小學(xué)數(shù)學(xué)課標十個核心概念

1、1解讀小學(xué)數(shù)學(xué)課標十個核心概念在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾 何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。為了適應(yīng) 時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要， 數(shù)學(xué)課程還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用 意識和創(chuàng)新意識。課程標準提出了數(shù)感 符號意識等核心概念， 為什么提出這些 核心概念？首先，核心概念是課程目標的支點， 起著溝通課程目標與具體數(shù)學(xué)內(nèi) 容之間聯(lián)系的作用。我們知道，課程標準設(shè)計了知識技能 數(shù)學(xué) 思考問題解決情感態(tài)度四個方面的培養(yǎng)目標，同時選擇編排 了大量的數(shù)學(xué)知識。如數(shù)的知識、運算的知識、圖形的知識、測量的 知識、統(tǒng)計和概率的知識、 解決問題的知識等。這些知識又各有許

2、多 具體的內(nèi)容，如數(shù)的知識就有整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)，其中的整數(shù)知識有 數(shù)字符號、計數(shù)方法、數(shù)的順序、數(shù)之間的大小關(guān)系、用數(shù)表示和交 流等。再如測量的知識包括長度、面積、體積（容積）的意義，常用 的長度單位、面積單位、體積（容積）單位，常用的測量工具和測量 方法，基本圖形的周長、面積、體積的計算公式等。如何把比較宏觀 的培養(yǎng)目標與眾多十分具體的數(shù)學(xué)知識有組織地聯(lián)系起來？核心概 念就起這方面的作用。在中小學(xué)數(shù)學(xué)課程這個結(jié)構(gòu)里， 核心概念 介于課程目標與眾多具體數(shù)學(xué)內(nèi)容之間， 是課程目標的落腳點。 課程 目標通過有關(guān)的核心概念得到比較清楚的描述，也通過相關(guān)核心概念 的教學(xué)和形成得以實現(xiàn)。如，課程標準關(guān)于

3、數(shù)學(xué)思考方面的培養(yǎng) 目標是如下表述的，這樣的敘述指出了數(shù)學(xué)思考的培養(yǎng)應(yīng)該往什 么方向去落實，也使數(shù)學(xué)思考的培養(yǎng)目標具有可行性和可操作性。-建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力， 發(fā)展形象思維與抽象思維。2-體會統(tǒng)計方法的意義，發(fā)展數(shù)據(jù)分析意識，感受隨機現(xiàn)象。-在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展 合情推理和演繹推理的能力，清晰地表達自己的想法。-學(xué)會獨立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式。 其次，核心概念起著統(tǒng)領(lǐng)眾多具體數(shù)學(xué)內(nèi)容，導(dǎo)向其教育價值的作用。課程標準提出的核心概念，有些和數(shù)與代數(shù) 領(lǐng)域的內(nèi)容聯(lián)系密切， 有些和圖形與幾何領(lǐng)域的內(nèi)容聯(lián)系密切，有些和

4、統(tǒng)計與概率 領(lǐng)域的聯(lián)系密切，有些和綜合與實踐領(lǐng)域的內(nèi)容聯(lián)系密切。圍繞 每一個核心概念都有許多具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容， 通過這些數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué) 才能在學(xué)生頭腦里形成核心概念。 使學(xué)生形成必要的核心概念是數(shù)學(xué) 教學(xué)的重要任務(wù)， 也是有效的數(shù)學(xué)教學(xué)的歸宿。 核心概念起著統(tǒng)領(lǐng)具體數(shù)學(xué)內(nèi)容及其教學(xué)的作用， 使眾多數(shù)學(xué)知識之間不是隔裂的， 每個 數(shù)學(xué)知識不是孤立的，而是相互聯(lián)系、相互作用、相互影響的。課程 標準提出核心概念，一方面指出了某個核心概念需要哪些數(shù)學(xué)知識， 另方面指出了這些數(shù)學(xué)知識的教學(xué)應(yīng)該形成核心概念， 成為學(xué)生的意 識與能力。 如數(shù)感主要和數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域里的數(shù)的認識 數(shù)的運算以及數(shù)量關(guān)系有著聯(lián)系，課程

