線性代數(shù)復(fù)習(xí)資料情況總結(jié)

1、線性代數(shù)復(fù)習(xí)總結(jié)大全第一章行列式二三階行列式N 階行列式：行列式中所有不同行、不同列的 n 個(gè)元素的乘積的和 aij n（1）（JlJ2 ）91 j1a2j2.-anjnj1 j2 j n（奇偶）排列、逆序數(shù)、對(duì)換行列式的性質(zhì)： 行列式行列互換，其值不變。（轉(zhuǎn)置行列式D DT ）行列式中某兩行（列）互換，行列式變號(hào)。推論：若行列式中某兩行（列）對(duì)應(yīng)元素相等，則行列式等于零。常數(shù)k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。推論：若行列式中兩行（列）成比例，則行列式值為零； 推論：行列式中某一行（列）元素全為零，行列式為零。 行列式具有分行（列）可加性 將行列式某一行（列）的 k倍加到另一行（

2、列）上，值不變行列式依行（列）展開：余子式 Mj、代數(shù)余子式 8 （1）i jMj定理：行列式中某一行的元素與另一行元素對(duì)應(yīng)余子式乘積之和為零。 克萊姆法則：Dj非齊次線性方程組 ：當(dāng)系數(shù)行列式 D 0時(shí)，有唯一解：Xj j（j 12 n） j D齊次線性方程組：當(dāng)系數(shù)行列式D 1 0時(shí)，則只有零解逆否：若方程組存在非零解，則 D等于零特殊行列式:a11a12a13a11a21a31轉(zhuǎn)置行列式：a21a22a23隊(duì)a22a32a31a32a33a23a33對(duì)稱行列式：ajaji反對(duì)稱行列式：aaijaaji奇數(shù)階的反對(duì)稱行列式值為零%知a13三線性行列式：a21a220方法：用k1a22把22

3、1化為零，。化為三角形行列式a310a33上（下）三角形行列式：行列式運(yùn)算常用方法（主要）行列式定義法（二三階或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降階法、升階法、歸納法、第二章矩陣矩陣的概念:A （零矩陣、負(fù)矩陣、行矩陣、列矩陣、n階方陣、相等矩陣）矩陣的運(yùn)算:加法（同型矩陣）父換、結(jié)合律數(shù)乘 kA (kaij)m*n分配、結(jié)合律A* B （源濡 乘法l* (bkj )l*n (aik bkj )m*1n注意什么時(shí)候有意義般AB=BA ,不滿足消去律；由AB=0 ,不能得 A=0或B=0轉(zhuǎn)置(At)t a(A B)TATbt方哥:幾種特殊的矩陣：ABI都是n階對(duì)角陣(kA)T kAT

4、Ak1Ak2(Ak)k2對(duì)角矩Akk2Ak1 k2數(shù)量矩陣： 單位矩陣、 對(duì)稱矩陣 反對(duì)稱矩陣(AB)TT flTB A（反序定理）階對(duì)角陣，k是數(shù)，則 kA、A+B、相當(dāng)于個(gè)數(shù)（若）上（下）三角形矩陣（若）階梯型矩陣：每非零行左數(shù)第一個(gè)非零元素所在列的下方行（列）初等變換不改變矩陣的可逆性初等矩陣都可逆初等矩陣：?jiǎn)挝痪仃嚱?jīng)過一次初等變換得到的（對(duì)換陣倍乘陣倍加陣）A 1 B (非倍加到另是0分塊矩陣：加法，數(shù)乘，乘法：類似，轉(zhuǎn)置：每塊轉(zhuǎn)置并且每個(gè)子塊也要轉(zhuǎn)置 注：把分出來的小塊矩陣看成是元素逆矩陣：設(shè)A是N階方陣，若存在N階矩陣B的AB=BA=I則稱A是可逆的,矩陣、奇異矩陣|A|=0、伴隨

