第2章機(jī)構(gòu)的平衡

1、第二章平面機(jī)構(gòu)的平衡2.1概 述由上一章的分析可知：高速機(jī)械和重型機(jī)械中，運(yùn)動(dòng)構(gòu)件要產(chǎn)生較大的慣性力和慣性力矩；機(jī)構(gòu)傳給機(jī)座一個(gè)擺動(dòng)力和一個(gè)擺動(dòng)力矩。它們對(duì)機(jī)械的運(yùn)轉(zhuǎn)造成多方面的不利影響。要克服這些不利影響就要進(jìn)行機(jī)構(gòu)的平衡。機(jī)構(gòu)平衡問(wèn)題，在本質(zhì)上是一種以動(dòng)態(tài)靜力分析為基礎(chǔ)的動(dòng)力學(xué)綜合，或動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)。一、機(jī)構(gòu)的平衡機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)中產(chǎn)生的慣性載荷會(huì)造成如下的危害：1）慣性力（力矩）的大小和方向是周期性變化的，因而通過(guò)構(gòu)件和運(yùn)動(dòng)副傳到機(jī)座上的擺動(dòng)力（力矩）的大小和方向也是周期性變化的。周期性變化的力和力矩會(huì)引起機(jī)構(gòu)在機(jī)座上的振動(dòng)，使機(jī)械的精度和工作可靠性下降，并產(chǎn)生噪聲；引起共振時(shí)還會(huì)導(dǎo)致機(jī)械的損壞，甚

2、至危及人身和廠(chǎng)房的安全。2）慣性力（力矩）的周期性變化加劇了作用于驅(qū)動(dòng)構(gòu)件上的平衡力矩的波動(dòng)，在傳動(dòng)系統(tǒng)中產(chǎn)生沖擊載荷，或造成系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。3）慣性載荷在構(gòu)件中引起附加的動(dòng)應(yīng)力，影響構(gòu)件的強(qiáng)度；在運(yùn)動(dòng)副中引起附加動(dòng)反力，加劇磨損并降低機(jī)械的效率。因而，為了適應(yīng)機(jī)械高速化和精密化的發(fā)展趨勢(shì)，就必須減小慣性力的不良影響，必須研究機(jī)械的平衡問(wèn)題。在機(jī)械原理課程中曾研究了繞固定軸線(xiàn)回轉(zhuǎn)的構(gòu)件的平衡，本章則研究機(jī)構(gòu)的平衡。在大多數(shù)機(jī)構(gòu)中，除驅(qū)動(dòng)構(gòu)件等速回轉(zhuǎn)外，其余構(gòu)件均往復(fù)運(yùn)動(dòng)或平面一般運(yùn)動(dòng)，慣性載荷是普遍存在的。當(dāng)驅(qū)動(dòng)構(gòu)件等速回轉(zhuǎn)時(shí)，各構(gòu)件的慣性力和慣性力矩均與驅(qū)動(dòng)構(gòu)件轉(zhuǎn)速的平方成正比。當(dāng)轉(zhuǎn)速升高時(shí)

3、，慣性載荷的影響是很大的。所謂平衡，就是采用構(gòu)件質(zhì)量再分配等手段完全地或部分地消除慣性載荷。平衡，是在機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)設(shè)計(jì)完成之后進(jìn)行的一種動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)。雖然由于慣性載荷的作用會(huì)引起機(jī)械在機(jī)座上的振動(dòng)，但是，在進(jìn)行平衡分析時(shí)，一般并不列出振動(dòng)的微分方程。也就是說(shuō)，并不進(jìn)行振動(dòng)的頻率分析和響應(yīng)分析，而僅著眼于全部消除或部分消除引起振動(dòng)的激振力。在平衡設(shè)計(jì)中進(jìn)行慣性力的分析時(shí)，均假定驅(qū)動(dòng)構(gòu)件作某種理想運(yùn)動(dòng)（如假定作等速回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)）。因而，用緒論中介紹過(guò)的四種不同水平的分析方法來(lái)衡量，平衡在本質(zhì)上是一種以動(dòng)態(tài)靜力分析為基礎(chǔ)的動(dòng)力學(xué)綜合。二、平衡的種類(lèi)和方法針對(duì)上述的慣性載荷造成的三種危害，機(jī)構(gòu)的平衡也有三種：

4、1）機(jī)構(gòu)在機(jī)座上的平衡：機(jī)構(gòu)在機(jī)座上的平衡是將各運(yùn)動(dòng)構(gòu)件視為一個(gè)整體系統(tǒng)進(jìn)行的平衡，目標(biāo)是消除或部分消除擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩，從而減輕機(jī)構(gòu)整體在機(jī)座上的振動(dòng)。這類(lèi)平衡問(wèn)題是長(zhǎng)期以來(lái)人們注意的重點(diǎn)，本章后續(xù)各節(jié)主要介紹這一類(lèi)平衡問(wèn)題。如無(wú)特別指明，下文中凡提及平衡即指機(jī)構(gòu)在機(jī)座上的平衡。2）機(jī)構(gòu)輸入轉(zhuǎn)矩的平衡：用第二章的動(dòng)態(tài)靜力分析方法可計(jì)算出為維持主動(dòng)構(gòu)件等速回轉(zhuǎn)而應(yīng)施加于主動(dòng)構(gòu)件上的平衡力矩。這一平衡力矩是隨機(jī)構(gòu)的位置而變化的。高速機(jī)構(gòu)中慣性載荷成為載荷中的主要成分，由于作周期性非勻速運(yùn)動(dòng)的構(gòu)件的慣性力和慣性力矩是正負(fù)交變的，便使平衡力矩的波動(dòng)更為劇烈。為降低這一波動(dòng)的程度需進(jìn)行機(jī)構(gòu)輸入轉(zhuǎn)矩的平

