍的.1、飽和解及飽和區(qū)間定義1 對定義在平面區(qū)域上的微分方程 (3.1)設(shè)是方程(3.1)定義在區(qū)間上的一個解,如果方程(3.1)還有一個定義在區(qū)間上的另一解,且滿足 (1) ；但是 （2）當(dāng)時，則稱是可延拓的，并稱是在上的延拓.

13、否則如果不存在滿足上述條件的解,則稱是方程(3.1)的不可延拓解或飽和解,此時把不可延拓解的區(qū)間稱為一個飽和區(qū)間.2、局部李普希茲條件定義2 若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且對內(nèi)每一點，都存在以點為中心，完全含在內(nèi)的閉矩形域，使得在上關(guān)于滿足李普希茲條件（對于不同的點，閉矩形域的大小和李普希茲常數(shù)可能不同），則稱在上關(guān)于滿足局部李普希茲條件.定理3 （延拓定理）如果方程的右端函數(shù)在（有界或無界）區(qū)域上連續(xù)，且在關(guān)于滿足局部李普希茲條件，則對任意一點，方程以為初值的解均可以向左右延展，直到點任意接近區(qū)域的邊界.以向增大的一方來說，如果只能延拓到區(qū)間上，則當(dāng)時，趨于區(qū)域的邊界。證明 ，由解的存在唯一性定理，

14、初值問題 （1）存在唯一的解，解的存在唯一區(qū)間為.取,以為中心作一小矩形,則初值問題 (2)存在唯一的解，解的存在唯一區(qū)間為.因為 ,有唯一性定理,在兩區(qū)間的重疊部分應(yīng)有,即當(dāng)時.定義函數(shù) 則是方程(3.1)滿足(1)(或(2) 的,在上有定義的唯一的解.這樣,把方程(3.1)滿足(1)的解在定義區(qū)間上向右延伸了一段.即把解看作方程(3.1)的解在定義區(qū)間的向右延拓,延拓到更大區(qū)間.同樣的方法,也可把解向左延拓.這種將曲線向左右延拓的辦法可繼續(xù)進行下去,最后將得到一個解,不能再向左右延拓了.這個解稱為方程(3.1)的飽和解.推論1 對定義在平面區(qū)域上的初值問題 其中若在區(qū)域內(nèi)連續(xù)且關(guān)于滿足局部

15、Lipschtiz條件,則它的任一非飽和解均可延拓為飽和解.推論2 設(shè)是初值問題 其中的一個飽和解，則該飽和解的飽和區(qū)間一定是開區(qū)間.證明 若飽和區(qū)間不是開區(qū)間,不妨設(shè),則,這樣解還可以向右延拓,從而是非飽和解,矛盾.對時,同樣討論,即(或)時, .推論3 如果是無界區(qū)域,在上面解的延拓定理的條件下,方程(3.1)通過點的解可以延拓,以向增大(減小)一方的延拓來說,有以下兩種情況:(1) 解可以延拓到區(qū)間(或)；(2) 解只可延拓到區(qū)間(或)，其中為有限數(shù)，則當(dāng)時，或者無界,或者點.例1討論方程分別通過點和點的解的存在區(qū)間.解 此方程右端函數(shù)在整個平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條

16、件.易知方程的通解為 故通過點的解為,這個解的存在區(qū)間為；通過點的解為,這個解的存在區(qū)間為(如圖所示).注意, 過點的解為向右方可以延拓到,但向左方只能延拓到,因為當(dāng)時,.例2討論方程過點的解的存在區(qū)間.解 方程右端函數(shù)在右半平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件.區(qū)域(右半平面)是無界開域，軸是它的邊界.易知問題的解為,它于區(qū)間 上有定義、連續(xù)且當(dāng)時, ,即所求問題的解向右方可以延拓到,但向左方只能延拓到,且當(dāng)時積分曲線上的點趨向于區(qū)域的邊界上的點.例3 考慮方程,假設(shè)和在平面上連續(xù)，試證明：對于任意及，方程滿足的解都在上存在.證明 根據(jù)題設(shè),易知方程右端函數(shù)在整個平面上滿足解的存

