2020年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳細(xì)解析

1、2020年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳細(xì)解析、選擇題(每小題6分，共36分)1. (2020年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)刪去正整數(shù)數(shù)列1, 2, 3,中的所有完全平方數(shù),得到一個(gè)新數(shù)列.這個(gè)數(shù)列的第2020項(xiàng)是(A) 2046(B) 2047(C) 2048(D) 20492 .設(shè)a, bCR, abw0,那么直線 ax y+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是3.過(guò)拋物線y2=8(x+2)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線，若此直線與拋物線交于 A B 兩點(diǎn)，弦AB的中垂線與x軸交于點(diǎn)P,則線段PF的長(zhǎng)等于(C) N (D) 8V3則 y=tan( x+g ) tan( x+6 )+cos(

2、x+6 )的最大值是1111126 ：2(C)6 J'3(D)5 ,；3(A) 136(B)33 34 .若 xC 一3,-, 123(A)15/2(B)6.已知工尸辭在區(qū)間(一2, 2)內(nèi)，且刀一 1,則演嚀的最小值i4工yf.、林,、 12,、 12(A> -(B) (C) :(D)011I56-在四而體加中，沒(méi)出1,麗底 直線愈與。的距離為幺夾角為$則四面 砧3?的體積等于(a>亭 ；(C)； m當(dāng)Z£UV二.填空題(每小題9分，共54分) 327.不等式|x| 2x4|x|+3<0的解集是.228 .設(shè)F1、F2是橢圓 W 的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)

3、，且| PF| ： |PF2|=2 ： 1,則49 4PF桎的面積等于. 29 .已知 A=x| x -4x+3<0, xCR, B=x|21 x+a<0, x2-2(a+7)x+5<0, xC R 若A B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .35 .一10 .已知 a, b,c,d 均為正整數(shù)，且 log ab=2,log cd=4"，右 ac=9,則 b d=11 .將八個(gè)半徑都為 1的球分放兩層放置在一個(gè).圓柱內(nèi)，并使得每個(gè)球都和其相鄰的四個(gè)球相切，且與圓柱的一個(gè)底面及側(cè)面都相切，則此圓柱的高等于 .12 .設(shè) M=（十進(jìn)制“位純小數(shù) 0. -aia2 - an | a

4、 只取 0或 1（i= 1, 2,，n- 1） , an=1,S1Tn是M中兀素的個(gè)數(shù)，S是M中所有兀素的和，則nlim>oT=-三、（本題St分20分）13-設(shè)證明不等式四、（本露分鑿分）14.設(shè)4雙T分期是薪 名=統(tǒng),名（其中盤(pán)西右都是募）對(duì)應(yīng)的不共線的三點(diǎn).證明= 螃Z-ZjCqs* 1+2Z cos' TsiiT rtSsin" f（氏 R）與說(shuō)中平行于和的中位弱只有fa典點(diǎn)，并求出此懸五、（本題滿(mǎn)分20分）15 . 一張紙上畫(huà)有一個(gè)半徑為 R的圓O和圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn) A,且OA=a折疊紙片，使圓周 上某一點(diǎn)A剛好與點(diǎn)A重合.這樣的每一種折法，都留下一條折痕.當(dāng)A取

5、遍圓周上所有點(diǎn) 時(shí)，求所有折痕所在直線上點(diǎn)的集合.加試題（10 月 12 日上午 10:00 12:00）一、（本題50分）過(guò)圓外一點(diǎn)P作圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為 A B,所作割線交圓于 C D兩點(diǎn), C在P、D之間.在弦 CD上取一點(diǎn) Q 使/ DAQ= PBC求證：/ DBQ = PAC二、（本題50分）設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是正整數(shù)l , mi n.且l>m>n>0.lmn已知13r = 13T =白，其中x=x x,而x表示不超過(guò)x的最大整數(shù).求這種三角形周長(zhǎng)的最小值.三、（本題50分）1O由n個(gè)點(diǎn)和這些點(diǎn)之間的l條連線段組成一個(gè)空間圖形， 其中n=q2+q+1,

