初二小班第三講 等邊三角形

1、 學(xué)有方初二數(shù)學(xué) · 寒假課程 第三講 等邊三角形的相關(guān)問題教學(xué)目標(biāo)1.進(jìn)一步掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定.2.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定，推理、驗證等邊三角形的性質(zhì)和判定并靈活運(yùn)用。3.對于等邊三角形構(gòu)成的較復(fù)雜的圖形，能通過圖形變換或添加輔助線解題。教學(xué)重點及相應(yīng)策略1. 對等邊三角形組合成的圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)及對稱變換，并用等邊三角形的性質(zhì)解題。2. 構(gòu)造等邊三角形解決相關(guān)問題。教學(xué)難點及相應(yīng)策略1.對等邊三角形組合成的圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)及對稱變換，并用等邊三角形的性質(zhì)解題。2.構(gòu)造等邊三角形解決相關(guān)問題。教學(xué)方法建議選擇典型例題、練習(xí)題，在講授相關(guān)知識同時，給學(xué)生布置相關(guān)練習(xí)題給予鞏固選材

2、程度及數(shù)量課堂精講例題搭配課堂訓(xùn)練題課后作業(yè)A類（ 3 ）道（ 4 ）道（ 5 ）道B類（ 5 ）道（ 5 ）道（ 6 ）道C類（ 2 ）道（ 2 ）道（ 2 ）道一、知識梳理/提煉1. 等邊三角形的定義：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.2. 等邊三角形的性質(zhì)：（1）等邊三角形的內(nèi)角都相等，且均為60°。（三線合一）（2） 等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對角的平分線互相重合（三線合一） （3） 等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，對稱軸是每條邊上的中線、高線或?qū)堑钠椒志€所在的直線。 （4）等邊三角形重心、內(nèi)心 、外心、垂心重合于一點，稱為等邊三角形的中心

3、。（四心合一）3.等邊三角形的判定（1）三邊相等的三角形是等邊三角形（定義） （2）三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形 （3）有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形 二、課堂精講例題例題1題目：有兩個角等于60°；有一個角等于60°的等腰三角形；三個外角（每個頂點處各取一個外角）都相等的三角形；一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形其中是等邊三角形的有（ ） A B C D- 難度分級：A類- 試題來源：課時訓(xùn)練- 選題意圖（對應(yīng)知識點）：等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定。- 解題思路：等邊三角形是特殊的等腰三角形，故它具備了等腰三角形的一切性質(zhì)。但又因為等邊三角形是

4、特殊的等腰三角形，故等邊三角形所擁有的一些性質(zhì)是等腰三角形所都具有的。- 解法與答案：D搭配課堂訓(xùn)練題題目：若一個三角形有兩條邊相等，且有一內(nèi)角為60º，那么這個三角形一定為（ ）A 等邊三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 鈍角三角形- 解析：這道題考查了等邊三角形的判定。- 答案：A例題2題目：如圖，D、E、F分別是等邊ABC各邊上的點，且AD=BE=CF，則DEF的形狀是（ ）A等邊三角形 B腰和底邊不相等的等腰三角形 C直角三角形 D不等邊三角形- 難度分級：A類- 試題來源：培優(yōu)班- 選題意圖（對應(yīng)知識點）：等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定。- 解題思路：根據(jù)

5、題意證得以ADFBEDCFE即可求證- 解法與答案：- 解：ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF- AF=BD=CE- 又A=B=C=60°- ADFBEDCFE- DF=ED=EF- DEF是一個等邊三角形- 故選A搭配課堂訓(xùn)練題題目：如圖所示，在等邊ABC中，AD=BE=CF,D,E,F不是中點，連結(jié)AE,BF,CD.構(gòu)成一些全等三角形，如果將三個全等三角形組成一組，那么圖中全等三角形的組數(shù)是（ ）A.3 B.4 C.5 D.6- 解析：這題是例2的變形，考查的知識點仍然是等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定。- 答案：C例題3題目：如圖，BD為等邊ABC的邊AC上的中線，

