專題六軸對稱

1、 軸對稱與軸對稱圖形 一、知識點：1、軸對稱：如果把一個圖形沿著某一條直線折疊后，能夠與另一個圖形重合，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線 成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，兩個圖形中的對應(yīng)點叫做對稱點。2、 軸對稱圖形：如果把一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對 稱圖形，這條直線叫做對稱軸。3軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：軸對稱是指兩個圖形沿某直線對折能夠完全重合，而軸對稱圖形是指一個圖形的兩個部分沿某直線 對折能完全重合。軸對稱是反映兩個圖形的特殊位置、大小關(guān)系；軸對稱圖形是反映一個圖形的特性。聯(lián)系：兩部分都完全重合，都有對稱軸，都有對稱點。如果把成軸對稱

2、的兩個圖形看成是一個整體，這個整體就是一個軸對稱圖形；如果把一個軸對稱圖形的兩旁的部分看成兩個圖形，這兩個部分圖形就成軸對稱。lAB 常見的軸對稱圖形有：圓、正方形、長方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等邊三角形、角、線段、相交的兩條直線等。4線段的垂直平分線：垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。（也稱線段的中垂線） 5軸對稱的性質(zhì)： 成軸對稱的兩個圖形全等。如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是對稱點連線的垂直平分線。6怎樣畫軸對稱圖形：畫軸對稱圖形時，應(yīng)先確定對稱軸，再找出對稱點。二、舉例：例1：判斷題： 角是軸對稱圖形，對稱軸是角的平分線； （ ）等腰三角形至少有1條對稱軸

3、，至多有3條對稱軸； （ ）關(guān)于某直線對稱的兩個三角形一定是全等三角形； （ ）兩圖形關(guān)于某直線對稱，對稱點一定在直線的兩旁。 （ ）例2：下圖曾被哈佛大學(xué)選為入學(xué)考試的試題.請在下列一組圖形符號中找出它們所蘊含的內(nèi)在規(guī)律，然后把圖形空白處填上恰當(dāng)?shù)膱D形.方法1 方法2 方法3例3：如圖，由小正方形組成的L形圖中，請你用三種方法分別在下圖中添畫一個小正方形使它成為一個軸對稱圖形： 例4：如圖，已知：ABC和直線l，請作出ABC關(guān)于直線l的對稱三角形。lBAClBAClBACCADB例5：如圖，DA、CB是平面鏡前同一發(fā)光點S發(fā)出的經(jīng)平面鏡反射后的反射光線，請通過畫圖確定發(fā)光點S的位置，并將光路

4、圖補充完整。例6：如圖，四邊形ABCD是長方形彈子球臺面，有黑白兩球分別位于E、F兩點位置上，試問怎樣撞擊黑球E， 才能使黑球先碰撞臺邊AB反彈后再擊中白球F？例7：如圖，要在河邊修建一個水泵站，向張莊A、李莊B送水。修在河邊什么地方，可使使用的水管最短？··ABa例8：如圖，OA、OB是兩條相交的公路，點P是一個郵電所，現(xiàn)想在OA、OB上各設(shè)立一個投遞點，要想使郵電員每次投遞路程最近，問投遞點應(yīng)設(shè)立在何處？·PBOA 線段、角的軸對稱性 lABM一、知識點：1線段的軸對稱性： 線段是軸對稱圖形，對稱軸有兩條；一條是線段所在的直線，另一條是這條線段的垂直平分線。線

5、段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。結(jié)論：線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點的集合2角的軸對稱性：角是軸對稱圖形，對稱軸是角平分線所在的直線。角平分線上的點到角的兩邊距離相等。到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。結(jié)論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的點的集合二、舉例：例1：已知ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，交AC于E，BEC的周長是16。求ABC的周長.·CBOA·D例2：如圖，已知AOB及點C、D，求作一點P，使PC=PD，并且使點P到OA、OB的距離相等。 l··A