6、l >-q（q+1）2+1,q>2,qCN.已知此圖中任四點(diǎn)不共面， 每點(diǎn)至少有一條連線段， 存在一點(diǎn)至少有 q+2條連 線段.證明：圖中必存在一個(gè)空間四邊形 （即由四點(diǎn) A B、C D和四條連線段 AB BC CD DA組成的圖形）.2020年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試、選擇題(每小題6分，共36分)1 .刪去正整數(shù)數(shù)列的第2020項(xiàng)是(A) 2046(B)【答案】C2【解析】45 =20251, 2, 3,中的所有完全平方數(shù)，得到一個(gè)新數(shù)列.這個(gè)數(shù)列2047(C) 2048(D) 2049,462=2116.在1至2025之間有完全平方數(shù) 45個(gè)，而2026至2115之間沒(méi)有完

7、全平方數(shù).故 1至 2025 中共有新數(shù)列中的 2025 45=1980 項(xiàng).還缺 2020 1980=23 項(xiàng).由 2025+23=2048.知 選C.2 ,設(shè) a叱0,那么直盆,)K)和Ax+ar-at的圖形是A【答案】H【解析】曲程石程莊4a直練方程為尸皿也 a b由直續(xù)圖物可知A4中的 金圖的95。圖的與從心中由愜為橢圓矛盾.由直線圖璐，可知反刀中的 的，出，則聯(lián)為篋點(diǎn)在輒L的雙故選也3.過(guò)拋物線y2=8(x+2)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線，若此直線與拋物線交于兩點(diǎn)，弦AB的中垂線與16(A)萬(wàn)(B)口 【答案】Ax軸交于點(diǎn)P,則線段PF的長(zhǎng)等于(D) 8383(C)【解

8、析】馳物線的焦點(diǎn)為原點(diǎn)(0,0),弦AB所在直線方程為y=/3x,弦的中點(diǎn)在P 4y=k=-3上，即AB中點(diǎn)為(：，孑)，中垂線方程為y=坐(x 3+午，令y=0,得點(diǎn)P的坐標(biāo)為16. 33333316 PF3選A.4.若 xC 12，-,貝U y=tan( x+J) tan( x+7)+cos( x+)的最大值是 3366（A） 舞 161v2© 畀（d）152V31答案】C【解析】令 x+=u,貝U x+=u+當(dāng) xC 一不時(shí)，uC -, 63212346y二一（cot u+tan u）+cos u= -N+cosu.在 uC一:，一引 時(shí)，sin2 u 與 cos u 都單調(diào)遞

9、 sin2 u46增，從而y單調(diào)遞增.于是u=- 6時(shí)，y取得最大值 白3,故選C.5,已知工，下都在區(qū)間（一次2【管家】D工解析】由h2, 2）4 Pd廿一4廿一一,一 1一ft/用？,一4一當(dāng)上（一2, 一）ug，2）時(shí)，. IU£!成立）.此時(shí)函敷的最小值為藝，瓶)內(nèi)，且 J3L1,u=-t一斑墨4啃是4-t 9-_p(C)午(D)蓑r_y1 知.(2U2),35立-4：37- x'T4)，喇，9。亭12昌且砥 f 爭(zhēng)轉(zhuǎn)16.在四面俸他中索腦曲的體見(jiàn)1等于【答案】B【喃】如圖，m租 N xJgX siir X 2-3.>設(shè)止1,亦與 直線即與5的距離為石夾角巷，則

10、四面.、1,、1，、他© -CD） -,4面體*卜成平行六面則此平行六面體團(tuán)體 /：/ . ; / - -! ；=/而四面體3的體用乂平行六面體體積 Kr"V5寺故選員.填空題（每小題9分，共54分）7.不等式|x| 32x24|x|+3<0的解集是 m-1x/5-1【答案】（3, "2 ）U（ 2 ，3）.【解析】即 | x|3- 2| x| 2- 4| x|+3<0 ,（| x| ：bqc3川 x| 一巧T)(| x|+2+1)<0 .| x|<鄧+1 T小T 一。2，或 2<1 x|<3 解為（一3,一咚）U （嗎，3）.