6、E為BC延長線上一點，且DB=DE，若AB=6cm，則CE= cm- 難度分級：:A類- 試題來源：課時訓(xùn)練- 選題意圖（對應(yīng)知識點）：等邊三角形的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)- 解題思路：求CE的長，題中給出DB=DE，由角相等可求出CD=CE，所以CE為邊長AC的一半- 解法與答案：- BD為等邊ABC的邊AC上的中線，- BDAC，- DB=DE，- DBC=E=30°- ACB=E+CDE=60°- CDE=30°- CDE=E，- 即CE=CD=AC=3cm- 故填3- 點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)；要熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，得到CDE=30°

7、是正確解答本題的關(guān)鍵搭配課堂訓(xùn)練題題目：如圖：已知等邊ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上的一點，且CE=CD，DMBC，垂足為M，求證：M是BE的中點- 解析：要證M是BE的中點，根據(jù)題意可知，證明BDE為等腰三角形，利用等腰三角形的高和中線重合即可得證- 答案：- 解：在等邊ABC中，D是AC的中點，- 連接BD，且CE=CD，DMBC；- 所以DBC=E=30°，- 則BD=ED，又DMBC，- M是BE的中點例題4題目：在等邊ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上一點，且CE=CD，（1）請說明DB=DE的理由（2）若等邊ABC的邊長為6cm，求BDE的面積- 難度

8、分級：B類- 試題來源：課時訓(xùn)練- 選題意圖（對應(yīng)知識點）：等邊三角形的性質(zhì)；三角形的面積；三角形的外角性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)- 解題思路：- （1）根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得BD是ABC的角平分線，即可得CBD=30°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可得DCE=120°，根據(jù)CD=CE，可得CDE=CED=30°，即可得CED=CBD=30°，即DB=DE- （2）過A作AGBC，過D作DFBC，則DF=AG，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可以求得BE的長，根據(jù)BE、DF的長,即可計算BDE的面積- 解法與答案：- 解：- （1）D是等邊ABC的邊AC的中點，- B

9、D是ABC的角平分線，CBD=30°，- DCE=120°，且CD=CE，- CDE=CED=30°，- CBD=CED，- DB=DE- （2）過A作AGBC，過D作DFBC- D為AC中點，- CE=CD=3cm，- BE=3cm+6cm=6cm，- AG= AB=cm，- DFBC，AGBC，- DF= AG= cm，- = BEDF= ×9× =cm²- 點評：本題考查了等邊三角形邊長與高線長的關(guān)系，考查了三角形面積的計算，考查了等邊三角形三線合一的性質(zhì)，本題中正確計算DF的值是解題的關(guān)鍵搭配課堂訓(xùn)練題題目：如圖，等邊ABC的

10、邊長為8，點P是邊AB的中點，F(xiàn)為BC延長線上一點，CF=BC，過P作PEAC于E，連PF交AC邊于D，求DE的長解析：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵，題型較好，有一點難度- 答案：解：過P點作PGBC，交AC于G點- 等邊ABC的邊長為8，- 點P是邊AB的中點，CF=BC，- AP=CF，- PGCF，- APG是等邊三角形- PEAC，- EG=AG，- APG是等邊三角形，AP=CF，- PG=CF- PGCF，- PFB=DPG，PGD=DCF，- PG=CF，

11、- PDGFDC，- DG=CD，- DG=CG，- DE=EG+DG=AG+CG=AC，- ED=4- 答：DE的長是4例題5題目：如圖，已知C是線段AB上的任意一點（端點除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側(cè)作等邊ACD和等邊BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于N給出以下三個結(jié)論：AE=BDCN=CMMNAB其中正確結(jié)論的個數(shù)是（） - 難度分級：B類- 試題來源：課時訓(xùn)練- 選題意圖（對應(yīng)知識點）：平行線分線段成比例；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)- 解題思路：- 由ACD和BCE是等邊三角形，根據(jù)SAS易證得ACEDCB，即可得正確；由ACEDCB，可得EAC