5、衡。注意，在平衡問(wèn)題研究中的術(shù)語(yǔ)“輸入轉(zhuǎn)矩”就是前一章所述的“平衡力矩”，并不是原動(dòng)機(jī)真正傳過(guò)來(lái)的驅(qū)動(dòng)力矩（“驅(qū)動(dòng)力矩”的概念將在第三章介紹）。3）運(yùn)動(dòng)副中動(dòng)壓力的平衡：為解決機(jī)構(gòu)中某些運(yùn)動(dòng)副中由慣性力引起的動(dòng)壓力過(guò)大的問(wèn)題，可進(jìn)行運(yùn)動(dòng)副中動(dòng)壓力的平衡。根據(jù)采用的措施不同，可以將平衡分為兩類(lèi)：1）通過(guò)加配重的方法來(lái)進(jìn)行平衡，這是比較通用的方法，也是歷來(lái)平衡問(wèn)題研究的重點(diǎn)。2）通過(guò)機(jī)構(gòu)的合理布局或設(shè)置附加機(jī)構(gòu)的方法來(lái)平衡，這類(lèi)措施在應(yīng)用上不具有普遍性。從慣性載荷被平衡的程度來(lái)看，平衡可分為三類(lèi)：部分平衡、完全平衡和優(yōu)化綜合平衡。1）部分平衡：無(wú)論采用什么方法來(lái)進(jìn)行平衡，都將導(dǎo)致機(jī)械重量的增加和結(jié)

6、構(gòu)的復(fù)雜。尤其當(dāng)要使擺動(dòng)力和（或）擺動(dòng)力矩在理論上得到完全平衡時(shí)，所需加的配重的數(shù)目和大小常常不能被從事實(shí)際機(jī)械設(shè)計(jì)的工程師所接受。因而，要兼顧機(jī)械的重量、結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)特性，常常不得不采用僅使擺動(dòng)力部分地得到平衡的方法。擺動(dòng)力的部分平衡這是最早出現(xiàn)的平衡方法（首先是應(yīng)用于內(nèi)燃機(jī)中的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)），也是迄今在一大類(lèi)機(jī)械的工程設(shè)計(jì)中仍廣泛采用的方法。2）完全平衡：從動(dòng)力學(xué)理論角度看，擺動(dòng)力的部分平衡當(dāng)然是不完美的。這不僅因?yàn)樗诟纳苿?dòng)力學(xué)特性方面的局限性，而且因?yàn)閭鹘y(tǒng)的部分平衡方法是針對(duì)特定的、比較簡(jiǎn)單的機(jī)構(gòu)而提出的，不具有普遍性。近三十年來(lái)，學(xué)術(shù)界一直在探討能普遍適用于多種多樣的各類(lèi)機(jī)構(gòu)的完全平

7、衡方法。完全平衡有兩類(lèi)：一種是擺動(dòng)力完全平衡，一種是擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩的完全平衡。3）優(yōu)化綜合平衡：由于完全平衡的局限性，在實(shí)踐中仍需采用部分平衡。優(yōu)化方法的出現(xiàn)，可以幫助我們優(yōu)選機(jī)構(gòu)的平衡參數(shù)。平衡問(wèn)題的復(fù)雜性，造成了人們長(zhǎng)期以來(lái)孤立地研究擺動(dòng)力的平衡或擺動(dòng)力矩的平衡；進(jìn)一步說(shuō)，也在孤立地研究機(jī)構(gòu)在機(jī)座上的平衡，而未能顧及輸入轉(zhuǎn)矩的平衡和運(yùn)動(dòng)副動(dòng)壓力的平衡。優(yōu)化方法的出現(xiàn)給研究者提供了綜合地考慮多個(gè)目標(biāo)平衡的可能性。優(yōu)化綜合平衡是平衡問(wèn)題研究的最新趨向，在工程實(shí)踐中有著重要意義。2.2質(zhì)量代換在研究機(jī)構(gòu)平衡問(wèn)題時(shí)，為了分析問(wèn)題的方便，常采用質(zhì)量代換：將構(gòu)件的質(zhì)量用若干集中質(zhì)量來(lái)代換，使這些代換

8、質(zhì)量與原有質(zhì)量在動(dòng)力學(xué)上等效。一、質(zhì)量代換的條件圖2.2.1構(gòu)件的慣性力和慣性力矩設(shè)一構(gòu)件如圖2.2.1所示，其質(zhì)量為，m質(zhì)心位于S，構(gòu)件對(duì)質(zhì)心S的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，則構(gòu)件慣性力在方向之投影為 （2.2.1）慣性力矩為 （2.2.2）式中為質(zhì)心的加速度在方向的分量，為構(gòu)件的角加速度?，F(xiàn)以個(gè)集中質(zhì)量來(lái)代替原有構(gòu)件的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。若使代換后的系統(tǒng)與原來(lái)構(gòu)件在動(dòng)力學(xué)上等效，應(yīng)使這些代換質(zhì)量的慣性力的合力等于原構(gòu)件的慣性力，同時(shí)，各代換質(zhì)量對(duì)構(gòu)件質(zhì)心的慣性力矩應(yīng)等于原構(gòu)件對(duì)質(zhì)心的慣性力矩。這樣，代換時(shí)應(yīng)滿(mǎn)足如下三個(gè)條件：1）各代換質(zhì)量的總和應(yīng)等于原來(lái)構(gòu)件的質(zhì)量，即、2）各代換質(zhì)量的總質(zhì)心應(yīng)與原來(lái)的質(zhì)心相重