5、標準指出： 數(shù)感主 要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。 學(xué) 生的數(shù)感是他們認數(shù)學(xué)習(xí)和計算學(xué)習(xí)中的智慧結(jié)晶， 是他們經(jīng)常接觸 并領(lǐng)悟常見數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗升化。數(shù)感的形成使數(shù)的知識、運算的知 識、數(shù)量關(guān)系的知識轉(zhuǎn)化成個體的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 小學(xué)生的數(shù)感主要表現(xiàn) 在：能夠用數(shù)刻畫客觀對象的量的多少或大小， 能夠估計客觀對象有 多大、有多少； 能夠估計運算的結(jié)果大約是多少，能夠評價筆算或計 算器計算結(jié)果的合理性；能夠用常見數(shù)量關(guān)系描述實際問題里的數(shù)學(xué) 內(nèi)容，能夠體會到常見數(shù)量關(guān)系里的3簡單函數(shù)關(guān)系。 數(shù)感就這樣把與 認數(shù)和計算有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容有機組織起來了，教學(xué)數(shù)及其運 算的知識應(yīng)該歸結(jié)到

6、培養(yǎng)和形成數(shù)感的上面。 再如，課程標準指出 符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、 數(shù)量關(guān)系和變化 規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理， 得到的結(jié)論具有一般性。 小學(xué)數(shù)學(xué)里有數(shù)字符號09,運算符號+、x、+，關(guān)系符號 、=，字母符號h表示形體的高、s表示圖形的面積（有時表 示路程）、v表示立體的體積（有時表示速度） ，這些都是人們 約定俗成、共同使用的符號。人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、 應(yīng)用數(shù)學(xué)時,還可以使 用個體的符號。 如用一橫、 一豎或者一個表示一個物體，用字 母A、B、C分別表示某些對象等。符號具有簡單明了、使用方便等 優(yōu)點,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開它。 小學(xué)數(shù)學(xué)初步培養(yǎng)學(xué)生的符號意識,讓他 們知道并

7、使用人類已經(jīng)共同使用的一些符號, 用符號表示運算律、 求 積公式、常見數(shù)量關(guān)系；鼓勵學(xué)生用自己設(shè)定的符號進行記錄,開展 統(tǒng)計活動,不僅方便交流與表達,還體會到符號的價值。 符號意識 就這樣把用字母表示數(shù)（數(shù)量關(guān)系或運算規(guī)律） 、對含有字母式子的 運算、方程以及解決實際問題等數(shù)學(xué)內(nèi)容組織起來， 有效解決眾多知 識相互割裂、過于分散的現(xiàn)象，并且給于它們明確的教學(xué)方向。 又 如，空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形， 根據(jù)幾何圖形 想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān) 系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等?？臻g形式 是數(shù)學(xué)的研究對象，客觀世界存在著各種各樣、

8、大大小小的物體，物 體在運動變化，物體之間有著相互聯(lián)系。 這些內(nèi)容反映在人的頭腦里， 形成的有關(guān)概念、模型，產(chǎn)生的想象、引發(fā)的形象思維，就是個體的 空間觀念。 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)許多基本的形體知識， 學(xué)生應(yīng)該形成初步的 空間觀念。4小學(xué)生的空間觀念一般表現(xiàn)為： 頭腦里有常見平面圖形和立體圖形的 數(shù)學(xué)模型，知道這些形體的名稱、形狀、結(jié)構(gòu)特點，看到某個物體能 夠想到其數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)名稱， 想到某個模型或者聽到某個名稱， 能 夠在身邊找到相應(yīng)的物體； 從正面、側(cè)面和上面觀察某個簡單的物體， 能夠用分別看到的圖形表示這個物體的形狀與結(jié)構(gòu)； 能夠想象出簡單 幾何體的表面展開圖， 能夠根據(jù)表面展開圖想象出幾何體