5、矩陣）初等變換1、交換兩行（列）2.、非零k乘某一行（列）3、將某行（列）的 KIr等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣DrO矩陣的秩r（A）:滿秩矩陣降秩矩陣若A可逆，則滿秩若A是非奇異矩陣，則 r （AB） =r （B） 初等變換不改變矩陣的秩求法：1定義2轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式或階梯形矩陣與行列式的聯(lián)系與區(qū)別：都是數(shù)表；行列式行數(shù)列數(shù)一樣，矩陣不一樣 ；行列式最終是一個(gè)數(shù)，只要值相等，就相等，矩陣是個(gè)數(shù)表，對(duì)應(yīng)元素相等才相等；矩陣（kaj）n k（aij）n ,行列式kajknnaij逆矩陣注： AB=BA=I則A與B 一定是方陣 BA=AB=I則A與B 一定互逆;不是所有的方陣都存在逆矩陣；若A可逆，則其逆矩陣是唯一

6、的。矩陣的逆矩陣滿足的運(yùn)算律：1、可逆矩陣1、的逆矩陣也是可逆的，且 （A ）2、可逆矩陣的數(shù)乘矩陣kA也是可逆的，且1(kA) 13、可逆矩陣的轉(zhuǎn)置at也是可逆的，且（AT） 1(A1)T4、兩個(gè)可逆矩陣 A與B的乘積AB也是可逆的，且(AB) 1 B 1A 1但是兩個(gè)可逆矩陣 A與B的和A+B不一定可逆,即使可逆，但（A B）A為N階方陣，若|A|=0,則稱A為奇異矩陣，否則為非奇異矩陣5、若A可逆，則A 1伴隨矩陣：A為N階方陣，伴隨矩陣：AAiA2A21A22（代數(shù)余子式）特殊矩陣的逆矩陣：（對(duì)1和2,前提是每個(gè)矩陣都可逆）1、分塊矩陣DA1OA 1BCC 12、準(zhǔn)對(duì)角矩陣3、*AA5

7、、7、判斷矩陣是否可逆求逆矩陣的方法：定義法AA 1伴隨矩陣法AA2A4A A AIAn1*at:充要條件是 A0,此時(shí)4、6、8、AB*1 Aa-AAA1A2A31A41（A可逆）Aa（A可逆）-*初等變換法 A|In In | A1只能是行變換初等矩陣與矩陣乘法的關(guān)系：設(shè)A a ij戶口是m*n階矩陣，則對(duì) A的行實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等于用同等的 m階初等矩陣左乘以A：對(duì)A的列實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等于用同種n階初等矩陣右乘以 A(行變左乘，列變右乘)第三章線性方程組消元法 非齊次線性方程組：增廣矩陣一簡(jiǎn)化階梯型矩陣r(AB)=r(B)=r 當(dāng)r=n時(shí)，有唯一解；當(dāng) r n時(shí)

8、，有無窮多解r(AB) r(B),無解齊次線性方程組：僅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)<n當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù) <未知量個(gè)數(shù)，一定有非零解當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)=未知量個(gè)數(shù)，有非零解充要|A|=0齊次線性方程組若有零解，一定是無窮多個(gè)N維向量：由n個(gè)實(shí)數(shù)組成的n元有序數(shù)組。希臘字母表示(加法數(shù)乘)特殊的向量：行(列)向量，零向量 依負(fù)向量，相等向量，轉(zhuǎn)置向量向量間的線性關(guān)系：線性組合或線性表示向量組間的線性相關(guān)(無)：定義R79向量組的秩：極大無關(guān)組(定義 P188)定理：如果j j .j是向量組 1 2 . s的線性無關(guān)的部分組，則它是極大無關(guān)組的充要j1,j2

9、, jr,條件是：1, 2,. $中的每一個(gè)向量都可由一.j線性表出。I ' 2 'sj1 ' j2 'jr秩:極大無關(guān)組中所含的向量個(gè)數(shù)。定理：設(shè)A為m*n矩陣，則r(A) r的充要條件是：A的列(行)秩為r?，F(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)：齊次非齊次、基礎(chǔ)解系線性組合或線性表示 注：兩個(gè)向量a B若 k則a是3線性組合單位向量組任意向量都是單位向量組的線性組合零向量是任意向量組的線性組合任意向量組中的一個(gè)都是他本身的線性組合向量組間的線性相關(guān)(無)注：n個(gè)n維單位向量組一定是線性無關(guān)一個(gè)非零向量是線性無關(guān)，零向量是線性相關(guān)含有零向量的向量組一定是線性相關(guān)若兩個(gè)向量成比例

10、，則他們一定線性相關(guān)向量3可由1, 2,. n線性表示的充要條件是r（ 1T 2TnT ） （ 1T 2T1 D判斷是否為線性相關(guān)的方法：1、定義法：設(shè)k1k2.kn,求k1k2.kn （適合維數(shù)低的）2、向量間關(guān)系法 口83 ：部分相關(guān)則整體相關(guān)，整體無關(guān)則部分無關(guān)T T T、3、分量法（n個(gè)m維向量組）明 ：線性相關(guān)（充要）r（ 1 2.n ） n線性無關(guān)（充要） r（ 1T 2T. nT） n推論當(dāng)m=n時(shí)，相關(guān)，則 1T 2T 3T0；無關(guān)，則1T 2T 3T0當(dāng)m<n時(shí)，線性相關(guān)推廣：若向量 1, 2,. s組線性無關(guān)，則當(dāng)s為奇數(shù)時(shí)，向量組 12, 23,. s 1也線性無關(guān)

11、;ss當(dāng)s為偶數(shù)時(shí)，向量組也線性相關(guān)。定理：如果向量組1, 2,. S，線性相關(guān)，則向量可由向量組1, 2,. s線性表出，且表示法唯一s, s的充分必要條件是1, 2,. s線性無關(guān)。極大無關(guān)組 注：向量組的極大無關(guān)組不是唯一的，但他們所含向量的個(gè)數(shù)是確定的；不全為零的向量組的極大無關(guān)組一定存在; 無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組是其本身； 向量組與其極大無關(guān)組是等價(jià)的。齊次線性方程組（I）解的結(jié)構(gòu)：解為1, 2.（I）的兩個(gè)解的和12仍是它的解；（I）解的任意倍數(shù)k 還是它的解；（I）解的線性組合C1 1 C2 2 . Cs s也是它的解，C1, C2,.Cs是任意常數(shù)。非齊次線性方程組（II）解

12、的結(jié)構(gòu)：解為1, 2.（II）的兩個(gè)解的差12仍是它的解；若 是非齊次線T方程組 AX=B的一個(gè)解，v是其導(dǎo)出組 AX=O的一個(gè)解，則u+v是（II）的一個(gè)解。定理：如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A的秩r（A） r n ,則該方程組的基礎(chǔ)解系存在， 且在每個(gè)基礎(chǔ)解系中,恰含有n-r個(gè)解。若 是非齊次線性方程組 AX=B的一個(gè)解，v是其導(dǎo)出組AX=O的全部解，則u+v是（II）的全部解。第四章向量空間向量的內(nèi)積 實(shí)向量定義：(附 3) = T a1bl a2b2 . anbn性質(zhì)：非負(fù)性、對(duì)稱性、線性性（a,k 3）=k（ % 3）；2（k a,k 3）= k （ a, 3）；(a+8)=(% )

13、+(a, )+(3, )+(3,)；Rn,rsr s(Ki, lj j) K lj( i, j)i 1j 1i 1 j 1向量的長(zhǎng)度 & ,）0的充要條件是 a=0； a是單位向量的充要條件是（a, a） =1單位化 向量的夾角正交向量：a 3是正交向量的充要條件是（a, 3） =0正交的向量組必定線性無關(guān)正交矩陣：n階矩陣AAAT ATA I性質(zhì)：1、若A為正交矩陣，則A可逆，且 A 1 AT ,且A 1也是正交矩陣；2、若A為正交矩陣，則|A 1 ；3、若A、B為同階正交矩陣，則A B也是正交矩陣；4、n階矩陣A= （aj ）是正交矩陣的充要條件是A的列（行）向量組是準(zhǔn)正交向量；第

14、五章 矩陣的特征值和特征向量特征值、特征向量個(gè)特征值,A是N階方陣，若數(shù) 使AX= X ,即（I-A ） =0有非零解，則稱 為A的一此時(shí)，非零解稱為A的屬于特征值 的特征向量。|A|= 1*_ *2 . n注：1、AX= X2、求特征值、特征向量的方法I A 0求i將i代入（I-A） X=0求出所有非零解3、對(duì)于不同的矩陣，有重根、單根、復(fù)根、實(shí)根（主要學(xué)習(xí)的）Ci特殊：（I ）n的特征向量為任意 N階非零向量或 C2 （Ci不全為零）4、特征值：若（0）是A的特征值i1貝 U A 一則Amm則 kA k若 A2=A 貝U=0或1若 A2=i 貝U=-1 或 1k .一右 A =0 貝U=0

15、跡 tr（A ）:跡（A） = a11 a22ann性質(zhì)：1、N階方陣可逆的充要條件是A的特征值全是非零的2、A與A 1有相同的特征值3、N階方陣A的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)4、 5、 P281相似矩陣定義P283: A、B是N階矩陣，若存在可逆矩陣P,滿足P 1AP B ,則矩陣A與B似，記作AB性質(zhì)1、自身性：AA,P=I2、對(duì)稱性：若AB則BA111 11P 1AP B A PBP 1(P 1) 1BP 1 A3、 傳遞性：若 A-B、 B-C 則 A-CPAR BP2 1BP2 C -(犯 1A(啊 C4、若AB ,則A與B同（不）可逆P 1AP B兩邊同取逆，P 1A 1P

16、 B6、若AB,則它們有相同的特征值。（特征值相同的矩陣不一定相似）7、若人8,則r（A） r（B）初等變換不改變矩陣的秩例子：P1AP B 貝UA100 PB100P 11 -P AP O A=O1P 1AP I A=IP 1AP I A= I矩陣對(duì)角化定理：N階矩陣A與N階對(duì)角形矩陣相似的充要條件是A有N個(gè)線性無關(guān)的特征向量注：1、P與人中的為與順序一致2、A則人與P不是唯一的推論：若n階方陣A有n個(gè)互異的特征值，則 AA(P281)定理：n階方陣Aa的充要條件是對(duì)于每一個(gè) Ki重特征根i,都有r(J A) n Ki注：三角形矩陣、數(shù)量矩陣I的特征值為主對(duì)角線。約當(dāng)形矩陣1約當(dāng)塊：形如J1

17、的n階矩陣稱為n階約當(dāng)塊;1約當(dāng)形矩陣：由若干個(gè)約當(dāng)塊組成的對(duì)角分塊矩陣J1JJ2(Ji是約當(dāng)塊)稱為約當(dāng)形矩陣。定理：任何矩陣 A都相似于一個(gè)約當(dāng)形矩陣，即存在n階可逆矩陣P 1AP J o第六章二次型二次型與對(duì)稱矩陣只含有二次項(xiàng)的n元多項(xiàng)式f()稱為一個(gè)n元二次型，簡(jiǎn)稱二次型。標(biāo)準(zhǔn)型：形如的二次型，稱為標(biāo)準(zhǔn)型。規(guī)范型：形如的二次型，稱為規(guī)范型。線性變換矩陣的合同：設(shè) AB是n階方陣，若存在一個(gè) n階可逆矩陣C,使得 則稱A與B是合同的，記作 A B。合同的性質(zhì)：反身性、對(duì)稱性、傳遞性、秩、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型：配方法、做變換(二次型中不含有平方項(xiàng))A不可逆r（A） nA Ax有非零解0是刖勺特

