第八章單方程回歸模型的幾個專題

1、第八章 單方程回歸模型的幾個專題8.1虛擬變量（dummy variable）8.1.1 概念與用作在實(shí)際建模過程中，被解釋變量不但受定量變量影響，同時還受定性變量影響。例如需要考慮性別、民族、不同歷史時期、季節(jié)差異、企業(yè)所有制性質(zhì)等因素的影響。這些因素也應(yīng)該包括在模型中。為此人們采取了一種構(gòu)造人工變量的方法，將這些定性變量進(jìn)行量化，使其能與數(shù)值變量一樣在回歸模型中得以應(yīng)用。構(gòu)造的規(guī)則是當(dāng)某種屬性存在時，人工變量取值為1；當(dāng)某種屬性不存在時時，取值為0。在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，我們把反映定性因素變化，取值為0或1的人工變量稱為虛擬變量。習(xí)慣上用D表示。如：D=1 城鎮(zhèn)居民0 農(nóng)村居民D=1 男性0 女

2、性D=1 就業(yè)0 失業(yè)引入虛擬變量的作用主要有三個：1）可以描述定性因素的影響；2）能夠正確反映經(jīng)濟(jì)變量的相互關(guān)系，提高模型的精度；3）便于處理異常數(shù)據(jù)。當(dāng)樣本資料中存在異常數(shù)據(jù)時，一般有三種處理方式。一是直接剔除；二是平滑掉；三是設(shè)置虛擬變量。8.1.2 虛擬變量的設(shè)置1、設(shè)置規(guī)則1）一個因素多個屬性：若定性因素有M個不同的屬性，或相互排斥的類型，在模型中則只能引入M-1個虛擬變量，否則會引起完全多重共線性。2）多個因素多個屬性：每個因素的引入方法均按上述原則。2、引入方式：1）加法方式（截距移動）設(shè)有模型，yt = b0 + b1 xt + b2D + ut ,其中yt，xt為定量變量；D

3、為定性變量。當(dāng)D = 0 或1時，上述模型可表達(dá)為，yt =D =0 D = 1 b0 b0+b2 圖8.1 測量截距不同D = 1或0表示某種特征的有無。反映在數(shù)學(xué)上是截距不同的兩個函數(shù)。若b2顯著不為零，說明截距不同；若b2為零，說明這種分類無顯著性差異。例：中國成年人體重y（kg）與身高x（cm）的回歸關(guān)系如下： 105 + x D = 1 (男) y = - 100 + x - 5D = 100 + x D = 0 (女)注意： 若定性變量含有m個類別，應(yīng)引入m-1個虛擬變量，否則會導(dǎo)致多重共線性，稱作虛擬變量陷阱（dummy variable trap）。 關(guān)于定性變量中的哪個類別取

4、0，哪個類別取1，是任意的，不影響檢驗結(jié)果。 定性變量中取值為0所對應(yīng)的類別稱作基礎(chǔ)類別（base category）。 對于多于兩個類別的定性變量可采用設(shè)一個虛擬變量而對不同類別采取賦值不同的方法處理。如： 1 (大學(xué)) D = 0 (中學(xué)) -1 (小學(xué))。例1：市場用煤銷售量模型（file: Dummy1）我國市場用煤銷量的季節(jié)性數(shù)據(jù)（1982-1988，中國統(tǒng)計年鑒1987，1989）見下圖與表。由于受取暖用煤的影響，每年第四季度的銷售量大大高于其它季度。鑒于是季節(jié)數(shù)據(jù)可設(shè)三個季節(jié)變量如下： 1 （4季度） 1 （3季度） 1 （2季度） D1 = D2 = D3 = 0 （1, 2,

5、 3季度） 0 （1, 2, 4季度） 0 （1, 3, 4季度） 全國按季節(jié)市場用煤銷售量數(shù)據(jù)（file: Dummy1）季度YttD1D2D3季度YttD1D2D31982.12599.810001985.33159.1150101982.22647.220011985.44483.2161001982.32912.730101986.12881.8170001982.44087.041001986.23308.7180011983.12806.550001986.33437.5190101983.22672.160011986.44946.8201001983.32943.6701019