9、； 能夠把稍 復(fù)雜的組合形體分解成若干簡單形體； 能夠數(shù)學(xué)地描述物體的運動方 式以及所在位置?？梢姡诵母拍畈皇侵改骋粋€或某幾個具體的數(shù)學(xué)知識， 而是許多相 關(guān)數(shù)學(xué)知識的概括提升； 核心概念不是另外教學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容， 而是蘊 涵在相關(guān)數(shù)學(xué)知識的教學(xué)之中的上位概念。正如課程標準修訂組核心成員、 東北師范大學(xué)教授馬云鵬所說的：核心概念體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。核心概念本質(zhì)上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的基本思 想，反映了數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)特征以及數(shù)學(xué)思維方式。 數(shù)學(xué)內(nèi)容的四個 方面都以10個核心概念中的一個或幾個為統(tǒng)領(lǐng)，學(xué)生對這些核心概 念的體驗與把握，是對這些內(nèi)容的真正理解和掌握的標志。 課程標準（實驗稿）提出六個核心概念，

10、分別是數(shù)感 符號感 空間觀念統(tǒng)計觀念應(yīng)用意識推理能力。課程標準（2011） 提出十個核心概念，分別是數(shù)感 符號意識運算能力空間 觀念幾何直觀數(shù)據(jù)分析觀念模型思想推理能力應(yīng)用意識創(chuàng)新意識。把課程標準修改前后的核心概念比一比，可以看 到：新增加了四個運算能力 幾何直觀模型思想創(chuàng)新 意識；較大改動了三個數(shù)據(jù)分析意識 推理能力應(yīng)用意 識；另外三個數(shù)感 符號意識空間觀念的修改不大。 下面我們看一看新增加的和較大改動的七個核心概念。1.運算能力。 運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。 培 養(yǎng)運算能力有助于學(xué)生理解運算的算理， 尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。重視運算能力是我國小學(xué)數(shù)學(xué)

11、教學(xué)的優(yōu)秀傳統(tǒng)， 我國學(xué)生的運算能力 受到世界矚目。有關(guān)運算的知識主要是四則計算的意義、法則，四則 混合運算順序，5運算律和運算性質(zhì)等。 有關(guān)運算教學(xué)的要求是學(xué)生獲 得重要的計算知識，能夠正確、熟練、合理、靈活地應(yīng)用運算知識， 解決相應(yīng)的問題，包括計算題和實際問題。進入新課程， 數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容發(fā)生了很大變化。 增加了許多十分有意 義的數(shù)學(xué)知識，如圖形的運動、圖形的位置、數(shù)據(jù)統(tǒng)計活動、事件發(fā) 生的可能性、探索規(guī)律和實踐活動等。 有關(guān)計算的教學(xué)內(nèi)容也有很大 變動，一是精簡了大數(shù)目的計算，整數(shù)加、減法一般不超過三位數(shù)的 加或減，整數(shù)乘、除法只到三位數(shù)乘或除以兩位數(shù)；二是重視口算、 加強估算；三是使用

12、計算器進行較繁瑣的計算。而且，用于計算教學(xué) 的時間比過去少了。 所以，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力是數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的一 個課題。學(xué)生的運算能力一般表現(xiàn)為： 能夠選擇恰當?shù)挠嬎阈问浇鉀Q問題， 做 到可以口算就口算，需要筆算就筆數(shù)，不要精確得數(shù)就估算，遇到大 數(shù)目的計算就使用計算器； 追求計算結(jié)果正確， 有及時檢驗得數(shù)的習(xí) 慣，能夠采用合適的方法進行驗算并隨時糾正計算錯誤； 有簡便運算 的意識，能夠根據(jù)具體情況，合理而靈活地利用運算律或運算性質(zhì)， 提高計算效率。課程標準重新提出運算能力， 是對數(shù)學(xué)教學(xué)的要求。 計算畢竟是數(shù)學(xué) 內(nèi)容的一部分， 是常用的數(shù)學(xué)活動之一， 是學(xué)習(xí)和應(yīng)用其它數(shù)學(xué)知識 不可缺少的工具。

