專題檢測(cè)(十)空間幾何體、三視圖、表面積與體積

1、第16頁(yè)共10頁(yè)專題檢測(cè)（十）空間幾何體、三視圖、表面積與體積A組一一“12+4”滿分練、選擇題1.（2019福州市第一學(xué)期抽測(cè)）如圖，為一圓柱切削后的幾何體及其正視圖，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以是（解析：選B圓，故選B.A.C.解析：選B正視圖由題意，根據(jù)切削后的幾何體及其正視圖,可得相應(yīng)的側(cè)視圖的切口為橢2.如圖，在正方體 ABCD-A1B1C1D1中,P為BD1的中點(diǎn)，則 PAC在該正方體各個(gè)面上的正投影可能是B.()D.連接A1C1則點(diǎn)P在上、卜底面的正投影落在 A1C1或AC上，所以APAC在上底面或下底面的正投影為，在前面、后面、左面、右面的正投影為.故選B.3.（2019武漢市調(diào)研測(cè)試）

2、如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為CD的中點(diǎn)，則三棱錐 A- BC1M的體積VA-BC1M = （）5a.21C.61 D.121 一 1.11 .斛析：選 C VA-BC1M = VC1-ABM = 3sbmGC.X2ABXADXC1C = 6.故選 c.4.設(shè)一個(gè)球形西瓜，切下一刀后所得切面圓的半徑為 則該西瓜的體積為（）4,球心到切面圓心的距離為3A.100 兀256B.二-兀3J00C. 丁兀3500D.兀3解析：選D 因?yàn)榍忻鎴A的半徑r=4,球心到切面的距離d=3,所以球的半徑R=<r2+d2 =442+ 32 = 5,故球的體積V = ： ttR3 =

3、 兀X 53 =兀，即該西瓜的體積為.故3333選D.5.（2019屆高三 開(kāi)封高三定位考試該幾何體白體積為（）某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則B.2兀A.4兀D.兀解析：選B 由題意知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體為圓柱的-J3兀部分，設(shè)底面扇形的圓心角為a,由tan a=-t-= V3,得a=-,故底面面131 兀 22 7t2 兀一，積為1 X1X22=k，則該幾何體的體積為.X3= 2兀.故選B.2 3332兀6.某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為3兀且圓心角為3的扇形，此圓錐的體積為（）A.兀2可2兀B. 3C.2兀D.2d2 兀解析：選B 設(shè)圓錐的母線為 R,底面圓的半徑

4、為 一 1 Or ,扇形的圓心角為 a,則S= 2 aR1 2 712r=-X Vx R =3tt,解得R=3,底面圓的半徑r滿足三 23R2兀,解得r=1,所以這個(gè)圓錐的高2兀h= 32- 12 =242,故圓錐的體積 7=。2卜="2.故選B. 337.已知矩形ABCD, AB=2BC,把這個(gè)矩形分別以 AB, BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所成幾何體的側(cè)面積分別記為Si, S2,則&與&的比值等于（）1A.2B.1C.2D.4解析：選 B 設(shè) BC= a, AB= 2a,所以 S = 2 兀 a 2a = 4 兀a1SC1,且 SA1 = 472, SC1=5,所以

5、 S 與A1B1=3X4V2X2=6V2, S 屬B1C1 = 4 X 5 X= 10,所以該幾何體的表面積為12 + 8+6+16+12+66+10=64 + 642.在棱SD上取一點(diǎn) D1，使 1得 DD1 = 2,連接 A1D1, C1D1,則該幾何體的體積 V= VSA1B1C1D1+VABCD-A1B1C1D1=：X 12X 4+ 12X 2= 40.故選 C.9.（2019蓉城名校第一次聯(lián)考）已知一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖1所示，其俯視圖用斜二測(cè)畫(huà)法所畫(huà)出的水平放置的直觀圖是一個(gè)直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形（如圖2所示），則此幾何體的體積為（）, S2 = 2 兀 2a a=

6、4兀a2, Si S2 =1.故選B.8.（2019廣東省七校聯(lián)考則該幾何體的表面積和體積分別是（）某幾何體的三視圖如圖所示,弗視圖B.24+6J2和 72A.24 + 6也和 40C.64+6*和 40D.64 + 6g和 72解析：選C 把三視圖還原成幾何體，如圖所示由題意知 S四邊形ABCD= 12, S四邊形 BCC1B1= 8, S四邊形 ABB1A1= 6, S四邊形 ADSA1 = （2 +116）X4X2=16, S四邊形 DCC1S=（2+6）X3X2=12.易得 B1A1ISA1 , B1C1,圖1圖2A.1B. 2C.2D.22解析：選B 根據(jù)直觀圖可得該幾何體的俯視圖是