11、8.設(shè)區(qū)芭是推疇4口的兩個(gè)塞點(diǎn)，子是橢國(guó)上一息 且|呼I ： |芽|W：L WJA 麼具的面槐等于-【答案】4【解析】五（一弱，。）,五（京，O）i出再|(zhì)小限I庭"際I名=|法|至 庇In由于手吆=1偵尸.故取法是直角三角形立 瓜 /. 54.29.已知 A=x| x 4x+3<0, xCR,B=x|21 x+a<0, x2-2（a+7）x+5<0, xC R若A B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .【答案】一4w aw 1.【解析】A=（1 , 3）;又，aw 21 xC( 1, 4),當(dāng) xC (1 , 3)時(shí)，a>x2+5 -7 h/5-7, 4).35 .一1

12、0 .已知 a, b,c,d均為正整數(shù)，且 log ab=2,log cd=4，右 ac=9,則 b d=【答案】93【解析】 a3=b2, c5=d4,設(shè) a=x2, b=x ; c=y： d=y5, x2y4=9. (x+y2)( x y2) =9.x+y2=9, x-y2=1, x=5, y2=4. bd=5325=125 32=9.3.11 .將八個(gè)半徑都為1的球分放兩層放置在一個(gè)圓柱內(nèi)，并使得每 個(gè)球都和其相鄰的四個(gè)球相切，且與圓柱的一個(gè)底面及側(cè)面都相切，則 此圓柱的高等于.【答案】2+靛【解析】如圖，ABCD是下層四個(gè)球的球心， EFGH是上層的四個(gè)球 心.每個(gè)球心與其相切的球的球

13、心距離 =2. EFGH&平面ABCDk的射影 是一個(gè)正方形.是把正方形 ABC虛其中心、旋轉(zhuǎn)45而得.設(shè)E的射影為 N,則MN=/2-1 , EM=3,故 eN=3(421)2=2/.EN=4/8.所求圓柱的高 =2+78.12 .設(shè) M=(十進(jìn)制)n 位純小數(shù) 0. aaan | a 只取 0 或 1( i= 1, 2, , n- 1) , an=1,s丁是m中兀素的個(gè)數(shù)，&是m中所有兀素的和，則nimT=18【解析】由于ai, &,，an1中的每一個(gè)都可以取 0與1兩個(gè)數(shù)，Tn=2n 13 1.在每一位(從第一位到第n-1位)小數(shù)上，數(shù)字0與1各出現(xiàn)2n一與AC平

14、仃的中位線經(jīng)過(guò) M4，2(a+b)及N(4，2(b+c)兩點(diǎn)，其方程為次.第n位則1出現(xiàn) 2n一次.&=2n 2 0.11 1+2n 2 10 n.$ 1 1 1 lim = = n Tn 2 9 18三I C本題滿(mǎn)分如分)13 .設(shè):K5,證明不等式3Lr<2 代.t 好析】Z13>0, 153x0-二五WMl由平均不等六：-St.: 2J15ar=Vrn+'jj+i+Jax- 3-15 arf 2/14+j.但2而匚在時(shí)單調(diào)噌.即2/n匚4入/i石缶同. £故證.四、(本題滿(mǎn)分20分) ，-_ 1-，14.設(shè)A、B、C分別是復(fù)數(shù)Z0=ai,Z1=2+b

15、i,Z2=1+ci(其中a,b, c都是實(shí)數(shù))對(duì)應(yīng)的不共線的三點(diǎn).證明：曲線Z=Zcos4t +2Z1Cos2t sin 2t +Z2sin 4t( t C R)與ABCf平彳r于AC的中位線只有一個(gè)公共點(diǎn)，并求出此點(diǎn).【解 析】 曲 線 方 程 為：Z=acos 4t +(1+2 bi)cos 2t sin 2t +r (1 + ci)sin 4t= (cos 2t sin 2t +sin 4t )+i( acos4t +2bcos2t sin 2t +cs .4 in t)x=cos2t sin 2t +sin 4t= sin 2t (cos 2t +sin 2t) =sin 2t . (

16、0wxw1)y=acos4t +2bcos2t sin 2t +csin 4t=a (1 x) 2+2b(1 x) x+cx2即 y=( a - 2b+c) x2+2( b - a) x+a (0 <x< 1).若a-2b+c=0,則Z。、Z1、Z2三點(diǎn)共線，與已知矛盾，故a-2b+c 0.于是此曲線為軸與x軸垂直的拋物線.1 1. .3 1AB中點(diǎn) M 4+2(a+b)i , BC中點(diǎn) N： +2( b+c)i .134( ac) x+4y 3a 2b+c=0. qw xw/.令 4( a - 2b+c) x2+8( b-a)x+4a=4( c- a)x+3a+2b-c.即 4(