13、既不能因為增加了許多其它數(shù)學(xué)內(nèi)容而忽視計算教 學(xué)，也不能以傳統(tǒng)的計算教學(xué)來要求和衡量新課程的計算教學(xué)。 學(xué)生的計算應(yīng)該達到適當?shù)乃俣纫蟆Ｕn程標準提出：20以內(nèi)加減 法和表內(nèi)乘除法口算，810題/分；百以內(nèi)加減法和一位數(shù)乘除兩 位數(shù)口算，34題/分；兩位數(shù)和三位數(shù)加減法筆算，23題/分；一位數(shù)乘除兩位數(shù)和三位數(shù)筆算，兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算，12題6 分。這些速度要求，是大多數(shù)學(xué)生經(jīng)過適量練習(xí)就能夠達到的，不會 耗費過量的教學(xué)資源，而影響其它數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)。這些速度要求， 能夠基本滿足繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決實際問題的需要。這些速度水平， 一但形成，能夠維持，不會有過大的衰退。2.幾何直觀。幾何直觀主要是

14、指利用圖形描述和分析問題。 借助幾何直觀可以把復(fù) 雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié) 果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)， 在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中 都發(fā)揮著重要作用。幾何直觀可以看成數(shù)形結(jié)合的手段與方法。 數(shù)形結(jié)合是一種 數(shù)學(xué)思想方法，指利用代數(shù)里的模型來抽象地表示幾何圖形的本質(zhì)內(nèi) 容，利用幾何圖形來形象直觀地表示代數(shù)里的關(guān)系。數(shù)學(xué)是抽象的， 兒童喜歡具體形象的思維， 幾何直觀經(jīng)常能夠解決抽 象與形象之間的矛盾。 數(shù)學(xué)教學(xué)往往會利用簡單的圖形來表示比較抽 象的數(shù)學(xué)問題或數(shù)量關(guān)系， 如用線段圖表示相差關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系， 用 線段圖表示相遇問題的已知、 未知和數(shù)量關(guān)系，

15、用簡單圖形表示田地 面積的變化等，這些都十分有助于學(xué)生理解題意、 找到問題的解法。幾何直觀是人們理解復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，探索其解法的手段， 是人們解 決問題時經(jīng)常采用的策略。 課程標準提出幾何直觀， 不僅教師要充分 利用這個手段教學(xué)數(shù)學(xué)知識， 還應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生自己運用幾何直觀的習(xí) 慣和能力。 要聯(lián)系實例讓學(xué)生體會什么是幾何直觀， 感受幾何直觀對 解決問題的積極作用；要指導(dǎo)學(xué)生畫圖，初步學(xué)會幾何直觀；要鼓勵學(xué)生經(jīng)常運用幾何直觀，逐步成為個體的解決問題策略之一。73.模型思想 模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。 建立和求解模型的過程包括： 從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問 題

16、，用數(shù)學(xué)符號建立方程、 不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān) 系和變化規(guī)律， 求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。 這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于 學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。模型是一種表達形式。數(shù)學(xué)模型表達的是客觀現(xiàn)象里的數(shù)學(xué)內(nèi)容， 是對數(shù)學(xué)內(nèi)容的高度抽象與概括，最本質(zhì)且最簡練的表達。所以，人 們還把數(shù)學(xué)定義為模式的科學(xué) 。數(shù)學(xué)關(guān)系式或者數(shù)學(xué)圖像都是數(shù) 學(xué)模型，如小學(xué)數(shù)學(xué)里的正比例關(guān)系就是用關(guān)系式 =k（一定） 表示的；或者在直角坐標系里，用從原點（0點）出發(fā)向右上方的射 線表示。這些就是數(shù)學(xué)模型。弗賴登塔爾指出：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化 。所謂數(shù)學(xué)化，是指從 數(shù)學(xué)的角度看現(xiàn)象、用數(shù)學(xué)思維

