大學(xué)物理授課教案 第三章 動(dòng)量守恒和能量守恒定律

1、第三章 動(dòng)量守恒和能量守恒定律§1-1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理1、動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其速度的乘積稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，記為。 （3-1）說(shuō)明：是矢量，方向與相同是瞬時(shí)量是相對(duì)量坐標(biāo)和動(dòng)量是描述物體狀態(tài)的參量2、沖量牛頓第二定律原始形式由此有積分： （3-2）定義：稱為在時(shí)間內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的沖量。記為 （3-3）說(shuō)明：是矢量是過(guò)程量是力對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)的分量式 （3-4）分量式（34）可寫(xiě)成 （3-5）、是在時(shí)間內(nèi)、平均值。3、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理由上知 （3-6）結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)所受合力的沖量=質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量，稱此為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理。說(shuō)明：與同方向分量式 （3-7）過(guò)程量可用狀態(tài)量表示，使問(wèn)題

2、得到簡(jiǎn)化成立條件：慣性系動(dòng)量原理對(duì)碰撞問(wèn)題很有用二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理概念：系統(tǒng)：指一組質(zhì)點(diǎn)內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間作用力外力：系統(tǒng)外物體對(duì)系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)作用力設(shè)系統(tǒng)含個(gè)質(zhì)點(diǎn)，第個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和速度分別為、，對(duì)于第個(gè)質(zhì)點(diǎn)受合內(nèi)力為，受合外力為，由牛頓第二定律有對(duì)上式求和，有因?yàn)閮?nèi)力是一對(duì)一對(duì)的作用力與反作用力組成，故， 有 （3-8）結(jié)論：系統(tǒng)受的合外力等于系統(tǒng)動(dòng)量的變化，這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理。式（3-8）可表示如下 （3-9）即 （3-10）結(jié)論：系統(tǒng)受合外力沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量，這也是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的又一表述。例3-1：質(zhì)量為的鐵錘豎直落下，打在木樁上并停下。設(shè)打擊時(shí)間，打擊前鐵錘速率為，則在打擊木

3、樁的時(shí)間內(nèi)，鐵錘受平均和外力的大小為？解：設(shè)豎直向下為正，由動(dòng)量定理知：強(qiáng)調(diào)：動(dòng)量定理中說(shuō)的是合外力沖量=動(dòng)量增量 例3-2：一物體受合力為（SI），做直線運(yùn)動(dòng)，試問(wèn)在第二個(gè)5秒內(nèi)和第一個(gè)5秒內(nèi)物體受沖量之比及動(dòng)量增量之比各為多少？解：設(shè)物體沿+x方向運(yùn)動(dòng)，N·S（沿方向）N·S（沿方向）例3-3：如圖3-1，一彈性球，質(zhì)量為kg，速率m/s，與墻壁碰撞后跳回。設(shè)跳回時(shí)速率不變，碰撞前后的速度方向和墻的法線夾角都為°，求碰撞過(guò)程中小球受到的沖量設(shè)碰撞時(shí)間為s，求碰撞過(guò)程中小球 受到的平均沖力解：如圖3-1所取坐標(biāo)，動(dòng)量定理為方法一用分量方程解N·S方法二

4、用矢量圖解如上圖3-1所示。,故為等邊三角形。m/s,沿方向N·S，沿方向。N注意：此題按求困難（或求不出來(lái)）時(shí)，用公式求方便。§3-2動(dòng)量守恒定律由式（3-8）知，當(dāng)系統(tǒng)受合外力為零時(shí) (3-11)即系統(tǒng)動(dòng)量不隨時(shí)間變化,稱此為動(dòng)量守恒定律。說(shuō)明：動(dòng)量守恒條件：，慣性系。動(dòng)量守恒是指系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒，而不是指?jìng)€(gè)別物體的動(dòng)量守恒。內(nèi)力能改變系統(tǒng)動(dòng)能而不能改變系統(tǒng)動(dòng)量。時(shí)，若在某一方向上的分量為零，則在該方向上系統(tǒng)的動(dòng)量分量守恒。動(dòng)量守恒是指（不隨時(shí)間變化），此時(shí)要求。動(dòng)量守恒是自然界的普遍規(guī)律之一。例3-4：如圖3-2，質(zhì)量為的水銀球，豎直地落到光滑的水平桌面上，分成質(zhì)量相

5、等的三等份，沿桌面運(yùn)動(dòng)。其中兩等份的速度分別為、，大小都為0.30m/s。相互垂直地分開(kāi)，試求第三等份的速度。解：方法一用分量式法解研究對(duì)象：小球受力情況：只受向下的重力和向上的桌面施加的正壓力，即在水平方向不受力，故水平方向動(dòng)量守恒。在水平面上如圖3-2取坐標(biāo)，有方法二用矢量法解 及 即 即有圖3-3?？傻胢/s得 強(qiáng)調(diào)：要理解動(dòng)量守恒條件例3-5：如圖3-4，在光滑的水平面上，有一質(zhì)量為長(zhǎng)為的小車，車上一端有一質(zhì)量為的人，起初、均靜止，若人從車一端走到另一端時(shí)，則人和車相對(duì)地面走過(guò)的距離為多少？解：研究對(duì)象：、為系統(tǒng)此系統(tǒng)在水平方向受合外力為零，在此方向動(dòng)量守恒。方法一 （對(duì)地）即 如圖所