12、=NDC，又由ACD=MCN=60°，利用ASA，可證得ACMDCN，即可得正確；又可證得CMN是等邊三角形，即可證得正確- 解法與答案：- ACD和BCE是等邊三角形，- ACD=BCE=60°，AC=DC，EC=BC，- ACD+DCE=DCE+ECB，- 即ACE=DCB，- ACEDCB（SAS），- AE=BD，故正確；- EAC=NDC，- ACD=BCE=60°，- DCE=60°，- ACD=MCN=60°，- AC=DC，- ACMDCN（ASA），- CM=CN，故正確；- CMN是等邊三角形，- NMC=ACD=60

13、76;，- MNAB，故正確- 故選D- 方法歸納：這個基本圖形的特點是兩個等邊三角形有一個公共點，繞著公共頂點，圖形可以進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換。但無論圖形怎樣旋轉(zhuǎn)，ACEDCB的結(jié)論都是成立的但其他的不一定會相等。搭配課堂訓(xùn)練題題目：如圖所示,已知線段BD上一點C,分別以BC和CD為邊作等邊ABC和等邊CDE,連結(jié)AD和BE，在AD和BE上截取AG=BF.連結(jié)CF，F(xiàn)G，CG。證明CFG是正三角形- 解析：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵，題型很典型，是在基本圖形上變化出來的圖形，我們可以通過基本圖形的結(jié)論來得出

14、新的結(jié)論- 答案：- ABC和CDE是等邊三角形，- ACB=DCE=60°，AC=BC，CD=CE，- ACB+ACE=DCE+ACE，- 即BCE=ACD，- BCEACD，- DAC=EBC，- 又AC=BC，AG=BF- BFCAGC，- CG=FC,FCB=GCA，- FCB+ACF=GCA+ACF,即ACB=GCF=60°- CFG是等邊三角形.-例題6：題目：如圖，點O是等邊ABC內(nèi)一點，AOB=100°，BOC=將BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得ADC，連接OD當(dāng) = 時，AOD是等腰三角形 - 難度分級：B類- 試題來源：課時訓(xùn)練-

15、 選題意圖（對應(yīng)知識點）：三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定- 解題思路：要使AOD為等腰三角形，應(yīng)有OA=OD，或OD=DA或OA=AD，只要相關(guān)角相等由已知條件利用等邊三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論- 解法與答案：- BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得ADC，- COD為一等邊三角形，- COD=60°- 假設(shè)OD=OA，則+100°+60°+AOD=360°，AOD=180°-2（-60°），解得=100°；- 當(dāng)OD=AD時，+100°+60°+AOD=360°，AOD

16、= ，解得=160°；- 當(dāng)OA=AD時，+100°+60°+AOD=360°，AOD=-60°，解得，=130°搭配課堂訓(xùn)練題題目：如圖，設(shè)E是正ABC內(nèi)的一點，EB=3，EC=4，EA=5，,求BEC的度數(shù)。- 解析：本題三個ABE、AEC、BEC都可以旋轉(zhuǎn)，通過旋轉(zhuǎn)可以構(gòu)造等邊三角形，并注意3、4、5這組數(shù)據(jù)的特殊性。- 答案：150° 例題7：題目：如圖所示，等邊ABC的邊長為2，BDC是頂角BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°的角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連接MN，形