17、想問題， 用數(shù)學(xué)方法解決和解釋問題， 建立數(shù)學(xué)模型就是數(shù)學(xué)化。建立和求解模型的過程大致由三部分構(gòu) 成：一是從具體對象里抽象出數(shù)學(xué)問題； 二是用數(shù)學(xué)形式表示變化規(guī) 律或各種關(guān)系；三是求出結(jié)果、解釋其意義?？梢姡＿^程是數(shù)學(xué) 化過程，模型思想有助于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，有利于發(fā)展數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)教學(xué) 應(yīng)該重視模型思想的培養(yǎng)。小學(xué)數(shù)學(xué)里稱得上數(shù)學(xué)模型的不是很多， 但含有模型思想的數(shù)學(xué)內(nèi)容 卻不少。如從每小時行駛的千米數(shù)x行駛的小時數(shù)=一共行駛的千米數(shù)每分鐘走的米數(shù)X走的分鐘數(shù)=一共走的米數(shù)等具體的數(shù) 量關(guān)系式，概括出速度X時間=路程，再用字母公式s=vt表 示，這個過程里就有模型思想。又如從大量事實概括出交換兩

18、個加 數(shù)的位置，和不變，并用字母式子a+b=b+a表示這條運算律， 也是富有模型思想的過程。再如方程就是數(shù)學(xué)模型，列方程解決 實際問題就是建立模型、應(yīng)用模型的活動。小學(xué)數(shù)學(xué)培養(yǎng)模型思想， 不一定要學(xué)生寫出十分規(guī)范的關(guān)系式或畫出 十分規(guī)8范的圖像。 讓他們用自己的語言或喜歡的其它方式表示發(fā)現(xiàn)的 數(shù)學(xué)規(guī)律、認識的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，都能促進模型思想的發(fā)展。4創(chuàng)新意識。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)， 應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的 過程之中。學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨立思考、學(xué)會 思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新 的重要方法。 創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起， 貫

19、穿數(shù)學(xué)教 育的始終。歷史告訴我們， 創(chuàng)新精神對于振興中華民族是十分重要的。 民族的創(chuàng) 新精神，源于其每一個成員的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。創(chuàng)新在不同范疇有不同內(nèi)容。 創(chuàng)新的狹義含義是指創(chuàng)造出人類從 未有的、完全嶄新的成果，包括新的理論、新的作品、新的工藝、新 的方法等， 這些創(chuàng)新是對全人類的貢獻。 創(chuàng)新的廣義含義是指某個群 體或某個人創(chuàng)造出對自己而言的的新認識、新發(fā)現(xiàn)。如果說，對于全 人類的創(chuàng)新經(jīng)常是科學(xué)家、 發(fā)明家和少數(shù)優(yōu)秀人才的成就， 那么屬于 個體的創(chuàng)新則是每一個人的可作可為。而科學(xué)家、發(fā)明家的創(chuàng)新能力， 也是在個體的、初步的創(chuàng)新意識基礎(chǔ)上發(fā)展出來的。所以，培養(yǎng)學(xué)生 的創(chuàng)新意識，既直接關(guān)系到每

20、一個學(xué)生的精神面貌，也間接關(guān)系著若 干年以后的人類新創(chuàng)造。在現(xiàn)有的數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)創(chuàng)新意識， 要改變教與學(xué)的方式。 使一些數(shù) 學(xué)內(nèi)容的教學(xué)，由教師傳授變?yōu)閷W(xué)生探索。鼓勵學(xué)生猜想、驗證；實 驗、發(fā)現(xiàn)；質(zhì)疑、探索；合作、交流。經(jīng)常在教師的引導(dǎo)和組織下發(fā) 現(xiàn)新知識、建構(gòu)新認識，他們的創(chuàng)新意識就得到了應(yīng)有的培養(yǎng)。5.數(shù)據(jù)分析觀念。 數(shù)據(jù)分析觀念包括：了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當先做調(diào)查研 究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷， 體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息；了解9對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方 法， 需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性， 一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面