6、B例3：如圖，已知直線及其兩側(cè)兩點A、B。（1） 在直線上求一點P，使PA=PB；（2）在直線上求一點Q，使平分AQB。例4：如圖，直線a、b、c表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，可供選擇的地址有幾處？如何選？ ODCBAE例5：已知：如圖，在ABC中，O是B、C外角的平分線的交點，那么點O在A的平分線上嗎？為什么？ ODCBA1234例6：如圖，已知：AD和BC相交于O，1=2，3=4。試判斷AD和BC的關(guān)系，并說明理由。 例7：已知：如圖，ABC中，BC邊中垂線ED交BC于E，交BA延長線于D，過C作CFBD于F，交DE于G，DF=BC，試說明FCB

7、=B例8：已知：在ABC中，D是ABC平分線上一點，E、F分別在AB、AC上，且DE=DF。試判斷BED與BFD的關(guān)系，并說明理由.例9：已知：在ABC中，D是BC上一點，DEBA于E，DFAC于F，且DE=DF.。試判斷線段AD與EF有何關(guān)系?并說明理由。例10：如圖，已知：在ABC中，BAC90°，BD平分ABC，DEBC于E。試說明BD垂直平分AE等腰三角形的軸對稱性 一、知識點：1 等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在直線是它的對稱軸；等腰三角形的兩個底角相等；（簡稱“等邊對等角”）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。(簡稱“三線合一

8、”)2 等腰三角形的判定：如果一個三角形有2個角相等，那么這2個角所對的邊也相等；（簡稱“等角對等邊”）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半。3等邊三角形： 等邊三角形的定義：三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形。 等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形是軸對稱圖形，并且有3條對稱軸；等邊三角形的每個角都等于600。等邊三角形的判定：3個角相等的三角形是等邊三角形；有兩個角等于600的三角形是等邊三角形；有一個角等于600的等腰三角形是等邊三角形。二、舉例：例1、如圖，已知D、E兩點在線段BC上，ABAC，ADAE，試說明BD=CE的理由? ABCED例2：如圖，已知：ABC中，ABAC，BD和C

9、E分別是ABC和ACB的角平分線，且相交于O點。試說明OBC是等腰三角形；連接OA，試判斷直線OA與線段BC的關(guān)系？并說明理由。 AEDBCOODCBA1234例3：如圖，已知：AD和BC相交于O，1=2，3=4。試判斷AD和BC的關(guān)系，并說明理由。 EDCBA例4：如圖，已知：ABC中，C=900，D、E是AB邊上的兩點，且AD=AC，BD=BC。求DCE的度數(shù)。 GFEDCBA··例5：如圖，已知：ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，G、F分別是BC、DE的中點。試探索FG與DE的關(guān)系。 AFEDBCM例6：如圖，已知：ABC中，C=900，AC=BC，M是A

10、B的中點，DEBC于E，DFAC于F。試判斷MEF的形狀？并說明理由。 EDCBA例7：如圖，已知：ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，AE=BD，連結(jié)EC、ED，試說明CE=DE。 AFCEBDMP例8：如圖，在等邊ABC中，P為ABC內(nèi)任意一點，PDBC于D，PEAC于E，PFAB于F，AMBC于M，試猜想AM、PD、PE、PF之間的關(guān)系，并證明你的猜想等腰梯形的軸對稱性 1、 知識點：1、等腰梯形的定義：ADCB梯形的定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行為梯形。梯形中，平行的一組對邊稱為底，不平行的一組對邊稱為腰。等腰梯形的定義：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性質(zhì)

11、：等腰梯形是軸對稱圖形，是兩底中點的連線所在的直線。等腰梯形同一底上兩底角相等。等腰梯形的對角線相等。3等腰梯形的判定： 在同一底上的2個底角相等的梯形是等腰梯形。 補充：對角線相等的梯形是等腰梯形。二、舉例：例1：填空：1、等腰梯形的腰長為12cm，上底長為15cm，上底與腰的夾角為120°，則下底長為 cm2、如果一個等腰梯形的二個內(nèi)角的和為 1000 ，那么此梯形的四個內(nèi)角的度數(shù)分別為 3、等腰梯形上底的長與腰長相等，而一條對角線與一腰垂直，則梯形上底角的度數(shù)是_；4、已知等腰梯形的一個底角等于600，它的兩底分別為13cm和37cm，它的周長為_；5、如圖，在梯形ABCD中，

