高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料專題12數(shù)學(xué)思想方法教師版

1、2012年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精品資-專題12（教師版）【考綱解讀】1.熟練掌握函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.2.能夠?qū)λ鶎W(xué)知識進行分類或歸納,能應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問題,系統(tǒng)地把握知識間的內(nèi)在聯(lián)系.【考點預(yù)測】1.函數(shù)知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點，也是高考的一個熱點。對函數(shù)試題的設(shè)計仍然會圍繞幾個基本初等函數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)、圖象、應(yīng)用考查函數(shù)知識；與方程、不等式、解析幾何等內(nèi)容相結(jié)合，考查函數(shù)知識的綜合應(yīng)用；在函數(shù)知識考查的同時，加強對函數(shù)方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法的考查。2.預(yù)測

2、在今年的高考中,數(shù)形結(jié)合與分類討論思想仍是考查的一個熱點，數(shù)形結(jié)合的考查方式常以數(shù)學(xué)式、數(shù)學(xué)概念的幾何意義、函數(shù)圖象、解析幾何等為載體綜合考查,分類討論思想的考查重點為含有參數(shù)的函數(shù)性質(zhì)問題、與等比數(shù)列的前n項和有關(guān)的計算推證問題、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系不定問題等。3.預(yù)測在今年的高考中,運用化歸與轉(zhuǎn)化思想解題的途徑主要有：借助函數(shù)、方程（組）、輔助命題、等價變換、特殊的式與數(shù)的結(jié)構(gòu)、幾何特征進行轉(zhuǎn)化,其方法有:正反轉(zhuǎn)化、數(shù)形轉(zhuǎn)化、語義轉(zhuǎn)化、等與不等、抽象問題與具體問題化歸，一般問題與特殊問題化歸，正向思維與逆向思維化歸?！疽c梳理】1.函數(shù)與方程思想：我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到

3、變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點加以分析；含有多個變量的數(shù)學(xué)問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實際應(yīng)用問題，翻譯成數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識解答；等差、等比數(shù)列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。2.數(shù)形結(jié)合的思想:是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧,特別是在解選擇與填空題時發(fā)揮著奇特功效.具體操作時,應(yīng)注意以下幾點:(1)準確畫圖,注意函數(shù)的定義域;(2)用圖象法討論方程的解的個數(shù).3與分類討論有關(guān)的知識點有：直線的斜率分為存在和不存在兩種情形

4、、等比數(shù)列中的公比和、由參數(shù)的變化引起的分類討論、由圖形的不確定性引起的分類討論、指對函數(shù)的底數(shù)分為和兩種情形等。分類的原則是：不重復(fù)、不遺漏、分層次討論。分類討論的一般流程是：明確討論的對象、選擇分類的標準、逐類進行討論、歸納整合。4轉(zhuǎn)化與化歸常用的方法有：直接轉(zhuǎn)化法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法、坐標法、類比法、特殊化方法等。【考點在線】考點一 函數(shù)與方程思想函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)的

5、單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。例1.(2011年高考江蘇卷8)在平面直角坐標系中，過坐標原點的一條直線與函數(shù)的圖象交于P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是_.【答案】4【解析】設(shè)坐標原點的直線方程為,則由解得

6、交點坐標為、，即為P、Q兩點，所以線段PQ長為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故線段PQ長的最小值是4.【名師點睛】本小題考察函數(shù)與方程，兩點間距離公式以及基本不等式，中檔題.【備考提示】：正確理解函數(shù)與方程思想是解答好本類題的關(guān)鍵.練習(xí)1: (2011年高考山東卷理科16)已知函數(shù)=當(dāng)2a3b4時，函數(shù)的零點.【答案】2【解析】方程=0的根為,即函數(shù)的圖象與函數(shù)的交點橫坐標為,且,結(jié)合圖象,因為當(dāng)時,此時對應(yīng)直線上的點的橫坐標;當(dāng)時, 對數(shù)函數(shù)的圖象上點的橫坐標,直線的圖象上點的橫坐標,故所求的.考點二 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是一個數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為

7、兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。“數(shù)”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起