18、征值A(chǔ)的列（行）向量線性相關(guān)A可逆r（A） nAx 0只有零解A的特征值全不為零AA的列（行）向量線性無關(guān)AT A是正定矩陣A與同階單位陣等價(jià)A P1P2 Ps,Pi是初等陣Rn,Ax 總有唯一解反身性、對(duì)稱性、傳遞性向量組等價(jià) 相似矩陣 矩陣合同V關(guān)于ei,e2,0：稱為？n的標(biāo)準(zhǔn)基，？n中的自然基，單位坐標(biāo)向量;2) e, ,e2, ,en線性無關(guān);1； tr(E)=n ;任意一個(gè)n維向量都可以用3,e2, ,en線性表示.V行列式的計(jì)算:若A與B都是方陣（不必同階），則Ab(1)mn A B上三角、下三角行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積ana1n關(guān)于副對(duì)角線:a2n 1a2n 11)n(

19、n 1)-2-aniV逆矩陣的求法:A1A A(AME)初等行變換an1an1一 1(EMA )1 adbca2anV方陣的事的性質(zhì):V 設(shè) f(x)mamX1a21anAmAnAm nm 1am 1X為A的一個(gè)多項(xiàng)式.A1(Am)n (A)mn1a；ana2L ax a。，對(duì)n階矩陣A規(guī)定：f (A)m am AV設(shè)Am n, Bn s, A的列向量為,B的列向量為r1，r2,L ,%則：riA若i,i 1,2,L ,s,即 A(DEL ,bn)T,則 A,s)b2(A 1,A 2,L ,A s)2 L 0 n即：AB的第i個(gè)列向量ri是A勺列向量的線性組合，組合系數(shù)就是 AB的第i個(gè)行向量

20、是B的行向量的線性組合，組合系數(shù)就是1a2An m 1 Iam 1 A La1A a0Es , AB的列向量為用A, B中簡(jiǎn)單的一個(gè)提 i的各分量；高運(yùn)算速度 i的各分量.V用對(duì)角矩陣 左乘一個(gè)矩陣，相當(dāng)于用 的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量;用對(duì)角矩陣右乘一個(gè)矩陣，相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量V兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘AiBii與分塊對(duì)角陣相乘類似，即：AA22B22OABAiBiiA22 B22AAV矩陣方程的解法：設(shè)法化成(I) AX或(II)XA當(dāng)A0時(shí),(I)的解法：構(gòu)造(AMB)初等行變換(EMK)(當(dāng)B為一列時(shí)，即為克萊姆法則)(I

21、I)的解法：將等式兩邊轉(zhuǎn)置化為AtXtBt,用(I)的方法求出XT,再轉(zhuǎn)置得XV Ax 和Bx 同解(A, B列向量個(gè)數(shù)相同)，則: 它們的極大無關(guān)組相對(duì)應(yīng)，從而秩相等;它們對(duì)應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性; 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.V判斷i, 2,L , s是Ax 0的基礎(chǔ)解系的條件:1) 2,L , s線性無關(guān);2) i, 2,L , s是 Ax 0 的解;s n r(A)每個(gè)解向量中自由變量的個(gè)數(shù)零向量是任何向量的線性組合，零向量與任何同維實(shí)向量正交. 單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無關(guān). 部分相關(guān)，整體必相關(guān)；整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān). 原向量組無關(guān)，接長(zhǎng)向量組無關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān)，

22、原向量組相關(guān). 兩個(gè)向量線性相關(guān) 對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān) 向量組i, 2, , n中任一向量i(iwi wn)都是此向量組的線性組合.向量組1, 2,線性相關(guān)向量組中至少有一個(gè)向量可由其余n1個(gè)向量線性表示.1, 2,線性無關(guān)向量組中每一個(gè)向量i都不能由其余n 1個(gè)向量線性表示.m維列向量組1,2, , n線性相關(guān)r( A) n;m維列向量組1,2,n線性無關(guān)r(A) n. r(A) 0 A1, 2, , n線性無關(guān)，而線性相關(guān)，則可由1, 2 , n線性表示，且表示法惟?矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù)?矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩

23、，且不改變列向量間的線性關(guān)系.矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩，且不改變行向量間的線性關(guān)系.向量組等價(jià)1， 2,可以相互線性表示.記作:2, n % 1, 2 , , n矩陣等價(jià)A經(jīng)過有限次初等變換化為B. 記作：A %B?矩陣A與B等價(jià)r(A) r(B)A,B作為向量組等價(jià)，即:秩相等的向量組不一定等價(jià).矩陣A與B作為向量組等價(jià)r(n) r( 1, 2,矩陣A與B等價(jià).?向量組1, 2,s可由向量組1,2,線性表示r ( 1, 2,1, 2 , s)r(1,2,n) r( 1, 2,s) & r(1, 2,n).?向量組1, 2,s可由向量組1,2,線性表示,且ss線性相關(guān).向量組1,

24、 2,s線性無關(guān),且可由2, , n線性表示，則s w n.?向量組1, 2,s可由向量組1, 2,n線性表示,且(1, 2, s) r(1, 2, , n),則兩向量組等價(jià);?任一向量組和它的極大無關(guān)組等價(jià).?向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià),且這兩個(gè)組所含向量的個(gè)數(shù)相等?若兩個(gè)線性無關(guān)的向量組等價(jià)，則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等?若A是m n矩陣，則r(A)min m,n ,若r(A) m , A的行向量線性無關(guān);若r(A) n , A的列向量線性無關(guān)，即:1, 2,xi iX2 2 Lxn na11a12La1nx1b1Aa21a22La2nX2b2,x,MMMMMam1am2LamnXnbm線

25、性方程組的矩陣式Ax2jM,j 1,2,L ,nmjAx有無窮多解(J Ax有非零解當(dāng)好辦軸| A 01, 2,L , n線性相關(guān)可由1, 2,L ,。線性表示Ax 有解 r(A) r(AM )Ax有唯一組解 ：Ax只有零解當(dāng)所方軸|A 01, 2,L , n線性無關(guān)當(dāng)敵方陣時(shí)克萊姆法則r(A) r(AM )不可由1, 2,L , 口線性表示Ax 無解 r(A) r(AM )r(A) 1 r(AM )矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：(at)t A(AB)T btat(kA)TkATATIIA(A B)T AT BT矩陣可逆的性質(zhì)：(A1)1 A_1_ 11(AB) B A，1.1 . 1(kA) k AA1I

26、A1(A1)T (AT)1(A 1)k (Ak) 1 A k伴隨矩陣的性質(zhì)：(A)|An2A(AB) B An 1(kA) k AAlIAn1(A 1)(A) 1rA(AT) (A )T(A )k (Ak)AA A A | A En若 r(A)nr(A )1若r(A)n10若 r(A)n1AB |A|BIkA kn|AAkIAk線 性 方 程 組 解 的 性 質(zhì)(1) 1, 2是Ax 0的解，12也是它的解(2)是Ax 0的解，對(duì)任意k, k也是它的解、工口口齊次方程組(3) 1, 2,L , k是Ax 0的解，對(duì)任意k個(gè)常數(shù)1, 2,L , k, 112 2 k k也是它的解(4)是Ax的解

