贏在高考2021高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)2.1函數(shù)及其應(yīng)用素能演練提升文

1、專題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第一講函數(shù)及其應(yīng)用掌握核心,贏在課堂1.若f(x)=則f(2 012)=() A.B.C.2D.解析:依題意,f(2 012)=f(4×502+4)=f(0)=20+=,選A.答案:A2.(2014河南洛陽一模,2)函數(shù)f(x)=的定義域是()A.(-3,0)B.(-3,0C.(-,-3)(0,+)D.(-,-3)(-3,0)解析:f(x)=,要使函數(shù)f(x)有意義,需使即-3<x<0.答案:A3.定義域?yàn)镽的四個函數(shù)y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函數(shù)的個數(shù)是()A.4B.3C.2D.1解析:y=x3,y=2sin x為奇函數(shù);

2、y=x2+1為偶函數(shù);y=2x為非奇非偶函數(shù).所以共有2個奇函數(shù),故選C.答案:C4.(2013河南洛陽統(tǒng)一考試,11)已知x1,x2是函數(shù)f(x)=e-x-|ln x|的兩個零點(diǎn),則()A.<x1x2<1B.1<x1x2<eC.1<x1x2<10D.e<x1x2<10解析:在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y=e-x與y=|ln x|的圖象,結(jié)合圖象不難看出,它們的兩個交點(diǎn)中,其中一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)屬于區(qū)間(0,1),另一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)屬于區(qū)間(1,+),即在x1,x2中,其中一個屬于區(qū)間(0,1),另一個屬于區(qū)間(1,+).不妨設(shè)x1(0,1),x2(1,

3、+),則有=|ln x1|=-ln x1(e-1,1),=|ln x2|=ln x2(0,e-1),=ln x2+ln x1=ln (x1x2)(-1,0),于是有e-1<x1x2<e0,即<x1x2<1,選A.答案:A5.(2014云南昆明三中、玉溪一中聯(lián)考,11)已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),對于x(0,+)都有f(x+2)=-f(x),且x(0,1時,f(x)=2x+1,則f(-2 012)+f(2 013)的值為()A.1B.2C.3D.4解析:依題意,函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),f(0)=0.又對于x(0,+)都有f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(

4、x),f(x)的周期為4.當(dāng)x(0,1時,f(x)=2x+1,f(-2 012)+f(2 013)=-f(2 012)+f(2 013)=-f(0)+f(1)=0+3=3,故選C.答案:C6.(2014河南洛陽期末,12)已知函數(shù)f(x)=cosx,g(x)=2-|x-2|,x-2,6,則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的所有零點(diǎn)之和為()A.6B.8C.10D.12解析:函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的所有零點(diǎn)之和可轉(zhuǎn)化為f(x)=g(x)的根之和,即轉(zhuǎn)化為y1=f(x)和y2=g(x)兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.又由函數(shù)g(x)=2-|x-2|與f(x)的圖象均關(guān)于x=2對稱,可知函

5、數(shù)h(x)的零點(diǎn)之和為12.答案:D7.若函數(shù)f(x)=,則(1)=; (2)f(3)+f(4)+f(2 012)+f+f+f=. 解析:(1)f(x)+f=+=0,=-1(x±1).=-1.(2)結(jié)合(1)知f(3)+f=0,f(4)+f=0,f(2 012)+f=0,因此f(3)+f(4)+f(2 012)+f+f=0.答案:(1)-1(2)08.(2014吉林長春第一次調(diào)研,16)定義x表示不超過x的最大整數(shù),例如1.5=1,-1.5=-2.若f(x)=sin(x-x),則下列結(jié)論中:y=f(x)為奇函數(shù);y=f(x)是周期函數(shù),周期為2;y=f(x)的最小

6、值為0,無最大值;y=f(x)無最小值,最大值為sin 1.正確的序號是. 解析:f(1.5)=sin(1.5-1.5)=sin 0.5,f(-1.5)=sin(-1.5-1.5)=sin 0.5,則f(1.5)=f(-1.5),故錯.f(x+1)=sin(x+1-x+1)=sin(x+1-x-1)=sin(x-x)=f(x),T=1,故錯.g(x)=x-x在k,k+1)(kZ)上是單調(diào)遞增的周期函數(shù),知g(x)0,1),故f(x)0,sin 1),故正確.易知錯.綜上,正確的序號為.答案:9.已知0<a<1,f(ax)=x+.(1)求f(x)的解析式,并求出f(x)的定

7、義域;(2)判斷并證明f(x)在上的單調(diào)性.解:(1)令t=ax.xR,且x0,t>0,且t1.由t=ax,得x=logat,f(t)=logat+(t>0,且t1).f(x)=logax+,定義域?yàn)閤|x>0,且x1.(2)f(x)在上是減函數(shù).證明如下:x1,x2,且x1<x2,f(x2)-f(x1)=logax2+=loga=loga.0<a<1,1<x1<x2,>1.loga<0,logax1-1,logax2<-1.logax1logax2>1.f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).f

8、(x)在上是減函數(shù).10.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=-,3a>2c>2b,求證:(1)a>0,且-3<<-;(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點(diǎn);(3)設(shè)x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個零點(diǎn),則|x1-x2|<.證明:(1)由已知得f(1)=a+b+c=-,3a+2b+2c=0.又3a>2c>2b,a>0,b<0.又2c=-3a-2b,3a>-3a-2b>2b.a>0,-3<<-.(2)由已知得f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=a-c,當(dāng)c>0時,f(0)=c&

9、gt;0,f(1)=-<0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個零點(diǎn);當(dāng)c0時,f(1)=-<0,f(2)=a-c>0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個零點(diǎn).綜上所述,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點(diǎn).(3)x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個零點(diǎn),x1+x2=-,x1x2=-.|x1-x2|=.-3<<-,|x1-x2|<.11.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR)滿足下列條件:當(dāng)xR時,f(x)的最小值為0,且f(x-1)=f(-x-1)恒成立;當(dāng)x(0,5)時,xf(x)2|x-1|+1恒成立.(1)求f(1)的值;(2)求f(x)的解析式;(3)求最大的實(shí)數(shù)m(m>1),使得存在實(shí)數(shù)t,當(dāng)x1,m時,f(x+t)x恒成立.解:(1)在中令x=1,有1f(x)1,故f(1)=1.(2)由知二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱,且開口向上,故設(shè)此二次函數(shù)為f(x)=a(x+1)2(a>0).因?yàn)閒(1)=1,所以a=.所以f(x)=(x+1)2.(3)f(x)=(x+1)2的圖象開口向上,而y=f(x+t)的圖象是由y=f(x)的圖象向左或向右平移|t|個單位得到的,要在區(qū)間1,m上使得y=f(x+t)的圖象在y=x的圖象下方,且m最大,則1和m應(yīng)當(dāng)是方程(x+t+1)2=x的兩個根.令x