12、ADBC，ABCD，A120°，對角線BD平分ABC，則ADCBBDC的度數(shù)是 ；又若AD5，則BC 6、如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB = AD，BD = BC，則C= 0。例2：如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，對角線AC、BD相交于點O試說明：AODO例3：如圖，梯形ABCD中，ADBC，AC=BD。試說明：梯形ABCD是等腰梯形。ADBCE例4：如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AD3cm，BC7cm，E為CD的中點，四邊形ABED的周長比BCE的周長大2 cm，試求AB的長ADBCEFM例5：如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，M為BC中點，

13、則：(1)點M到兩腰AB、CD的距離相等嗎?請說出你的理由。(2)若連結(jié)AM、DM，那么AMD是等腰三角形嗎?為什么?(3)又若N為AD的中點，那么MNAD一定成立你能說明為什么嗎?ADEFCB例6、如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABCD，E為CD中點，AE與BC的延長線交于F(1)判斷SABF和S梯形ABCD有何關(guān)系，并說明理由(2)判斷SABE和S梯形ABCD有何關(guān)系，并說明理由(3)上述結(jié)論對一般梯形是否成立?為什么?ADECB例7、如圖，在梯形ABCD中，ADBC，E為CD的中點，AD+BCAB則：(1)AE、BE分別平分DAB、ABC嗎?為什么?(2)AEBE嗎?為什么? A

14、PDQBC例8：在梯形ABCD中，B900，AB14cm ，AD18cm ，BC21cm，點P從點A開始沿AD邊向點D以1 cm/s的速度移動，點Q從點C開始沿CB向點B以2cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從兩點同時出發(fā)，多少秒后，梯形PBQD是等腰梯形？ 中考試題集考點一、關(guān)于“軸對稱圖形”與“軸對稱”的認(rèn)識軸對稱圖形：如果_個圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠_，那么這個圖形叫軸對稱圖形，這條直線叫做_。軸對稱：對于_個圖形，如果沿著一條直線對折后，它們能完全重合，那么稱這兩個圖形成_，這條直線就是對稱軸。兩個圖形中的對應(yīng)點叫做_典例1下列幾何圖形中，線段角直角三角形半圓，其中一

15、定是軸對稱圖形的有（）A1個B2個C3個D4個2圖9-19中，軸對稱圖形的個數(shù)是（ ） A4個 B3個 C2個 D1個考點三、作一個圖形關(guān)于某條直線的軸對稱圖形（1）作出一些關(guān)鍵點或特殊點的對稱點（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對稱點，即得到原圖形的軸對稱圖形典例：1、如圖，RtABC，C=90°,B=30°,BC=8，D為AB中點，P為BC上一動點，連接AP、DP,則AP+DP的最小值是 2、已知等邊ABC，E在BC的延長線上，CF平分DCE，P為射線BC上一點，Q為CF上一點，連接AP、PQ.若AP=PQ，求證APQ是多少度考點四、線段垂直平分線的性質(zhì)線段是軸對稱圖

16、形，它的對稱軸是_線段的垂直平分線上的點到_相等歸類回憶角平分線的性質(zhì)角是軸對稱圖形，其對稱軸是_角平分線上的點到_相等典例1、如圖，ABC中，A=90°，BD為ABC平分線，DEBC，E是BC的中點，求C的度數(shù)。2、 如圖，ABC中，AB=AC，PB=PC，連AP并延長交BC于D，求證：AD垂直平分BC3、如圖,DE是ABC中AC邊的垂直平分線，若BC=8厘米，AB=10厘米，則EBC 的周長為（ ）A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米4、 如圖，BAC=30°，P是BAC平分線上一點，PM AC，PDAC， 3圖PD=28 , 則AM= 5、如圖，在R

17、tABC中，ACB = 90°，BAC的平分線交 4圖FEDCBAG第5題圖BC于D. 過C點作CGAB于G，交AD于E. 過D點作DFAB于F.下列結(jié)論：CED=CDE；ADF=2ECD； ；CE=DF. 其中正確結(jié)論的序號是( ) A B C D考點五、等腰三角形的特征和識別等腰三角形的兩個_相等（簡寫成“_”）等腰三角形的_、_、_互相重合（簡稱“_”）特別的：（1）等腰三角形是_圖形.（2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對應(yīng)_.如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的_也相等（簡稱為“_”）特別的：（1）有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形

