勾股定理的應(yīng)用

1、1（2015茂名校級一模）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因上周末，小鵬等三位同學(xué)在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速，觀測點設(shè)在到公路l的距離為100米的P處這時，一輛富康轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得APO=60°，BPO=45°，試判斷此車是否超過了每小時80千米的限制速度？（參考數(shù)據(jù)：=1.41，=1.73）考點：勾股定理的應(yīng)用分析：首先利用兩個直角三角形求得AB的長，然后除以時間即可得到速度解答：解：由題意知：PO=100米，APO=60°，BPO=45°，在直角三角形BPO中，BPO=45&

2、#176;，BO=PO=100m在直角三角形APO中，APO=60°，AO=POtan60°=100AB=AOBO=（100100）73米，從A處行駛到B處所用的時間為3秒，速度為73÷324.3米/秒=87.6千米/時80千米/時，此車超過每小時80千米的限制速度點評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，從復(fù)雜的實際問題中整理出直角三角形并求解是解決此類題目的關(guān)鍵2（2015秦皇島校級模擬）如圖，鐵路MN和鐵路PQ在P點處交匯，點A處是重慶市第九十四中學(xué)，AP=160米，點A到鐵路MN的距離為80米，假使火車行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響（1）火車在鐵路MN上

3、沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到影響？請說明理由（2）如果受到影響，已知火車的速度是180千米/時那么學(xué)校受到影響的時間是多久？考點：勾股定理的應(yīng)用專題：探究型分析：（1）過點A作AEMN于點E，由點A到鐵路MN的距離為80米可知AE=80m，再由火車行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響即可直接得出結(jié)論；（2）以點A為圓心，100米為半徑畫圓，交直線MN于BC兩點，連接AB、AC，則AB=AC=100m，在RtABE中利用勾股定理求出BE的長，進而可得出BC的長，根據(jù)火車的速度是180千米/時求出火車經(jīng)過BC是所用的時間即可解答：解：（1）會受到影響過點A作AEMN于點E，點A到鐵路MN的距

4、離為80米，AE=80m，周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響，80100，學(xué)校會受到影響；（2）以點A為圓心，100米為半徑畫圓，交直線MN于BC兩點，連接AB、AC，則AB=AC=100m，在RtABE中，AB=100m，AE=80m，BE=60m，BC=2BE=120m，火車的速度是180千米/時=50m/s，t=2.4s答：學(xué)校受到影響的時間是2.4秒點評：本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在解答此類題目時要根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理求解3（2015邵陽縣一模）如圖，根據(jù)道路管理規(guī)定，在某筆直的大道AB上行駛的車輛，限速60千米/時，已知測速站點M距大道AB的距離MN為3

5、0米，現(xiàn)有一輛汽車從A向B方向勻速行駛，測得此車從A點行駛到B點所用時間危機6秒，AMN=60°，BMN=45°（1）計算AB的長度（結(jié)果保留整數(shù)）（2）通過計算判斷此車是否超速（溫馨提示：1.732，1.414）考點：勾股定理的應(yīng)用分析：（1）已知MN=30m，AMN=60°，BMN=45°求AB的長度，可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形；（2）求得從A到B的速度，然后與60千米/時16.66米/秒，比較即可確定答案解答：解：（1）在RtAMN中，MN=30，AMN=60°，AN=MNtanAMN=30在RtBMN中，BMN=45°，BN=MN

6、=30AB=AN+BN=（30+30）米；（2）此車從A點行駛到B點所用時間為6秒，此車的速度為：（30+30）÷6=5+513.66，60千米/時16.66米/秒，13.6616.66不會超速點評：本題考查了勾股定理以及解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題目中抽象出直角三角形，難度不大4（2015無錫校級一模）耩（jing）子是一種傳統(tǒng)農(nóng)用播種的工具，大小款式不一，圖（1）是改良后有輪子的一種，圖（2）是其示意圖，現(xiàn)測得AC=40cm，C=30°，BAC=45°為了使耩子更牢固，AB處常用粗鋼筋制成，則制作此耩子時需要準(zhǔn)備多長的粗鋼筋？（結(jié)果保留根號）考點：勾股

