Matlab在數(shù)理統(tǒng)計中的運用

1、Matlab在數(shù)理統(tǒng)計中的運用摘要：概率論與數(shù)理統(tǒng)計是現(xiàn)代數(shù)學的重要分支，近年來隨著計算機的普及，概率論在經(jīng)濟，管理，金融，保險，生物，醫(yī)學等方面都發(fā)揮著越來越大的作用。使得概率統(tǒng)計成為今天各類各專業(yè)大學生最重要的數(shù)學必修課之一。然而,傳統(tǒng)的概率統(tǒng)計教學過于偏重理論的闡述、公式的推導(dǎo)、繁瑣的初等運算;同時,缺乏與計算機的結(jié)合,給學生的學習帶來很多困難。本文介紹概率統(tǒng)計中的主要問題在Matlab中的實現(xiàn),讓我們從繁瑣的計算中解放出來,把更多的時間和精力用于基本概念和基本理論的思考和方法的創(chuàng)新,從而提高教師的教學效率和學生的學習效率。 關(guān)鍵詞：區(qū)間估計，matlab，概率統(tǒng)計一、常用概率密度的計算

2、 Matlab中計算某種概率分布在指定點的概率密度的函數(shù),都以代表特定概率分布的字母開頭,以pdf (probability density function)結(jié)尾,例如:unid pdf(X, N):計算1到N上的離散均勻分布在X每一點處的概率密度;poisspdf(X, Lambda):計算參數(shù)為Lambda的泊松分布在X每一點處的概率密度;exppdf(X, mu):計算參數(shù)為mu的指數(shù)分布在X每一點處的概率密度;normpdf(X, mu, sigma):計算參數(shù)為mu, sigma的正態(tài)分布在X每一點處的概率密度。其他如連續(xù)均勻分布、二項分布、超幾何分布等也都有相應(yīng)的計算概率密度的函

3、數(shù)。 除計算概率密度的函數(shù)外,Matlab中還有計算累積概率密度、逆概率分布函數(shù)及產(chǎn)生服從某分布的隨機數(shù)的函數(shù),分別以cdf,inv和rnd結(jié)尾。 下面我們來用一個具體的例子說明一下：例1：計算正態(tài)分布N（0，1）的隨機變量X在點0.6578的密度函數(shù)值。 解：>> pdf('norm',0.6578,0,1) ans =0.3213 例2：自由度為8的卡方分布，在點2.18處的密度函數(shù)值。 解：>> pdf('chi2',2.18,8) ans = 0.0363二、隨機變量數(shù)字特征的計算 (一)數(shù)學期望與方差 對離散型隨機變量,可利用M

4、atlab矩陣運算計算出其數(shù)學期望和方差;而對于連續(xù)型隨機變量,則可以利用Matlab符號運行計算。對常見分布,Matlab還有專用的函數(shù)計算其期望與方差,如binostat, expstat, normstat, poisstat可用于計算二項分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布和泊松的期望和方差。另外,Matlab中提供了計算方差和標準差的函數(shù)var與std。 例3求下列樣本的樣本方差和樣本標準差，方差和標準差 14.70 15.21 14.90 15.32 15.32解：>> X=14.7 15.21 14.9 14.91 15.32 15.32; >> DX=var(X,1

5、)得到DX =0.0559>> X=14.7 15.21 14.9 14.91 15.32 15.32;>> sigma=std(X,1)得到sigma = 0.2364>> X=14.7 15.21 14.9 14.91 15.32 15.32;>> DX1=var(X)得到DX1 =0.0671>> X=14.7 15.21 14.9 14.91 15.32 15.32;>> sigma1=std(X)得到sigma1 = 0.2590(二)協(xié)方差與協(xié)方差矩陣 Matlab中,函數(shù)cov(X)用于計算隨機變量的協(xié)方差或

6、協(xié)方差矩陣。例4：已知矩陣 A=1 2 3;4 0 -1;1 7 3，求它的協(xié)方差矩陣解：>> A=1 2 3;4 0 -1;1 7 3 A = 1 2 34 0 -1 1 7 3 >> C1=cov(A) （%求矩陣A的協(xié)方差矩陣）C1 = 3.0000 -4.5000 -4.0000 -4.5000 13.0000 6.0000 -4.0000 6.0000 5.3333>> C2=var(A(:,1) %求A的第1列向量的方差C2 = 3三、樣本統(tǒng)計量及其分布 (一)樣本統(tǒng)計量及經(jīng)驗分布函數(shù) Matlab中,函數(shù)h, stats=cdfplot(X)返