17、成一個AMN，則AMN的周長為 - 難度分級：B類- 試題來源：課時訓(xùn)練- 選題意圖（對應(yīng)知識點）：等邊三角形的性質(zhì);全等三角形；截長補(bǔ)短法；數(shù)形結(jié)合思想- 解題思路：- 這道題目設(shè)計到了線段的和，AMN的周長=AM+AN+MN,故我們也可以考慮截長補(bǔ)短法。由于BDM+CDN=60°，MDN=60°，BD=CD，在NDM內(nèi)是可以作出DE=BD=CD，且ECN=CDN，且EDM=BDM的，解題的關(guān)鍵是證明點E在線段MN上，根據(jù)DEN=DCN=90°，DEM=DBM=90°，DEM+DEN=180°，從而證明點E在線段MN上，于是再利用EN=NC，

18、EM=MB證得AMN的周長=AB+AC=4- 解法與答案：- 截長補(bǔ)短法- 解：MDN=60°，BDC=120°，- BDM+CDN=60°，- BD=CD，- DCB=DBC= （180°-120°）/2=30°，- ABC=ACB=60°，ABD=ACD=90°，- 又BD=CD，DM=DN，- RtMBDRtNCD（HL），- BDM=CDN=(BDC-MDN)= (120°-60°)=30°，- 過D作DEMN，又三角形MDN為等邊三角形，- DE為MDN的平分線，即MDN=3

19、0°，- MDB=EDM=30°，MBD=DEM=90°，且MD=MD，- DEMDBM，ME=BM，- 同理EDNCDN，EN=CN，- AMN的周長=AN+AM+MN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=2+2=4- 故填4搭配課堂訓(xùn)練題題目：（1）用旋轉(zhuǎn)變換處理例題7（2）在等邊的兩邊AB，AC所在直線上分別有兩點M，N，D為外一點，且，探究：當(dāng)點M，N分別在直線AB，AC上移動時，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系如圖，當(dāng)點M，N在邊AB，AC上，且DM=DN時，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系式_；此時=_如圖，當(dāng)點M，N在邊AB

20、，AC上，且時，猜想(1)問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；如圖，當(dāng)點M，N分別在邊AB，CA的延長線上時，若AN=x，則Q=_(用x，L表示)- 解析：（1）由DM=DN，MDN=60°，可證得MDN是等邊三角形，又由ABC是等邊三角形，CD=BD，易證得RtBDMRtCDN，然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系 BM+NC=MN，此時 Q/L=2/3；- （2）在CN的延長線上截取CM1=BM，連接DM1可證DBMDCM1，即可得DM=DM1，易證得CDN=MDN=60°，則可證得MDNM1DN，然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論仍

21、然成立；- （3）首先在CN上截取CM1=BM，連接DM1，可證DBMDCM1，即可得DM=DM1，然后證得CDN=MDN=60°，易證得MDNM1DN，則可得NC-BM=MN例題8題目：如圖，已知ABC中，AB=AC，D是ABC外一點且ABD=60°，ADB=90°-BDC求證：AC=BD+CD. - 難度分級：B類- 試題來源：尖子生培優(yōu)教材- 選題意圖（對應(yīng)知識點）：軸對稱的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì) - 解題思路：以AD為軸作ABD的對稱ABD，后證明C、D、B在一條直線上，及ACB是等邊三角形，繼而得出答案 - 解法與答案：- 證明：以AD為軸作ABD

22、的對稱ABD（如圖），則有BD=BD，AB=AB=AC，B=ABD=60°，ADB=ADB=90°-BDC，所以ADB+ADB+BDC=180°-BDC+BDC=180°，所以C、D、B在一條直線上，所以ACB是等邊三角形，所以CA=CB=CD+DB=CD+BD 搭配課堂訓(xùn)練題題目：如圖，已知ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AE=BD，連接CE，DE求證：EC=ED - 解析：首先延長BD至F，使DF=BC，得出BEF為等邊三角形，進(jìn)而求出EBCEDF，從而得出EC=DE - 答案：證明：延長BD至F，使DF=BC，AE=BD，AB

