不同桿尖對硬度計的測試問題的研究

1、 不同桿尖對硬度計的測試問題的研究目錄1 提出問題11.1 問題的介紹11.2 問題的分析12基本概念13區(qū)組設計24統(tǒng)計分析44.1 獲取數(shù)據(jù)44.2 統(tǒng)計模型44.3 方差分析54.4 區(qū)組檢驗64.5 多重比較74.6 模型檢驗95 總結10參考文獻11附 錄12121 提出問題1.1 問題的介紹硬度計把桿尖壓入金屬試件后顯示的讀數(shù)就是該金屬硬度的測試值?？疾?種不同的桿尖在同一臺硬度計上是否得出不同的讀數(shù)。取4塊金屬試件，讓每個桿尖在每塊試件上各壓入一次。這樣安排是含有4個處理（桿尖）和4個區(qū)組（金屬試件）的隨機化完全區(qū)組設計。實驗數(shù)據(jù)見附錄.（1） 計算各類平方和，寫出方差分析表，若

2、取顯著性水平=0.05，你從中的到什么結論？（2） 若4種處理方法間有顯著差異，做多重比較，你從中的出什么結果？1.2 問題的分析此問題的試驗設計包含4種處理和4個區(qū)間，并且要求計算各類平方和，寫出方差分析表，做多重比較，這可以看成一個完全區(qū)組設計，所以我們可以利用完全區(qū)組設計的模型來解決此類問題。2基本概念區(qū)組設計由于試驗條件不均勻，比如：試驗場地、人員、設備、試驗材料等存在一些差異，可能會對試驗結果造成不良影響。為解決這樣的問題，把全部試驗單元分為若干個區(qū)組，使得每個區(qū)組內各試驗單元之間的差異盡可能的小，而區(qū)組間允許存在一些差異，這樣的試驗設計稱為區(qū)組設計。隨機化完全區(qū)組設計設有v個處理需

3、要比較，有n 個試驗單元用于試驗。 第一步：把n個試驗單元均分為k個組（k= n/v），使每個組內的試驗單元盡可能相似，這樣的組稱為區(qū)組。第二步：在每個區(qū)組內對各試驗單元以隨機方式實施不同處理這樣的設計稱為隨機化區(qū)組設計。若區(qū)組容量處理個數(shù)v，這樣的設計稱為隨機化完全區(qū)組設計。即一般所稱的隨機區(qū)組設計。隨機區(qū)組設計使用區(qū)組方法減小誤差變異，即用區(qū)組方法分離出由無關變量引起的變異，使他不出現(xiàn)在處理效應和誤差變異中，設計簡單，容易掌握。多重比較在多個水平場合，同時比較其中任意兩個水平均值間有無顯著差異的問題稱為多重比較問題。例如：若有r（r2）個水平均值1，2，,r，則同時檢驗以下Cr2個假設：H

4、0ij: i=j iF1- (fA , fe)其方差分析表如下：表 3 隨機化完全區(qū)組設計的方差分析表來源平方和 自由度 均方和 F比處理區(qū)組誤差SA=1bi=1vTi2-T2vb fA=v-1 MSA=SA/fA F=MSAMSe SB=1vj=1bBj2-T2vb fB=b-1 MSB=SB/fB _Se=ST-SA-SB fe=(v-1)(b-1) MSe=Se/fe總和ST=i=1Vj=1byij2-T2vb fT=vb-1將試驗數(shù)據(jù)代入所建立的模型并進行方差分析:ST=9.32+9.42+9.62+102+10.22-1542/16=1.29 ,fT=15 SA=(38.32+38.

5、42+37.82+39.52)/4-1542/16=0.385 ,fA=3SB=(37.62+37.72+38.92+39.82)/4-1542/16=0.825 ,fB=3Se=1.29-0.385-0.825=0.08 ,fe=9把這些平方和以及其自由度移至方差分析表上再進行F檢驗，見表4.表 4 方差分析表來源平方和 自由度 均方和 F比處理區(qū)組誤差0.385 3 0.128 14.40.825 3 0.2750.08 9 0.0089 總和1.29 15若取顯著性水平=0.05，則其臨界值F0.95(3,9)=3.86,由于F3.86，從而拒絕H0，故4種桿尖對金屬試件的硬度測量結果有

6、顯著差異。另外，還可得到這個試驗的誤差方差2的估計：2=0.0089，其標準差的估計為=0.094。4.4 區(qū)組檢驗F=區(qū)組均方和誤差均方和=0.2750.0089=30.90 仍給定顯著性水平=0.05，其臨界值為F0.05(3,9)=3.86 ,由于F3.86，從而認為區(qū)組效應顯著，當初設立區(qū)組是很有必要的。若不設立區(qū)組，區(qū)組平方和將并入誤差平方和，其方差如表5所示。表 5 不設立區(qū)組的方差分析表來源平方和 自由度 均方和 F比處理誤差0.385 3 0.128 1.69720.905 12 0.0754 總和1.29 15若設顯著性水平=0.05，那么該檢驗的臨界值為F0.95(3,12