6、87.13209.0210001983.44193.481001987.23608.1220011984.13001.990001987.33815.6230101984.22969.5100011987.45332.3241001984.33287.5110101988.13929.8250001984.44270.6121001988.24126.2260011985.13044.1130001988.34015.1270101985.23078.8140011988.44904.228100數(shù)據(jù)來源：中國統(tǒng)計年鑒1989。注：以季節(jié)數(shù)據(jù)D1為例，EViews命令是D1= seas(4)。

7、以時間t為解釋變量（1982年1季度取t = 1）的煤銷售量（y）模型如下：y = 2431.20 + 49.00 t + 1388.09 D1 + 201.84 D2 + 85.00 D3 (1) (26.04) (10.81) (13.43) (1.96) (0.83) R2 = 0.95, DW = 1.2, s.e. = 191.7, F=100.4, T=28, t0.05 (28-5) = 2.07由于D2，D3的系數(shù)沒有顯著性，說明第2，3季度可以歸并入基礎(chǔ)類別第1季度。于是只考慮加入一個虛擬變量D1，把季節(jié)因素分為第四季度和第一、二、三季度兩類。從上式中剔除虛擬變量D2，D3，

8、得煤銷售量（y）模型如下： y = 2515.86 + 49.73 t + 1290.91 D1 (2) (32.03 (10.63) (14.79) R2 = 0.94, DW = 1.4, s.e. = 198.7, F = 184.9, T=28, t0.05 (25) = 2.06進(jìn)一步檢驗斜率是否有變化，在上式中加入變量t D1， y = 2509.07 + 50.22 t + 1321.19 D1 - 1.95 t D1 (3) (28.24) (9.13) (6.85) (-0.17) R2 = 0.94, DW = 1.4, s.e. = 202.8, F = 118.5, T

9、=28, t0.05 (24) = 2.06由于回歸系數(shù) -1.95所對應(yīng)的t值是 -0.17，可見斜率未發(fā)生變化。因此以模型 (2) 作為最后確立的模型。若不采用虛擬變量，得回歸結(jié)果如下， y = 2731.03 + 57.15 t (4) (11.6) (4.0) R2 = 0.38, DW = 2.5, s.e. = 608.8, T = 28, t0.05 (26) = 2.06與（2）式相比，回歸式（4）顯得很差。2、 乘法方式（斜率變化） 以上只考慮定性變量影響截距，未考慮影響斜率，即回歸系數(shù)的變化。當(dāng)需要考慮時，可建立如下模型： yt = b0 + b1 xt + b2 D +

10、b3 xt D + ut ,其中xt為定量變量；D為定性變量。當(dāng)D = 0 或1時，上述模型可表達(dá)為，yt =通過檢驗 b3是否為零，可判斷模型斜率是否發(fā)生變化。圖8.5 情形1（不同類別數(shù)據(jù)的截距和斜率不同） 圖8.6 情形2（不同類別數(shù)據(jù)的截距和斜率不同） 例2：用虛擬變量區(qū)別不同歷史時期（file:dummy2）中國進(jìn)出口貿(mào)易總額數(shù)據(jù)（1950-1984）見上表。試檢驗改革前后該時間序列的斜率是否發(fā)生變化。定義虛擬變量D如下0 （1950 - 1977）D = 1 （1978 - 1984）中國進(jìn)出口貿(mào)易總額數(shù)據(jù)（1950-1984） （單位：百億元人民幣）年tradetimeDtime

11、 D年tradetimeDtime D19500.41510019681.085190019510.59520019691.069200019520.64630019701.129210019530.80940019711.209220019540.84750019721.469230019551.09860019732.205240019561.08770019742.923250019571.04580019752.904260019581.28790019762.641270019591.493100019772.725280019601.284110019783.55029129196

12、10.908120019794.5463013019620.809130019805.6383113119630.857140019817.3533213219640.975150019827.7133313319651.184160019838.6013413419661.2711700198412.0103513519671.1221800以時間time為解釋變量，進(jìn)出口貿(mào)易總額用trade表示，估計結(jié)果如下：trade = 0.37 + 0.066 time - 33.96D + 1.20 time D (1.86) (5.53) (-10.98) (12.42) 0.37 + 0.06

13、6 time (D = 0, 1950 - 1977) = - 33.59 + 1.27 time (D = 1, 1978 - 1984) 上式說明，改革前后無論截距和斜率都發(fā)生了變化。進(jìn)出口貿(mào)易總額的年平均增長量擴(kuò)大了18倍。例3：香港季節(jié)GDP數(shù)據(jù)（單位：千億港元）的擬合（虛擬變量應(yīng)用, file:dummy6）19901997年香港季度GDP呈線性增長。1997年由于遭受東南亞金融危機(jī)的影響，經(jīng)濟(jì)發(fā)展處于停滯狀態(tài)，19982002年底GDP總量幾乎沒有增長（見上圖）。對這樣一種先增長后停滯，且含有季節(jié)性周期變化的過程簡單地用一條直線去擬合顯然是不恰當(dāng)?shù)?。為區(qū)別不同季節(jié)，和不同時期，定義

14、季節(jié)虛擬變量D2、D3、D4和區(qū)別不同時期的虛擬變量DT如下（數(shù)據(jù)見附錄）：D2=1 第2季度0 其它季度D3=1 第3季度0 其它季度D4=1 第4季度0 其它季度 1 （1998:12002:4） DT = 0 （1990:1 1997:4）得估計結(jié)果如下： GDPt = 1.1573 + 0.0668 t + 0.0775 D2 + 0.2098 D3 + 0.2349 D4+ 1.8338 DT - 0.0654 DT t (50.8) (64.6) (3.7) (9.9) (11.0) (19.9) (-28.0) R2 = 0.99, DW = 0.9, s.e. = 0.05,

15、F=1198.4, T=52, t0.05 (52-7) = 2.01對于1990:1 1997:4 GDPt = 1.1573 + 0.0668 t + 0.0775 D2 + 0.2098 D3 + 0.2349 D4對于1998:12002:4 GDPt = 2.9911 + 0.0014 t + 0.0775 D2 + 0.2098 D3 + 0.2349 D4如果不采用虛擬變量擬合效果將很差。GDPt = 1.6952 + 0.0377 t (20.6) (13.9) R2 = 0.80, DW = 0.3, T=52, t0.05 (52-2) = 2.01例：P262略8.1.3

16、 虛擬變量的特殊應(yīng)用1、檢驗?zāi)Ｐ偷姆€(wěn)定性設(shè)根據(jù)同一總體兩個樣本的估計回歸模型分別為：樣本1：樣本2：D=1 樣本20 樣本1設(shè)置虛擬變量：合并樣本，估計模型：其中：，利用t檢驗判斷兩個虛擬變量系數(shù)的顯著性，可以得到四種檢驗結(jié)果：1） 兩個系數(shù)均等于零，表明兩個回歸模型之間的沒有顯著差異。2） 第一個系數(shù)不等于零，第二個系數(shù)等于零，說明截距不同，稱之為“平行回歸”。3） 第一個系數(shù)等于零，第二個系數(shù)不等于零，說明斜率不同，稱之為“匯合回歸”。4） 兩個系數(shù)均不等于零，表明兩個模型完全不同，稱之為相異回歸。2、分段回歸如：例2。3、混合回歸（即綜合使用時序數(shù)據(jù)和截面數(shù)據(jù)）首先檢驗用不同截面的數(shù)據(jù)樣

