第四章 微分中值定理與泰勒公式

1、第四章 微分中值定理與泰勒公式一. 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0, 1上可微, 對(duì)于0, 1上每一個(gè)x, 函數(shù)f(x)的值都在開區(qū)間(0, 1)內(nèi), 且, 證明: 在(0, 1)內(nèi)有且僅有一個(gè)x, 使f(x) = x.證明: 由條件知0 < f(x) < 1. 令F(x) = f (x)x, 于是F(0) > 0, F(1) < 0, 所以存在x Î (0, 1), 使F(x) = 0. 假設(shè)存在x1, x2 Î (0, 1), 不妨假設(shè)x2 < x1, 滿足f(x1) = x1, f(x2) = x2. 于是 x1x2 = f(x1)f(x2)

2、= . (x2 < h < x1). 所以, 矛盾.二. 設(shè)函數(shù)f(x)在0, 1上連續(xù), (0, 1)內(nèi)可導(dǎo), 且. 證明: 在(0, 1)內(nèi)存在一個(gè)x, 使.證明: , 其中x1滿足.由羅爾定理, 存在x, 滿足0 < x < x1, 且 .三設(shè)函數(shù)f(x)在1, 2上有二階導(dǎo)數(shù), 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x1)2f(x), 證明: 在(1, 2)內(nèi)至少存在一個(gè)x, 使 .證明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在x1, 1 < x1 < 2, 滿足. 所以.所以存在x, 滿足1 < x < x1, 且

3、 .四. 設(shè)f(x)在0, x(x > 0)上連續(xù), 在(0, x)內(nèi)可導(dǎo), 且f(0) = 0, 試證: 在(0, x)內(nèi)存在一個(gè)x, 使 .證明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在0, x上使用柯西定理 , x Î (0, x)所以 , 即.五. 設(shè)f(x)在a, b上可導(dǎo), 且ab > 0, 試證: 存在一個(gè)x Î (a, b), 使 證明: 不妨假設(shè)a > 0, b > 0. 令. 在a, b上使用拉格朗日定理 六. 設(shè)函數(shù)f(x), g(x), h(x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 證明:存在一個(gè)

4、x Î (a, b), 使 證明: 令, 則F(a) = F(b) = 0, 所以存在一個(gè)x Î (a, b), 使 七. 設(shè)函數(shù)f(x)在0, 1上二階可導(dǎo), 且f(0) = f(1) = 0, 試證: 至少存在一個(gè)x Î (0, 1), 使 證明: (, 二邊積分可得, 所以)令 . 由f(0) = f(1) = 0知存在h Î (0, 1), . 所以F(h) = F(1) = 0, 所以存在 x Î (h, 1), . 立即可得八. 設(shè)f(x)在x1, x2上二階可導(dǎo), 且0 < x1 < x2, 證明:在(x1, x2)內(nèi)至少存在一個(gè)x, 使 證明: 令, 在x1, x2上使用柯西定理. 在(x1, x2)內(nèi)至少存在一個(gè)x, 滿足 .九. 若x1x2 > 0, 證明: 存在一個(gè)x Î (x1, x2)或(x2, x1), 使 證明: 不妨假設(shè)0 < x1 < x2. 令, 在x1, x2上使用柯西定理. 在(x1, x2)內(nèi)至少存在一個(gè)x, 滿足 立即可得 .十. 設(shè)f(x), g(x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且f(a) = f(b) = 0, g(x) ¹ 0, 試證: 至少存在一個(gè)x &#