《連續(xù)體力學(xué)》習(xí)題及解答8

1、8 粘性物質(zhì)(一) 概念、理論和公式提要 粘性是指物質(zhì)的力學(xué)行為與時間相關(guān)的屬性。這種屬性表現(xiàn)在(1)物質(zhì)的響應(yīng)與干擾施加的快慢有關(guān)，即應(yīng)變率相關(guān)性，(2)物質(zhì)的響應(yīng)與干擾的持續(xù)時間有關(guān)(后效)。8-1 粘性流體 流體區(qū)別于固體的主要特征有二：(1)流體是可流動的物質(zhì)，只在靜水應(yīng)力(或稱為各向同性應(yīng)力，記作)狀態(tài)下才能維持平衡；(2)流體可在沒干擾的情況下隨容器改變自己的形狀，只要體積不變，無論形狀如何變化，流體的力學(xué)狀態(tài)不變。因此流體的應(yīng)力狀態(tài)與沒有直接關(guān)系。但是=當(dāng)體積不變時，亦不變；所以可以認為，、是通過與應(yīng)力相關(guān)，從而對于流體常用代替應(yīng)變作為基本狀態(tài)變量。 (1) 線性粘性流體 剪應(yīng)力

2、與變形率成線性關(guān)系的流體稱為線性流體，或稱為Newton流體。Newton流體是常見流體的最好近似。Newton流體的本構(gòu)方程可寫作 (8-1-1)是反映流體性質(zhì)的四階張量。當(dāng)流體處于靜止?fàn)顟B(tài)，；于是式(8-1-1)變?yōu)?(8-1-2)這是流體靜力學(xué)的本構(gòu)方程。由此可見，流動流體的應(yīng)力(式8-1-1)可分為兩部分，(a)各向同性應(yīng)力，這是準(zhǔn)保守應(yīng)力，可逆的應(yīng)力，即；(b)與變形率相關(guān)的應(yīng)力，稱為粘性應(yīng)力，是總應(yīng)力中的耗散部分，即。為明確計，將。于是式(8-1-1) 可寫成 (8-1-3) (8-1-4) 式(8-1-3)應(yīng)滿足客觀性原理；其中都客觀的Euler型張量，于是必須是各向同

3、性四階張量，即有式中的函數(shù)。將上式代入式(8-1-3)，得到 (8-1-5)稱為粘性系數(shù)。上式是各向同性張量函數(shù)，所以線性粘性流體必定是各向同性的，毋需引入“流體是各向同性”的假設(shè)。 將，式(8-1-5)又可寫成 (8-1-6)其中 (8-1-7)式中分別表征畸變和體脹的粘性效應(yīng)。由式(8-1-6)可求出運動中流體的平均應(yīng)力為 (8-1-8) 當(dāng)時，得到Navier-Stocks流體的本構(gòu)方程 (8-1-9) (8-1-10) 當(dāng)時，流體中的應(yīng)力狀態(tài)是各向同性的，本構(gòu)方程變?yōu)?(8-1-11)這時常常假設(shè)，即認為流體中平均應(yīng)力等于靜水壓力，稱為Stocks假設(shè)。 當(dāng)流體不可壓縮時，為常數(shù)，但存

4、在不確定應(yīng)力，將它并入靜水壓力，得到 (8-1-12)式中是不定值，。當(dāng)，即流體是非粘性的，式(8-1-5)簡化為 (8-1-13)即非粘性流體中的應(yīng)力，無論是在運動中或是靜止，總是靜流體應(yīng)力。如果非粘性流體又是不可壓縮的，則式(8-1-12)簡化為 (8-1-14)為不確定值。 (2) 非線性粘性流體 非線性粘性流體常稱為非Newton流體，設(shè)將此類流體對應(yīng)于粘性應(yīng)力的本構(gòu)方程寫作 (8-1-15)式中不是客觀量，但本構(gòu)方程應(yīng)是客觀的，因此式(8-1-15)應(yīng)改為客觀性原理要求響應(yīng)函數(shù)滿足下式 (8-1-16)式中是任意的正常正交張量，于是上式又是響應(yīng)函數(shù)為各向同性函數(shù)的條件。由此可見，如果