9、合，即式中為構(gòu)件質(zhì)心在圖示坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，為第個(gè)集中質(zhì)量在圖示坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。3）各代換質(zhì)量對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和應(yīng)等于原構(gòu)件對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即將（2.2.4 ）式求導(dǎo)兩次并變號(hào)，有：此式左邊為各代換質(zhì)量慣性力的合力，右邊為原構(gòu)件慣性力之合力。這說(shuō)明滿(mǎn)足了條件，則代換后慣性力不變。若取坐標(biāo)原點(diǎn)與質(zhì)心重合，將式（2.2.5）兩邊同乘以并，為構(gòu)件的角加速度，則有此式兩邊為代換前后的慣性力矩。這說(shuō)明滿(mǎn)足了第個(gè)條件，代換前后的慣性力矩才能相等。滿(mǎn)足前兩個(gè)條件，使慣性力保持不變的代換稱(chēng)為靜代換。滿(mǎn)足全部三個(gè)條件，使慣性力和慣性力矩均保持不變的代換稱(chēng)為動(dòng)代換。在研究擺動(dòng)力的平衡時(shí)，不涉及慣性力矩，可以采用

10、靜代換；而當(dāng)同時(shí)研究擺動(dòng)力矩的平衡時(shí)，則必須采用動(dòng)代換。二、實(shí)質(zhì)量代換代換質(zhì)量的數(shù)目越少，計(jì)算也越方便。一般工程計(jì)算中常用兩個(gè)或三個(gè)代換質(zhì)量進(jìn)行代換。一般情況下，代換點(diǎn)選在運(yùn)動(dòng)參數(shù)容易確定的點(diǎn)上，例如回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)副處。我們僅介紹用兩個(gè)質(zhì)量的代換，掌握了兩質(zhì)量代換，三質(zhì)量代換的公式也不難導(dǎo)出。1兩點(diǎn)動(dòng)代換如圖所示，將構(gòu)件用兩質(zhì)量進(jìn)行動(dòng)代換。根據(jù)前述的條件，應(yīng)滿(mǎn)足如下各式：此方程組中有四個(gè)待求量：指定任何一個(gè)，可求出另外三個(gè)。一般是把 設(shè)置在鉸鏈處，這樣是已知的，可求出：圖2.2.2兩質(zhì)量代換2兩點(diǎn)靜代換動(dòng)代換后的系統(tǒng)與原有系統(tǒng)在動(dòng)力學(xué)上是完全等效的。但是當(dāng)只進(jìn)行擺動(dòng)力平衡時(shí)，可以不考慮構(gòu)件的慣性力矩

11、，也即可以不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。這時(shí)，代換條件成為這時(shí)只有兩個(gè)方程，而有四個(gè)待求量，因而可以任意指定兩個(gè)，求出另外兩個(gè)。因?yàn)?是兩個(gè)回轉(zhuǎn)副，在運(yùn)動(dòng)分析時(shí)這兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，即位移、速度、加速度是必需求出的，因而選擇為代換點(diǎn)計(jì)算很方便（圖2.2.2c）。由此可求出 三、廣義質(zhì)量代換法簡(jiǎn)介前述之兩質(zhì)量代換適用于構(gòu)件的質(zhì)心恰在兩鉸鏈連線(xiàn)上的情況。當(dāng)質(zhì)心不在兩鉸鏈連線(xiàn)上時(shí)，靜代換條件為（圖2.2.3）為點(diǎn)的坐標(biāo)。代換點(diǎn)選擇在之后，此方程組中只有兩個(gè)未知數(shù)，只有當(dāng)為復(fù)數(shù)時(shí)才有解。以復(fù)數(shù)形式表示的質(zhì)量稱(chēng)為假想質(zhì)量或廣義質(zhì)量。圖 2.2.3質(zhì)心不在兩鉸鏈連線(xiàn)上的情況廣義質(zhì)量概念的提出使質(zhì)量代換成為一種進(jìn)行機(jī)構(gòu)擺動(dòng)

12、力完全平衡的方法。例如圖所示之四桿機(jī)構(gòu)，連架桿繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)或擺動(dòng)，這兩個(gè)構(gòu)件的平衡是容易的。關(guān)鍵是連桿2的平衡問(wèn)題。如果質(zhì)心在連線(xiàn)上（圖2.2.4a），連桿質(zhì)量可用 兩點(diǎn)的實(shí)質(zhì)量來(lái)代換。然后在桿1、桿3上與相位差處可設(shè)配重，連桿質(zhì)量即得到平衡。如果質(zhì)心不在連線(xiàn)上（圖2.2.4b），連桿質(zhì)量可用兩點(diǎn)的廣義質(zhì)量來(lái)代換。可以證明，在桿1、桿3上與有適當(dāng)?shù)南辔幌嗖钐幙稍O(shè)配重（均為實(shí)質(zhì)量），能使廣義質(zhì)量被平衡，從而使連桿質(zhì)量得到平衡。關(guān)于廣義質(zhì)量代換的概念和方法的更詳細(xì)的介紹可參閱文獻(xiàn)圖2.2.4用廣義質(zhì)量法進(jìn)行機(jī)構(gòu)擺動(dòng)力的平衡2.3曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的擺動(dòng)力部分平衡曲柄滑塊機(jī)構(gòu)是最早獲得廣泛應(yīng)用的連桿機(jī)構(gòu)之一

13、，在高速下它的往復(fù)運(yùn)動(dòng)質(zhì)量引起的振動(dòng)促使人們研究這類(lèi)機(jī)構(gòu)的平衡問(wèn)題。用質(zhì)量代換法可以很容易地使這種機(jī)構(gòu)得到擺動(dòng)力的完全平衡。但是下一節(jié)將通過(guò)分析說(shuō)明，這需要加很大的配重，導(dǎo)致機(jī)械的重量大為增加，從而未獲得廣泛應(yīng)用。長(zhǎng)期以來(lái)人們用加配重使擺動(dòng)力部分被平衡的方法來(lái)減小振動(dòng)。圖2.3.1 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的質(zhì)量代換一、曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的慣性力分析圖2.3.1 所示之曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，用質(zhì)量靜代換法可以將連桿質(zhì)量用集中于鉸鏈的兩個(gè)集中質(zhì)量來(lái)代替：曲柄質(zhì)量則可以用集中于 的兩個(gè)集中質(zhì)量來(lái)代換。由于點(diǎn)是靜止的，不引起慣性力，可以不再計(jì)算，而這個(gè)機(jī)構(gòu)的質(zhì)量經(jīng)代換后可以認(rèn)為只存在著兩個(gè)集中質(zhì)量 和式中 是滑塊質(zhì)量。因此，

14、要分析兩點(diǎn)的加速度才能求出慣性力?；瑝K位移為式中角為曲柄轉(zhuǎn)角，是自變量，角 可由三角形關(guān)系求出：式中為曲柄長(zhǎng)度和連桿長(zhǎng)度之比值，它是一個(gè)對(duì)曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性有主要影響的機(jī)構(gòu)參數(shù)。將式中所要用到的 展開(kāi)成角 的級(jí)數(shù)：式中將式（2.3.3）代入式（2.3.1）得到和的關(guān)系式，再求導(dǎo)兩次得到 點(diǎn)加速度：對(duì)一般內(nèi)燃機(jī)，因而上式中含 的項(xiàng)均可忽略不計(jì)。又因曲柄等速回轉(zhuǎn)，這樣，點(diǎn)加速度近似為：在鉸鏈處的轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量的慣性力為往復(fù)移動(dòng)質(zhì)量的慣性力為此式第一項(xiàng)與成正比，稱(chēng)為一階慣性力，第二項(xiàng)與成正比稱(chēng)為二階慣性力。二、平衡配重的計(jì)算圖 2.3.2 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的擺動(dòng)力部分平衡 鉸鏈處的回轉(zhuǎn)質(zhì)量產(chǎn)生的慣性力可

15、以通過(guò)在點(diǎn)處（圖2.3.2）加平衡配重的方法來(lái)平衡：在點(diǎn)處可再增加一平衡配重，用它來(lái)部分地平衡產(chǎn)生的慣性力。產(chǎn)生的慣性力為比較式（ 2.3.7）和式（2.3.9）可知，通過(guò)選擇和，可以用平衡掉一階慣性力，但無(wú)法平衡二階慣性力。而與此同時(shí)，又在方向產(chǎn)生了新的不平衡慣性力 ，其幅值與向慣性力相同。為此，可將配重減小一些，使一階慣性力部分地被平衡，而在 向產(chǎn)生的慣性力 也不致過(guò)大。這樣，加于點(diǎn)的平衡配重可如下計(jì)算：一般取為 。選擇 值時(shí)可有不同的出發(fā)點(diǎn)，如使殘余的慣性力的最大值盡可能小，也可考慮不同的附加要求，例如在擺動(dòng)力平衡的同時(shí)使一運(yùn)動(dòng)副中的反力不超過(guò)許用值，或不平衡力矩較小等。關(guān)于曲柄滑塊機(jī)構(gòu)

16、擺動(dòng)力的部分平衡，文獻(xiàn)有更詳細(xì)的介紹。2.4平面連桿機(jī)構(gòu)的完全平衡一、平面連桿機(jī)構(gòu)完全平衡的條件為分析簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們考慮一種最簡(jiǎn)單的情況-共面平面連桿機(jī)構(gòu)，即假定它的各構(gòu)件均在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，如圖2.4.1所示。圖2.4.1共面平面連桿機(jī)構(gòu)設(shè)第個(gè)構(gòu)件的質(zhì)量為，對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，質(zhì)心坐標(biāo)為，構(gòu)件的位置角。構(gòu)件總數(shù)為，則運(yùn)動(dòng)構(gòu)件數(shù)為，每個(gè)構(gòu)件產(chǎn)生一個(gè)慣性力，它有兩個(gè)分量。若要使擺動(dòng)力、擺動(dòng)力矩均為零，則應(yīng)有：式（2.4.2 ）即為共面平面連桿機(jī)構(gòu)擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩完全平衡的條件，其中式（2.4.1a ）和式（2.4.1b ）為機(jī)構(gòu)擺動(dòng)力完全平衡的條件。因?yàn)闄C(jī)構(gòu)的總質(zhì)心坐標(biāo)可表示為：式中為機(jī)構(gòu)的總質(zhì)

17、量。因而，式（2.4.1a ）和式（2.4.1b ）的的物理意義是：機(jī)構(gòu)總質(zhì)心的加速度為零。機(jī)構(gòu)的總質(zhì)心加速度為零只有兩種可能：總質(zhì)心作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)或總質(zhì)心靜止不動(dòng)。由于機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)具有周期性，總質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡只能是某一封閉曲線(xiàn)，所以總質(zhì)心是不可能作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的。因而，機(jī)構(gòu)擺動(dòng)力完全平衡的條件可以表達(dá)為：機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其總質(zhì)心保持靜止不動(dòng)。定義為為機(jī)構(gòu)的質(zhì)量矩，則機(jī)構(gòu)擺動(dòng)力完全平衡的條件也可表達(dá)為：機(jī)構(gòu) 的質(zhì)量矩為常數(shù)。將式（2.4.1c）改寫(xiě)為 式中稱(chēng)為機(jī)構(gòu)的動(dòng)量矩：因此，擺動(dòng)力矩完全平衡的條件可表達(dá)為：機(jī)構(gòu)的動(dòng)量矩為常數(shù)。二、用質(zhì)量再分配實(shí)現(xiàn)擺動(dòng)力的完全平衡現(xiàn)在已提出了多種通過(guò)質(zhì)量再分配即加