7、定理的應(yīng)用分析：過點B作BDAC于D設(shè)BD=x，在RtABD中和RtCBD中，分別求出AB和CD的值，再利用條件AD+CD=AC，即x+x=40，解方程求出x的值，進而求出AB的值解答：解：過點B作BDAC于D設(shè)BD=x，在RtABD中，BAC=45°，BD=AD=x，AB=x，在RtCBD中，ACB=30°，CD=x，AD+CD=AC，x+x=40，x=2020，AB=x=2020答：制作此耩子時需準(zhǔn)備（2020）cm的粗鋼筋點評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解直角三角形的一般過程是：將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）根據(jù)題

8、目已知特點選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案5（2015濱江區(qū)一模）如圖1，海邊有兩個燈塔A，B即將靠岸的輪船得到信息：海里有一個以AB為弦的弓形暗礁區(qū)域，要求輪船在行駛過程中，對兩燈塔的張角不能超過45°當(dāng)輪船航行到P點時，測得輪船對兩燈塔的張角APB剛好等于45°（1）請用直尺和圓規(guī)在圖中作出如圖2APB的外接圓（作出圖形，不寫作法，保留痕跡）；（2）若此時輪船到B的距離PB為700米，已知AB=500米，求出此時輪船到A的距離考點：勾股定理的應(yīng)用；三角形的外接圓與外心；作圖復(fù)雜作圖分析：（1）作任意兩邊的垂直平分

9、線，交點即為外接圓的圓心；（2）過B作BHAP，將整個三角形分成兩個含有特殊角的三角形求解即可解答：解：（1）如圖1：O就是所求作的圓（2）如圖2，過A作AHBP，在RtAPH中，P=45，AH=PH設(shè)BH=PH=x，則BH=700x在RtBAH中，x2+（700x）2=5002，x2700x+120000=0，解得：x=300或x=400，AP=米或AP=米答：輪船距離B有或米點評：本題考查了勾股定理及基本作圖的知識，解題的關(guān)鍵是將整個三角形分成兩個含有特殊角的三角形，難度不大6（2015張店區(qū)一模）一輛汽車的背面，有一種特殊形狀的刮雨器，忽略刮雨器的寬度可抽象為一條折線OAB，如圖1所示，

10、量得連桿OA長為10cm，雨刮桿AB長為45cm，OAB=120°若啟動一次刮雨器，雨刮桿AB正好掃到水平線CD的位置，如圖2所示（1）求雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)的最大角度及O、B兩點之間的距離；（2）求雨刮桿AB掃過的最大面積考點：勾股定理的應(yīng)用；全等三角形的應(yīng)用；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分析：（1）利用已知圖形得出雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)的最大角度，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BE的長，進而求出BO的長；（2）直接得出BAOOCD，進而得出雨刮桿AB掃過的最大面積解答：解：（1）雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)的最大角度為180°，如圖2，連接OB，過O點作AB的垂線交BA的延長線于E，OAB=120°，OAE=

11、60°在RtOAE中，OAE=60°，OA=10m，sinOAE=，OE=5m，AE=5mEB=AE+AB=50m，在RtOEB中，OE=5m，EB=50m，OB=（m）；（2）雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)180°得到CD，即OCD與OAB關(guān)于點O中心對稱，BAOOCD，SBAO=SOCD，雨刮桿AB掃過的最大面積S=（OB2OA2）=1237.5（m2）點評：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出OE的長是解題關(guān)鍵7（2015寶山區(qū)一模）如圖，P為O的直徑MN上一點，過P作弦AC、BD使APM=BPM，求證：PA=PB考點：勾股定理的應(yīng)用專

12、題：證明題分析：根據(jù)角平分線性質(zhì)求出OE=OF，根據(jù)勾股定理求出AE=BF，PE=PF，即可得出答案；解答：解：過O作OEAC于E，OFBD于F，連接OB、OA，APM=BPM，OE=OF，在RtAEO和RtBFO中，OF=OE，OA=OB，由勾股定理得：AE=BF，在RtPEO和RtPFO中，OF=OE，OP=OP，由勾股定理得：PE=PF，PA=PB點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)和作出輔助線構(gòu)建直角三角形是本題的關(guān)鍵8（2015春召陵區(qū)期中）如圖，一架2.5米長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AC上，這時梯足B到墻底端C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.

