高考數學導數題型歸納

1、導數題型歸納請同學們高度重視：首先，關于二次函數的不等式恒成立的主要解法：1、分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法5、二次函數區(qū)間最值求法：（1）對稱軸（重視單調區(qū)間）與定義域的關系 （2）端點處和頂點是最值所在 其次，分析每種題型的本質，你會發(fā)現大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應用數形結合思想”，創(chuàng)建不等關系求出取值范圍。 最后，同學們在看例題時，請注意尋找關鍵的等價變形和回歸的基礎一、基礎題型：函數的單調區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：第一步：令得到兩個根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問題的實質是函數的

2、最值問題，2、常見處理方法有三種：第一種：分離變量求最值-用分離變量時要特別注意是否需分類討論（0,=0,0）第二種：變更主元（即關于某字母的一次函數）-（已知誰的范圍就把誰作為主元）；例1：設函數在區(qū)間D上的導數為，在區(qū)間D上的導數為，若在區(qū)間D上，恒成立，則稱函數在區(qū)間D上為“凸函數”，已知實數m是常數，（1）若在區(qū)間上為“凸函數”，求m的取值范圍；（2）若對滿足的任何一個實數，函數在區(qū)間上都為“凸函數”，求的最大值.解:由函數 得（1）在區(qū)間上為“凸函數”，則 在區(qū)間0,3上恒成立 解法一：從二次函數的區(qū)間最值入手：等價于解法二：分離變量法：當時, 恒成立, 當時, 恒成立等價于的最大值

3、（）恒成立，而（）是增函數，則(2)當時在區(qū)間上都為“凸函數”則等價于當時 恒成立解法三：變更主元法再等價于在恒成立（視為關于m的一次函數最值問題）-22例2：設函數 （）求函數f（x）的單調區(qū)間和極值； （）若對任意的不等式恒成立，求a的取值范圍.（二次函數區(qū)間最值的例子）解：（）3aaa3a令得的單調遞增區(qū)間為（a,3a）令得的單調遞減區(qū)間為（，a）和（3a，+）當x=a時，極小值= 當x=3a時，極大值=b. （）由|a，得：對任意的恒成立則等價于這個二次函數的對稱軸（放縮法）即定義域在對稱軸的右邊，這個二次函數的最值問題：單調增函數的最值問題。上是增函數. （9分）于是，對任意，不等式

4、恒成立，等價于 又點評：重視二次函數區(qū)間最值求法：對稱軸（重視單調區(qū)間）與定義域的關系第三種：構造函數求最值題型特征：恒成立恒成立；從而轉化為第一、二種題型例3；已知函數圖象上一點處的切線斜率為，（）求的值；（）當時，求的值域；（）當時，不等式恒成立，求實數t的取值范圍。解：（）， 解得（）由（）知，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增又的值域是（）令思路1：要使恒成立，只需，即分離變量思路2：二次函數區(qū)間最值二、題型一：已知函數在某個區(qū)間上的單調性求參數的范圍解法1：轉化為在給定區(qū)間上恒成立， 回歸基礎題型解法2：利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數的單調增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求

5、的增或減區(qū)間的子集； 做題時一定要看清楚“在（m,n）上是減函數”與“函數的單調減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集例4：已知，函數（）如果函數是偶函數，求的極大值和極小值；（）如果函數是上的單調函數，求的取值范圍解：. （）是偶函數，. 此時， 令，解得：. 列表如下：(,2)2(2,2)2(2,+)+00+遞增極大值遞減極小值遞增可知：的極大值為，的極小值為. （）函數是上的單調函數，在給定區(qū)間R上恒成立判別式法則解得：. 綜上，的取值范圍是. 例5、已知函數 （I）求的單調區(qū)間； （II）若在0，1上單調遞增，求a的取值范圍。子集思想（I） 1、 當且僅當時取“=

6、”號，單調遞增。 2、a-1-1單調增區(qū)間： 單調減區(qū)間：（II）當 則是上述增區(qū)間的子集：1、時，單調遞增 符合題意2、，綜上，a的取值范圍是0，1。 三、題型二：根的個數問題題1函數f(x)與g(x)（或與x軸）的交點=即方程根的個數問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導數不等式）和“趨勢圖”即三次函數的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢圖結合交點個數或根的個數寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關系；第三步：解不等式（組）即可；例6、已知函數，且在區(qū)間上為增函數（1） 求實數的取值范圍；（2） 若函數與的圖象有三個不同的交點，求實數的取值范