6、取坐標(biāo)，標(biāo)量式為即 積分（，在A處，在B處） 即 得 由圖3-4知：<方法二 標(biāo)量式：即 積分： 可知： 由、得：例3-6：質(zhì)量為的人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為的物體，此人用以與水平方向成角的速率向前跳去。當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，他將物體以相對(duì)于人為的水平速率向后拋出，問(wèn)：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少？（假設(shè)人可視為質(zhì)點(diǎn)）解：如圖3-5，設(shè)P為拋出物體后人達(dá)到的最高點(diǎn)，、分別為拋球前后跳躍的距離。研究對(duì)象：人、物體組成的系統(tǒng)， 該系統(tǒng)在水平方向上合外力=0， 在水平方向上系統(tǒng)的動(dòng)量分量守恒。設(shè)在P點(diǎn)，人拋球前、后相對(duì)地的速度分別為、，在P點(diǎn)拋球后球相對(duì)地速度為，有標(biāo)量式： 即 得： 強(qiáng)調(diào)：，

7、。因?yàn)槭桥c同時(shí)產(chǎn)生的，而人速度為時(shí)，還沒(méi)產(chǎn)生§3-3碰撞一、碰撞碰撞特點(diǎn)：碰撞時(shí)物體間相互作用內(nèi)力很大，其它力相對(duì)比較可忽略。即碰撞系統(tǒng)合外力=0。故動(dòng)量守恒。機(jī)械能二、完全彈性碰撞1、對(duì)心情況（一維）如圖3-6，以與為系統(tǒng)，碰撞中 （3-12） （3-14）（，沿+x方向；反之，沿-x方向）解得： （3-15）討論：（交換速度） 2、非對(duì)心情況設(shè)，且，可知，、系統(tǒng)動(dòng)量及動(dòng)能均守恒，即 （3-16） （3-17）可知，、是以為斜邊的直角三角形，如圖3-7。§3-4動(dòng)能定理一、功定義：力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為力在質(zhì)點(diǎn)位移方向的分量與位移大小的乘積。1、恒力的功恒力：力的大小和方向均

8、不變。如圖3-8，功為 (3-18)即 (3-19)說(shuō)明：為標(biāo)量 功是過(guò)程量功是相對(duì)量功是力對(duì)空間的積累效應(yīng) 作用力與反作用力的功其代數(shù)和不一定為零。2、變力的功設(shè)質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)，如圖3-9。為變力，在第個(gè)位移元中，看作恒力，對(duì)物體做功為質(zhì)點(diǎn)從過(guò)程中，對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功為功的精確數(shù)值為 即： （3-20）討論：恒力功直線運(yùn)動(dòng)設(shè)，如圖3-10，質(zhì)點(diǎn)在中，功為合力功設(shè)質(zhì)點(diǎn)受個(gè)力，合力功為二、功率定義：力在內(nèi)對(duì)物體做功為，下式稱為在時(shí)間間隔內(nèi)的平均功率。下式稱為瞬時(shí)功率，即 （3-21）三、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理1、動(dòng)能定義： （3-20）式（3-20）中，、分別為物體質(zhì)量和速率。稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能。說(shuō)明：為標(biāo)量；為

9、瞬時(shí)量；為相對(duì)量。2、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理設(shè)做曲線運(yùn)動(dòng)，如圖3-11，合力為，在a、b二點(diǎn)速度分別為、。在c點(diǎn)力為，位移為，由牛頓定律有：（切線上）即即 做如下積分：可寫(xiě)成： （3-21）結(jié)論：合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量,稱此為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理。說(shuō)明：為過(guò)程量，為狀態(tài)量，過(guò)程量用狀態(tài)量之差來(lái)表示，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。動(dòng)能定理成立的條件是慣性系。功是能量變化的量度。例3-7：如圖3-12，籃球的位移為，與水平線成角，球質(zhì)量為，求重力的功。解：研究對(duì)象：球 重力為恒力強(qiáng)調(diào)：恒力功公式的使用.例3-8：如圖3-13，遠(yuǎn)離地面高處的物體質(zhì)量為，由靜止開(kāi)始向地心方向落到地面，試求：地球引力對(duì)做的功。解：c點(diǎn)