13、4米，那么梯足將向外移多少米？考點：勾股定理的應(yīng)用專題：計算題分析：在直角三角形ABC中，已知AB，BC根據(jù)勾股定理即可求AC的長度，根據(jù)AC=AA1+CA1即可求得CA1的長度，在直角三角形A1B1C中，已知AB=A1B1，CA1即可求得CB1的長度，根據(jù)BB1=CB1CB即可求得BB1的長度解答：解；在直角ABC中，已知AB=2.5m，BC=0.7m，則AC=m=2.4m，AC=AA1+CA1CA1=2m，在直角A1B1C中，AB=A1B1，且A1B1為斜邊，CB1=1.5m，BB1=CB1CB=1.5m0.7m=0.8m答：梯足向外移動了0.8m點評：本題考查了勾股定理在實際生活中的應(yīng)用

14、，考查了勾股定理在直角三角形中的正確運用，本題中求CB1的長度是解題的關(guān)鍵9（2015春烏蘭察布校級期中）一架梯子長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米到A，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？考點：勾股定理的應(yīng)用專題：幾何圖形問題分析：（1）利用勾股定理直接得出AB的長即可；（2）利用勾股定理直接得出BC的長，進而得出答案解答：解：（1）由題意得：AC=25米，BC=7米，AB=24（米），答：這個梯子的頂端距地面有24米；（2）由題意得：BA=20米，BC=15（米），則：CC=157=8（米），答：梯子的底端在水平方向

15、滑動了8米點評：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練利用勾股定理是解題關(guān)鍵10（2015春長汀縣期中）有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高考點：勾股定理的應(yīng)用專題：應(yīng)用題分析：根據(jù)題中所給的條件可知，竹竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運用勾股定理可求出門高解答：解：設(shè)門高為x尺，則竹竿長為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理可得：x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，解得：x=7.5，故：門高7.5尺，竹竿高=7.5+1=8.5尺點評：本題考查勾股定理的運用，正確運用

16、勾股定理，將數(shù)學(xué)思想運用到實際問題中是解答本題的關(guān)鍵，難度一般11（2015春定州市期中）11世紀(jì)的一位阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家曾提出一個“鳥兒捉魚”的問題“小溪邊長著兩棵棕櫚樹，恰好隔岸相望一棵樹高是30肘尺（肘尺是古代的長度單位），另外一棵高20肘尺；兩棵棕櫚樹的樹干間的距離是50肘尺每棵樹的樹頂上都停著一只鳥忽然，兩只鳥同時看見棕櫚樹間的水面上游出一條魚，它們立刻飛去抓魚，并且同時到達(dá)目標(biāo)問這條魚出現(xiàn)的地方離開比較高的棕櫚樹的樹根有多遠(yuǎn)？考點：勾股定理的應(yīng)用分析：根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理建立方程，求出x的值即可解答：解：畫圖解決，通過建模把距離轉(zhuǎn)化為線段的長度由題意得：AB=20，DC=30，

17、BC=50，設(shè)EC為x肘尺，BE為（50x）肘尺，在RtABE和RtDEC中，AE2=AB2+BE2=202+（50x）2，DE2=DC2+EC2=302+x2，又AE=DE，x2+302=（50x）2+202，x=20，答：這條魚出現(xiàn)的地方離比較高的棕櫚樹的樹根20肘尺另解：設(shè)：這條魚出現(xiàn)的地方離比較高的棕櫚樹的樹根肘尺，則這條魚出現(xiàn)的地方離比較低的棕櫚樹的樹根（50x）肘尺得方程：x2+302=（50x）2+202可解的：x=20；答：這條魚出現(xiàn)的地方離比較高的棕櫚樹的樹根20肘尺點評：本題考查勾股定理的正確運用；善于挖掘題目的隱含信息是解決本題的關(guān)鍵12（2015春江夏區(qū)期中）水池中有水

18、，水面是一個邊長為10尺的正方形，水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面水的深度和這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？考點：勾股定理的應(yīng)用分析：找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答解答：解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+（）2=（x+1）2，解得：x=12，蘆葦?shù)拈L度=x+1=12+1=13（尺），答：水池深12尺，蘆葦長13尺點評：本題考查正確運用勾股定理善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵13（2015春平南縣期中）如圖所示，在一次夏令營活動中，小明坐車從營地A點出發(fā)，沿北偏東60