17、本建立的模型是否穩(wěn)定，如果模型穩(wěn)定，則可合并樣本，綜合使用時序數(shù)據(jù)和截面數(shù)據(jù)。8.2 模型的設(shè)定誤差8.2.1 判斷經(jīng)濟(jì)模型優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)1、建模過程：1）根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論或?qū)嵺`經(jīng)驗，選擇變量與函數(shù)形式，構(gòu)建理論模型。2）依據(jù)研究對象的性質(zhì)，對變量、參數(shù)及隨機(jī)誤差項做出相應(yīng)的先驗假定，作為模型檢驗的標(biāo)準(zhǔn)。3）收集樣本，估計參數(shù)。4）對模型進(jìn)行理論檢驗、統(tǒng)計檢驗及計量經(jīng)濟(jì)學(xué)準(zhǔn)則檢驗，如果滿足先驗假設(shè)，接受模型，否則應(yīng)當(dāng)放棄。2、判斷計量經(jīng)濟(jì)模型優(yōu)劣的基本準(zhǔn)則1）模型就力求簡單2）模型可識別3）具有較高的按按擬合集成度4）與理論相一致5）具有較好的超樣本功能8.2.2 模型設(shè)定誤差的類型與后果1、模型遺漏

18、了重要解釋變量如果模型遺漏了重要解釋變量，參數(shù)的估計值將是有偏的，隨機(jī)誤差的估計值也是有偏的，應(yīng)用慣常的檢驗程序，對參數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗，容易得出錯誤的結(jié)論，檢驗的結(jié)果不可靠?？梢哉f如果遺漏的重要解釋變量的模型，將是一個不可能的模型。例如：設(shè)正確的回歸模型為： (1)我們實(shí)際采用的模型為： (2)假定模型滿足古典假定，則參數(shù)的OLS估計值為：將正確模型代入上式得： =取期望，考慮x1為非隨機(jī)變量，有說明：1）如果遺漏的變量與解釋變量相關(guān)，即非零，那么是有偏的，且不一致的。2）如果遺漏的變量與解釋變量無關(guān)，是無偏的，但是有偏的。3）隨機(jī)誤差項的方差估計值，也是有偏的。在同樣的樣本下，（1）、（2）

19、式給出的樣本殘差不會相同，因此，如果（1）式給出的正確的估計值，（2）式的估計值應(yīng)是有偏的。4）參數(shù)估計量的方差是方差的有偏估計：如前所述是無偏的，即使兩變量不相關(guān)，由于兩式的殘差估計值不相同，。因此，慣常的t檢驗失效。2、模型包含無關(guān)解釋變量如果模型包含無關(guān)解釋變量，參數(shù)的估計值是無偏的、一致、不是有效的估計值，這個模型也可以正確估計隨機(jī)誤差項，慣常的檢驗結(jié)果也是有效的，只是參數(shù)估計量方差增大，精確度降低。例如：設(shè)正確的回歸模型為： (1)我們實(shí)際采用的模型為： (2)采用OLS法對（2）進(jìn)行參數(shù)估計，我們可以得到：由于可知：1） （2）式的參數(shù)估計量是無偏的，一致的估計量2） 同遺漏重要解

20、釋變量一樣，因為：是無效估計量。3、模型的函數(shù)形式設(shè)定錯誤的后果如果將復(fù)雜的函數(shù)形式設(shè)成簡單線性相關(guān)形式，其結(jié)果與遺漏了重要解釋變量相同。例如：將設(shè)成.我們將在x平均值處展開泰勒級數(shù)，整理得：式中：其他類推。可見真實(shí)的回歸模型實(shí)質(zhì)上是一個關(guān)于X的高次方程，誤將他設(shè)成線性函數(shù)，實(shí)質(zhì)上就是遺漏了方程中的二次項和其余的高次項。8.2.3 模型設(shè)定誤差的檢驗1、包含無關(guān)變量的檢驗如解釋變量與被解釋變量無關(guān)，其參數(shù)應(yīng)該為零。因此，如果某解釋變量的和t統(tǒng)計值不顯著，其解釋變量則應(yīng)為無關(guān)變量，應(yīng)從模型中剔除。如果要檢驗X2、X3是否同時應(yīng)包括在模型中，只需檢驗聯(lián)合假設(shè)H0：即可，第三章已介紹了適用的F檢驗。