5、假定流體的應(yīng)力只與速度梯度、密度和溫度有關(guān)，則客觀性原理必然導(dǎo)致流體是各向同性的，毋需引入各向同性的假設(shè)。 已經(jīng)證明，對稱張量函數(shù)為各向同性函數(shù)的充要條件是 (8-1-17)或者 (8-1-18)式中的不變量及的函數(shù)。 對于不可壓縮流體，的不變量為 (8-1-19)則的球張量(或稱的各向同性應(yīng)力)為 (8-1-20)這部分應(yīng)力在可實現(xiàn)變形運動上的功率為零(因流體不可壓縮)，因此可以作為準(zhǔn)保守應(yīng)力并入之中成為非確定應(yīng)力的一部分。于是剩下的粘性應(yīng)力成為偏張量，為此不失一般性，可令這相當(dāng)于在應(yīng)力中已扣去了平均應(yīng)力；于是代入式(8-1-17)和(8-1-18)，分別得到的偏張量及為 (8-1-21)

6、(8-1-22)式(8-1-22)是將分解為球張量和偏張量之和。對應(yīng)于上列本構(gòu)方程的流體稱為Reiner-Rivlin流體；式中的函數(shù)。 將展開成級數(shù) (8-1-23) (8-1-24)系數(shù)的冪次。按所需精度將級數(shù)截斷，就可得到式(8-1-21)不同次數(shù)的近似式。例 (8-1-25) (8-2-26) (8-2-27)式(8-1-25)是粘度的不可壓縮Newton流體的本構(gòu)方程。 如果將不可壓縮Newton流體的本構(gòu)方程的不變量的函數(shù)，于是得到如下的本構(gòu)方程 (8-1-28)這便是準(zhǔn)線性粘性流體的本構(gòu)方程。顯然，在式(8-1-21)中令，也得到式(8-1-28)。 對于流體，比內(nèi)能不變時(等容

7、)，有 (8-1-29)為等容比熱。于是熱力學(xué)第一定律可寫成 (8-1-30)8-2 粘性流體的耗散函數(shù) 此處假定內(nèi)稟耗散和熱耗散不耦合，且記為內(nèi)稟耗散，則粘性流體的熱力學(xué)第二定律可歸結(jié)為 (8-2-1) (1) Newton流體 (8-2-2)考慮到 (8-2-3)于是又可寫成 (8-2-4)上式對任意的都成立，因此要求 (8-2-5) 不可壓縮Neuton流體 (8-2-6) Navier-Stocks流體，。 (8-2-7) (2) 非Newton流體 (8-2-8)上式表明，必須滿足上列不等式。 不可壓縮非Newton流體 (8-2-9)函數(shù)應(yīng)滿足上式。 (3) 熱耗散 熱力學(xué)第二定律

8、的分離形式要求 (8-2-10)對于實用的目的，設(shè) (8-2-11)是足夠的；而對于導(dǎo)熱能力有限的物質(zhì)，有為線性關(guān)系時，設(shè) (8-2-12)于是式(8-2-10)變?yōu)?(8-2-13)當(dāng)，上式恒大于零。所以要滿足熱力學(xué)第二定律(式8-2-10)，必須是對稱正定張量。 對于各向同性物質(zhì)，式(8-2-12)和(8-2-13)分別簡化為 (8-2-14) (8-2-15)式中為物質(zhì)的導(dǎo)熱率，它可以是狀態(tài)變量的函數(shù)，但一般假定為常數(shù)。式(8-2-14)稱為Fourier定律，為了滿足不等式(8-2-15)，要求8-3 粘彈性物質(zhì) 在恒應(yīng)力作用下應(yīng)變隨時間而增長的現(xiàn)象稱為蠕變；在恒應(yīng)變作用下應(yīng)力隨時間而