18、（2）有兩邊上的角平分線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（3）有兩邊上的中線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（4）有兩邊上的高線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形典例1、如圖，ABC中，AB=AC=8，D在BC上，過D作DE AB交AC于E，DFAC交AB于F，則四邊形AFDE的周長為_ 。NMFECDBA2、 如圖，ABC中，BD、CD分別平分ABC與ACB，EF過D且EFBC，若AB = 7，BC = 8，AC = 6，則AEF周長為( )A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 3、 如圖,點B、D、F在AN上,C、E在AM上，且AB=BC=CD=ED=EF,A=20o,則FEB=_度4、已知

19、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則它的一個底角的度數(shù)是_5、ABC中， DF是AB的垂直平分線，交BC于D，EG是AC的垂直平分線，交BC于E，若DAE=20°，則BAC等于 °6、從一個等腰三角形紙片的底角頂點出發(fā)，能將其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的底角等于 7、已知，在ABC中，ACB=90°，點D、E在直線AB上，且AD=AC，BE=BC，則DCE = 度.8、如圖：在ABC中，AB=AC，ADBC， DEAB于點E, DFAC于點F。試說明DE=DF。FEDCBA9、如圖,E在ABC的AC邊的延長線上，D點在AB邊上，

20、DE交BC于點F，DF=EF，BD=CE.求證：ABC是等腰三角形.10、已知：如圖，ABC中，ACB的平分線交AB于E，EFBC交AC于點F，交ACB的外角平分線于點G試判斷EFC的形狀，并說明你的理由11、如圖，ABC中，ABDC，ADDCCB，AD、BC的延長線相交于G，CEAG于E，CFAB于F.（1）請寫出圖中4組相等的線段（已知的相等線段除外）； （2）選擇（1）中你所寫出的一組相等線段，說明它們相等的理由. 考點六、等邊三角形的特征和識別等邊三角形的各_相等，各_相等并且每一個角都等于_三個角相等的三角形是_三角形 有一個角是60°的_三角形是等邊三角形特別的：等邊三角

21、形的中線、高線、角平分線_典例1、下列推理中，錯誤的是 ()AABC，ABC是等邊三角形 BABAC，且BC，ABC是等邊三角形CA60°，B60°，ABC是等邊三角形 DABAC，B60°，ABC是等邊三角形ABCDEM2、如圖，等邊三角形ABC中，D是AC的中點，E為BC延長線上一點，且CECD，DMBC，垂足為M。求證：M是BE的中點。3、已知ABC是等邊三角形，分別在AC、BC上取點E、F，且AE=CF，BE、AF交于點D，則BDF _度4、如圖，點P是等邊ABC內(nèi)一點，點P到三邊的距離分別為PE、PF、PG，等邊ABC的高為AD，求證：PE+PF+PG=

22、AD5、如圖，D、E、F分別是等邊ABC各邊上的點，且AD=BE=CF，則DEF的形狀是（ ）A等邊三角形 B腰和底邊不相等的等腰三角形 C直角三角形 D不等邊三角形6、如圖，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ以下六個結(jié)論：AD=BE;PQAE;AP=BQ;DE=DP; AOB=60°CO平分AOE.其中不正確的有（ ）個 A0 B1 C2 D3考點七、30°所對的直角邊是斜邊的一半1、如圖，是屋架設(shè)計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC、D

23、E垂直于橫梁AC，AB=8m，A=30°，則DE等于（ ）A1m B2m C3m D4m2、如圖：ADC中，A = 15°，D=90°，B在AC的垂直平分線上，AB =34，則CD = ( ) A. 15 B . 17 C. 16 D. 以上全不對 第3題圖3、如圖，AB=AC，DEAB于E，DFAC于F，BAC=120o，BC=6，則DE+DF= 1圖 2圖4、一張折疊型方桌如圖甲，其主視圖如圖乙，已知AO=BO=40cm，C0=D0=30 cm，現(xiàn)將桌子放平，兩條桌腿叉開的角度AOB剛好為120°，求桌面到地面的距離是多少？甲5、在中，的垂直平分線交