23、C為等邊三角形，BE=BF，B=60°，BEF為等邊三角形，F(xiàn)=60度，BE=EF，B=F=60°，又BC=DF，EBCEDF，EC=ED 例題9題目：已知，ABC是邊長3cm的等邊三角形動點P以1cm/s的速度從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運(yùn)動（1）如圖1，設(shè)點P的運(yùn)動時間為t（s），那么t= （s）時，PBC是直角三角形；（2）如圖2，若另一動點Q從點B出發(fā)，沿線段BC向點C運(yùn)動，如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發(fā)設(shè)運(yùn)動時間為t（s），那么t為何值時，PBQ是直角三角形？（3）如圖3，若另一動點Q從點C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動連接PQ交AC于D如果動點P、Q都以1

24、cm/s的速度同時出發(fā)設(shè)運(yùn)動時間為t（s），那么t為何值時，DCQ是等腰三角形?（4）如圖4，若另一動點Q從點C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動連接PQ交AC于D，連接PC如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發(fā)請你猜想：在點P、Q的運(yùn)動過程中，PCD和QCD的面積有什么關(guān)系？并說明理由- 難度分級：C類- 試題來源：課時訓(xùn)練- 選題意圖（對應(yīng)知識點）：勾股定理的應(yīng)用；三角形的面積；等腰三角形的判定 - 解題思路：- （1）當(dāng)PBC是直角三角形時，B=60°，所以BP=1.5cm，即可算出t的值；（2）因為B=60°，可選取BPQ=90°或BQP=90°，然后

25、根據(jù)勾股定理計算出BP長，即可算出t的大??；（3）因為DCQ=120°，當(dāng)DCQ是等腰三角形時，CD=CQ，然后可證明APD是直角三角形，即可根據(jù)題意求出t的值；（4）面積相等可通過同底等高驗證 - 解法與答案：- 解：（1）當(dāng)PBC是直角三角形時，B=60°，BPC=90°，所以BP=1.5cm，所以t= 3/2（2）當(dāng)BPQ=90°時，BP=0.5BQ，3-t=0.5t，所以t=2；當(dāng)BQP=90°時，BP=2BQ，3-t=2t，所以t=1；所以t=1或2（s）（3）因為DCQ=120°，當(dāng)DCQ是等腰三角形時，CD=CQ，所以P

26、DA=CDQ=CQD=30°，又因為A=60°，所以AD=2AP，2t+t=3，解得t=1（s）；（4）相等，如圖所示：作PE垂直AD，QF垂直AD延長線，因為AP=QF，F(xiàn)=AEP，QCF=A，所以EAPFCQ，所以PE=QF，所以，PCD和QCD同底等高，所以面積相等 搭配課堂訓(xùn)練題題目：如圖，在等邊ABC中，AB=9cm，點P從點C出發(fā)沿CB邊向點B點以2cm/s的速度移動，點Q點從B點出發(fā)沿BA邊向A點以5cm/s速度移動P、Q兩點同時出發(fā)，它們移動的時間為t秒鐘.（1）你能用t表示BP和BQ的長度嗎？請你表示出來（2）請問幾秒鐘后，PBQ為等邊三角形？（3）若P、

27、Q兩點分別從C、B兩點同時出發(fā)，并且都按逆時針方向沿ABC三邊運(yùn)動，請問經(jīng)過幾秒鐘后點P與點Q第一次在ABC的哪條邊上相遇？ - 解析：- （1）由三角形ABC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三邊相等得到AB=BC=9cm，由P的速度和時間t表示出P走過的路程CP的長，然后用邊長BC減去CP即可表示出BP；由Q的速度及時間t，即可表示出Q走過的路程BQ；（2）若PBQ為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的邊長相等則有PB=BQ，由（1）表示出的代數(shù)式代入即可列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到滿足題意的t的值；（3）同時出發(fā)，要相遇其實是一個追擊問題，由于Q的速度大于P的速度，即Q要追擊上P，由題意可