9、減小的現(xiàn)象稱為松馳。與彈性物質(zhì)相比較，彈性物質(zhì)的彈性模量和彈性柔量都是常數(shù)，粘彈性物質(zhì)的松馳模量是時間的函數(shù)。一般地說是時間的遞減函數(shù)，是時間的遞增函數(shù)。 設(shè)對試樣施加干擾；另方面，設(shè)對試樣施加干擾，響應(yīng)記為；此處為階躍函數(shù)。 在恒應(yīng)力作用下，應(yīng)變隨時間的變化曲線稱為蠕變曲線，如果蠕變曲線在任意時刻的應(yīng)變值施加的恒應(yīng)力成正比，則稱該物質(zhì)是線性粘彈性的。在常溫下當(dāng)應(yīng)力水平不太高時，物質(zhì)的行為可以用線性粘彈性模型來模擬。但當(dāng)應(yīng)力水平高時，則需采用非線性粘彈性模型。8-4 線性粘彈性本構(gòu)方程的微分算子表述 (1) 比擬模型 由機械元件組合成的系統(tǒng)稱為比擬模型，它代表一個材料單元體：彈性元件(彈簧)，

10、本構(gòu)方程為；粘性元件(粘壺)，本構(gòu)方程為為粘性常數(shù)；角標(biāo)分別表示彈性和粘性，另外還有塑性元件(見下章)。施加于模型上的力為應(yīng)力，模型的變形則表示應(yīng)變。圖8-1 Maxwell模型(圖8-1a) Maxwell模型由一個彈性元件和一個粘性元件串聯(lián)而成，其本構(gòu)方程為 (8-4-1) 設(shè)，上式的解為 (8-4-2)上式表明，Maxwell模型的蠕變(柔量)曲線為一直線(圖8-1，b)；當(dāng)大，所以Maxwell模型不能用來模擬粘彈性固體。 設(shè)(8-4-2)的解為(初始條件) (8-4-3)其圖形(即Maxwell模型的松馳曲線)如圖(8-1,c)所示。圖8-2 Kelvin模型(圖8-2,a)Kelv

11、in模型又稱為Voigt模型，它由一個彈性元件和一個粘性元件并聯(lián)而成，其本構(gòu)方程為 (8-4-4) 設(shè)，可得蠕變曲線(初始條件) (8-4-5) 設(shè)，由式(8-4-4)可得解 (8-4-6)為Dirac函數(shù)。，當(dāng)，所以。這表明Kelvin模型的松馳函數(shù)無界，它不能用來模擬應(yīng)力松馳。圖8-3 四元模型(圖8-2,a)。這個模型的本構(gòu)方程為 (8-4-7)四元模型的蠕變?nèi)崃靠芍苯佑墒?8-4-2)和(8-4-5)相加得到 (8-4-8)蠕變曲線如圖(8-3,b)所示。 (2) 線性粘彈性本構(gòu)方程的微分算子表述 為了更好地模擬線性粘彈性物質(zhì)的行為，宜于增加模型的元件，其結(jié)果將是增加本構(gòu)方程中的項數(shù)及

12、的時間導(dǎo)數(shù)的階數(shù)；于是提出了這類物質(zhì)的本構(gòu)方程的微分算子表述 (8-4-9)式中 (8-4-10)為物質(zhì)的特性系數(shù)，它們可以是時間的函數(shù)。對于無老化物質(zhì)，則與時間無關(guān)。前節(jié)所介紹的三種比擬模型是式(8-4-9)的特殊情況。例如，對于四元模型，。 設(shè)有函數(shù)則有如下的Laplace變換關(guān)系 (8-4-11)式中及其各階時間導(dǎo)數(shù)變換為，其中是參數(shù)；于是可以將關(guān)于時間的微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)多項式。例如：將式(8-4-9)Laplace變換后，得到 (8-4-12)或者寫為 (8-4-13)此處及以下均將。例如Kilvin模型和Maxwell模型經(jīng)Laplace變換后的本構(gòu)方程分別為 (8-4-14) (