27、，是其導(dǎo)出組Ax 0的解，是Ax 的解(5) 1, 2是Ax的兩個(gè)解，12是其導(dǎo)出組Ax 0的解(6) 2是人*的解，則1也是它的解12是其導(dǎo)出組Ax 0的解(7) 1, 2,L , k是Ax的解，則1 12 2 k k也是Ax 的斛 12 k 11 12 2 k kAx 0 的斛12k0，設(shè)A為m n矩陣，若r(A) m,則r(A) r(AM),從而Ax 一定有解當(dāng)m n時(shí)，一定不是唯一解方程個(gè)數(shù)未知數(shù)的個(gè)數(shù)向量維數(shù) 向量個(gè)數(shù)則該向量組線性相關(guān).m是r(A)和r(AM )的上限.V矩陣的秩的性質(zhì)： r(A) r(AT) r(ATA) r(A B尸 r(A) r(B) r(AB) < m

28、in r(A),r(B) r(kA)r(A)若 k 00 若k 0r(A) r(B)若A 0,則r(A)10 若Am n,Bn s,且r(AB) 0,則r(A) r(B)< n若P,Q可逆，則 r(PA) r(AQ) r(A)若A可逆，則r(AB) r(B)若B可逆，則r(AB) r(A) 若r(A) n,則r(AB) r(B),且A在矩陣乘法中有左消去律AB 0AB AC標(biāo)準(zhǔn)正交基n個(gè)n維線性無關(guān)的向量,兩兩正交，每個(gè)向量長(zhǎng)度為1.正交 (，)是單位向量| | |V內(nèi)積的性質(zhì)：施密特 1, 20.i.正定性：(對(duì)稱性：(雙線性：(1(c3線性無關(guān)，正交化單位化)。,且(，)0)(，)1

29、2)( , 1)(2, ) ( 1,)()(c , ) ( ,c1 1(2, 1 )2 2(11)(3, 1 )3 3( 1 1)_1_1 1 21(3, 2)1( 2 2)22_3_一2一3一I正交矩陣 AAT E .V A是正交矩陣的充要條件：A的n個(gè)行(列)向量構(gòu)成？n的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基V正交矩陣的性質(zhì)： at a1； aat A a e ；A是正交陣，則AT (或A1)也是正交陣；兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣；正交陣的行列式等于1或-1.A的特征矩陣E A.A的特征多項(xiàng)支| E A f().A的特征方程| E A 0.Ax xAx與x線性相關(guān)V上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線上

30、的n各元素.，若A 0,則 0為A的特征值,且Ax 0的基礎(chǔ)解系即為屬于0的線性無關(guān)的特征向量.nM A 1 2L ni tr A1a1V 若 r(A) 1 ,則 A 一定可分解為 A = a2 b1, b2, L , bnM '2nanA2(aq a2b2 Lanbn)A，從而 A 的特征值為1 tr A ah a2b2 Lanbn,23 L n 0.V若A的全部特征值1, 2,L , n, f(x)是多項(xiàng)式，則：f (A)的全部特征值為f ( 1), f ( 2),L , f ( n)； 當(dāng)A可逆時(shí)，A1的全部特征值為1產(chǎn),L ,二， 12n 1A的全部特征值為®,

31、74;,L盧.12nV是A的特征值，則:kAaA bE分別有特征值ka b12V娓A關(guān)于的特征向量A與B相似1B P 1APAmAkAaA bE，則x也是關(guān)于ka b_12的特征向量.AmAIA（P為可逆陣）記為：A: BV A相似于對(duì)角陣的充要條件：A恰有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.這時(shí)，P為A的特征向量拼成的矩陣，P 1AP為對(duì)角陣，主對(duì)角線上的元素為A的特征值.ki為i的重?cái)?shù).V A可對(duì)角化的充要條件：n r（ iE A） kiV若n階矩陣A有n個(gè)互異的特征值，則A與對(duì)角陣相似.A與B正交相似B P 1AP（P為正交矩陣）V相似矩陣的性質(zhì)： A1 : B 1若A,B均可逆 at : bt Ak : Bk（k為整數(shù)）E B ,從而A, B有相同的特征值，但特征向量不一定相同.即：x是A關(guān)于0的特征向量，P 1x是B關(guān)于°的特征向量.從而A, B同時(shí)可逆或不可