高等數(shù)學(xué)備課資料：第六章 定積分的應(yīng)用 05 第五節(jié) 功 水壓力和引力

1、第五節(jié) 功 水壓力和引力分布圖示 變力沿直線所做的功 例1 例2 例3 例4 例5 水壓力 例6 例7 引力 例8 例9 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題6-5 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、變力沿直線所作的功 二、水壓力 三、引力例題選講變力沿直線所作的功例1(E01) 設(shè)40牛的力使彈簧從自然長(zhǎng)度10厘米拉長(zhǎng)成15厘米, 問(wèn)需要作多大的功才能克服彈性恢復(fù)力, 將伸長(zhǎng)的彈簧從15厘米處再拉長(zhǎng)3厘米?解 如圖(見(jiàn)系統(tǒng)演示)，根據(jù)胡克定律，有當(dāng)彈簧從10厘米拉長(zhǎng)到15厘米時(shí)，它伸長(zhǎng)量完為 5厘米0.05米.因有即故得于是可寫(xiě)出這樣，彈簧從15厘米拉長(zhǎng)到18厘米，所作的功為(焦).例2 (E02) 把一個(gè)帶電量的點(diǎn)電

2、荷放在軸上坐標(biāo)原點(diǎn)處，它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)，這個(gè)電場(chǎng)對(duì)周?chē)碾姾捎凶饔昧? 由物理學(xué)知道, 如果一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場(chǎng)中距離原點(diǎn)為的地方, 那么電場(chǎng)對(duì)它的作用力的大小為 如圖6-5-2所示，當(dāng)這個(gè)單位正電荷 在電場(chǎng)中從 處沿軸移動(dòng)到處時(shí), 計(jì)算電場(chǎng)力對(duì)它所作的功.解 取為積分變量，任取一小區(qū)間功微元:所求功為如果要考慮將單位電荷從點(diǎn)移到無(wú)窮遠(yuǎn)處例3 在底面積為的圓柱形容器中盛有一定量的氣體. 在等溫條件下, 由于氣體的膨脹, 把容器中的一個(gè)活塞(面積為)從點(diǎn)處推移到處. 計(jì)算在移動(dòng)過(guò)程中, 氣體壓力所作的功.解 如圖，活塞的位置可用坐標(biāo)表示. 由物理學(xué)知道，一定量的氣體在等溫條件下，壓強(qiáng)與體積的

3、乘積是常數(shù)即 或因?yàn)?所以故作用在活塞上的力在氣體膨脹過(guò)程中，體積是變的，因而也是變的，所以作用在活塞上的力也是變的.取為積分變量，它的變化區(qū)間為 設(shè)為上任一小區(qū)間. 當(dāng)活塞從移動(dòng)到時(shí)，變力所作的功近似于即功微元為于是所求的功為 例4 一圓柱形蓄水池高為5米, 底半徑為3米, 池內(nèi)盛滿了水. 問(wèn)要把池內(nèi)的水全部吸出, 需作多少功?解 建立如下坐標(biāo)系，取為積分變量，取任一小區(qū)間 這一薄層水的重力為功微元 所求功 (千焦).例5 (E03) 設(shè)有一直徑為20m的半球形水池, 池內(nèi)貯滿水, 若要把水抽盡, 問(wèn)至少作多少功.解 如圖，選取區(qū)間微元相應(yīng)該微元上的一層水的體積(),抽出這層水需作的功為(焦

4、)其中( kg/)是水的密度，是重力加速度. 故微元所求功為 (焦).水壓力例6 (E04) 一個(gè)橫放著的圓柱形水桶, 桶內(nèi)盛有半桶水, 設(shè)桶的底半徑為, 水的比重為, 計(jì)算桶的一端面上所受的壓力.解 在桶一端面建立如圖坐標(biāo)系，取為積分變量，取任一小區(qū)間小矩形片上各處壓強(qiáng)近似相等小矩形片的壓力微元為端面上所受的壓力 例7 (E05) 將直角邊各為及的直角三角形薄板垂直地浸入水中，斜邊朝下，直角邊的邊長(zhǎng)與水面平行，且該邊到水面的距離恰等于該邊的邊長(zhǎng)，求薄板所受的側(cè)壓力.解 建立如圖坐標(biāo)系，取任一小區(qū)間面積微元壓力微元 所求壓力 引力例8 (E06) 假設(shè)有一長(zhǎng)度為、線密度為的均勻細(xì)棒，在其中垂線

5、上距棒單位處有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)M，試計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.解 建立如下坐標(biāo)系，取為積分變量任取一微元小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為小段對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力水平方向的分力微元由對(duì)稱(chēng)性，在鉛直方向分力為 例9 (E07) 計(jì)算半徑為a, 密度為均質(zhì)的圓形薄板以怎樣的引力吸引質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P. 此質(zhì)點(diǎn)位于通過(guò)薄板中心Q且垂直于薄板平面的垂直直線上, 最短距離PQ等于b.解 建立如圖坐標(biāo)系.由于薄板均質(zhì)均質(zhì)且關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)，在圓心的中垂線上，顯然引力在水平方向的分力為0，在垂直方向的分力指向軸的正向，所求的引力看成分布在區(qū)間上.選取區(qū)間微元對(duì)于以為內(nèi)半徑的圓環(huán)，其質(zhì)量 對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力即相應(yīng)于微元的引力微元從而 即所求引力的大小方向指向軸的正向.課堂練習(xí)1.有一圓臺(tái)形的桶, 盛滿了汽油, 桶高為3米,