21、只要有 足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。進入新課程以來， 小學(xué)數(shù)學(xué)的統(tǒng)計教學(xué)發(fā)生了很大的變化。 從過去以 制作統(tǒng)計圖表為主要教學(xué)內(nèi)容， 變成以統(tǒng)計活動為主要教學(xué)內(nèi)容。 提 出數(shù)據(jù)分析觀念要促進統(tǒng)計教學(xué)的進一步改革。首先，統(tǒng)計是人們認識現(xiàn)象、解決問題的一種重要方法。如，要了解 一個單位的員工年齡結(jié)構(gòu)和文化程度結(jié)構(gòu)， 就可以就這兩個內(nèi)容進行 統(tǒng)計；要了解物價的情況以及對人們生活的影響， 需要進行有關(guān)的統(tǒng) 計；要了解兒童的體質(zhì)狀況和生活方式的變化， 也可以通過統(tǒng)計 其次，統(tǒng)計總是圍繞數(shù)據(jù)而進行的， 統(tǒng)計的主要活動是關(guān)于數(shù)據(jù)的活 動，統(tǒng)計過程一般是收集和整理數(shù)據(jù)、分析和利用數(shù)據(jù)的過程。 統(tǒng)計結(jié)果一方面有

22、其客觀性， 另方面有其局限性。 所謂統(tǒng)計結(jié)果的客 觀性，是指數(shù)據(jù)都是真實的，一般是經(jīng)過調(diào)查得到的；統(tǒng)計結(jié)論是根 據(jù)實實在在的數(shù)據(jù)得出的。人們常說沒有調(diào)查就沒有發(fā)言權(quán)用 數(shù)據(jù)說明問題，都是肯定了數(shù)據(jù)的客觀性。 所謂統(tǒng)計結(jié)果的局限性， 是因為分析數(shù)據(jù)要在現(xiàn)實的背景下進行， 同一組數(shù)據(jù)， 在不同的背景 下會表達出不同的意思， 引起人們不同的思考。 如某所學(xué)校對教師的 課堂教學(xué)水平進行了調(diào)查， 隨堂聽課的優(yōu)課率15、 良好課50、合格課25、 較差課10。這組數(shù)據(jù)如果與該校過去的課堂教學(xué)水 平比，可能看到有了明顯進步； 如果與所在地區(qū)各學(xué)校的整體課堂教 學(xué)水平比， 可以看到該學(xué)校處于什么位置上；如果與

23、其他高水平學(xué)校 比，可以看出還存在的差距。這是同一組數(shù)據(jù)在不同背景下，反映出 不同的信息。離開了現(xiàn)實背景的數(shù)據(jù)并不能說明什么問題。另外，10數(shù) 據(jù)還是隨機的，需要有足夠的數(shù)據(jù)才能比較客觀地反映出事實或規(guī) 律。如評價一位教師的課堂教學(xué)水平，如果只考察他的一堂課，往往 會有片面性。如果考察幾堂甚至幾十堂課， 得出的評價就會客觀一些； 如果對這位教師教學(xué)各類知識的課堂分別進行充分的考察， 得出的評 價就更加可信。統(tǒng)計教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析意識與能力， 具體些說， 一 要學(xué)生關(guān)注數(shù)據(jù)、重視數(shù)據(jù)，體會到數(shù)據(jù)不是枯燥的數(shù)字，而是蘊含 著豐富的信息內(nèi)容；二要學(xué)生收集信息，通過整理獲得有用的數(shù)據(jù)，并

24、用適當?shù)慕y(tǒng)計圖表呈現(xiàn)數(shù)據(jù)， 直觀反映出數(shù)據(jù)特征； 三要學(xué)生對數(shù) 據(jù)進行深入的分析，用數(shù)據(jù)解釋事實、判斷是非、預(yù)測未來。6.推理能力。推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。 推理是數(shù)學(xué)的基本思 維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。 推理一般包括 合情推理和演繹推理,合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直 覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實（包 括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順 序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。 在解決問題的過程中， 兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論； 演繹推理用于證明結(jié)論。從已