7、圍解：（1）由題意在區(qū)間上為增函數，在區(qū)間上恒成立（分離變量法）即恒成立，又，故的取值范圍為（2）設，令得或由（1）知，當時，在R上遞增，顯然不合題意當時，隨的變化情況如下表：極大值極小值由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即，解得綜上，所求的取值范圍為根的個數知道，部分根可求或已知。例7、已知函數（1）若是的極值點且的圖像過原點，求的極值；（2）若，在（1）的條件下，是否存在實數，使得函數的圖像與函數的圖像恒有含的三個不同交點？若存在，求出實數的取值范圍；否則說明理由。解：（1）的圖像過原點，則，又是的極值點，則-1（2）設函數的圖像與函數的圖像恒存在含的三個不

8、同交點，等價于有含的三個根，即：整理得：即：恒有含的三個不等實根（計算難點來了：）有含的根，則必可分解為，故用添項配湊法因式分解， 十字相乘法分解：恒有含的三個不等實根等價于有兩個不等于-1的不等實根。題2：切線的條數問題=以切點為未知數的方程的根的個數例7、已知函數在點處取得極小值4，使其導數的的取值范圍為，求：（1）的解析式；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍（1）由題意得：在上；在上；在上因此在處取得極小值，由聯立得：，（2）設切點Q，過令，求得：，方程有三個根。需：故：；因此所求實數的范圍為：題3：已知在給定區(qū)間上的極值點個數則有導函數=0的根的個數解法：根分布或判別式法

9、例8、解：函數的定義域為（）當m4時，f (x) x3x210x，x27x10，令 ， 解得或.令 ， 解得可知函數f(x)的單調遞增區(qū)間為和（5，），單調遞減區(qū)間為（）x2(m3)xm6, 要使函數yf (x)在（1，）有兩個極值點,x2(m3)xm6=0的根在（1，）1根分布問題：則， 解得m3例9、已知函數，（1）求的單調區(qū)間；（2）令x4f（x）（xR）有且僅有3個極值點，求a的取值范圍解：（1）當時，令解得，令解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.當時，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）有且僅有3個極值點=0有3個根，則或，方程有兩個非零實根，所以或而當或時可證函數有且僅有3個極

10、值點其它例題：1、（最值問題與主元變更法的例子）.已知定義在上的函數在區(qū)間上的最大值是5，最小值是11.（）求函數的解析式；（）若時，恒成立，求實數的取值范圍.解：（） 令=0,得因為，所以可得下表：0+0-極大因此必為最大值,因此， ， 即，（），等價于， 令，則問題就是在上恒成立時，求實數的取值范圍，為此只需，即， 解得，所以所求實數的取值范圍是0，1.2、（根分布與線性規(guī)劃例子）（1）已知函數() 若函數在時有極值且在函數圖象上的點處的切線與直線平行,求的解析式；() 當在取得極大值且在取得極小值時, 設點所在平面區(qū)域為S, 經過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分, 求直線L的方

11、程.解：().由, 函數在時有極值 ,又在處的切線與直線平行, 故 . 7分 () 解法一: 由及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點所在平面區(qū)域S為如圖ABC, 易得, , , , , 同時DE為ABC的中位線, 所求一條直線L的方程為:另一種情況設不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分, 設直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G, 則 , 由 得點F的橫坐標為:由 得點G的橫坐標為:即 解得: 或 (舍去) 故這時直線方程為:綜上,所求直線方程為:或 .12分() 解法二: 由及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點所在平面區(qū)域S為如圖ABC,易得,

12、 , , , , 同時DE為ABC的中位線, 所求一條直線L的方程為:另一種情況由于直線BO方程為:, 設直線BO與AC交于H , 由 得直線L與AC交點為:, , 所求直線方程為: 或3、（根的個數問題）已知函數的圖象如圖所示。（）求的值；（）若函數的圖象在點處的切線方程為，求函數f ( x )的解析式；（）若方程有三個不同的根，求實數a的取值范圍。解：由題知：（）由圖可知函數f ( x )的圖像過點( 0 , 3 )，且= 0得（）依題意= 3 且f ( 2 ) = 5解得a = 1 , b = 6 所以f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3（）依題意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 )= 3ax2 + 2bx 3a 2b由= 0b = 9a若方程f ( x ) = 8a有三個不同的根，當且僅當滿足f ( 5 )8af ( 1 ) 由得 25a + 38a7a + 3a3 所以當a3時，方程f ( x )