《初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例》

1、初中數(shù)學(xué)教學(xué)典型案例分析案例：年前，在魯教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)配套練習(xí)冊(cè)第70頁，遇到一道填空題：例：設(shè)a、b、c分別表示三種質(zhì)量不同的物體，如圖所示，圖、圖兩架天平處于平衡狀態(tài)。為了使第三架天平（圖）也處于平衡狀態(tài)，則“？”處應(yīng)放個(gè)物體b?aabc圖圖ac?圖通過調(diào)查，這個(gè)問題只有極少數(shù)學(xué)生填上了答案，還不知道是不是真的會(huì)解，我需要講解一下。我講解的設(shè)計(jì)思路是這樣的：一.引導(dǎo)將圖和圖中的平衡狀態(tài)，用數(shù)學(xué)式子（符號(hào)語言數(shù)學(xué)語言）表示（現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)建模）：圖：2a=cb.圖:ab=c.因此，2a=（ab）b.可得：a=2b，c=3b.所以，ac =5b.答案應(yīng)填5.我自以為思維嚴(yán)密，有根有據(jù)。

2、然而，在讓學(xué)生展示自己的想法時(shí)，卻出乎我的意料。學(xué)生1這樣思考的：假設(shè)b=1,a=2,c=3.所以，ac =5，答案應(yīng)填5.學(xué)生這是用特殊值法解決問題的，雖然特殊值法也是一種數(shù)學(xué)方法，但是存在很大的不確定性，不能讓學(xué)生僅停留在這種淺顯的思維表層上。面對(duì)這個(gè)教學(xué)推進(jìn)過程的教學(xué)“新起點(diǎn)”，我必須深化學(xué)生的思維，但是，還不能打擊他的自信心，必須保護(hù)好學(xué)生的思維成果。因此，我立刻放棄了準(zhǔn)備好的講解方案，以學(xué)生思維的結(jié)果為起點(diǎn)，進(jìn)行調(diào)整。我先對(duì)學(xué)生1的方法進(jìn)行積極地點(diǎn)評(píng)，肯定了這種思維方式在探索問題中的積極作用，當(dāng)那幾個(gè)同樣做法的學(xué)生自信心溢于言表時(shí)，我隨后提出這樣一個(gè)問題：“你怎么想到假設(shè)b=1,a=

3、2,c=3？a、b、c是不是可以假設(shè)為任意的三個(gè)數(shù)？”有的學(xué)生不假思索，馬上回答：“可以是任意的三個(gè)數(shù)?！币灿械膶W(xué)生持否定意見，大多數(shù)將信將疑，全體學(xué)生被這個(gè)問題吊足了胃口，我趁機(jī)點(diǎn)撥：“驗(yàn)證一下吧。”全班學(xué)生立刻開始思考，驗(yàn)證，大約有3分鐘的時(shí)間，學(xué)生們開始回答這個(gè)問題：“b=2，a=3，c=4時(shí)不行，不能滿足圖、圖中的數(shù)量關(guān)系?！薄癰=2，a=4，c=6時(shí)可以。結(jié)果也該填5.”“b=3，a=6，c=9時(shí)可以，結(jié)果也一樣?！薄癰=4，a=8，c=12時(shí)可以，結(jié)果也一樣?！薄拔野l(fā)現(xiàn)，只要a是b的2倍，c是b的3倍就能滿足圖、圖中的數(shù)量關(guān)系，結(jié)果就一定是5.”這時(shí)，學(xué)生的思維已經(jīng)由特殊上升到一般

4、了，也就是說在這個(gè)過程中，學(xué)生的歸納推理得到了訓(xùn)練，對(duì)特殊值法也有了更深的體會(huì)，用字母表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，進(jìn)而得到a=2b，c=3b.所以，ac =5b.答案應(yīng)填5.我的目的還沒有達(dá)到，繼續(xù)拋出問題：“我們列舉了好多數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)了這個(gè)結(jié)論，你還能從圖、圖中的數(shù)量關(guān)系本身，尋找更簡(jiǎn)明的方法嗎？”學(xué)生又陷入深深地思考中，當(dāng)我巡視各小組中出現(xiàn)了“圖：2a=cb.圖:ab=c.”時(shí)，我知道，學(xué)生的思維快與嚴(yán)密的邏輯推理接軌了。我們是不是都有這樣的感受,課堂教學(xué)設(shè)計(jì)兼具“現(xiàn)實(shí)性”與“可能性”的特征，這意味著課堂教學(xué)設(shè)計(jì)方案與教學(xué)實(shí)施過程的展開之間不是“建筑圖紙”和“施工過程”的關(guān)系，即課堂教學(xué)過程不是簡(jiǎn)單地執(zhí)

5、行教學(xué)設(shè)計(jì)方案的過程。在課堂教學(xué)展開之初，我們可能先選取一個(gè)起點(diǎn)切入教學(xué)過程，但隨著教學(xué)的展開和師生之間、生生之間的多向互動(dòng)，就會(huì)不斷形成多個(gè)基于不同學(xué)生發(fā)展?fàn)顟B(tài)和教學(xué)推進(jìn)過程的教學(xué)“新起點(diǎn)”。因此課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的起點(diǎn)并不是唯一的，而是多元的；不是確定不變的，而是預(yù)設(shè)中生成的；不是按預(yù)設(shè)展開僵硬不變的，而是在動(dòng)態(tài)中調(diào)整的。3.一節(jié)數(shù)學(xué)習(xí)題課的思考案例3：一位教師的習(xí)題課，內(nèi)容是“特殊四邊形”。該教師設(shè)計(jì)了如下習(xí)題：AOFEBHGC題1（例題）順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是怎樣的四邊形？并證明你的結(jié)論。題2如右圖所示，ABC中，中線BE、CF交于O,G、H分別是BO、CO的中點(diǎn)。（1）求

6、證：FGEH;（2）求證：OF=CH.OFAECBD題3(拓展練習(xí))當(dāng)原四邊形具有什么條件時(shí)，其中點(diǎn)四邊形為矩形、菱形、正方形？題4（課外作業(yè)）如右圖所示，DE是ABC的中位線，AF是邊BC上的中線，DE、AF相交于點(diǎn)O.（1）求證：AF與DE互相平分；（2）當(dāng)ABC具有什么條件時(shí)，AF=DE。（3）當(dāng)ABC具有什么條件時(shí)，AFDE。FGEHDCBA教師先讓學(xué)生思考第一題（例題）。教師引導(dǎo)學(xué)生畫圖、觀察后，進(jìn)入證明教學(xué)。師：如圖，由條件E、F、G、H是各邊的中點(diǎn)，可聯(lián)想到三角形中位線定理，所以連接BD，可得EH、FG都平行且等于BD,所以EH平行且等于FG,所以四邊形EFGH是平行四邊形，下面

7、，請(qǐng)同學(xué)們寫出證明過程。只經(jīng)過五六分鐘，證明過程的教學(xué)就“順利”完成了，學(xué)生也覺得不難。但讓學(xué)生做題2，只有幾個(gè)學(xué)生會(huì)做。題3對(duì)學(xué)生的困難更大，有的模仿例題，畫圖觀察，但卻得不到矩形等特殊的四邊形；有的先畫矩形，但矩形的頂點(diǎn)卻不是原四邊形各邊的中點(diǎn)。評(píng)課：本課習(xí)題的選擇設(shè)計(jì)比較好，涵蓋了三角形中位線定理及特殊四邊形的性質(zhì)與判定等數(shù)學(xué)知識(shí)。運(yùn)用的主要方法有：（1）通過畫圖（實(shí)驗(yàn)）、觀察、猜想、證明等活動(dòng)，研究數(shù)學(xué)；（2）溝通條件與結(jié)論的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，添加輔助線；（3）由于習(xí)題具備了一定的開放性、解法的多樣性，因此思維也要具有一定的深廣度。為什么學(xué)生仍然不會(huì)解題呢？學(xué)生基礎(chǔ)較差是一個(gè)原因，在教學(xué)

8、上有沒有原因？我個(gè)人感覺，主要存在這樣三個(gè)問題：（1）學(xué)生思維沒有形成。教師只講怎么做，沒有講為什么這么做。教師把證明思路都說了出來，沒有引導(dǎo)學(xué)生如何去分析，剝奪了學(xué)生思維空間；（2）缺少數(shù)學(xué)思想、方法的歸納，沒有揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)。出現(xiàn)講了這道題會(huì)做，換一道題不會(huì)做的狀況；（3）題3是動(dòng)態(tài)的條件開放題，相對(duì)于題1是逆向思維，思維要求高，學(xué)生難把握，教師缺少必要的指導(dǎo)與點(diǎn)撥。修正：根據(jù)上述分析，題1的教學(xué)設(shè)計(jì)可做如下改進(jìn)：首先，對(duì)于開始例題證明的教學(xué)，提出“序列化”思考題：（1）平行四邊形有哪些判定方法？（2）本題能否直接證明EFFG , EH=FG?在不能直接證明的情況下，通?？紤]間接證明，即借

9、助第三條線段分別把EH和FG的位置關(guān)系（平行）和數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來，分析一下，那條線段具有這樣的作用？（3）由E、F、G、H是各邊的中點(diǎn)，你能聯(lián)想到什么數(shù)學(xué)知識(shí)？（4）圖中有沒有現(xiàn)成的三角形及其中位線？如何構(gòu)造？設(shè)計(jì)意圖：上述問題（1）激活知識(shí)；問題（2）暗示輔助線添加的必要性，滲透間接解決問題的思想方法；問題（3）、（4）引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)輔助線的具體做法。其次，證明完成后，教師可引導(dǎo)歸納：我們把四邊形ABCD稱為原四邊形，四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形，得到結(jié)論：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形;輔助線溝通了條件與結(jié)論的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化。原四邊形的一條對(duì)角線溝通了中點(diǎn)四邊形一組對(duì)邊的位置和數(shù)量關(guān)系

10、。這種溝通來源于原四邊形的對(duì)角線同時(shí)又是以中點(diǎn)四邊形的邊為中位線的兩個(gè)三角形的公共邊，由此可感受到，起到這種溝通作用的往往是圖形中的公共元素，因此，在證明中一定要關(guān)注這種公共元素。然后，增設(shè)“過渡題”：原四邊形具備什么條件時(shí)，其中點(diǎn)四邊形為矩形？教師可點(diǎn)撥思考：怎樣的平行四邊形是矩形？結(jié)合本題特點(diǎn)，你選擇哪種方法？考慮一個(gè)直角，即中點(diǎn)四邊形一組鄰邊的位置關(guān)系。一組鄰邊位置和數(shù)量關(guān)系的變化，原四邊形兩條對(duì)角線的位置和數(shù)量關(guān)系也隨之變化。根據(jù)修正后的教學(xué)設(shè)計(jì)換個(gè)班重上這節(jié)課，這是效果明顯，大部分學(xué)生獲得了解題的成功，幾個(gè)題都出現(xiàn)了不同的證法。啟示：習(xí)題課教學(xué)，例題教學(xué)是關(guān)鍵。例題與習(xí)題的關(guān)系是綱目

11、關(guān)系，綱舉則目張。在例題教學(xué)中，教師要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思維，揭示數(shù)學(xué)思想，歸納解題方法策略。可以嘗試以下方法：（1）激活、檢索與題相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。知識(shí)的激活、檢索緣于題目信息，如由條件聯(lián)想知識(shí)，由結(jié)論聯(lián)系知識(shí)。知識(shí)的激活和檢索標(biāo)志著思維開始運(yùn)作；（2）在思維的障礙處啟迪思維。思維源于問題，數(shù)學(xué)思維是隱性的心理活動(dòng)，教師要設(shè)法采取一定的形式，凸顯思維過程，如：設(shè)計(jì)相關(guān)的思考問題，分解題設(shè)障礙，啟迪學(xué)生有效思維。（3）及時(shí)歸納思想方法與解題策略。從方法論的角度考慮，數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)，意義不在習(xí)題本身，數(shù)學(xué)思想方法、策略才是數(shù)學(xué)本質(zhì)，習(xí)題僅是學(xué)習(xí)方法策略的載體，因此，方法策略的總結(jié)是很有必要的。題1的歸納總

12、結(jié)使題2迎刃而解，題2是將題1的凸四邊形ABCD變?yōu)榘妓倪呅蜛BOC，兩題的實(shí)質(zhì)是一樣的。學(xué)生在解題3時(shí)，試圖模仿題1，這是解題策略問題。題1條件確定，可以通過畫圖、觀察發(fā)現(xiàn)，題3必須通過推理發(fā)現(xiàn)后才可畫出圖形。4.注意課堂提問的藝術(shù)案例1：一堂公開課“相似三角形的性質(zhì)”，為了了解學(xué)生對(duì)相似三角形判定的掌握情況，提出兩個(gè)問題：（1）什么叫相似三角形？（2）相似三角形有哪幾種判定方法？聽了學(xué)生流利、圓滿的回答，教師滿意地開始了新課教學(xué)。老師們對(duì)此有何評(píng)價(jià)？CBA事實(shí)上學(xué)生回答的只是一些淺層次記憶性知識(shí)，并沒有表明他們是否真正理解?？梢詫⑻釂栠@樣設(shè)計(jì)：如圖，在ABC和A?B?C?中，(1)已知A=

13、A?,補(bǔ)充一個(gè)合適的C?A?B?條件，使ABCA?B?C?;(2)已知AB/A?B?=BC/B?C?;補(bǔ)充一個(gè)合適的條件，使ABCA?B?C?.回答這樣的問題，僅靠死記硬背是不行的，只有在真正掌握了相似三角形判定的基礎(chǔ)上才能正確回答。這樣的提問能起到反思的作用，學(xué)生的思維被激活，教學(xué)的有效性能夠提高。案例2：一堂講菱形的判定定理（是講對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形）的課，教師畫出圖形后，有一段對(duì)話：師：四邊形ABCD中，AC與BD互相垂直平分嗎？BCAD生：是！師：你怎么知道？生：這是已知條件！師：那么四邊形ABCD是菱形嗎？生：是的！師：能通過證三角形全等來證明結(jié)論嗎？生：能！老師們感覺怎

14、樣？實(shí)際上，老師已經(jīng)指明用全等三角形證明四邊形的邊相等，學(xué)生幾乎不怎么思考就開始證明了，所謂的“導(dǎo)學(xué)”實(shí)質(zhì)成了變相的“灌輸”。雖從表面上看似熱鬧活躍，實(shí)則流于形式，無益于學(xué)生積極思維。可以這樣修正一下提問的設(shè)計(jì)：(1)菱形的判定已學(xué)過哪幾種方法？（1.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；2.四邊相等的四邊形是菱形）(2)兩種方法都可以嗎？證明邊相等有什么方法？（1.全等三角形的性質(zhì)；2.線段垂直平分線的性質(zhì)）（3）選擇哪種方法更簡(jiǎn)捷？案例3：“一元一次方程”的教學(xué)片段：師：如何解方程3x3=6（x1）?生1：老師，我還沒有開始計(jì)算，就看出來了，x=1.師：光看不行，要按要求算出來才算對(duì)。生2：先兩

15、邊同時(shí)除以3，再(被老師打斷了)師：你的想法是對(duì)的，但以后要注意，剛學(xué)新知識(shí)時(shí)，記住一定要按課本的格式和要求來解，這樣才能打好基礎(chǔ)。老師們感覺怎樣？這位教師提問時(shí)，把學(xué)生新穎的回答中途打斷，只滿足單一的標(biāo)準(zhǔn)答案，一味強(qiáng)調(diào)機(jī)械套用解題的一把步驟和“通法”。殊不知，這兩名學(xué)生的回答的確富有創(chuàng)造性，可惜，這種偶爾閃現(xiàn)的創(chuàng)造性思維的火花不僅沒有被呵護(hù)，反而被教師“標(biāo)準(zhǔn)的格式”輕易否定而窒息扼殺了。其實(shí)，學(xué)生的回答即使是錯(cuò)的，教師也要耐心傾聽，并給與激勵(lì)性評(píng)析，這樣既可以幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，又可以激勵(lì)學(xué)生積極思考，激發(fā)學(xué)生的求異思維，從而培養(yǎng)學(xué)生思維能力。有的老師提問后留給學(xué)生思考時(shí)間過短，學(xué)生沒有時(shí)間深入思考，結(jié)果問而不答或者答非所問；有的老師提問面過窄，多數(shù)學(xué)生成了陪襯，被冷落一旁，長期下去，被冷落的學(xué)生逐漸對(duì)提問失去興趣，上課也不再聽老師的，