13、8-4-15)式中。于是易于得到個Maxwell模型并聯(lián)(圖8-4,a)和個Kelvin模型串聯(lián)(圖8-4,b)經(jīng)Laplace變換后的本構(gòu)方程分別為圖8-4(圖8-4,a) (8-4-16)    (圖8-4,b) (8-4-17)式中下標(biāo)Maxwell模型或第個Kelivn模型的參數(shù)。 (3) 線性粘彈性本構(gòu)方程的對應(yīng)原理 線性粘彈性本構(gòu)方程和線性彈性本構(gòu)方程有如下的對應(yīng)關(guān)系 (8-4-18) (8-4-19)式中都是線性算子，其中對應(yīng)，對應(yīng)。 線性彈性本構(gòu)方程又可寫成 (8-4-20) (8-4-21)對應(yīng)的線性粘彈性本構(gòu)方程為 (8-4-22)式

14、中為下列線性算子 (8-4-23)于是式(8-4-22)最后應(yīng)寫成 (8-4-24)類似地下列本構(gòu)方程相互對應(yīng) (8-4-25)8-5 線性粘彈性本構(gòu)方程的積分表述 (1) Boltzman疊加原理 設(shè)在時刻分別施加應(yīng)力，則當(dāng)物質(zhì)無老化時，時刻的應(yīng)變?yōu)?(8-5-1)此即線性粘彈性力學(xué)的Bolfzman疊加原理。 如果應(yīng)力史是連續(xù)曲線，式(8-5-1)變?yōu)?(8-5-2)稱為核心函數(shù)或物質(zhì)的特征函數(shù)，此處是物質(zhì)的蠕變?nèi)崃俊Ｉ鲜椒Q為粘彈性力學(xué)的Voltera遺傳積分。 設(shè)，上式變?yōu)?(8-5-3) 當(dāng)則有 (8-5-4)設(shè)函數(shù)定義為則定義的卷積分如下 (8-5-5)則式(8-5-4)可寫成卷積分

15、 (8-5-6)上式的Laplace變換為 (8-5-7) 類似地有 (8-5-8)為應(yīng)力松馳模量。當(dāng)，則有 (8-5-9) (8-5-10)由式(8-5-7)和(8-5-10)可得 (8-5-11)對于線性彈性物質(zhì)，則有。 以上結(jié)果可推廣到一般應(yīng)力狀態(tài) (8-5-12)是應(yīng)力松馳函數(shù)，它具有對的對稱性，因此有36個獨立的松馳函數(shù)。 對于各向同性物質(zhì)，令 (8-5-13)代入式(8-5-12)得到 (8-5-14)為應(yīng)力松馳函數(shù)。也可令 (8-5-15)代入式(8-5-12)，得到 (8-5-16) 如果，則可分別得到 (8-5-17) (8-5-18) 對上列兩式進行Laplace變換，分別

16、得到 (8-5-19)對應(yīng)的線彈性式為 對應(yīng)的線彈性式為 類似地可以導(dǎo)出以下各式 (8-5-20)是蠕變?nèi)崃?，共?6個獨立的分量。對于各向同性物質(zhì)， (8-5-22)式(8-3-21)變?yōu)?(8-5-23)為蠕變函數(shù)。如令 (8-5-24)則式(8-5-21)變?yōu)?(8-5-25) 如果，則可得到下列各式 (8-5-26) (8-5-27)對上列二式進行Laplace變換，分別得到 (8-5-28)對應(yīng)的線性彈性本構(gòu)方程為及 (8-5-29)對應(yīng)的線性彈性本構(gòu)方程為 由式(8-5-20)及(8-5-29)，可得 (8-5-30)(二) 習(xí)題和解答 8-1 試用自由能方法求四元模型(見圖8-5

17、)的本構(gòu)方程；設(shè)系統(tǒng)是線性的及不考慮溫度的影響。圖8-5 解 由附圖可見下列的關(guān)系 (a) (b)對于線性系統(tǒng)，設(shè)自由能為于是(參閱第5章的概念、理論和公式提要) (c)耗散函數(shù)為對于線性系統(tǒng)，有 (d)將式(c)和(d)代入(b)，得到 (e)由式(a)可得 (f)由式(e)及(f)，最后得到經(jīng)整理后得到四元模型的本構(gòu)方程為 8-2 設(shè)不可壓縮Stockes流體的本構(gòu)方程為式中為常數(shù)。已知速度場為求應(yīng)力證明只當(dāng)時該速度分布才是可能的。 解 由題給速度場可以求出的分量矩陣分別為：于是應(yīng)力的分量矩陣為 當(dāng)時，。如果不計體力，則易于證明只當(dāng)時，才能滿足，為質(zhì)點的加速度。如果不計慣性力，則。 8-3