18、配重來(lái)實(shí)現(xiàn)擺動(dòng)力完全平衡的分析方法，主要有廣義質(zhì)量代換法、線(xiàn)性獨(dú)立矢量法、質(zhì)量矩替代法和有限位置法等。而線(xiàn)性獨(dú)立矢 量法是其中概念清晰、易于理解的一種。線(xiàn)性獨(dú)立矢量法的步驟是：1）首先建立機(jī)構(gòu)總質(zhì)心的表達(dá)式，表達(dá)式中含有機(jī)構(gòu)的幾何物理參數(shù)（質(zhì)量、桿長(zhǎng)、質(zhì)心位置等）和各桿的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（位置角）。2）該表達(dá)式中的運(yùn)動(dòng)參數(shù)不是獨(dú)立的，將機(jī)構(gòu)封閉矢量方程式引入總質(zhì)心表達(dá)式。3）根據(jù)擺動(dòng)力完全平衡的條件-總質(zhì)心保持靜止不動(dòng)，令總質(zhì)心表達(dá)式中隨時(shí)間變化的項(xiàng)的系數(shù)為零。這樣就得到了機(jī)構(gòu)的幾何物理參數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條件-平衡方程。為構(gòu)件4）根據(jù)平衡方程和靜力學(xué)，確定所加配重的位置和大小。圖2.4.2 擺動(dòng)力完全平衡的

19、線(xiàn)性獨(dú)立矢量下面以圖2.4.2所示的平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)為例加以說(shuō)明。圖中各桿位置角以表示，各桿質(zhì)心用和 兩個(gè)參數(shù)定位。設(shè)機(jī)構(gòu)總質(zhì)心所在位置為，由原點(diǎn)到的矢量為式中為構(gòu)件的質(zhì)量，為構(gòu)件的質(zhì)心的位置矢量。為機(jī)構(gòu)總質(zhì)量。為方便起見(jiàn)，用復(fù)數(shù)形式表示：代入式（2.4.5）得此式中 為與時(shí)間有關(guān)的矢量，但這些矢量并不是線(xiàn)性獨(dú)立的，它們必須滿(mǎn)足機(jī)構(gòu)的封閉矢量方程式：由于式（2.4.8 ）的存在，）中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，將式（2.4.8）代入式（2.4.7）可消去其中一個(gè)，例如若消去 ，則式（2.4.7 ）成為式中，要使機(jī)構(gòu)總質(zhì)心保持不動(dòng)，應(yīng)使成為常量。在 表達(dá)式中 是與時(shí)間有關(guān)的矢量，令 前面的系數(shù)為零，則有：

20、這兩個(gè)方程式中所含的量都是機(jī)構(gòu)的幾何參數(shù)和物理參數(shù)，它們就是擺動(dòng)力完全平衡的平衡方程。為了更清楚地表達(dá)平衡條件，引入如下關(guān)系（圖2.4.2）將此式代入式（2.4.10 ）中的第一式，則式（2.4.10 ）可改為這樣可得到平衡條件：式中稱(chēng)為質(zhì)量矩。式中桿的長(zhǎng)度比是根據(jù)工作要求經(jīng)運(yùn)動(dòng)設(shè)計(jì)確定的，在進(jìn)行平衡時(shí)不能再修改。式（2.4.13）表示，在進(jìn)行鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)的擺動(dòng)力完全平衡時(shí)，當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件的質(zhì)量和質(zhì)心位置已經(jīng)確定，則另外兩個(gè)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件的質(zhì)量矩和它們的位置就應(yīng)該用此式求出。為此，可以取三個(gè)運(yùn)動(dòng)構(gòu)件中的兩個(gè)作為設(shè)置平衡配重的平衡構(gòu)件。我們僅對(duì)取構(gòu)件1、3 為平衡構(gòu)件的情況作一討論。若連桿2上不放配重

21、，它的質(zhì)量、質(zhì)心位置都是已知的， 均為已知量，則可用式（2.4.13）計(jì)算出 。所計(jì)算出的這四個(gè)量均指加了配重以后的量。如果描述構(gòu)件1、3未加配重前的質(zhì)量和質(zhì)心位置的原始參數(shù)為 ，則所應(yīng)加的平衡配重的參數(shù)便不難導(dǎo)出。根據(jù)靜力學(xué)原理，有如下關(guān)系：求解此式可得到配重的質(zhì)量矩和位置角：式中同理也可以導(dǎo)出以構(gòu)件1、2為平衡構(gòu)件時(shí)所應(yīng)加的平衡量。例題2.4.1 圖2.4.3 所示之四桿機(jī)構(gòu)，曲柄1為輸入桿。各桿長(zhǎng)度、質(zhì)量、質(zhì)心位置等參數(shù)如表2.4.1所示。確定在曲柄1和搖桿3上為實(shí)現(xiàn)擺動(dòng)力的完全平衡所需加的配重。表2.4.1 一個(gè)未經(jīng)平衡的四桿機(jī)構(gòu)的參數(shù)長(zhǎng)度單位，角度單位，度；質(zhì)量單位，圖2.4.3 例

