高考全國Ⅱ理科數(shù)學(xué)試題及答案word解析版

1、2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國II）數(shù)學(xué)（理科）第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（1）【2013年全國，理1，5分】已知集合，則（ ）（A）（B） （C） （D）【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，故選A（2）【2013年全國，理2，5分】設(shè)復(fù)數(shù)滿足則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，故選A（3）【2013年全國，理3，5分】等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，若，則由，得，此時(shí)，而，不滿足題意，因此時(shí)，整理得，即，故選C（4）【2013年全國，

2、理4，5分】已知，為異面直線，平面，平面，直線滿足，則（ ）（A）且 （B）且（C）與相交，且交線垂直于 （D）與相交，且交線平行于【答案】D【解析】因?yàn)?，所以同理可得又因?yàn)?，為異面直線，所以與相交，且平行于它們的交線，故選D（5）【2013年全國，理5，5分】已知的展開式中的系數(shù)是5，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】因?yàn)榈亩?xiàng)展開式的通項(xiàng)為，則含的項(xiàng)為，所以，故選D（6）【2013年全國，理6，5分】執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由程序框圖知，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，增加1變?yōu)?1，滿足

3、，輸出，所以B正確，故選D（7）【2013年全國，理7，5分】一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是，畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以平面為投影面，則得到的正視圖可以為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】如圖所示，該四面體在空間直角坐標(biāo)系的圖像為下圖：則它在平面上的投影即正視圖為A圖形，故選A（8）【2013年全國，理8，5分】設(shè)，則（ ）（A） （B）（C）（D）【答案】D【解析】根據(jù)公式變形，因?yàn)?，所以，即，故選D（9）【2013年全國，理9，5分】已知，滿足約束條件，若的最小值是1，則（ ）（A） （B）（C）1（D）2【答案】B【解析】由題意作出所表示的區(qū)域如

4、圖陰影部分所示，作直線，因?yàn)橹本€與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合題意知直線過點(diǎn)，代入得，故選B（10）【2013年全國，理10，5分】已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ） （A）， （B）函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形（C）若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間單調(diào)遞減（D）若是的極值點(diǎn)，則【答案】C【解析】若則有，所以A正確由得，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱中心為，所以的對(duì)稱中心為，所以B正確由三次函數(shù)的圖象可知，若是的極小值點(diǎn)，則極大值點(diǎn)在的左側(cè)，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減是錯(cuò)誤的，D正確，故選C（11）【2013年全國，理11，5分】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若以為直徑的圓過點(diǎn)，則的方程為（ ）（A）或（B）或（C）或（D）或【答案】

5、C【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線的定義，得，則又點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以以為直徑的圓的方程為將，代入得，即，所以由，得，解之得，或所以的方程為或，故選C（12）【2013年全國，理12，5分】已知，直線將分割為面積相等的兩部分，則的取值范圍是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分第（13）題第（21）題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第（22）題第（24）題為選考題，考生根據(jù)要求作答二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上（13）【2013年全國，理13，5分】已知正方形的邊長為，為的中點(diǎn)，則_【答案】2【解析】解法一：在正方形中，,所

6、以解法二：以所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以（14）【2013年全國，理14，5分】從個(gè)正整數(shù)，中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若其和為的概率是，則_【答案】8【解析】從1,2，n中任取兩個(gè)不同的數(shù)共有種取法，兩數(shù)之和為5的有，2種，所以，即，解得（15）【2013年全國，理15，5分】設(shè)為第二象限角，若，則_【答案】【解析】由，得，即將其代入，得因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以，?6）【2013年全國，理16，5分】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則的最小值為_【答案】【解析】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，聯(lián)立，得，所以令，則，令，

7、得或當(dāng)時(shí)，,時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，而，則，所以當(dāng)時(shí)，取最小值三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟（17）【2013年全國，理17，12分】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為已知（1）求；（2）若，求的面積的最大值解：（1）由已知及正弦定理得又，故由，和得，又，所以（2）的面積由已知及余弦定理得又，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立因此面積的最大值為（18）【2013年全國，理18，12分】如圖，直三棱柱中，分別是，的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值解：（1）連結(jié)交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)又是中點(diǎn)，連結(jié)，則因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?）由得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)

8、，則，設(shè)是平面的法向量，則即，可取同理，設(shè)是平面A1CE的法向量，則可取從而，故即二面角的正弦值為（19）【2013年全國，理19，12分】經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品以(單位：，)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤（1）將表示為的函數(shù)；（2）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤不少于57000元的概率；（3）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，并以需

9、求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量，則取，且的概率等于需求量落入的頻率)，求T的數(shù)學(xué)期望解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以（2）由（1）知利潤不少于元當(dāng)且僅當(dāng)由直方圖知需求量的頻率為，所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤不少于元的概率的估計(jì)值為（3）依題意可得T的分布列為T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以（20）【2013年全國，理20，12分】平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓M：()右焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且的斜率為（1）求的方程；（2），為上兩點(diǎn)，若四邊形的對(duì)角線，求四邊形面積的最大值解：（1）設(shè)，則，由此可得因?yàn)椋杂钟深}意知，的右

10、焦點(diǎn)為，故因此，所以的方程為（2）由，解得或，因此由題意可設(shè)直線的方程為：，設(shè)，由得于是因?yàn)橹本€的斜率為1，所以由已知，四邊形的面積當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為所以四邊形面積的最大值為（21）【2013年全國，理21，12分】已知函數(shù)（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求并討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明解：（1）由是的極值點(diǎn)得，所以于是，定義域?yàn)?，函?shù)在單調(diào)遞增，且因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）當(dāng)，時(shí)，故只需證明當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增又，故在有唯一實(shí)根，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，從而當(dāng)時(shí)，取得最小值由得，故綜上，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目如

11、果多做，則按所做第一個(gè)題目計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)（22）【2013年全國，理22，10分】（選修4-1：幾何證明選講）如圖，為外接圓的切線，的延長線交直線于點(diǎn)，分別為弦與弦上的點(diǎn)，且，四點(diǎn)共圓（1）證明：是外接圓的直徑；（2）若，求過，四點(diǎn)的圓的面積與外接圓面積的比值解：（1）因?yàn)闉橥饨訄A的切線，所以，由題設(shè)知，故，所以因?yàn)椋狞c(diǎn)共圓，所以，故所以，因此是外接圓的直徑（2）連結(jié)，因?yàn)?，所以過，四點(diǎn)的圓的直徑為，由，有，又，所以而，故過，四點(diǎn)的圓的面積與外接圓面積的比值為（23）【2013年全國，理23，10分】（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知?jiǎng)狱c(diǎn)都在曲線（為參數(shù)）上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為與（），為的中點(diǎn)（1