18、 設(shè)不可壓縮非Newton流體的本構(gòu)方程為式中。若流體的速度分布為，。 (1) 求的分量；(2) 證明速度場符合不可壓縮條件； (3) 為要滿足運動方程(不計體力)，應(yīng)滿足式中為比推力，為任意常數(shù)；為使有界，。 解 (1) 根據(jù)題給的速度場，可求出的分量矩陣分別為將有關(guān)式代入本構(gòu)方程，得到非零應(yīng)力分量為 (2) 由的分量矩陣可見，表明題給速度場滿足不可壓縮條件。 (3) 將應(yīng)力分量代入運動方程(圓柱坐標(biāo)系內(nèi))分別得到 (a) (b) (c)由式(b)可知，由式(a)可得于是式(c)可寫成 (d)式中為比推力。由式(d)可解出上式就是應(yīng)滿足的方程。 8-4 設(shè)粘性流體的本構(gòu)方程為為正整數(shù)。設(shè)此流

19、體經(jīng)歷在兩平行板(相距)間的簡單剪切流動，即一板靜止，一板以常速在自身平面內(nèi)運動；設(shè)速度沿線性分布，且平行于方向。試求每單位平板面積上的剪切力及宏觀粘度。 解 題給速度場為：。于是可以求出于是應(yīng)力的分量矩陣為單位板面積上的剪切力為宏觀粘度為 8-5 Rivlin-Ericksen二次流體的本構(gòu)方程為式中張量。設(shè)不可壓縮單軸拉伸流動的速度分布為 (a)式中為常數(shù)。求應(yīng)力。 解 首先求張量，只需到二階為止。積分式(a)，初始條件設(shè)為時，得到 (b)在另一時刻，質(zhì)點的位置為 (c)由式(b)和(c)，易于求得相對于時刻流動參考構(gòu)形的運動方程(記)于是可以求出的分量矩陣 (d)當(dāng)在的鄰域內(nèi)展開 再將式

20、(d)在領(lǐng)域內(nèi)展開，并與上式進行比較，可得將上列各式代入式(a)，可求出非零應(yīng)力分量為對于Newton流體，此時為剪切粘度，前者是后者的三倍。此時且有 本題所示的問題對分析纖維紡絲過程有實際意義。 8-6 設(shè)當(dāng)桿的材料為(1)線彈性的；(2)線性粘性的；(3)Maxwell模型；(4)Kelvin模型時，求桿的應(yīng)變。 解 (1) 對于線彈性桿，應(yīng)變?yōu)?(2) 對于線性粘性桿，本構(gòu)方程為積分上式，應(yīng)變?yōu)?設(shè)) (3) 對于Maxwell模型。已知在桿上施加應(yīng)力史時，應(yīng)變?yōu)橛谑菍τ陬}給應(yīng)力歷史，有 (4) 對于Kelvin模型。已知在桿上施加應(yīng)力史時，應(yīng)變?yōu)樗裕瑢τ陬}給的應(yīng)力史，有 8-7 將個

21、Kelvin模型串連就得到廣義Kelvin模型。當(dāng)施加一階躍應(yīng)力時，如何確定具有離散譜的蠕變函數(shù)中的參數(shù)。 解 已知當(dāng)施加應(yīng)力于Kelvin模型時，它的應(yīng)變是于是對應(yīng)于應(yīng)力史，廣義Kelvin模型將是各個Kelvin單元的應(yīng)變之和，即腳標(biāo)Kelvin單元的參數(shù)。稱為具有離散譜的蠕變函數(shù)。 設(shè)，得到 (a)如果第一個Kelvin單元的，上式則變?yōu)?(b)式中的可在感興趣的范圍內(nèi)取值。由式(b)可得 (c)由式(b)、(c)得到 (d) 以水泥為例，一般可選取然后測定值，從而由式(d)得到以下三式 (e)根據(jù)測定的，便可由式(c)及(e)解出和。再由選定的可求。 8-8 設(shè)積分表述的粘彈性本構(gòu)方程