21、2、遺漏重要解釋變量或采取錯誤函數(shù)形式的的檢驗如果遺漏的重要解釋變量或采取錯誤形式，模型必然不能對經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象作出很好的解釋。反映在檢驗結(jié)果上，也一定不顯著，比如較大的殘差，較小的決定系數(shù)和DW統(tǒng)計值。因此可用這些結(jié)果對其進(jìn)行判斷。1）應(yīng)用隨機(jī)誤差項的估計值進(jìn)行檢驗步驟：第一步：計算殘差。第二步：繪制殘差與時間或某解釋變量的散點(diǎn)圖。第三步：判斷。如果殘差呈現(xiàn)有規(guī)律的變動，則說明有可能遺漏了重要變量。2）應(yīng)用DW統(tǒng)計量進(jìn)行檢驗如果遺漏的重要解釋變量，則殘差中應(yīng)包括這個相關(guān)變量，殘差就應(yīng)呈現(xiàn)相關(guān)性。判斷方法為DWdu，存在正相關(guān)。遺漏重要解釋變量。DW（4-du），存在負(fù)相關(guān)，遺漏重要解釋變量。duD

22、W（4-du），不存在相關(guān)，沒有遺漏重要解釋變量。8.3 隨機(jī)解釋變量問題8.3.1隨想解釋變量問題的概念與來源單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型假定解釋變量為確定性變量，并且與隨機(jī)誤差項不相關(guān)，違背這一基本假定的問題被稱為隨機(jī)解釋變量問題。在實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中，經(jīng)濟(jì)變量往往都具有隨機(jī)性。但是在單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中，凡是外生變量都被認(rèn)為是確定性變量。于是隨機(jī)解釋變量問題主要表現(xiàn)于用滯后被解釋變量作為解釋變量。經(jīng)濟(jì)活動的連貫性，使得這種現(xiàn)象大量存在。例：固定資產(chǎn)投資與國民經(jīng)濟(jì)收入的模型：消費(fèi)與收入之間關(guān)系的模型為：8.3.2 隨機(jī)解釋變量問題對參數(shù)估計的影響以一元線性回歸模型為例，來說明問題。設(shè)一元線性回歸模型

23、： 8.3.1滿足除非隨機(jī)解釋變量外的所有古典假設(shè)。模型中解釋變量為隨機(jī)變量時，其與隨機(jī)誤差項之間的關(guān)系有三種：1）當(dāng)隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項不相關(guān)，即。則最小二乘估計的參數(shù)仍是無偏估計。以為例：利用=0，可得：,即：進(jìn)行離差變換：,得：取期望得：,由于 ，所以：，可得：。2）當(dāng)隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項在小樣本下相關(guān)，即，在大樣本下漸近無關(guān)，即，則在小樣本下是有偏的，在大樣本是一致的。由于在小樣本下，所以，即是有偏估計量。對上式取概率極限，利用漸近無關(guān)性，可得即在大樣本下是一致的估計量。3）當(dāng)隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項相關(guān)，并且，則參數(shù)的最小二乘估計是有偏的，且是不一致的。因為：,所以有：由上面的分析可以看出，當(dāng)隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項相關(guān)時，由于模型參數(shù)估計值產(chǎn)生偏誤，造成擬合優(yōu)度檢驗失準(zhǔn)、F檢驗失效，t統(tǒng)計失去意義。8.3.3 隨機(jī)解釋變量的修正方法：工具變量法思路是，當(dāng)隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項相關(guān)時，則尋找另一個變量，該變量與隨機(jī)解釋變量高度相關(guān)，但與隨機(jī)誤差項不相關(guān)，稱為工具變量，用其替代隨機(jī)解釋變量。1、工具變量的要求作為工具變量，必須滿足以下四個條件