夷陵中學(xué)培優(yōu)資料-不等式綜合問(wèn)題

1、夷陵中學(xué)培優(yōu)資料 不等式綜合問(wèn)題高考要求 1熟練運(yùn)用不等式的知識(shí)綜合解決函數(shù)、方程等中的有關(guān)問(wèn)題2在掌握一次函數(shù)單調(diào)性、二次函數(shù)的最值以及在定區(qū)間上的最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)變量的轉(zhuǎn)換，掌握：恒正、恒負(fù)、解集為R、解集為空集的實(shí)際含義并且會(huì)轉(zhuǎn)化3掌握 “兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于他們的幾何平均數(shù)”，并能運(yùn)用此定理解決一些問(wèn)題4能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，尋找出該數(shù)學(xué)模型中已知量與未知量，建立數(shù)學(xué)關(guān)系式，并用適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題5通過(guò)不等式的基本知識(shí)、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等各部分知識(shí)中的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)知識(shí)間的融匯貫通，從而提高分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力在應(yīng)用不等式的基本知識(shí)、方法

2、、思想解決問(wèn)題的過(guò)程中，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識(shí)題型講解 例1 某電腦用戶計(jì)劃使用不超過(guò)450元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為60元，70元的單元軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要，軟件至少要買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購(gòu)方式有（ ）A5種 B 6種 C 7種 D 8種解:設(shè)購(gòu)買軟件片, 且,磁盤盤, 且,則,即當(dāng)=3時(shí), =2, 或=3 ; 當(dāng)=4時(shí), =2, 或=3 ; 當(dāng)=5時(shí), =2綜上述，共有5種不同的選購(gòu)方式，故選A例2 已知，求的范圍分析：先利用解含絕對(duì)值的不等式的方法及積（商）的符號(hào)法則解不等式求出A和B，再利用數(shù)軸表示出A和B，得到時(shí)應(yīng)滿足的條件，從而求出的范圍解： 由：例3 已知某種商

3、品的定價(jià)上漲成（1成即為，成即為），其銷售量便相應(yīng)減少成，按規(guī)定，稅金是從銷售額中按一定的比例繳納，如果這種商品的定價(jià)無(wú)論如何變化，從銷售額中扣除稅金后的金額總比漲價(jià)前的銷售額少，試求這時(shí)稅率的取值范圍(精確到01% )注:本小題考查建立函數(shù)關(guān)系式,解不等式的知識(shí),數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),建模能力和解決問(wèn)題的能力解：設(shè)原定價(jià)為元/件，原銷售量為件，則原銷售額為元，由已知得 式恒成立，0，解得，故111%1,即稅率的取值范圍(111%,100%)例4已知對(duì)任意q都有cos2q2msinq2m2恒小于0，求m的取值范圍解法一：設(shè)y= cos2q2msinq2m2=(sinq+m)2+m22m1 1sinq1

4、, (1)1m1 sinq=m時(shí)，y的最大值為m22m1,由m22m10,得 1m1+11 sinq=1時(shí)，y的最大值為20恒成立；(3)m1 sinq=1時(shí)，y的最大值=4m21/2與m1矛盾綜合即得：m (1,+)解法二：對(duì)任意q都有cos2q2msinq2m2恒小于0，等價(jià)于 sin2q2msinq2m10恒成立等價(jià)于2m(sinq+1) sin2q+1恒成立當(dāng)sinq=1時(shí)，顯然成立；當(dāng)1 sinq1時(shí)，2m (sin2q+1)/ (sinq+1) 恒成立 (sin2q+1)/ (sinq+1)22 2m1例6 大樓共有n層，現(xiàn)每層指派一人，共n個(gè)人集中到第k層開(kāi)會(huì) 試問(wèn)如何確定k，能

5、使各位參加會(huì)議人員上、下樓梯所走路程總和最小？（假設(shè)相鄰兩層樓梯長(zhǎng)都一樣）解：設(shè)相鄰兩層樓梯長(zhǎng)為a ，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為下列和式S的最小值的探求：S = S（k) = a 1 +2 +3 + + (k1) + a 1 +2 + + （n k ) = a k 2 (n +1) k + (n 2 + n) 目標(biāo)函數(shù)S（k)為 k的二次函數(shù)，且a 0 ，故當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，取k = ，S最小；當(dāng)為n偶數(shù)時(shí)，取k = 或 ，S最小 例7 已知三條拋物線中至少有一條與軸有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：用反證法，假設(shè)三條拋物線中沒(méi)有一條與軸有交點(diǎn)，則三條拋物線中至少一條與軸有交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為：例8 已知函數(shù)（1