19、6;方向走了100km到達(dá)B點，然后再沿北偏西30°方向走了100km到達(dá)目的地C點，求出A、C兩點之間的距離考點：勾股定理的應(yīng)用分析：根據(jù)所走的方向可判斷出ABC是直角三角形，根據(jù)勾股定理可求出解解答：解：ADBEABE=DAB=60°CBE=30°ABC=180°ABECBE=180°60°30°=90°，在RtABC中，=200，A、C兩點之間的距離為200km點評：本題考查勾股定理的應(yīng)用，先確定是直角三角形后，根據(jù)各邊長，用勾股定理可求出AC的長，且求出DAC的度數(shù)，進而可求出點C在點A的什么方向上14（2

20、015春無棣縣期中）如圖所示，一架長為2.5米的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時梯子的底端距離底0.7米，求梯子頂端離地多少米？如果梯子頂端沿墻下滑0.4m，那么梯子底端將向左滑動多少m？考點：勾股定理的應(yīng)用分析：首先利用勾股定理得出BO的長，進而求出CO的長，即可得出答案解答：解：由題意可得：AB=2.5m，AO=0.7m，故BO=2.4（m），梯子頂端沿墻下滑0.4m，DO=2m，CD=2.5m，CO=1.5m，AC=COAO=1.50.7=0.8（m）答：梯子底端將向左滑動0.8m點評：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練利用勾股定理是解題關(guān)鍵15（2015春孝南區(qū)期中）在海洋上有一近似于四邊

21、形的島嶼，其平面圖如圖，小明據(jù)此構(gòu)造出該島的一個數(shù)學(xué)模型（如圖四邊形ABCD）來求島嶼的面積，其中B=D=90°，AB=BC=15千米，CD=3千米，請求出四邊形ABCD的面積（結(jié)果保留根號）考點：勾股定理的應(yīng)用分析：連接AC，根據(jù)AB=BC=15千米，B=90°得到BAC=ACB=45° AC=15，再根據(jù)D=90°利用勾股定理求得AD的長后即可求面積；解答：解：連接ACAB=BC=15千米，B=90°BAC=ACB=45° AC=15千米，又D=90°，AD=12（千米） 面積=SABC+SADC=112.5+18（平方

22、千米）點評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，與實際問題相結(jié)合提高了同學(xué)們解題的興趣，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出直角三角形并求解16（2015春滑縣期中）在平靜的湖面上有一枝紅蓮花高出水面1米，一陣風(fēng)吹來，花朵從根部傾斜被風(fēng)吹到一邊，花朵剛好齊及水面，這情景被在湖中游船上的小麗看見，她發(fā)現(xiàn)紅蓮移動的水平距離為2米，她想利用所學(xué)知識求出水深，你能幫她算出來嗎？考點：勾股定理的應(yīng)用分析：根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用勾股定理解答解答：解：如圖，AD是紅蓮高出水面部分，即AD=1，B是紅蓮入泥處（根部）設(shè)BD=x，則BA=1+x，所以BC=AB=1+x，在RtBCD中，CD2+BD2=BC2，即22

23、+x2=（1+x）2，4+x2=1+2x+x2，2x=3解得：x=即這里的水深m點評：此題主要考查學(xué)生對勾股定理的應(yīng)用這一知識點的理解和掌握，關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解，難度不大，屬于中檔題17（2015春岱岳區(qū)期中）小明爸爸給小明出了一道題：如圖，修公路AB遇到一座山，于是要修一條隧道BC已知A，B，C在同一條直線上，為了在小山的兩側(cè)B，C同時施工過點B作一直線m（在山的旁邊經(jīng)過），過點C作一直線l與m相交于D點，經(jīng)測量ABD=130°，D=40°，BD=1000米，CD=800米若施工隊每天挖100米，求施工隊幾天能挖完？考點：勾股定理的應(yīng)用分析：根據(jù)題意得出ACD=90°，再利用勾股定理得出BC的長即可得出答案解答：解：ABD=130°，D=40°，DBC=50°，則ACD=90°，BD=1000米，CD=800米，BC=600m，故600÷100=6（天），答：施工隊6天能挖完點評：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，得出ACD的度數(shù)是解題關(guān)鍵18（2015春婁底期中）如圖，將長為2.5