7、回樣本經(jīng)驗分布函數(shù)圖像和樣本數(shù)據(jù)的幾個重要統(tǒng)計量,包括最小值、最大值、均值、中值和標準差。 下面我們來看一個例題例5 用matlab軟件繪出分布的函數(shù)圖像>>x = gaminv(0.005:0.01:0.995),100,10); >>y = gampdf(x,100,10); >>y1 = normpdf(x,1000,100); plot(x,y,'-',x,y1,'-.')四、參數(shù)估計 對服從正態(tài)分布N(u,2)的觀測數(shù)據(jù)向量X, Matlab中用函數(shù)normfit或mel來估計其參數(shù)和置信區(qū)間,而函數(shù)mle也可以用來

8、估計服從其他分布的樣本數(shù)據(jù)的參數(shù)和出置信區(qū)間。 命令R = exprnd(3,1,10)返回一組服從參數(shù)為3的指數(shù)分布的隨機數(shù),容量為10. p, pci = mle('Exponential',R,0.05)則返回其均值的極大似然估計p = 4.3756及其置信水平為1-0.05=0.95的置信區(qū)間( 2.5611, 9.1247). 對于服從二項分布、指數(shù)分布、泊松分布和均勻分布等其它常見分布的數(shù)據(jù),Matlab也有相應(yīng)的計算極大似然估計和置信區(qū)間的函數(shù),分別為binofit, expfit, poissfit, unifit等,其用法與normfit相似。例6：從某廠生產(chǎn)

9、的滾珠中隨機抽取10個，測得滾珠的直徑（單位：mm）如下：14.6 15.0 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8若滾珠直徑服從正態(tài)分布，并且已知（mm），求滾珠直徑均值的置信水平為95%的置信區(qū)間。解：樣本均值：置信水平=0.95，查表得（可利用查表）的置信水平為95%的置信區(qū)間為： 即 Matlab解決程序：alpha=0.05; sigma=0.16;x= 14.6 15.0 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8;n=length(x);mu=mean(x) u=norminv(1-alpha/2,0.1

10、);muci=mu-u*sqrt(sigma2/n),mu+u*sqrt(sigma2/n)結(jié)果：mu = 14.9200muci = 14.8158 15.0242 可以觀察得出計算得到的結(jié)果和matlab編程得到的結(jié)果是大致相同的五、假設(shè)檢驗 對于假設(shè)檢驗,在Matlab中可以利用逆累積分布函數(shù)(如逆正態(tài)累積分布函數(shù)norminv),結(jié)合簡單的計算給出檢驗結(jié)果。但Matlab中也有專門用于假設(shè)檢驗的函數(shù):對方差已知時的單個樣本均值檢驗可以用ztest,對單個樣本均值可以用ttest,對兩個樣本均值差可以用ttest2等。 例7某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖，包得的袋裝糖重是一個隨機變量，它服

11、從正態(tài)分布。當機器正常時，其均值為0.5公斤，標準差為0.015。某日開工后檢驗包裝機是否正常，隨機地抽取所包裝的糖9袋，稱得凈重為（公斤） ：0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.52, 0.515, 0.512 問機器是否正常？解： 以u，分別表示這一天袋裝糖重總體X的均值和標準差。由于長期實踐表明標準差比較穩(wěn)定我們就設(shè)，這里u未知。問題是根據(jù)樣本值來判斷u=0.5，還是u0.5。所以我們提出兩個對立假設(shè)樣本均值：考慮統(tǒng)計量，當為真時，N（0,1）令k=,若k，則拒絕,若k，則接受。取=0.05，k=1.96，n=9，=0.015所以=2.21.96所以拒絕，認為包裝機工作不正常Matlab編程如下：>>X=0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.52,0.515,0.512; h,sig,ci,zval=ztest(X,0.5,0.015,0.05,0)得到結(jié)果h =