量子力學(xué)-束縛態(tài)和散射態(tài)概念比較

1、量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論束縛態(tài)和散射態(tài)量子力學(xué)的主要研究對象有兩類：束縛態(tài) 散射態(tài)束縛態(tài)：在勢阱中E<V0情況下，束縛態(tài)能量是分立的，是束縛態(tài)邊界條件下求解定態(tài)波動方程的必然結(jié)果。由前面的討論可知，在一定的邊界條件下，只有某些本征值所對應(yīng)的解才是有物理意義的。散射態(tài)：是能量連續(xù)的態(tài)，此時能量間隔趨于 0，態(tài)函數(shù)是自由粒子平面波的疊加。對勢壘散射問題和部分勢阱問題，一般要考慮散射態(tài)的存在在通常的教材中，束縛態(tài)問題和散射問題一般是不同邊界條件分別處理的。實際上二者有極其密切的聯(lián)系。下面將予以討論2、勢阱中的束縛態(tài)對勢阱，有，見右圖。在處，。為游離態(tài)（自由態(tài)），E可

2、取任何連續(xù)值。時則可能存在束縛態(tài)，此時E取分立值。以下討論的情況。定態(tài)Schrodinger方程為，積分可得出勢阱躍變條件，與勢壘躍變條件比較：在區(qū)域，Schrodinger方程可以寫成為其中，解為，可寫為，利用邊界條件可以知道以上兩結(jié)論是一致的?？紤]到，要求束縛定態(tài)有確定宇稱（不簡并，因為是一維），(a)偶宇稱態(tài)或?qū)懗蒫為歸一化因子?，F(xiàn)在根據(jù)躍變條件求解。按的躍變條件，因此可得出粒子能量的本征值由歸一化條件，可得出，是勢的特征長度。這樣歸一化的束縛定態(tài)波函數(shù)可寫為這是勢阱中的唯一束縛態(tài)。屬于能量。在中找到粒子的幾率為(b)奇宇稱態(tài)波函數(shù)可表為由點波函數(shù)連續(xù)性條件可得，所以不可能存在奇宇稱束縛

3、定態(tài)。從物理上考慮，奇宇稱態(tài)在波函數(shù)點必為0。而勢阱又恰在點起作用。所以勢阱對奇宇稱態(tài)沒有影響，故而不能形成束縛態(tài)（參見P60思考題）。2、勢與方勢的關(guān)系，躍變的條件勢是一種短程相互作用的理想模型，可堪稱方位勢的一種特殊情況，原則上，它可以從方勢的解取極限而得到。從勢求解更為方便。不連續(xù)，但粒子流密度連續(xù)。以下僅討論的躍變條件?？紤]粒子對方勢壘的散射。在其內(nèi)部，Schrodinger方程為考慮粒子能量情況，在勢壘內(nèi)部（），波函數(shù)可表為其中。顯然，而且?，F(xiàn)在讓，而對勢壘，（？）若保持（常數(shù)），則方勢壘將趨于一個勢壘。利用，得，當(dāng)，（保持）時，但且當(dāng)時，代入，由得即此恰為前述的躍變條件。2、束縛能

4、級與透射振幅極點的關(guān)系束縛能級與散射問題有著密切的關(guān)系。下面以一維勢阱為例進(jìn)行分析。散射問題中我們?nèi)?，而在勢阱束縛態(tài)的。對的透射振幅，如把的透射振幅解析延拓到時，我們來研究束縛能級與透射振幅極點的關(guān)系。先討論函數(shù)勢阱，此時透射振幅由其中，。（注意已將勢壘透射振幅表達(dá)式中的）如解析延拓到E<0能閾（k為虛），由，則S有單極點（一階極點）。此時，由前可知，此恰為勢阱的唯一束縛能級。對于方勢阱，其解析延拓情況可參閱教材相關(guān)內(nèi)容。作業(yè)：p82 13§3.5 一維諧振子 經(jīng)典物理的諧振子模型：分子的振動、晶格的振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等量子物理的諧振子模型：黑體輻射 場量子化

5、 等，把場中的粒子看作諧振子一維諧振子的本征值問題是處理量子力學(xué)問題的最基本的范例。一、勢函數(shù) 選線性諧振子的平衡位置為坐標(biāo)原點，以坐標(biāo)原點為零勢能點，則一維線性諧振子的勢能為：m 是粒子的質(zhì)量k 是諧振子的勁度系數(shù)是諧振子的角頻率二、薛定諤方程及解或理想的諧振子是一個無限深勢阱。因為時，為束縛態(tài)。為化簡上述方程，便于求解，引進(jìn)無量綱參數(shù)，上述方程可化為這是個變系數(shù)常微分方程。（1）先討論行為，求漸進(jìn)解（此時可略去）對方程其解顯然可以寫為，因為，根據(jù)束縛態(tài)邊界條件，有，（2）求實際解利用，有，代入方程（4）得所滿足的方程，這就是所謂的Hermite方程。為方程的常點?？稍卩徲蛴脙缂墧?shù)展開。計算

6、表明，一般情況下解為無窮級數(shù)。當(dāng)時，不能滿足有界條件。為得到有界解，冪級數(shù)要求中斷為一多項式?？梢宰C明，當(dāng)時可以得出一多項式解此時， n = 0, 1, 2, 第二項稱為n界厄米多項式，宇稱為（？）滿足下列遞推關(guān)系，是的次多項式。歸一化波函數(shù)為，是一個實函數(shù)其中。在求歸一化系數(shù)A時，要用到厄米多項式的正交關(guān)系，所以歸一化波函數(shù)為最常用的幾個態(tài)，基態(tài)，（偶宇稱），第一激發(fā)態(tài)，（奇宇稱），第二激發(fā)態(tài)，（偶宇稱）線性諧振子波函數(shù)線性諧振子位置概率密度線性諧振子 n=11 時的概率密度分布虛線代表經(jīng)典結(jié)果： 經(jīng)典諧振子在原點速度最大，停留時間短粒子出現(xiàn)的概率小； 在兩端速度為零，出現(xiàn)的概率最大。 討論

7、：微觀一維諧振子能量量子化，能量特點：(1)量子化，等間距 (2)有零點能符合不確定關(guān)系概率分布特點: E < V 區(qū)有隧道效應(yīng)基態(tài)的性質(zhì)零點能這是束縛態(tài)的一個典型特征，是測不準(zhǔn)原理的一個直接結(jié)果?；鶓B(tài)位置概率分布是個Gauss分布量子：在x = 0 處概率最大在其它范圍也能找到粒子。經(jīng)典：在處的粒子速率最大，概率最小。基態(tài)諧振子只允許在（）的區(qū)域中運動，而為經(jīng)典禁區(qū)。在處，勢能為總能量。為振動轉(zhuǎn)折點，屬于經(jīng)典禁區(qū)。見右圖。但按照量子力學(xué)觀點，粒子仍有一定幾率出現(xiàn)在這個區(qū)域。容易算出此幾率為如圖所示。當(dāng)時，量子概率分布過渡到經(jīng)典概率分布符合玻爾對應(yīng)原理躍遷有選擇定則： 躍遷只能逐級進(jìn)行各躍遷發(fā)出的譜頻率相同，只有一條譜線例題：設(shè)粒子處在一維無限深勢阱中，處于基態(tài)，求粒子的動量分布。解：分析由對稱，解為偶宇稱態(tài)