25、有的判斷得出新判斷的思維形式叫做推理， 推理是常用的思維形 式，人們經(jīng)常通過推理，實現(xiàn)由此及彼的思考跨越。數(shù)學(xué)教育歷來很重視演繹推理， 因為它十分嚴密。 演繹推理是從一般 到特殊的推理，它根據(jù)已有的事實， 按照邏輯的規(guī)則，得出新的結(jié)論。 例如，前面11提到的六年級（上冊）教科書里的分數(shù)乘整數(shù)X3的算法就是通過演繹推理得出的。 從個別例題得出分數(shù)乘整數(shù)的計算法 則以后，再進行其它的分數(shù)乘整數(shù)，只要按照法則進行。這時，按已 有法則進行同類計算， 可以看作演繹推理。 再如， 認識運算律以后的 簡便運算， 其思考是按照因為所以進行的， 也是演繹推理。數(shù)學(xué)教育應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力，也確實有著許多培

26、養(yǎng)機會。推理不只是演繹推理，合情推理也很常見，主要有歸納推理、類比推 理。歸納推理是從特殊到一般的推理，它根據(jù)部分實際例子，形成具 有普遍意義的概念或規(guī)則。例如，對小學(xué)生來說，分數(shù)除以分數(shù)的計 算法則很難通過演繹推理得出， 教科書采用合情推理， 鼓勵學(xué)生猜想 并驗證，給予學(xué)生很大的自主探索空間， 避免了直接灌輸式的機 械學(xué)習(xí)。 再如通過對若干個長方形的研究，得出所有長方形都具有 對 邊相等、四個直角的特點。通過12道兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法探 索，得出計算法則。 這些都是不完全歸納在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的的具體 應(yīng)用。歸納推理有完全歸納和不完全歸納， 小學(xué)數(shù)學(xué)里一般都是不完 全歸納。類比推理是特殊到特殊

27、的推理， 它根據(jù)個案之間已經(jīng)存在的 一些關(guān)系，聯(lián)想還會有其它的共同點或相似點。 如已經(jīng)知道比與除法 有聯(lián)系，除法與分數(shù)有聯(lián)系，于是認為比和分數(shù)也會有聯(lián)系，認為比 也可以寫成分數(shù)的形式； 已經(jīng)知道除法有商不變性質(zhì)， 分數(shù)有基本性 質(zhì)，于是認為比也有類似的性質(zhì)。 這些認為都是類比推理的結(jié)果。 數(shù)學(xué)教育只重視演繹推理是不夠的， 合情推理也十分重要。 合情推理 比較開放、比較活潑，往往含有猜想、估計、預(yù)測的成分，人類的許 多發(fā)明、發(fā)現(xiàn)都起源于合情推理。合情推理得出的估計、猜想，經(jīng)過 演繹推理的驗證，如果是正確的，就是人們的創(chuàng)新。如果不正確，還 可以修正或者放棄。所以說，演繹推理與合情推理的功能不同，卻

28、相 輔相成，缺一不可。既然數(shù)學(xué)教育曾經(jīng)忽略了合情推理，那么應(yīng)該注 意加強。新課程重視合情推理，并不意味輕視演繹推理，而是在繼續(xù) 重視演繹推理的同時，也關(guān)注學(xué)生的合情推理能力。心理學(xué)認為，演繹推理是必然性推理，只要推理的前提和線索正確， 結(jié)果就一定正確。合情推理是或然性推理，即使前提正確，結(jié)論未必 一定正確， 其正確性需要證明。 小學(xué)數(shù)學(xué)里的不完全歸納推理和類比 推理，雖然難以進行嚴格的證明， 還是應(yīng)該讓學(xué)生充分經(jīng)歷兩個過程： 一是廣泛地列舉具體事例，即學(xué)生人人舉例，各人具的例子不同，從 眾多的實例中歸納出來的結(jié)論， 可靠性和說服力會強些。 二是積極尋 找反例，只要能夠找到一件反例，就否定了原來的結(jié)論。如果實在找 不到反例，才能看成正確的結(jié)論（嚴格地講，還只是猜想） 。127.應(yīng)用意識。應(yīng)用意識有兩個方面的含義， 一方面有意識利用數(shù)學(xué)的概念、 原理和 方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中問題；另一方面，認識 到現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題， 這些問題可以抽 象成數(shù)學(xué)問題， 用數(shù)學(xué)的方法予以解決。 在整個數(shù)學(xué)教育的過程中都 應(yīng)該