第4章隨機變量的數(shù)字特征第1節(jié)第2節(jié)綜合講練

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第4章 隨機變量的數(shù)字特征 第1節(jié) 數(shù)學期望 第2節(jié) 方差 綜合講練l 要覽題型一 隨機變量的數(shù)學期望與方差l 提示熟記有關定義、性質(zhì)、常用結論l 辨析設離散型隨機變量的概率分布為 （ 或 ）連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為 （ ）1、隨機變量的數(shù)學期望的定義 P87定義1、P88定義2隨機變量的數(shù)學期望（均值） Mathematical Expectation ( Mean Value )假設 級數(shù)收斂 （即） 積分收斂 （即）l 典型模式表示連續(xù)型隨機變量在點處長度為的區(qū)間內(nèi)取值的概率l 歸納隨機變量的數(shù)學期望（均值）表示隨機變量取值的平均值（實測值）的穩(wěn)定值，是一個理論值

2、（期望值）2、隨機變量的方差、標準差的定義 P94定義1（1）隨機變量的方差（Variance） 隨機變量的離差平方的數(shù)學期望（均值）l 假設隨機變量的數(shù)學期望存在，且，l 典型模式表示連續(xù)型隨機變量在點處長度為的區(qū)間內(nèi)取值的概率（2）隨機變量的標準差（或均方差）Standard Variance稱為隨機變量的標準差（或均方差），即3、隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望(1) 一維隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望（均值） P89定理1l 假設，l 注意隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望（均值）即為隨機變量的數(shù)學期望（均值）l 典型模式離散求和連續(xù)累加注: (i)定理的重要性在于:求時, 不必知道的分布, 只需知道的分布即

3、可. 這給求隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望帶來很大方便.(2) 二維隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望（均值） P89定理2設二維離散型隨機變量的聯(lián)合概率分布為 （ ）二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 （ ）則定義，二維隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望（均值）l 假設，l 注意二維隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望（均值）即為隨機變量的數(shù)學期望（均值）4、數(shù)學期望與方差的性質(zhì)設、為隨機變量，、為常數(shù)，由定義可證（1） 如果（又稱服從退化分布），則又記為 （常數(shù)的數(shù)學期望為其本身） （常數(shù)的方差為零）（2）如果，均存在，則 （常數(shù)因子可以從數(shù)學期望記號中提出） （常數(shù)因子從方差記號中提出后變?yōu)槠椒剑?） 如果，均存在，則

4、（4） 對任一隨機變量，如果，均存在，則的標準化隨機變量滿足（5） 如果，均存在，則 （為正整數(shù)）（6）如果隨機變量、相互獨立（即，對任意實數(shù)，有 ） ，且，均存在，則 （乘積的數(shù)學期望等于數(shù)學期望的乘積） （和的方差等于方差的和）如果隨機變量（為正整數(shù)）相互獨立，則（7）如果、均存在，則 （方差的簡算公式）其中，（ 設離散型隨機變量的概率分布為 （ 或 ）連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為（ ） ）（8）切比雪夫不等式設隨機變量的數(shù)學期望 ，方差均存在，則對任一正數(shù)，有或（9）柯西-施瓦茲（）不等式如果、均存在，則存在，且5、常用結論（常見離散型隨機變量的數(shù)學期望、方差）參見第2章第2,3,4節(jié)

5、 - 常見隨機變量的概率分布數(shù)字特征典型模式表【引例】觀察一名射手20次射擊的成績?nèi)缦拢喝藗兂３Ｊ褂谩捌骄邪协h(huán)數(shù)” （記為）來對射手進行綜合評價，易求出 即，“平均中靶環(huán)數(shù)”為 （ 次試驗中，中靶環(huán)數(shù)的頻率為 ）當試驗次數(shù)充分大時，中靶環(huán)數(shù)的頻率將趨于一個穩(wěn)定值- 中靶環(huán)數(shù)的概率： （）故當試驗次數(shù)充分大時，“平均中靶環(huán)數(shù)” 將趨于一個穩(wěn)定值- （ 稱為中靶環(huán)數(shù)的數(shù)學期望）l 歸納離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義【§4.1例1】【辨析】利用隨機變量的數(shù)學期望的定義【§4.1例2】【辨析】利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義【§4.1例3】（第2版課件補充）【辨析】利

6、用隨機變量的數(shù)學期望的定義【§4.1例4】（教材P88例3）【辨析】利用隨機變量的數(shù)學期望的定義【§4.1例5】（教材P88例4）【辨析】利用隨機變量的數(shù)學期望的定義【§4.1例6】（第2版課件補充）【辨析】利用密度函數(shù)的性質(zhì)、隨機變量的數(shù)學期望的定義【§4.1例7】（第2版課件補充）【辨析】利用隨機變量的數(shù)學期望的定義【§4.1例8】（教材P90例5）【辨析】利用隨機變量的數(shù)學期望的定義、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的定義二維隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望（均值）【§4.1例9】（教材P90例6）【辨析】利用隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的定義二維隨機

7、變量的函數(shù)的數(shù)學期望（均值）【§4.1例10】（第2版課件補充）【辨析】利用隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的定義【§4.1例11】（教材P90例7）【辨析】利用隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的定義二維隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望（均值）【§4.1例12】（第2版課件補充）【辨析】利用數(shù)學期望的性質(zhì)（5）如果，均存在，則 （為正整數(shù)）（7）如果、均存在，則 （方差的簡算公式）其中，（ 設離散型隨機變量的概率分布為 （ 或 ）連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為（ ） ）【§4.1例13】（第2版課件補充）【辨析】利用數(shù)學期望的定義、性質(zhì)（5）如果，均存在，則 （為正整數(shù)）【

8、7;4.1例14】（教材P92例8）【辨析】利用數(shù)學期望的定義、性質(zhì)【§4.1課堂練習1】【§4.1課堂練習2】【§4.1課堂練習3】【習題4-1 EX1】【習題4-1 EX2】【習題4-1 EX3】【習題4-1 EX4】【習題4-1 EX5】【習題4-1 EX6】【習題4-1 EX7】【習題4-1 EX8】【習題4-1 EX9】【習題4-1 EX10】【習題4-1 EX11】【§4.2 例1】(第2版課件補充)【辨析】利用隨機變量的數(shù)學期望、方差的性質(zhì)（5） 如果，均存在，則 （為正整數(shù)）（6）如果隨機變量、相互獨立（即，對任意實數(shù)，有 ） ，且，均存

9、在，則 （乘積的數(shù)學期望等于數(shù)學期望的乘積） （和的方差等于方差的和）如果隨機變量（為正整數(shù)）相互獨立，則（7）如果、均存在，則 （方差的簡算公式）其中，（ 設離散型隨機變量的概率分布為 （ 或 ）連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為（ ） ）【§4.2 例2】（教材P94例1）【辨析】利用隨機變量的數(shù)學期望、方差的定義、性質(zhì)（7）如果、均存在，則 （方差的簡算公式）其中，（ 設離散型隨機變量的概率分布為 （ 或 ）連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為（ ） ）【§4.2 例3】（教材P95例2）【辨析】利用隨機變量的數(shù)學期望、方差的定義、性質(zhì)【§4.2 例4】（教材P96例

10、3）【辨析】利用隨機變量的數(shù)學期望、方差的定義、性質(zhì)【§4.2 例5】（教材P96例4）【辨析】利用隨機變量的數(shù)學期望、方差的定義、性質(zhì)【§4.2 例6】（第2版課件補充）【§4.2 例7】（教材P96例5）【辨析】利用隨機變量的數(shù)學期望、方差的定義、性質(zhì)【§4.2 例8】（教材P97例6）【辨析】利用隨機變量的數(shù)學期望、方差的定義、性質(zhì)【§4.2 例9】（教材P98例7）【辨析】利用隨機變量的數(shù)學期望、方差的定義、性質(zhì)【§4.2 例10】（教材P98例8）【辨析】利用隨機變量的數(shù)學期望、方差的定義、性質(zhì)【§4.2 例11】（第2版課件補充）【辨析】利用隨機變量的數(shù)學期望、方差的定義、性質(zhì)【§4.2 例12】（第2版課件補充）【辨析】利用隨機變量的數(shù)學期望、方差的定義、性質(zhì)【§4.2 課堂練習1】【§4.2 課堂練習2】【習題4-2 EX1】【習題4-2 EX2】【習題4-2 EX3】【習題4-2 EX4】【習題4-2 EX5】【習題4-2 EX6】【習題4-2 EX7】【總習題四 EX1】【總習題四 EX2】【總習題四 EX3】【總習題四 EX4】【總習題四 EX5】【總習題四 EX6】【總習題四 EX7】【總習