平面向量的基本定理

1、平面向量的基本定理增城市華僑中學(xué)數(shù)學(xué)科組 何敏輝教材分析平面向量的基本定理是說(shuō)明同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合，它是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，也是平面圖形中任一向量都可由某兩個(gè)不共線向量量化的依據(jù)這節(jié)內(nèi)容以共線向量為基礎(chǔ)，通過(guò)把一個(gè)向量在其他兩個(gè)向量上的分解，說(shuō)明了該定理的本質(zhì)教學(xué)時(shí)無(wú)須嚴(yán)格證明該定理，只要讓學(xué)生弄清定理的條件和結(jié)論，會(huì)用該定理就可以了向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的混合運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算，也叫“向量的初等運(yùn)算”由平面向量的基本定理，知任一平面內(nèi)的直線型圖形都可表示為某些向量的線性組合，這樣在證明幾何命題時(shí)，可先把已知和結(jié)論表示成向量形式，再通過(guò)向量

2、的運(yùn)算，有時(shí)能很容易證明幾何命題因此，向量是數(shù)學(xué)中證明幾何命題的有效工具之一為降低難度，目前要求用向量表示幾何關(guān)系，而不要求用向量證明幾何命題平面向量的基本定理的理解是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，而應(yīng)用基本向量表示平面內(nèi)的某一向量是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)1. 了解平面向量基本定理的條件和結(jié)論，會(huì)用它來(lái)表示平面圖形中任一向量，為向量坐標(biāo)化打下基礎(chǔ)2. 通過(guò)對(duì)平面向量基本定理的歸納、抽象和概括，體驗(yàn)數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生、形成過(guò)程，提升學(xué)生的抽象和概括能力3. 通過(guò)對(duì)平面向量基本定理的運(yùn)用，增強(qiáng)向量的應(yīng)用意識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)向量是處理幾何問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具之一任務(wù)分析這節(jié)課是在學(xué)生熟悉向量加、減、數(shù)乘線性運(yùn)算的基礎(chǔ)上展開(kāi)的，為了

3、使學(xué)生理解和掌握好平面向量的基本定理，教學(xué)時(shí)，常應(yīng)用構(gòu)造式的作圖方法，同時(shí)采用師生共同操作，增強(qiáng)直觀認(rèn)識(shí)，歸納和總結(jié)出任意向量與基本向量的線性組合關(guān)系，并且通過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解這一基本定理教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情景1. 在ABCD中，（1）已知，試用，來(lái)表示，；（2）已知，試用，表示向量，.2. 給定平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線向量e1，e2，試作出向量3e12e2，e12e23. 平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如1e12e2的向量表示？二、建立模型1. 學(xué)生回答（1）由向量加法，知；由向量減法，知，0·（2）設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，由向量加法，知2. 師生總結(jié)以，為基本向量，可以

4、表示兩對(duì)角線的相應(yīng)向量，還可表示一邊對(duì)應(yīng)的向量，估計(jì)任一向量都可以寫成·的線性表達(dá)任意改成另兩個(gè)不共線向量，作基本向量，也可表示其他向量3. 教師啟發(fā)通過(guò)了e12e2，e12e2的作法，讓學(xué)生感悟通過(guò)改變1，2的值，可以作出許多向量1e12e2在此基礎(chǔ)上，可自然形成一個(gè)更理性的認(rèn)識(shí)平面向量的基本定理4. 教師明晰如圖，設(shè)e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，是這一平面內(nèi)的任一向量在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作e1，e2，；過(guò)點(diǎn)C作平行于直線OB的直線，與直線OA交于M；過(guò)點(diǎn)C作平行于直線OA的直線，與直線OB交于N這時(shí)有且只有實(shí)數(shù)1，2，使1e1，2e2由于，所以1e12e2，也就是說(shuō)任一向量

5、都可表示成1e12e2的形式，從而有平面向量的基本定理如果e1，e2是一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，那么該平面內(nèi)的任一向量，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使1e12e2我們把不共線向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，有序?qū)崝?shù)對(duì)（1，2）叫在基底e1，e2下的坐標(biāo)三、解釋應(yīng)用例題1. 已知向量e1，e2（如圖38-3），求作向量2.5e13e2注：可按加法或減法運(yùn)算進(jìn)行2. 如圖38-4，不共線，t（tR），用，表示解：練習(xí)1. 已知：不共線向量e1，e2，求作向量e12e22. 已知：不共線向量e1，e2，并且e13e21e12e2，求實(shí)數(shù)1，23. 已知：基底a，b，求實(shí)數(shù)，滿足向量等式：3xa（10y）b（4y7）a2xb4. 在ABC中，點(diǎn)G是AB