22、題3.4.1 中的四桿機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖解由式（2.4.13 ）可求出注意，是設(shè)置了配重后的質(zhì)量矩。由給定條件可知，構(gòu)件 未加配重前的質(zhì)量矩為用式（2.4.15）可求出在曲柄1上應(yīng)設(shè)置的配重的質(zhì)量矩和這個(gè)配重的相位同理，對(duì)搖桿3 也可求出：圖2.4.3中表示出了兩個(gè)配重的位置。本節(jié)所介紹的線(xiàn)性獨(dú)立矢量法是針對(duì)結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單的機(jī)構(gòu)提出的。對(duì)多環(huán)機(jī)構(gòu)則要列出多個(gè)封閉矢量方程式，較為繁瑣。文獻(xiàn)給出的質(zhì)量矩替代法在理論上更具一般性。質(zhì)量矩 替代法的基本思想是：1) 基本回路數(shù)為的連桿機(jī)構(gòu)，可分解為個(gè)連枝構(gòu)件和一個(gè)連接機(jī)架的樹(shù)系統(tǒng)。如圖2.4.4所示之六桿機(jī)構(gòu)，包含兩個(gè)回路和取出構(gòu)件3、4為連枝構(gòu)件，其余構(gòu)件組成一

23、個(gè)樹(shù)系統(tǒng)。2）連枝構(gòu)件的質(zhì)量矩可以表述為作用在樹(shù)枝構(gòu)件上的附加質(zhì)量矩。3）建立全部樹(shù)枝構(gòu)件的擺動(dòng)力完全平衡條件，并計(jì)入連枝構(gòu)件附加質(zhì)量矩的作用，即可得到機(jī)構(gòu)的擺動(dòng)力完全平衡條件。4）按照擺動(dòng)力完全平衡條件，對(duì)每一樹(shù)枝構(gòu)件附加適當(dāng)之配重。圖2.4.4 機(jī)構(gòu)分解為連枝構(gòu)件和樹(shù)系統(tǒng)三、用機(jī)構(gòu)配置實(shí)現(xiàn)擺動(dòng)力的完全平衡除了加配重的方法以外，還可通過(guò)機(jī)構(gòu)合理布局或設(shè)置附加機(jī)構(gòu)的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)擺動(dòng)力的完全平衡。例如圖2.4.5a為兩相同之曲柄滑塊機(jī)構(gòu)對(duì)稱(chēng)布置，從而使擺動(dòng)力完全平衡。圖2.4.5b中主機(jī)構(gòu)是曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，四桿機(jī)構(gòu)是單為平衡而設(shè)的附加機(jī)構(gòu)。由于桿較長(zhǎng)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)近似直線(xiàn)，加于點(diǎn)的平衡質(zhì)量可基本上使擺動(dòng)力

24、得到完全平衡。但這類(lèi)措施有時(shí)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)復(fù)雜，在應(yīng)用上受到一定的局限，更多的例子可參閱文獻(xiàn)圖2.4.5通過(guò)機(jī)構(gòu)的合理配置實(shí)現(xiàn)擺動(dòng)力的完全平衡四、關(guān)于擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩完全平衡的研究除了擺動(dòng)力之外，擺動(dòng)力矩的周期性變化同樣也是引起機(jī)構(gòu)在機(jī)座上振動(dòng)的原因。而在擺動(dòng)力的完全平衡中對(duì)擺動(dòng)力矩完全未納入考慮?？赡艹霈F(xiàn)如圖2.4.6中的情況：經(jīng)過(guò)擺動(dòng)力完全平衡后，兩個(gè)固定鉸鏈中的反作用力大小相等、方向相反，因而擺動(dòng)力矩并未被平衡。實(shí)際上，由于設(shè)置了平衡質(zhì)量，擺動(dòng)力矩的情況可能變得更壞。圖 擺動(dòng)力完全平衡而擺動(dòng)力矩未被平衡圖 用附加轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平衡擺動(dòng)力矩使擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩都得到完全平衡的機(jī)構(gòu)才能在理論上實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)在機(jī)

25、座上無(wú)振動(dòng)。因而，擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩完全平衡的研究成為機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的一個(gè)理論研究領(lǐng)域。這一問(wèn)題比單純的擺動(dòng)力平衡有更大的難度，在80 年代以后才取得突破性的進(jìn)展。在這一問(wèn)題的突破中，中國(guó)學(xué)者有很大的貢獻(xiàn)。本章末給出的有關(guān)參考文獻(xiàn)中，有的文獻(xiàn)應(yīng)用某種方法解決了某幾種特定機(jī)構(gòu)的平衡問(wèn)題，而文獻(xiàn)則論述了擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩完全平衡的一般理論。擺動(dòng)力矩完全平衡的條件是機(jī)構(gòu)的動(dòng)量矩保持常數(shù)（見(jiàn)表達(dá)式2.4.4）。文獻(xiàn)從這一條件出發(fā)，論述了在不破壞已完成的擺動(dòng)力完全平衡的情況下，一個(gè)四桿機(jī)構(gòu)的擺動(dòng)力矩完全平衡問(wèn)題。該文得出一個(gè)重要結(jié)論：一般不能通過(guò)在機(jī)構(gòu)內(nèi)部加配重的方法使擺動(dòng)力矩得到完全平衡，但可用附加轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

26、的方法來(lái)平衡。如圖2.4.7所示之四桿機(jī)構(gòu)，為滿(mǎn)足平衡條件，各桿的質(zhì)量分布均需經(jīng)過(guò)恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)，并設(shè)置配重；而在此之后，仍剩余一個(gè)與搖桿角加速度成正比的擺動(dòng)力矩未能平衡。若在搖桿軸上加設(shè)一個(gè)具有一定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的慣性輪，這個(gè)慣性輪隨搖桿一起作變速運(yùn)動(dòng)，能產(chǎn)生一個(gè)與搖桿角加速度成正比的慣性力矩。正確確定慣性輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可使這個(gè)慣性力矩恰與剩余的擺動(dòng)力矩相平衡。若在搖桿軸上不便安裝過(guò)大的慣性輪也可以安裝一對(duì)齒輪，如圖2.4.7所示。文獻(xiàn)提出的動(dòng)量矩替代法更具一般性。該方法與擺動(dòng)力完全平衡的質(zhì)量矩替代法類(lèi)似，其基本思想是：1）基本回路數(shù)為的連桿機(jī)構(gòu)，可分解為個(gè)連枝構(gòu)件和一個(gè)連接機(jī)架的樹(shù)系統(tǒng)。2）對(duì)連枝構(gòu)

27、件附加以適當(dāng)配重，可使連枝構(gòu)件的動(dòng)量矩表示為作用在樹(shù)枝構(gòu)件上的附加動(dòng)量矩。3）建立全部樹(shù)枝構(gòu)件的擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩完全平衡條件，并計(jì)入連枝構(gòu)件的附加質(zhì)量矩和附加動(dòng)量矩的作用，即可得到機(jī)構(gòu)的擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩完全平衡條件。4）按照完全平衡條件，對(duì)每一樹(shù)枝構(gòu)件附加適當(dāng)之配重和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。五、完全平衡的局限性完全平衡有很大的局限性。不是任何機(jī)構(gòu)都可以通過(guò)施加配重來(lái)實(shí)現(xiàn)擺動(dòng)力完全平衡的。這需要在機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)學(xué)上滿(mǎn)足一定的條件：機(jī)構(gòu)內(nèi)任何一個(gè)構(gòu)件都有一條通到固定件的途徑，在此途徑上只含有轉(zhuǎn)動(dòng)副而沒(méi)有移動(dòng)副。換言之，如果機(jī)構(gòu)內(nèi)存在著被移動(dòng)副所包圍的構(gòu)件或構(gòu)件組，則該機(jī)構(gòu)不能通過(guò)施加平衡配重的方法實(shí)現(xiàn)擺動(dòng)力的完全平衡

28、。這一條件也稱(chēng)為“通路定理”，其證明可參閱文獻(xiàn)。 圖2.4.8擺動(dòng)力完全平衡導(dǎo)致機(jī)構(gòu)質(zhì)量增加實(shí)用中的大多數(shù)機(jī)構(gòu)都滿(mǎn)足上述條件。完全平衡的局限性尚不僅在于此。擺動(dòng)力的完全平衡常常會(huì)導(dǎo)致機(jī)械結(jié)構(gòu)的復(fù)雜化。可以證明，對(duì)由個(gè)構(gòu)件組成的單自由度機(jī)構(gòu)，要使擺動(dòng)力得到完全平衡，至少需加個(gè)平衡質(zhì)量。當(dāng)構(gòu)件數(shù)較多時(shí)，需加多個(gè)平衡質(zhì)量，這一點(diǎn)有時(shí)在結(jié)構(gòu)上不允許。擺動(dòng)力的完全平衡還會(huì)使機(jī)械的重量大為增加。例如圖2.4.8所示之曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，連桿質(zhì)心位于之中點(diǎn)，曲柄質(zhì)心位于鉸鏈處。這是一個(gè)四桿機(jī)構(gòu)，至少需加兩個(gè)配重才能實(shí)現(xiàn)擺動(dòng)力的完全平衡?，F(xiàn)用質(zhì)量代換法進(jìn)行分析。先在連桿的延長(zhǎng)線(xiàn)上處加一，使連桿一滑塊桿組的質(zhì)心移到鉸

29、鏈處，若取，則 。這樣，在鉸鏈處便集中了的質(zhì)量。為了平衡這個(gè)質(zhì)量，在曲柄延長(zhǎng)線(xiàn)上取，則在點(diǎn)應(yīng)施加的配重。這樣兩點(diǎn)處之總配重為，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了機(jī)構(gòu)的原有重量。如果要同時(shí)進(jìn)行擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩的完全平衡，則不僅要設(shè)置配重，而且還要設(shè)置轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。從目前發(fā)表的一些平衡方案看，一般均使機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)過(guò)分復(fù)雜、重量大為增加。作為機(jī)構(gòu)剛體動(dòng)力學(xué)的一個(gè)重要問(wèn)題，從理論上進(jìn)行完全平衡的研究是需要的，近年來(lái)完全平衡的理論也確有重要進(jìn)展。但是，其具體實(shí)現(xiàn)措施尚待解決。因而，它雖然在理論上可行，但在工程實(shí)踐中目前尚鮮有應(yīng)用。配重。2.5平面連桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化綜合平衡一、優(yōu)化綜合平衡問(wèn)題的提出在本章第一節(jié)中曾指出，機(jī)構(gòu)的平衡有三種：機(jī)

30、構(gòu)在機(jī)座上的平衡、機(jī)構(gòu)輸入轉(zhuǎn)矩的平衡和運(yùn)動(dòng)副中動(dòng)壓力的平衡。本章前面各節(jié)的討論集中在機(jī)構(gòu)在機(jī)座上的平衡。在討論機(jī)構(gòu)在機(jī)座上的平衡時(shí)，又常常只進(jìn)行擺動(dòng)力的平衡，而忽略擺動(dòng)力矩的平衡。這種單目標(biāo)平衡有很大的局限性。因?yàn)椋瑪[動(dòng)力、擺動(dòng)力矩、輸入轉(zhuǎn)矩、運(yùn)動(dòng)副反力這些動(dòng)力特性并不是各自獨(dú)立的，而是相互聯(lián)系著的。從理論上說(shuō)，慣性力的計(jì)算是建立在主動(dòng)構(gòu)件作理想運(yùn)動(dòng)（如等速回轉(zhuǎn)）的假定的基礎(chǔ)上的。但是，輸入轉(zhuǎn)矩是有波動(dòng)的。由下一章的分析可知，主動(dòng)構(gòu)件的角速度并不是恒定的。在加配重進(jìn)行擺動(dòng)力平衡后，輸入轉(zhuǎn)矩的波動(dòng)可能更劇烈。如果主動(dòng)構(gòu)件等速回轉(zhuǎn)的假定完全靠不住了，擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩平衡的計(jì)算也就失去了基礎(chǔ)。此外，