28、知兩點相距AB+AC即兩個邊長長，第一次相遇即為Q比P多走兩個三角形邊長，設(shè)出第一次相遇所需的時間，根據(jù)Q運(yùn)動的路程-P運(yùn)動的路程=18列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可求出滿足題意的t的值，然后由求出t的值計算出P運(yùn)動的路程，確定出路程的范圍，進(jìn)而判斷出P的位置即為第一次相遇的位置 - 答案：- 解：（1）等邊ABC，BC=AB=9cm，點P的速度為2cm/s，時間為ts，CP=2t，則PB=BC-CP=（9-2t）cm；點Q的速度為5cm/s，時間為ts，BQ=5t；（2）若PBQ為等邊三角形，則有BQ=BP，即9-2t=5t，解得t= 9/7，所以當(dāng)t= 9/7s時，PBQ為等邊三角形；

29、（3）設(shè)ts時，Q與P第一次相遇，根據(jù)題意得：5t-2t=18，解得t=6，則6s時，兩點第一次相遇當(dāng)t=6s時，P走過得路程為2×6=12cm，而91218，即此時P在AB邊上，則兩點在AB上第一次相遇 例題10題目：附加題，學(xué)完“幾何的回顧”一章后，老師布置了一道思考題：如圖，點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q求證：BQM=60度（1）請你完成這道思考題；（2）做完（1）后，同學(xué)們在老師的啟發(fā)下進(jìn)行了反思，提出了許多問題，如：若將題中“BM=CN”與“BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？若將題中的點M，N分別移動

30、到BC，CA的延長線上，是否仍能得到BQM=60°？若將題中的條件“點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上”改為“點M，N分別在正方形ABCD的BC，CD邊上”，是否仍能得到BQM=60°？請你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”： ； ； 并對，的判斷，選擇一個給出證明. - 難度分級：C類- 試題來源：中考試題匯編- 選題意圖（對應(yīng)知識點）：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì) - 解題思路：（1）在ABM和BCN中，根據(jù)所以BAM=CBN，則BQM=BAQ+ABQ=MBQ+ABQ=60度（2）同樣還是根據(jù)條件判定ACMBAN，得到AMC=BNA，所以NQ

31、A=NBC+BMQ=NBC+BNA=180°-60°=120°，即BQM=60°；同上，證明RtABMRtBCN，得到AMB=BNC，所以，QBM+QMB=90°，BQM=90°，即BQM60° - 解法與答案：證明：（1）在ABM和BCN中，ABMBCN，BAM=CBN，BQM=BAQ+ABQ=MBQ+ABQ=60°（2）是；是；否的證明：如圖，在ACM和BAN中，ACMBAN，AMC=BNA，NQA=NBC+BMQ=NBC+BNA=180°-60°=120°，BQM=60°

32、;的證明：如圖，在RtABM和RtBCN中， ，RtABMRtBCN，AMB=BNC又NBM+BNC=90°，QBM+QMB=90°，BQM=90°，即BQM60° 搭配課堂訓(xùn)練題題目：例題10第（3）問四、鞏固練習(xí)基礎(chǔ)訓(xùn)練題（A類）1、 如圖，等邊ABC的三條角平分線相交于點O，ODAB交BC于D，OEAC交BC于點E，那么這個圖形中的等腰三角形共有（） A、5個 B、6個 C、7個 D、8個 2、 如圖，ABC是等邊三角形，D為AB的中點，DEAC垂足為點E，EFAB，AE=1，則EFC的周長= 。3、如圖，ABC是等邊三角形，點D、E分別在AB、A