17、a2b+c)x2+4(2bac)x+a2b+c=0.由 a 2b+c 0,得 4x2+4x+1=0,13 1此萬(wàn)程在:，-內(nèi)有惟一解：x=4 42以 x=2弋入得，y=4(a+2b+c).1 11所求公共點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 4( a+2b+c).五、（本題滿(mǎn)分20分）is- -OLL畫(huà)有f 半徑為鬣的園）和廓i定點(diǎn)&且 竹外析璉片，隹房 周上某一點(diǎn)/剛好與點(diǎn)/重合.這樣的每一種折法,都屆下TfflT當(dāng)，甲蛔周上月 有點(diǎn)時(shí)，聿所有折痕所在直堆上點(diǎn)的集合.匕,M?析】對(duì)于0上任意一點(diǎn)一,連m 作姐的垂直平分線JK 連04.交期于點(diǎn)P.顯然研由于點(diǎn)在O源.故麗將5從 而當(dāng)點(diǎn)/取追圓周上所有點(diǎn)時(shí),

18、怠了的軌跡是以隊(duì)A為患點(diǎn)，QA=a 為建距，出於為長(zhǎng)軸的幅 £國(guó)C外.耳斷痕上所有的點(diǎn)都在崛 下上及C外.而加上任一異干尸的點(diǎn)0都有e5ys癡 在幡反之，對(duì)于橢圓r上斜卜的一點(diǎn)5以金大圓環(huán) 以為半徑作圓 交于，則£在"的垂直平分煲上，從而£在某條折杠最后證明所作®，與。勢(shì)相交.1口當(dāng)r在日白夕陽(yáng)，由于/在。?內(nèi)，故。5與0#超相交：2*當(dāng)5在。枇（例如在白內(nèi).但在幅 C外或其上的應(yīng)4L取過(guò)4的半徑破則由點(diǎn)5f在幅。外.故匯十6后W楠圓的長(zhǎng)軸）.即£后包千是1?在即 S*與門(mén)必有交煮.于是上述證明成立.綜上可知，折痛I的點(diǎn)的集合為幅。上

19、及。外的所有點(diǎn)的集合.加試題(10 月 12 日上午 10:00 12:00)一、（本題50分）過(guò)圓外一點(diǎn)P作圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為 A B,所作割線交圓于 C D兩點(diǎn)，C在P、D之間.在弦 CD上取一點(diǎn) Q 使/ DAQ= PBC求證：/ DBQg PAC分析：由 / PBC=CDB 若 / DBQg PACN ADQ 貝U BDa DAQ 反之，若 BDQ DAQ 則本題成立.而要證BDQ DAQ只要證 需票口可.D Q【解析】證明：連題同理,AD PDACPjfAABCAABQ._ SC DQ .通 3/.證畢.二、(本題50分)設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是正整數(shù)l , mi n.且l

20、>的n>0.lmn已知13r = 13T = 13，其中x=x x,而x表示不超過(guò)x的最大整數(shù).求這種三角 形周長(zhǎng)的最小值.lmn【解析】當(dāng)3l、3m、3n的末四位數(shù)字相同時(shí)，磊= = 2 .即求滿(mǎn)足 3l 3m三 3n( mod IOJI、m n. . 3(3ln1)三 0 (mod 10 4). (ln>0) 但(3 n, 104)=1,故必有 31n三 1(mod 10 4);同理 3出n三 1(mod 104).下面先求滿(mǎn)足 3x= 1(mod 104)的最小正整數(shù) x.(10 4)=104 c 八(n-1)( q+1)+2-b0-n+1( n1)( q+1)+2 b

21、°2n+2 4=4000.故 x|4000 .用 4000 的約數(shù)試驗(yàn)：、，2 5x=1, 2,時(shí) 3x爭(zhēng) 1(mod 10),而 34= 1(mod 10) ,x 必須是 4 的倍數(shù)；x=4, 8, 12, 16 時(shí) 3x $ 1(mod 10 2),而 320三 1(mod 10 2),，x 必須是 20 的倍數(shù)； x=20, 40, 60, 80 時(shí) 3x差 1(mod 10 3),而 3100三 1(mod 10 3) ,. x 必須是 100 的倍 數(shù)；x=100, 200, 300, 400 時(shí) 3x$ 1(mod 104),而 3500三 1(mod 10 4).即，使