7、一個(gè)直角邊長(zhǎng)分別是2和<2的直角三角形（如圖所示），根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐，且三棱錐的高為3,所以體積V=；X（X2X/% 3= #.故選B.10.九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中提到了一種名為“芻薨”的五面體， 如圖所示，四邊形ABCD為矩形，棱EF / AB.若此幾何體中,AB = 4, EF = 2, AADE和 BCF都是邊長(zhǎng)為 2的等邊三角形，則該幾何體的表面積為（A.8 3C.6V2 + 2 如)B.8 + 8V3D.8 + 6V2+2V3解析：選B 如圖所示，取BC的中點(diǎn)P,連接PF,則PFXBC,過(guò)F作FQXAB,垂足為 Q.因?yàn)?ADE和4BC

8、F都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且 EF / AB,所以四邊形ABFE為等腰梯形，F(xiàn)P = 43,則 BQ = 2(ABEF)=1, FQ= BF2BQ2=V3,所以S 梯形 EFBA = S 梯形 EFCD = 2 * (2+4)*欣=373,又 S"DE = SBCF = 2 * 2 X 3= 3,S 矩形 ABCD = 4X2=8,所以該幾何體的表面積 S= 3v3*2 + <3*2+8=8+8、向.故選B.11.古人采取“用臼舂米”的方法脫去稻谷的外殼，獲得可供食用的大米，用于舂米的.一個(gè)“臼”的三視圖如圖所示，則鑿去部分（看成一個(gè)簡(jiǎn)單的組“臼”多用石頭或木頭制成合體）的體

9、積為（）A.63 兀B.72 兀C.79 兀D.99 兀解析：選A 由三視圖得鑿去部分是圓柱與半球的組合體，其中圓柱的高為5,底面圓的半徑為3,半球的半徑為 3,所以組合體的體積為兀*32*5 + ：*4兀* 33=63兀.故選A.2 312 .已知三棱錐 P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球 。的表面上，PAL平面ABC, AB± BC,且PA =8.若平面ABC截千O。所得截面的面積為 9兀，則球。的表面積為（）A.10TTB.25 %C.50TTD.100 兀解析：選D 設(shè)球O的半徑為R,由平面ABC截千O所得截面的面積為 9兀，得4ABC 的外接圓的半徑為 3.設(shè)該外接圓的圓心為 D,

10、因?yàn)锳BXBC,所以點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，所以1DC=3.因?yàn)镻AL平面ABC,易證PBXBC,所以PC為球O的直徑.又PA=8,所以O(shè)DFA=4,所以 R= OC= .42+ 32 = 5,所以球。的表面積為S=4TtR2=100兀.故選D.二、填空題13 .（2019長(zhǎng)春市質(zhì)量監(jiān)測(cè)一）已知一所有棱長(zhǎng)都是 英的三棱錐，則該三棱錐的體積為.*也=乎，故三錐P-ABC的體積V=；Szabc OP = ；X乎1 =3.,1答案：1314.如圖,在止三棱柱 ABC-A1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)3/： xS2><¥ 3.若 AA1 = 4,. ._廣抵月點(diǎn)D,連接AD, PD,

11、作POLAD于點(diǎn)O,則POL平面ABC,且OP = / 1 解析：記所有棱長(zhǎng)都是 出的三棱錐為P-ABC,如圖所示，取BC的中/卡AB=2,則四棱錐B-ACCiD的體積為 .解析：取AC的中點(diǎn)O,連接BO（圖略），則BOX AC,所以BOL平面ACCiD.因?yàn)锳B = 2,所以BO = 73.因?yàn)镈為棱AAi的中點(diǎn)，AAi=4,所以AD = 2, 1_ _所以 S梯形 ACCiD = 1X(2 + 4)X2 = 6,所以四棱錐B-ACCiD的體積為；X 6X 73=23. 3答案：2 315 .如圖，半徑為 4的球O中有一內(nèi)接圓柱，則圓柱的側(cè)面積最大值是解析：設(shè)圓柱的上底面半徑為r,球的半徑與

12、上底面夾角為a,則r=4cos a,圓柱白為8sin %所以圓柱的側(cè)面積為 32 Ttsin 2也兀當(dāng)且僅當(dāng)a= 4時(shí)，sin 2 a= 1 ,圓柱的側(cè)面積最大,所以圓柱的側(cè)面積的最大值為32兀.答案：32兀16 .（2019江西省五校協(xié)作體試題）某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖是一個(gè)上底為2,卜底為4的直角梯形，俯視圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為 4的等邊三角形，則該幾何體的體積為解析：把三視圖還原成幾何體ABC-DEF ,如圖所示，在AD上取點(diǎn)G,使得AG = 2,連接GE, GF,則把幾何體 ABC-DEF分割成三棱柱ABC-GEF 和三棱錐 D-GEF ,所以 Vabc-def = Vabc-gef