10、：例3-9：力(SI)作用在的質(zhì)點(diǎn)上。物體沿x軸運(yùn)動(dòng)，時(shí)，。求前二秒內(nèi)對(duì)作的功。解：研究對(duì)象：直線問(wèn)題，沿+x軸方向方法一按作在此有： 做如下積分： 有 即 方法二用動(dòng)能定理作例3-10：質(zhì)量為的物體作直線運(yùn)動(dòng)，受力與坐標(biāo)關(guān)系如圖3-14所示。若時(shí)，試求時(shí)，解：在到過(guò)程中，外力功為由動(dòng)能定理為：即 §3-5 保守力與非保守力 勢(shì)能一、萬(wàn)有引力、重力、彈性力的功及其特點(diǎn)1、萬(wàn)有引力功及特點(diǎn)如圖3-15，設(shè)質(zhì)量為物體在質(zhì)量為的引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，（不動(dòng)），從中，引力功=？ 在任一點(diǎn)c處， （變力） （3-22） 又 （3-23）特點(diǎn)：萬(wàn)有引力只與物體始末二位置有關(guān)，而與物體所經(jīng)路程無(wú)關(guān)。2、重

11、力功及特點(diǎn)如圖3-16，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)acb路徑由，位移為，在地面附近重力可視為恒力，故功為 （3-24）特點(diǎn)：重力功只與物體始末二位置有關(guān)，而與其運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)。3、彈性力功及特點(diǎn)如圖3-17，稱為彈簧振子，處于x處時(shí)，它受彈性力為從坐標(biāo)過(guò)程中，彈性力做功為 （3-25）特點(diǎn)：彈性力功僅與物體始末位置有關(guān)而與過(guò)程無(wú)關(guān)。如：物體可以從處向左移，然后向右平移至處，也可以從處直接移到處。但是，無(wú)論怎樣從處移到處，彈性力做的功都是上述結(jié)果。二、保守力和非保守力 1、保守力與非保守力如果力對(duì)物體做的功只與物體始末二位置有關(guān)而與物體所經(jīng)路徑無(wú)關(guān)，則該力稱為保守力，否則稱為非保守力。數(shù)學(xué)表達(dá)依次為： （3-26）及

12、 （3-27）由上可知，重力、彈性力、萬(wàn)有引力均為保守力，而摩擦力、汽車的牽引力等都是非保守力。三、勢(shì)能對(duì)任何保守力，則它的功都可以用相應(yīng)的勢(shì)能增量的負(fù)值來(lái)表示，即： （3-28）結(jié)論：保守力功=相應(yīng)勢(shì)能增量的負(fù)值 。 *從理論上講，即是無(wú)旋的，與有對(duì)應(yīng)關(guān)系，可定義為與相應(yīng)的勢(shì)能。也就是說(shuō)，保守力場(chǎng)中才能引進(jìn)勢(shì)能的概念?？梢?jiàn)，引進(jìn)勢(shì)能概念是有條件的。注意：勢(shì)能是相對(duì)的，屬于系統(tǒng)的。 （3-29） （3-30） （3-31）說(shuō)明： （1）（2）（3）§3-6 功能原理 機(jī)械能守恒定律一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理系統(tǒng)中有個(gè)物體，第個(gè)物體受合外力為，合內(nèi)力為，在某一過(guò)程中，合外力功為，合內(nèi)力功為，

13、由單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理，對(duì)第個(gè)質(zhì)點(diǎn)有： （3-32）。對(duì)上式兩邊求和，有 （3-33） （3-34）結(jié)論：合外力功與合內(nèi)力功之和等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量。稱此為系統(tǒng)的動(dòng)能定理。二、功能原理作用在質(zhì)點(diǎn)上的力可分為保守力和非保守力，把保守力的受力與施力者都劃在系統(tǒng)中，則保守力就為內(nèi)力了，因此，內(nèi)力可分為保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力，內(nèi)力功可分為保守內(nèi)力功和非保守內(nèi)力功。由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理 有 （3-35）結(jié)論：合外力功+非保守內(nèi)力功=系統(tǒng)機(jī)械能（動(dòng)能+勢(shì)能）的增量。稱此為功能原理。說(shuō)明：功能原理中，功不含有保守內(nèi)力的功，而動(dòng)能定理中含有保守內(nèi)力的功。功是能量變化或轉(zhuǎn)化的量度能量是系統(tǒng)狀態(tài)的單值函數(shù)三、機(jī)械能守恒定律由功能原理知，當(dāng)時(shí)，有 （3-36）結(jié)論：當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能=常量，這為機(jī)械能守恒定律。（注意守恒條件）例3-11：如圖3-18，在計(jì)算上拋物體最大高度時(shí)，有人列出了方程（不計(jì)空氣阻力）列出方程時(shí)此人用了質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理、功能原理和機(jī)械能守恒定律中的那一個(gè)？解：動(dòng)能定理為合力功=質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能增量功能原理為外力功+非保守內(nèi)力功=系統(tǒng)機(jī)械能增量（取、地為系統(tǒng)）機(jī)械能守恒定律即 可見(jiàn)，此人用的是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理。例3-12：如圖3-19，質(zhì)量為的物體，從四分之一圓槽A點(diǎn)靜止開(kāi)始下滑到