22、3x= 1(mod 10 4)成立的最小正整數(shù) x=500,從而l n、m- n都是500的倍數(shù)，設(shè) l n=500k, m- n=500h, (k, hCN*, k>h).由 m+n>l ,即 n+500h+n>n+500k,n>500(kh) >500,故 n>501.取n=501, m=iooi, 1= 1501,即為滿(mǎn)足題意的最小三個(gè)值.所求周長(zhǎng)的最小值=3003.三、（本題50分）1O由n個(gè)點(diǎn)和這些點(diǎn)之間的1條連線段組成一個(gè)仝間圖形，其中n=q+q+1,1 >/q（q+1） +1,q>2,qCN.已知此圖中任四點(diǎn)不共面， 每點(diǎn)至少有一條

23、連線段， 存在一點(diǎn)至少有 q+2條連 線段.證明：圖中必存在一個(gè)空間四邊形 （即由四點(diǎn)A、B、C D和四條連線段 AR BC CD DA組成的圖形）.【解析】證明：設(shè)點(diǎn)集為仁此兒，與建連桀的點(diǎn)巢為心且I歷|=應(yīng)一于n-1是14人又顯然有Z的彳W廬口 1）二+2.若存在一點(diǎn)與其余點(diǎn)都連續(xù)，不妨役 后bl-則及卬Ji1個(gè)點(diǎn)的隹線數(shù)了一品未加（。1）計(jì)1tn1）（注意1 4（才1）=3+產(chǎn)g4-1） Ur1）tnl）41=3三GtU豈于 g Cel1）+L （由 02）但若蒞區(qū)L1個(gè)點(diǎn)內(nèi)，沒(méi)有點(diǎn)同時(shí)與其余兩點(diǎn)連線，則這L1個(gè)點(diǎn)內(nèi)至多連線F1r& 故在B中存在:煮與兩點(diǎn)A.- & （最

24、jk J圖1不相且1WE J9蛇建了線，T是M通、同連成四邊形-現(xiàn)設(shè)任一點(diǎn)連的線數(shù)w n-2.且設(shè)bc=q+2<n-2.且設(shè)圖中沒(méi)有四邊形.于是當(dāng) i wj時(shí)，B與B沒(méi)有公共的點(diǎn)對(duì)，即|BnB|W1（0wi , j <n- 1）,記B = V B,則由|BnR|W1,得| B n R| >bi 1（i = 1, 2,，n1）,且當(dāng) 1W i , j w n 1 且 i Wj 時(shí)，B n R與 Bj n B0無(wú)公共點(diǎn)對(duì).從而一n- 1 一B0中點(diǎn)對(duì)個(gè)數(shù)E （Bn B0中點(diǎn)對(duì)個(gè)數(shù)）.即i = 1Qn-1Cn b- i=C2 rB n B|n-1 n卷 1cbi-11n 111 n

25、-1n-1$1(b2-3bi+2)為Kw3檢1bi+2( 由平均不等式)11212=2(2 1 - be) 2-3(2 1 -bc)+2( n-1) =2(n_1) (2 1 - be)1 2( n 1)-3(n-1)(2 1 bc)+2( n- 1)21.2=.n 仆(21 -b0-n+1)(2 1 -b0-2n+2)(2 1 > q( q+1) +2=(n1)( q+1)+2) 2( n i)2( n-1)( n-1)q+2-bo(n 1)( q1)+2 bo.(兩邊同乘以2(n 1)即(n-1)( n- bo)( n- bo- 1) >(nq-q+2- bo)( nq-q- n+3-bo). (n1 nq(q+1)代入) 得q( q+1)( nbo)( n bo1) n (nq q+2-bo)( nq-q-n+3-bo).(各取一部分因數(shù)比較)但(nq q- n+3- bo) - q(n- bo- 1) = (q- 1) bo- n+3(bo> q+2) >(q- 1)( q+2) n+3 = q2+q+1 n= C).( nq q+2 )一 (q+1)( n