6、）求證：函數(shù)上是增函數(shù) （2）若上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 （3）若函數(shù)上的值域是，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：（1）當(dāng)用定義或?qū)?shù)證明單調(diào)性均可（2）上恒成立設(shè)上恒成立可證單調(diào)增 故的取值范圍為（3）的定義域?yàn)楫?dāng)上單調(diào)增 故有兩個(gè)不相等的正根m，n，當(dāng)時(shí)，可證上是減函數(shù)綜上所述，a的取值范圍為例9設(shè)關(guān)于x的方程2x2ax2=0的兩根為、（），函數(shù)（）求f ()f ()的值；（）證明f (x)是，上的增函數(shù)；（）當(dāng)a為何值時(shí)，f (x)在區(qū)間，上的最大值與最小值之差最??？解：（）由題意知，1，22，f ()f ()（）證明：當(dāng)x時(shí)， 、是方程2x2ax2=0的兩根， 當(dāng)x時(shí)，恒有2x2ax20，0

7、，又不是常函數(shù)，是，上的增函數(shù)（）f (x)在區(qū)間，上的最大值f ()0，最小值f ()0，又| f ()f () |4，f ()f ()| f ()| f ()|當(dāng)且僅當(dāng)| f ()| f ()|2時(shí)取“”號(hào)，此時(shí)f ()2，f ()2 由（1）、（2）得 ，a0為所求小結(jié)：1把不等式作為一種工具，應(yīng)用于其他課題之中，表現(xiàn)為不等式的解法的應(yīng)用，求函數(shù)的定義域,值域，單調(diào)區(qū)間，討論函數(shù)的單調(diào)性，討論一元二次方程的實(shí)根的分布規(guī)律等2應(yīng)用不等式的知識(shí)解題的關(guān)鍵是建立不等量關(guān)系；其建立的途徑有：（1）利用幾何意義；（2）利用判別式；（3）利用變量的有界性；（4）利用函數(shù)的單調(diào)性和利用均值不等式3在應(yīng)

8、用均值不等式時(shí)，應(yīng)注意它的使用條件；有時(shí)需對(duì)式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，構(gòu)造為定理所需的形式4重要不等式的功能在于和積互化，要注意三個(gè)條件：一正、二定、三相等的檢驗(yàn)在運(yùn)用過(guò)程中，要注意創(chuàng)造特殊的環(huán)境：鞏固練習(xí) 1某工廠年產(chǎn)值第二年比第一年增長(zhǎng)百分率為p1,第三年比第二年增長(zhǎng)的百分率為p2,第四年比第三年增長(zhǎng)的百分率為p3,若p1+p2+p3=m,m為常數(shù)，則年平均增長(zhǎng)率p的最大值為( B )A B C D2如果一輛汽車每天行駛的路程比原來(lái)多19千米，那么在8天之內(nèi)它的行程就超過(guò)2200千米；如果它每天行程比原來(lái)少12千米，那么它行駛同樣的路程就得花9天多的時(shí)間，這輛汽車原來(lái)每天行程的千米數(shù)x滿足：（

9、D ）A259x260 B258x260 C257x260 D256x2603已知非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足且，則的最大值是（ ） A B C D 解：畫出圖象，由線性規(guī)劃知識(shí)可得，選D4已知命題p：函數(shù)的值域?yàn)镽，命題q：函數(shù)是減函數(shù)若p或q為真命題，p且q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）Aa1Ba2C1a2Da1或a2解：命題p為真時(shí)，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實(shí)數(shù)，故二次函數(shù)的判別式，從而；命題q為真時(shí)，若p或q為真命題，p且q為假命題，故p和q中只有一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題若p為真，q為假時(shí)，無(wú)解；若p為假，q為真時(shí)，結(jié)果為1a2，故選C5若關(guān)于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (,8);6正數(shù)x,y滿足1/x+1/y=2,求x+2y的最小值(利用(x+2y)(1/x+1/y)=3+x/y+2y/x3+2,可以得到x+2y3/2+)7 解關(guān)于的不等式分析：在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧，通過(guò)換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡(jiǎn)單的或基本不等式，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為