33、C邊上，且AD=CE，BE與CD交于點F，則EFC的度數(shù)等于 。 4、 如圖所示，ABC是等邊三角形，點D是AC的中點，DEAB，AEBC，DE與AE交于點E，點G是AE的中點，GFDE，EFAC，EF交GF于點F，若AB=4cm，則圖形ABCDEFG的外圍的周長是多少？ 5、已知：如圖，E是四邊形ABCD的邊AD上一點，且ABC和CDE都是等邊三角形求證：BE=AD 提高訓(xùn)練（B類）6、如圖，已知O是等邊三角形ABC內(nèi)一點，AOB、BOC、AOC的度數(shù)之比為6：5：4，在以O(shè)A、OB、OC為邊的三角形中，此三邊所對的角的度數(shù)是 7、P是等邊ABC內(nèi)部一點，APB、BPC、CPA的大小之比是5

34、：6：7，所以PA、PB、PC的長為邊的三角形的三個角的大小之比是 。8、如圖，已知邊長為3的等邊三角形ABC紙片，點E在AC邊上，點F在AB邊上，沿著EF折疊，使點A落在BC邊上的點D的位置，且EDBC，則CE的長是 。9、如圖,ABC中,AB=AC,D為ABC外一點，且ABD=ACD =60°，求證：CD=AB-BD。 10、如圖，已知ABC是等邊三角形，E是AC延長線上一點，選擇一點D，使得CDE是等邊三角形，如果M是線段AD的中點，N是線段BE的中點，求證：CMN是等邊三角形 11、如圖1，等邊ABC中，點D、E、F分別為AB、BC、CA上的點，且AD=BE=CF（1）DEF

35、是 三角形；（2）如圖2，M為線段BC上一點，連接FM，在FM的右側(cè)作等邊FMN，連接DM、EN求證：DM=EN;（3）如圖3，將上題中“M為線段BC上一點”改為“點M為CB延長線上一點”，其余條件不變，求證：DM=EN綜合遷移（C類）12、如圖，ABC是邊長為10cm的等邊三角形，動點P和動點Q分別從點B和點C同時出發(fā)，沿著ABC逆時針運(yùn)動，已知動點P的速度為1（cm/s），動點Q的速度為2（cm/s）設(shè)動點P、動點Q的運(yùn)動時間為t（s）（1）當(dāng)t為何值時，兩個動點第一次相遇（2）從出發(fā)到第一次相遇這一過程中，當(dāng)t為何值時，點P、Q、C為頂點的三角形的面積為 cm2 （友情提示：直角三角形中

36、30度角所對的直角邊等于斜邊的一半） 13、已知點C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作ACD和BCE，且CA=CD，CB=CE，ACD=BCE，直線AE與BD交于點F，（1）如圖1，若ACD=60°，則AFB= ；如圖2，若ACD=90°，則AFB= ；如圖3，若ACD=120°，則AFB= ；（2）如圖4，若ACD=，則AFB= （用含的式子表示）；（3）將圖4中的ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點F至少在BD、AE中的一條線段上），變成如圖5所示的情形，若ACD=，則AFB與的有何數(shù)量關(guān)系？并給予證明?；A(chǔ)訓(xùn)練題（A類）1、答案：選C 2

37、、答案：EFC的周長=3+3+3=9 3、答案：60°4、答案：圖形ABCDEFG的外圍的周長為：AB+BC+CD+DE+EF+FG+GA=4+4+2+2+1+1+1=15（cm） 5、 證明：ABC和CDE都是等邊三角形，BC=AC，CE=CD，ACB=ECD=60°ACB+ACE=ECD+ACE即得BCE=ACD在BCE和ACD中， BCEACD（SAS），BE=AD提高訓(xùn)練（B類）6、答案：36°或60°或84° 7、答案：2：3：4 8、答案：9、 在AB上取點E，使BE=BD， 在AC上取點F，使CF=CD 得BDE與CDF均為等邊三角形，只需證ADFAED10、 證明：ABC是等邊三角形，CDE是等邊三角形，M是線段AD的中點，N是線段BE的中點，又ACD=BCE，在ACD和BCE中，ACDBCE，AD=BE，AM=BN；又AMCBNC，CM=CN，ACM=BCN；又NCM=BCN-BCM，ACB=ACM-BCM，NCM=ACB=60