31、在上述的平衡計(jì)算中也沒(méi)有考慮運(yùn)動(dòng)副中的反力。施加配重后常常導(dǎo)致某些運(yùn)動(dòng)副中的反力大為增加。整機(jī)的振動(dòng)即使減輕了，運(yùn)動(dòng)副中的磨損卻會(huì)加劇。單目標(biāo)動(dòng)力平衡的實(shí)際結(jié)果也表明，通過(guò)平衡來(lái)改善某一動(dòng)力特性，常常以其他動(dòng)力特性的惡化為代價(jià)。例如，對(duì)某一種六桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行擺動(dòng)力的完全平衡后，輸入轉(zhuǎn)矩的均方根值上升了59% ，而擺動(dòng)力矩的均方根值則上升167%了。長(zhǎng)期以來(lái)進(jìn)行單目標(biāo)平衡，是由于平衡問(wèn)題的復(fù)雜性。運(yùn)動(dòng)副反力、平衡力矩、擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩的計(jì)算都是以第一章的動(dòng)態(tài)靜力分析方法為基礎(chǔ)的。分析，是相對(duì)容易的；而平衡，是動(dòng)態(tài)靜力分析基礎(chǔ)上的綜合，要導(dǎo)出兼顧多項(xiàng)指標(biāo)的綜合方程，就不是很容易的了。優(yōu)化方法的出現(xiàn)，突

32、破了這種局面。優(yōu)化是一個(gè)綜合過(guò)程，但它是包含了多次分析過(guò)程，通過(guò)數(shù)值方法來(lái)逐步收斂到一個(gè)相對(duì)優(yōu)化方案來(lái)進(jìn)行綜合的。因而，用優(yōu)化方法來(lái)進(jìn)行平衡，不需要推導(dǎo)平衡方程。這就給研究者提供了這樣一種可能：擺脫單目標(biāo)動(dòng)力平衡的局限性，兼顧多項(xiàng)動(dòng)力學(xué)指標(biāo)。優(yōu)化綜合平衡的概念被提出來(lái)。綜合平衡，就是說(shuō)不僅考慮機(jī)構(gòu)在機(jī)座上的平衡，同時(shí)也考慮到運(yùn)動(dòng)副動(dòng)壓力的平衡和（或）輸入轉(zhuǎn)矩的平衡。優(yōu)化平衡，就是采用優(yōu)化的方法獲得一個(gè)相對(duì)最佳解。優(yōu)化綜合平衡是平衡問(wèn)題研究的最新趨向，在工程實(shí)踐中有重要意義。優(yōu)化綜合平衡是一個(gè)多目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題，多個(gè)指標(biāo)完全達(dá)到平衡是不可能的。所以，優(yōu)化綜合平衡當(dāng)然也是一種部分平衡。但它是出現(xiàn)在新

33、的研究水平上的、具有新的內(nèi)涵的部分平衡。機(jī)構(gòu)平衡問(wèn)題的研究從簡(jiǎn)單機(jī)構(gòu)的擺動(dòng)力部分平衡開(kāi)始，發(fā)展到機(jī)構(gòu)擺動(dòng)力與擺動(dòng)力矩的完全平衡，又發(fā)展到優(yōu)化綜合平衡，走過(guò)了一個(gè)螺旋式上升的發(fā)展過(guò)程。二、優(yōu)化綜合平衡的數(shù)學(xué)模型在優(yōu)化綜合平衡中，平衡問(wèn)題被表述為一個(gè)多目標(biāo)的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。目前多用各項(xiàng)動(dòng)力學(xué)指標(biāo)的加權(quán)和構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)。例如，當(dāng)同時(shí)考慮擺動(dòng)力、擺動(dòng)力矩和輸入轉(zhuǎn)矩等平衡問(wèn)題時(shí)，目標(biāo)函數(shù)可構(gòu)造如下： （2.5.2） 式中總目標(biāo)函數(shù)；分別為考慮向擺動(dòng)力、向擺動(dòng)力、擺動(dòng)力矩和輸入轉(zhuǎn)矩等各量變化幅度的分目標(biāo)函數(shù)；各分目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重系數(shù)，平衡各目標(biāo)數(shù)值量級(jí)，也反映設(shè)計(jì)者對(duì)各目標(biāo)之重視程度。各分目標(biāo)函數(shù)可構(gòu)造如下： (2.2.5)式中一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期中向擺動(dòng)力的最大值和最小值；一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期中向擺動(dòng)力的最大值和最小值；一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期中擺動(dòng)力矩的最大值和最小值；一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期中輸入轉(zhuǎn)矩的最大值和最小值。建立這一數(shù)學(xué)模型中的主要困難在于確定權(quán)重系數(shù)。所有的文獻(xiàn)都指出權(quán)重系數(shù)應(yīng)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取。設(shè)計(jì)者無(wú)所依從，這實(shí)際上是一個(gè)迄今未能很好解決的問(wèn)題。根本原因在于：在這一綜合目標(biāo)函數(shù)中的各動(dòng)力學(xué)指標(biāo)-擺動(dòng)力、擺動(dòng)力矩等，并不是設(shè)計(jì)者真正關(guān)心的質(zhì)