17、在唯一性定理及解的延拓定理的條件.又為方程在上的解,由延拓定理可知,對,滿足的解應(yīng)當(dāng)無限遠離原點,但是,由解的唯一性, 又不能穿過直線,故只能向兩側(cè)延拓,而無限遠離原點,從而解應(yīng)在存在.注: 如果函數(shù)于整個平面上定義、連續(xù)和有界,同時存在關(guān)于的一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程(3.1)的任一解均可以延拓到區(qū)間.練習(xí) 試證對任意，方程滿足初始條件的解都在上存在.§3 解對初值的連續(xù)性和可微性定理在初值問題中我們都是把初值看成是固定的數(shù)值，然后再去討論方程經(jīng)過點的解.但是假如變動，則相應(yīng)初值問題的解也隨之變動，也就是說初值問題的解不僅依賴于自變量,還依賴于初值.例如：時,方程的解是,將初始條件帶入

18、,可得.很顯然它是自變量和初始條件的函數(shù).因此將對初值問題的解記為,它滿足.當(dāng)初值發(fā)生變化時，對應(yīng)的解是如何變化的？當(dāng)初始值微小變動時，方程解的變化是否也很小呢？為此就要討論解對初值的一些性質(zhì).1、解關(guān)于初值的對稱性設(shè)方程(3.1)滿足初始條件的解是唯一的,記為,則在此關(guān)系式中, 與可以調(diào)換其相對位置.即在解的存在范圍內(nèi)成立關(guān)系式 證明 在方程(3.1)滿足初始條件的解的存在區(qū)間內(nèi)任取一點,顯然,則由解的唯一性知,過點的解與過點的解是同一條積分曲線,即此解也可寫為 并且,有.又由是積分曲線上的任一點,因此關(guān)系式對該積分曲線上的任意點均成立. 2、 解對初值的連續(xù)依賴性由于實際問題中初始條件一般

19、是由實驗 測量得到的，肯定存在誤差. 有的時候誤差比較大，有的時候誤差比較小，在實際應(yīng)用中我們當(dāng)然希望誤差較小，也就是說當(dāng)變動很小的時候，相應(yīng)的方程的解也只有微小的變動，這就是解對初值的連續(xù)依賴性所要研究的問題：在討論這個問題之前，我們先來看一個引理：引理：如果函數(shù)于某域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足Lipschtiz條件（Lipschtiz常數(shù)為），則對方程（3.1）的任意兩個解及，在它們公共存在的區(qū)間內(nèi)成立著不等式 （3.17）其中為所考慮區(qū)域內(nèi)的某一值.證明 設(shè), 于區(qū)間上均有定義,令 則 于是 從而 所以,對,有 對于區(qū)間,令,并記,則方程(3.1)變?yōu)?而且已知它有解和.類似可得因此, 兩邊開平

20、方即得(3.17).利用此引理我們可以證明解對初值的連續(xù)依賴性： 解對初值的連續(xù)依賴定理 假設(shè)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足局部李普希茲條件，如果，初值問題有解，它于區(qū)間上有定義(),則對任意， ，使得當(dāng)時,方程(3.1)滿足條件的解在區(qū)間上也有定義，并且有 .證明 記積分曲線段是平面上一個有界閉集.第一步:找區(qū)域,使,而且在上關(guān)于滿足Lipschitz條件.由已知條件,對,存在以它為中心的開圓,使在其內(nèi)關(guān)于滿足Lipschitz條件.因此,根據(jù)有限覆蓋定理,可以找到有限個具有這種性質(zhì)的圓(不同的,其半徑和Lipschitz常數(shù)的大小可能不同),它們的全體覆蓋了整個積分曲線段,令,則,對,記,則以上

21、的點為中心,以為半徑的圓的全體及其邊界構(gòu)成包含的有界閉域,且在上關(guān)于滿足Lipschitz條件, Lipschitz常數(shù)為.第二步:證明，使得當(dāng)時,解在區(qū)間上也有定義.由于是一個有界閉域,且在其內(nèi)關(guān)于滿足Lipschitz條件,由解的延拓定理可知, 解必能延拓到區(qū)域的邊界上.設(shè)它在的邊界上的點為和,這時必有.否則設(shè),由引理有 利用的連續(xù)性,對,必有存在,使當(dāng)時有,取,則當(dāng)時就有 (3.18)于是對一切成立,特別地有 ,即點和均落在域的內(nèi)部,這與假設(shè)矛盾,故解在區(qū)間上有定義.第三步 證明.在不等式（3.18）中將區(qū)間換成，可知當(dāng)時，就有 .根據(jù)方程解對初值的連續(xù)依賴定理及解對自變量的連續(xù)性有3、解對初值