7、)=3.49，由于F3.49，故不能拒絕H0，即4種處理間沒有顯著差異。這一錯誤結論是沒有重視區(qū)組作用而導致的。所以在試驗中，凡是在試件中存在（或可能存在）明顯差異時，都應運用區(qū)組概念去減少數(shù)據(jù)中的誤差。4.5 多重比較在隨機化區(qū)組設計中，若經方差分析處理因子是顯著的，那對各處理間還需作多重比較，以便發(fā)現(xiàn)哪些處理值得重視。由于此次試驗為隨機化完全區(qū)組設計，區(qū)組數(shù)b就是重復數(shù)，且各處理的重復數(shù)都相等，這時誤差自由度fe=（r-1）（b-1）所以采用T法對此4種處理進行多重比較。重復次數(shù)相等情況的T法 這是Tukey在1953年提出的多重比較方法，簡稱T法，適用于重復數(shù)相等的情況，這里設重復數(shù)皆為

8、m。直觀考慮，當H0ij為真時，|-yi-yj|不應過大，過大就應該拒絕H0ij。因此在同時考慮Cr2個假設H0ij時，“諸H0ij中至少有一個不成立”就構成多重比較的拒絕域W，它應有如下形式：W=Uic這里-yi表示水平Ai下數(shù)據(jù)的平均值，i=1,2,r。如果給定顯著性水平，就要確定這樣的臨界值c，使得上述Cr2個假設H0ij都成立時，而犯第一類錯誤的概率P(W)=。下面來確定臨界值c。 PW=PUic=1-Pij-yi-yjc =1-Pmaxij-yi-yjc=Pmaxic =PmaxicMSem=PmaxicMSem =Pmaxi -yi-iMSem-mini -yi-iMSemcMSe

9、m 其中MSe為方差分析中的誤差均方和，它是方差2的無偏估計，并且與諸-yi相互獨立，從而 -yi-i MSemt(fe)于是tr=maxi -yi-iMSem t1=mini -yi-iMSem分別是來自t(fe)分布的容量為r的樣本的最大與最小次序統(tǒng)計量，從而 q(r,fe)=tr-t(1)是t(fe)的容量為r的樣本極差，它被稱為t化極差統(tǒng)計量，它的分布不易導出，但知它的分布只與t分布的自由度fe（即誤差平方和的自由度）和樣本量r（即因子A的水平數(shù)有關，因此可以用隨機模擬法獲得q(r,fe)分布的分位數(shù)，為使PW=Pq(r,fe)cMSem=可取q(r,fe)的1-分位數(shù)，使 cMSem

10、=q1-(r,fe)，從而顯著性水平為的臨界值為： c=q1-(r,fe)MSem 綜上可知，其顯著性水平為的拒絕域為：-yi-yjq1-r,feMSem iq1-r,feMSeb i 4.410.0089 4 =0.208時，表示第i個處理與第j個處理間有顯著差異。如今從表2可查得：-T1=9.575 -T2=9.6 -T3=9.875 -T4=9.45 它們兩兩之間差的絕對值分別為：-T1-T2=0.4250.208,-T1-T3=0.30.208, -T1-T4=0.125,-T2-T3=0.2750.208,-T2-T4=0.15, -T3-T4=0.4250.208,由此可見，除了第

11、1種與第4種、第2種與第4種桿尖之間無顯著差異外，其他各對之間均有顯著差異。特別是第2種和第3種桿尖之間有顯著差異。4.6 模型檢驗對于模型的檢驗涉及正態(tài)性假定和方差齊性等兩個問題，而我們的此次試驗缺少重復的情況，對誤差方差齊性的檢驗還缺少方法，我們只能從數(shù)據(jù)的產生過程對誤差方差齊性做些定性的判斷。譬如此次試驗所得數(shù)據(jù)是在相同的或類似的試驗環(huán)境下產生的，可以認為誤差方差近似達到齊性。正態(tài)性診斷我們可以借助殘差分析進行。在此次試驗中，r-4，b=4，共進行16次試驗，故有16個殘差?？紤]到區(qū)組效應顯著，故殘差計算公式為：eij=yij-Ti-Bj+-y可得16個殘差，它們（按從小到大次序）是：-

12、0.1 -0.075-0.075-0.075-0.05-0.05-0.025-0.0250 0.025 0.025 0.025 0.05 0.1 0.1 0.15這時殘差的正態(tài)概率圖如圖1所示。從該圖可以看出，沒有非正態(tài)性的嚴重標志，可認為該組殘差近似為正態(tài)分布。圖 1 殘差的正態(tài)概率圖5 總結硬度是指材料抵抗其它較硬物體壓入其表面的能力，是衡量材料軟硬的一個指標，對不同的應用材料有不同的含義。硬度值的大小是表征材料軟硬程度的有條件的定量反映。它不是一個單純而確定物理量，而是表征著材料的彈性、塑性、強度和韌性等一系列不同物理量組合的一種綜合性能指標。硬度值的大小不僅取決于材料的本身，而且取決于測試條件和測定方法，即不同的硬度測量方法，對同一種材料測定的硬度值不盡相同。因此，要衡量材料之間的硬度大小，必須使用同一種測量方法測量的硬度值進行比較。通過方差分析我們得出4種桿尖對金屬試件的硬度測量結果有顯著差異，再經過對區(qū)組的檢驗，我們發(fā)現(xiàn)當初設立區(qū)組是很有必要的，凡是在試件中存在（或可能存在）明顯差異時，都應運用區(qū)組概念去減少數(shù)據(jù)中的誤差。最后對各處理作多重比較，發(fā)現(xiàn)第1種與第4種、第2種與第4種桿尖之間無顯著差異外，其他各對之間均有顯著差異，特別是第2種和第3種桿尖之間有顯著差異。參考文獻1 茆詩松 周紀薌 陳穎主編試驗設計（第2版）中國統(tǒng)計出版社，20122 趙選民著.