22、為 (a)證明其等價的微分表述為式中為Dirac函數(shù)。 解 當(dāng)時，有于是式(a)可寫成將上式對求導(dǎo)，得到證畢。 8-9 一般地蠕變?nèi)崃渴菚r間的減函數(shù)。證明。 解 由于的減函數(shù)和增函數(shù)，所以有當(dāng)應(yīng)變史為，即有當(dāng)應(yīng)力史為即有將以上兩式相減，得到已知于是上式變?yōu)樽C畢。 8-10 設(shè)在時間間隔時，應(yīng)力為零。證明 (1) 若 (2) 若則材料不能恢復(fù)到初態(tài)，存在永久應(yīng)變。 解 設(shè)應(yīng)力變化規(guī)律為，則應(yīng)變?yōu)閷⑸鲜接覀?cè)第二項分部積分，最后得到 (a)已知于是式(a)變?yōu)?當(dāng)) (b)當(dāng)，式(b)變?yōu)橛谑?(1) 當(dāng) (2) 當(dāng)證畢。 8-11 求Maxwell和Kelvin模型的蠕變?nèi)崃俊?解 設(shè)則應(yīng)變響應(yīng)為

23、 (a) (1) Maxwell模型的本構(gòu)方程為，積分上式，得到與式(a)比較之后，可知Maxwell模型的蠕變?nèi)崃繛?(2) Kelvin模型的本構(gòu)方程為當(dāng)與式(a)比較后，得到Kelvin模型的蠕變?nèi)崃繛閺亩?8-12 設(shè)材料經(jīng)受循環(huán)載荷作用，且設(shè)給定應(yīng)變史，式中是虛數(shù)，是應(yīng)變幅值。證明 (1) 應(yīng)力響應(yīng)可寫成 (2) 可寫成稱為材料的動態(tài)模量或復(fù)模量，它只是速度的函數(shù)。 (3) 應(yīng)力和應(yīng)變不同相，其相位角差為 (4) 當(dāng)，。當(dāng)。式中見下面說明。 解 (1) 按粘彈性本構(gòu)方程的積分表述，有 (a)此處令所以。 將上列有關(guān)式代入式(a)，得到此處用到了。變換變量，令，則上式變?yōu)樯鲜奖砻鳎?dāng)應(yīng)

24、變史時，應(yīng)力響應(yīng)可寫作 (b)r 的確良的的的函數(shù)，與時間和應(yīng)變幅值無關(guān)。 (2) 式(b)中，將它代入式(b)，且令可得 (c) (3) 應(yīng)用以上分析結(jié)果，應(yīng)力響應(yīng)又可寫成此處為了書寫方便，都省略了。令則上式可改寫成上式表明，應(yīng)力響應(yīng)的復(fù)應(yīng)力復(fù)值為 (d)如果將應(yīng)力幅值分為實部，即則可得到以上分析表明，應(yīng)力不同相，其相位角差愈大，應(yīng)力和應(yīng)變的相差也愈大，表明材料的粘滯性愈大。當(dāng)，應(yīng)力和應(yīng)變同相，材料的行為是彈性的、可逆的。因此，稱為存貯模量或貯能模量，它與可逆的彈性能相關(guān)；則稱為損耗散模量或耗能模量，它與粘滯性導(dǎo)致的能量耗散相關(guān)。 (4) 經(jīng)分部積分后，又可寫成(注意) (e) 當(dāng)或運動非常緩慢時，由式(c)可得當(dāng)時或運動非?？欤矣薪鐣r，由式(e)可得 在快速變形時，聚合物粘彈性體呈玻璃態(tài)特性，具有很高的模量；在緩慢變形時，聚合物則呈橡膠狀態(tài)，彈性