13、+ Vd-gef = 43 X 2+ ；X 43X2 = 323.33答案：32p 3B組一一“5+ 3”提速練1.（2019福州市質(zhì)量檢測(cè)）棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AiBiCiDi木塊 的直觀圖如圖所示，平面 a過(guò)點(diǎn)D且平行于平面 ACD1，則該木塊在 平面a內(nèi)的正投影面積是（）a.V3B.3V3C. 2D.1解析：選A 棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1木塊在平面a內(nèi)的正投影是三個(gè)全等的菱形，如圖，正投影可以看成兩個(gè)邊長(zhǎng)為42的等邊三角形，所以木塊在平面 a內(nèi)的正投影面積是 2*2*42*42*=43.故選人.BP 12.在棱長(zhǎng)為3的正萬(wàn)體ABCD-A1B1C1D1中，p在線段B

14、D1上，且m= w，M為線段B1C1上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐 M-PBC的體積為（）A.13B.2C.2D.與M點(diǎn)的位置有關(guān)解析：選BBP 11 一元;=2,，點(diǎn)p到平面bccb1的距離是a到平面BCCH距離的3,即為29*=1.M 為線段 B1C1 上的點(diǎn)，Smbc= ： X 3 X 3=烏, 322-'Vm-pbc= V19.P-MBC =3*1：3.故選B.3.（2019重慶市學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研）三棱錐S-ABC中，SA, SB, SC兩兩垂直，已知 SA= a,SB= b, SC=2,且2a+b=5，則此三棱錐的外接球的表面積的最小值為（）A.21兀4B：17兀4C.4兀D.6兀R,因?yàn)镾

15、A, SB, SC兩兩垂直，所解析：選A 由題意，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為以以SA, SB, SC為棱構(gòu)造長(zhǎng)方體，其體對(duì)角線即三棱錐的外接球的直徑，因?yàn)镾A=a, SB =b, SC=2,所以 4R2=a2+b2+4=a2+ (1 2aJ+4= 5(a1)2+241,所以 a=1 時(shí)，(4R2)min21 _21,所以三棱錐的外接球的表面積的最小值為21兀丁.故選A.4.（2019洛陽(yáng)尖子生第二次聯(lián)考）已知正三角形 ABC的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)都在半徑為 2的球面上, 球心O到平面ABC的距離為1,點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，則截面圓面積的最小值是（）A.74B.2兀D.3兀解析：選C 設(shè)正

16、三角形 ABC的中心為。1,連接OOi, OA, OiA,由題意得 OiO,平面ABC, OQ = 1, OA=2,3.在RtqOA 中，OiA=V3,.工3= 3.E 為 AB 的中點(diǎn)，. . AE = 2.連接OE,則OELAB.過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面圓的面積最小,此時(shí)截面圓的半徑 r=2,可得截面圓面積的最小值為兀r2=4.故選C.5.（2019全國(guó)卷I ）已知三棱錐 P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球 。的球面上，PA=PB=PC,AABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，巳F分別是PAAB的中點(diǎn)，ZCEF = 90° ,則球O的體積為（）A.8花兀3.4證兀C.2乖兀D.

17、,6兀解析：選 D 設(shè) PA=PB=PC=2a,則 EF= a, FC = V3-a2.在APEC中,.EC2= 3a2+3-a2- (2a) 2cos zPEC =/2a '3- a2在4AEC中,a2+3-a2-4 cos zAEC =3-a2=上 a 2 PEC 與/AEC 互補(bǔ)，.,.3-4a2= 1故 PA= PB= PC=a/2.又. AB=BC = AC = 2, .1.PA1PB1PC,外接球的直徑2R=7（平）2+ （*） 2+ （?。? = 46, . R=號(hào),1.V=47tR3 = 47tX 6.故選D.6.（2019全國(guó)卷I ）已知/ ACB=90°

18、, P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2,點(diǎn)P到/ ACB兩 邊AC, BC的距離均為 ® 那么P到平面ABC的距離為 .解析：如圖，過(guò)點(diǎn)P作POL平面ABC于O,則PO為P到平面ABC 的距離.再過(guò)。作 OELAC 于 E,OF1BC于F,連接 PC,PE,PF,則 PEL AC,PFdBC.又 PE=PF = 3,所以 OE=OF,所以CO為/ACB的平分線，即/ACO=45°.在 Rt*EC 中，PC=2, PE=3,所以 CE = 1,所以 OE = 1,所以 PO = pE2OE2 = N （乖）212 = 72.答案：27.（2019河南八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟測(cè)評(píng)改編）已知一個(gè)高為1的三棱錐，各側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則三棱錐的表面積為,若三棱錐內(nèi)有一個(gè)體積為 V 的球，則V的最大值為.解析：該三棱錐側(cè)面的斜高為 6><<3）+ 12 =乎，則S側(cè)=3*2*2*乎=273,s底=2*>/3*2 =。3,所以三棱錐的表面積 s表=243+寸3=343.由題意知，當(dāng)球與三棱錐的四個(gè)面都相切時(shí)，其體積最大.設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為 r,則三棱錐的體積 V錐=!$表3=3S底1,所以