24、于點，交于點如果，求的長6、如圖，已知：在ABC中，AB=AC，BAC=120°，AB的垂直平分線交AB于E，交BC于F. 求證：CF=2BF. 7、已知：如圖，ACD是等邊三角形，AECD于E，ABAC，ACAB， AE、BD相交于O.求證：BC=2OD.軸對稱中考試題集一、填空題1、已知等邊三角形ABC的邊長為3+，則ABC的周長是_2、如圖，在ABC中，AB=BC，AB=12cm，F(xiàn)是AB邊上一點，過點F作FEBC交AC于點E，過點E作EDAB 交BC于點D則四邊形BDFE的周長是_cm3、 如圖，在ABC中，BC=5cm，BP、CP分別是ABC和ACB的角平分線，且PDAB，

25、PEAC，則PDE 的周長是_cm4、 如圖，ABC是邊長為3的等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BDC=120度以D為頂點作一個60°角， 使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則AMN的周長為_5、如圖，在等邊ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，且AD=CE，則BCD+CBE=_度6、如圖，已知RtABC中，C=90°，A=30°，AC=6沿DE折疊，使得點A與點B重合，則折痕DE的長_ 2圖 3圖 4圖 5圖 6圖 7、 以邊長為2cm的正三角形的高為邊長作第二個正三角形，以第二個正三角形的高為邊長作第三個正三角形，以 此類推，則第十個正三角

26、形的邊長是cm8、 如圖，將一等邊三角形剪去一個角后，1+2=_度9、如圖是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長是a，則六邊形的周長是_10、如圖，在直線m上擺放著三個正三角形：ABC、HFG、DCE，已知BC=CE，F(xiàn)、G分別是BC、CE 的中點，F(xiàn)MAC，GNDC設(shè)圖中三個平行四邊形的面積依次是S1，S，S3，若S1+S3=10，則S=_11、如圖，點B是線段AC上一點，分別以AB、BC為邊作等邊ABE、BCD，連接DE，已知BDE的面積是，AC=4，如果ABBC，那么AB的值是_ 8圖 9圖 19圖 11圖12、正三角形的每一個內(nèi)角都是_度13、如圖，P、Q是AB

27、C的邊BC上的兩點，且BP=PQ=QC=AP=AQ，則ABC的大小等于_度 13圖 14圖 15圖 16圖14、 如圖，在ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，點E、F是AD的三等分點，若ABC的面積為12cm2， 則圖中陰影部分的面積是_cm215、 如圖所示，將邊長為2的等邊三角形沿x軸正方向連續(xù)翻折2010次，依次得到點P1，P2，P3P2010則點P2010 的坐標(biāo)是_16、 如圖，矩形紙片ABCD，AB=2，ADB=30°，沿對角線BD折疊（使ABD和EBD落在同一平面內(nèi)），則 A、E兩點間的距離為_二、解答題1、請閱讀，完成證明和填空九年級數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)校的“數(shù)學(xué)長

28、廊”中興奮地展示了他們小組探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，內(nèi)容如下：（1）如圖1，正三角形ABC中，在AB、AC邊上分別取點M、N，使BM=AN，連接BN、CM，發(fā)現(xiàn)BN=CM，且NOC=60度請證明：NOC=60度（2）如圖2，正方形ABCD中，在AB、BC邊上分別取點M、N，使AM=BN，連接AN、DM，那么AN=_，且DON=_度（3）如圖3，正五邊形ABCDE中，在AB、BC邊上分別取點M、N，使AM=BN，連接AN、EM，那么AN=_，且EON=_度（4）在正n邊形中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，也會有類似的結(jié)論請大膽猜測，用一句話概括你的發(fā)現(xiàn)：_2、如圖，已知ABC為等邊三角形，點D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點F（1）求證：ABECAD； （2）求BFD的度數(shù)3、如圖，D是等邊ABC的邊AB上的一動點，以CD為一邊向上作等邊EDC，連接AE，找出圖中的一組全等三角形，并說明理由4、在ABC中，AB=AC，點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE，