高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)——導(dǎo)數(shù)

1、高考復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)目標(biāo)1了解導(dǎo)數(shù)的概念，能利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念了解曲線的切線的概念在了解瞬時(shí)速度的基礎(chǔ)上抽象出變化率的概念 2熟記基本導(dǎo)數(shù)公式,掌握兩個(gè)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利能夠用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，求一個(gè)函數(shù)的最大(小)值的問(wèn)題，掌握導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用3了解函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則的推導(dǎo)，掌握兩個(gè)函數(shù)的商的求導(dǎo)法則。能正確運(yùn)用函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則及已有的導(dǎo)數(shù)公式求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。4了解復(fù)合函數(shù)的概念。會(huì)將一個(gè)函數(shù)的復(fù)合過(guò)程進(jìn)行分解或?qū)讉€(gè)函數(shù)進(jìn)行復(fù)合。掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并會(huì)用法

2、則解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。三、基礎(chǔ)知識(shí)梳理：導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識(shí)，是研究函數(shù)，解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具。在高中階段對(duì)于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾個(gè)方面:1導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問(wèn)題：（1）刻畫(huà)函數(shù)（比初等方法精確細(xì)微）；（2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；（3）應(yīng)用問(wèn)題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡(jiǎn)便）等關(guān)于次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題屬于較難類(lèi)型。2關(guān)于函數(shù)特征，最值問(wèn)題較多，所以有必要專(zhuān)項(xiàng)討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡(jiǎn)便。3導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問(wèn)題是一種重要類(lèi)型，也是高考中考察綜合能力的一個(gè)方向，應(yīng)引起注意。4瞬時(shí)速度物理學(xué)習(xí)直線運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)，涉及過(guò)瞬時(shí)速度的一些

3、知識(shí)，物理教科書(shū)中首先指出：運(yùn)動(dòng)物體經(jīng)過(guò)某一時(shí)刻(或某一位置)的速度叫做瞬時(shí)速度，然后從實(shí)際測(cè)量速度出發(fā)，結(jié)合汽車(chē)速度儀的使用，對(duì)瞬時(shí)速度作了說(shuō)明物理課上對(duì)瞬時(shí)速度只給出了直觀的描述，有了極限工具后，本節(jié)教材中是用物體在一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)的平均速度的極限來(lái)定義瞬時(shí)速度5導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)數(shù)的方法是本節(jié)的重點(diǎn)，推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則與某些導(dǎo)數(shù)公式時(shí)，都是以此為依據(jù)對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下三點(diǎn)：(1)x是自變量x在 處的增量(或改變量)(2)導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)或可微的概念，如果x0時(shí)，有極限，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)或可微，才能得到f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(3)如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，

4、那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處連續(xù)(由連續(xù)函數(shù)定義可知)反之不一定成立例如函數(shù)y=|x|在點(diǎn)x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo)由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，必須嚴(yán)格按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：(1)求函數(shù)的增量；(2)求平均變化率；(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)。6導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點(diǎn)處的切線的斜率由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率；(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為特別地，如果曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線平行于y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為7.

5、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系與為增函數(shù)的關(guān)系。能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，是為增函數(shù)的充分不必要條件。時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系。若將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有。當(dāng)時(shí)，是為增函數(shù)的充分必要條件。與為增函數(shù)的關(guān)系。為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)椋礊榛颉．?dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。是為增函數(shù)的必要不充分條件。單調(diào)區(qū)間的求解過(guò)程已知（1）分析 的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù) （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間我們?cè)趹?yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)一定要搞清以下三個(gè)關(guān)系

6、，才能準(zhǔn)確無(wú)誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡(jiǎn)單的分析，前提條件都是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為以個(gè)區(qū)間。8.（1）恒成立 為上 對(duì)任意 不等式 恒成立（2）恒成立 在上 對(duì)任意不等式 恒成立四、經(jīng)典例題解析：例1設(shè)函數(shù)，已知和為的極值點(diǎn)（）求和的值；（）討論的單調(diào)性；（）設(shè)，試比較與的大小解：（）因?yàn)?，又和為的極值點(diǎn)，所以，因此解方程組得，（）因?yàn)?，所以，令，解得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在和上

7、是單調(diào)遞增的；在和上是單調(diào)遞減的（）由（）可知，故，令，則令，得，因?yàn)闀r(shí)，所以在上單調(diào)遞減故時(shí)，；因?yàn)闀r(shí)，所以在上單調(diào)遞增故時(shí)，所以對(duì)任意，恒有，又，因此，故對(duì)任意，恒有說(shuō)明：本題主要考查函數(shù)的極值及利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，另外利用導(dǎo)數(shù)證明不等式也是高考不科忽視的考查方向.例2已知函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，并確定的單調(diào)區(qū)間解：令，得當(dāng)，即時(shí)，的變化情況如下表：0當(dāng)，即時(shí)，的變化情況如下表：0所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)，即時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減例3已知函數(shù)，其中.（）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)的解析

8、式；（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍.解：（），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，于是由切點(diǎn)在直線上可得，解得所以函數(shù)的解析式為（）當(dāng)時(shí)，顯然（）這時(shí)在，內(nèi)是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，令，解得當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極大值極小值所以在，內(nèi)是增函數(shù)，在，(0,)內(nèi)是減函數(shù)（）由（）知，在上的最大值為與中的較大者，對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即，對(duì)任意的成立從而得，所以滿(mǎn)足條件的的取值范圍是說(shuō)明：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力例4水庫(kù)的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用t表示時(shí)間，以月為單位，年

9、初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫(kù)的蓄水量（單位：億立方米）關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為V（t）=（）該水庫(kù)的蓄水量小于50的時(shí)期稱(chēng)為枯水期.以i1ti表示第i月份（i=1,2,12）,問(wèn)一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期？（）求一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量（取e=2.7計(jì)算）.解：（）當(dāng)0t10時(shí)，V(t)=(t2+14t40)化簡(jiǎn)得t214t+40>0,解得t4，或t10，又0t10，故0t4.當(dāng)10t12時(shí)，V（t）4（t10）（3t41）+5050,化簡(jiǎn)得（t10）（3t41）0,解得10t，又10t12,故 10t12.綜合得0<t<4,或10<t12,故知枯水期為1月，2月， 3

10、月，4月，11月，12月共6個(gè)月.()由()知：V(t)的最大值只能在（4，10）內(nèi)達(dá)到.由V（t）=令V(t)=0,解得t=8(t=2舍去).當(dāng)t變化時(shí)，V(t)與V (t)的變化情況如下表：t(4,8)8(8,10)V(t)+0V(t)極大值由上表，V(t)在t8時(shí)取得最大值V(8)8e2+50108.32(億立方米).故知一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量是108.32億立方米說(shuō)明：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式等基本知識(shí)，考查用導(dǎo)數(shù)求最值和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題能力.例5已知函數(shù)（且，）恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，其中一個(gè)是（）求函數(shù)的另一個(gè)極值點(diǎn)；（）求函數(shù)的極大值和極小值，并求時(shí)

11、的取值范圍解：（），由題意知，即得，（*），由得，由韋達(dá)定理知另一個(gè)極值點(diǎn)為（或）（）由（*）式得，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（i）當(dāng)時(shí)，在和內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，由及，解得（ii）當(dāng)時(shí)，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，恒成立綜上可知，所求的取值范圍為例6求證下列不等式（1）（2）（3）證明：（1）為上 恒成立在上恒成立（2）原式 令 （3）令說(shuō)明：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式這一部分內(nèi)容不可忽視，它本質(zhì)是還是考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值問(wèn)題。五、強(qiáng)化跟蹤：1設(shè)函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)，則等于 （）A B C D2若，則等于 （）A B C3 D23曲線上切線平行于x軸的點(diǎn)的坐標(biāo)是 （ ）A（-1，2） B（

12、1，-2） C（1，2） D（-1，2）或（1，-2）4若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)=-sinx，則函數(shù)圖像在點(diǎn)（4，f（4）處的切線的傾斜角為（）A90° B0° C銳角 D鈍角5函數(shù)在0，3上的最大值、最小值分別是 （ ）A5，15B5，4C4，15D5，166一直線運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)間t到t+t時(shí)，物體的位移為s，那么為（）A從時(shí)間t到t+t時(shí)，物體的平均速度B時(shí)間t時(shí)該物體的瞬時(shí)速度C當(dāng)時(shí)間為t 時(shí)該物體的速度D從時(shí)間t到t+t時(shí)位移的平均變化率7關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是 （ ）A在區(qū)間（，0）內(nèi)，為增函數(shù)B在區(qū)間（0，2）內(nèi)，為減函數(shù)C在區(qū)間（2，）內(nèi)，為增函

13、數(shù)D在區(qū)間（，0）內(nèi)，為增函數(shù)8對(duì)任意x，有，f(1)=-1，則此函數(shù)為 （）A B C D9函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值與最小值分別是 （ ） A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -1610設(shè)f(x)在處可導(dǎo)，下列式子中與相等的是 （）（1）；（2）；（3）（4）。A（1）（2） B（1）（3） C（2）（3） D（1）（2）（3）（4）11f()是定義在區(qū)間c,c上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令g（）=af（）+b，則下列關(guān)于函數(shù)g（）的敘述正確的是（ ）A若a<0,則函數(shù)g（）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).B若a=1，2<b<

14、;0,則方程g（）=0有大于2的實(shí)根.C若a0,b=2,則方程g（）=0有兩個(gè)實(shí)根.D若a1,b<2,則方程g（）=0有三個(gè)實(shí)根.12若函數(shù)f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，則它所對(duì)應(yīng)的曲線在點(diǎn)處的切線方程是13設(shè)，則它與x軸交點(diǎn)處的切線的方程為_(kāi)。14設(shè)，則_。15垂直于直線2x-6y+1=0，且與曲線相切的直線的方程是_ 16已知曲線，則_。17y=x2ex的單調(diào)遞增區(qū)間是18曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)。19P是拋物線上的點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)P的切線方程與直線垂直，則過(guò)P點(diǎn)處的切線方程是_。 20在拋物線上依次取兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為，若拋物線上過(guò)點(diǎn)P的切線與過(guò)這兩點(diǎn)的割線平行，則P點(diǎn)的坐標(biāo)

15、為_(kāi)。21曲線在點(diǎn)A處的切線的斜率為3，求該曲線在A點(diǎn)處的切線方程。22在拋物線上求一點(diǎn)P，使過(guò)點(diǎn)P的切線和直線3x-y+1=0的夾角為。23判斷函數(shù)在x=0處是否可導(dǎo)。24求經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0）且與曲線相切的直線方程。25已知曲線與。直線l與、都相切，求直線l的方程。六參考答案：15 CBDCA； 610 BDBAB； 11 B12 13y=2(x-1)或y=2(x+1) 14-6 153x+y+6=0 1617(-,-2)與(0,+ ) 18192x-y-1=0 20（2，4）21由導(dǎo)數(shù)定義求得，令，則x=±1。當(dāng)x=1時(shí)，切點(diǎn)為（1，1），所以該曲線在（1，1）處的切線方程為y-1=3(x-1)即3x-y-2=0；當(dāng)x=-1時(shí)，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），所以該曲線在（-1，-1）處的切線方程為y+1=3(x+1)即3x-y+2=0。22由導(dǎo)數(shù)定義得f(