8、來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。例2.若方程lg(x3xm)lg(3x)在x(0,3)內(nèi)有唯一解，求實數(shù)m的取值范圍?！窘馕觥?原方程變形為 ,即：,設(shè)曲線y(x2) , x(0,3)和直線y1m，圖像如圖所示.由圖可知： 當(dāng)1m0時，有唯一解，m1; 當(dāng)11m4時，有唯一解，即3m0,

9、 m1或3m0此題也可設(shè)曲線y(x2)1 , x(0,3)和直線ym后畫出圖像求解。【名師點睛】將對數(shù)方程進行等價變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個范圍內(nèi)有實解的問題，再利用二次函數(shù)的圖像進行解決.【備考提示】：一般地，方程的解、不等式的解集、函數(shù)的性質(zhì)等進行討論時，可以借助于函數(shù)的圖像直觀解決，簡單明了。此題也可用代數(shù)方法來討論方程的解的情況，還可用分離參數(shù)法來求（也注意結(jié)合圖像分析只一個x值）.練習(xí)2：(2011年高考北京卷理科13)已知函數(shù)若關(guān)于x 的方程f(x)=k有兩個不同的實根，則數(shù)k的取值范圍是_.【答案】（0，1）【解析】畫出函數(shù)圖象與直線y=k,觀察,可得結(jié)果.考點三 分類討論思

10、想例3.(2011年高考全國新課標卷理科21)已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為。（）求、的值；（）如果當(dāng)，且時，求的取值范圍.【解析】（），由題意知：即（）由（）知，所以，設(shè)則，如果，由知，當(dāng)時，而故，由當(dāng)?shù)茫簭亩?dāng)時，即如果，則當(dāng)，時，而；得：與題設(shè)矛盾；如果，那么，因為而，時，由得：與題設(shè)矛盾； 綜合以上情況可得：.【名師點睛】本題綜合考察導(dǎo)數(shù)的概念、性質(zhì)、求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、分類討論等概念、性質(zhì)、方法和思想, 特別是第(2)問通過構(gòu)造新函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性，通過分類討論確定參數(shù)的取值范圍,要深入理解和把握并進行拓展.【備考提示】：分類討論思想是高考的熱點,年年必考,深刻領(lǐng)會分類討論

11、的思想是解決好本類題目的關(guān)鍵.練習(xí)3：(2011年高考湖南卷理科22第(1)問)已知函數(shù)求函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由；【解析】由知，而且，則為的一個零點，且在內(nèi)由零點，因此至少有兩個零點.記則當(dāng)時，因此在上單調(diào)遞增，則在上至多有一個零點，又因為，則在內(nèi)有零點.所以在上有且只有一個零點，記此零點為，則當(dāng)時，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞減，而則在內(nèi)無零點；當(dāng)時，單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點，從而在上至多有一個零點.綜上所述，有且只有兩個零點.考點四 轉(zhuǎn)化與化歸的思想等價轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、

12、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價轉(zhuǎn)化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識，將有利于強化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧。在數(shù)學(xué)操作中實施轉(zhuǎn)化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問題，變成比較簡單的問題，比如從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式、從分式到整式等；或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題，以便準確把握問題的求解過程，比如數(shù)形結(jié)合法；或者從非標準型向標準型進行轉(zhuǎn)化。按照這些原則進行數(shù)學(xué)操作，轉(zhuǎn)化過程省時省力，有如順水推舟，經(jīng)常滲透等價轉(zhuǎn)化

13、思想，可以提高解題的水平和能力.例4. 若x、y、zR且xyz1，求(1)(1)(1)的最小值?！窘馕觥?1)(1)(1)（1x）(1y)(1z)(1xyzxyyzzxxyz)(xyyzzxxyz)131119【名師點睛】對所求式進行等價變換：先通分，再整理分子，最后拆分。將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，則不難由平均值不等式而進行解決.本題的關(guān)鍵是將所求式進行合理的變形，即等價轉(zhuǎn)化,此題屬于代數(shù)恒等變形題型，即代數(shù)式在形變中保持值不變.【備考提示】：熟練轉(zhuǎn)化與化歸的思想是解答好本題的關(guān)鍵.練習(xí)4.已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，SA5，SB4，SC3，D為AB的中點，E為AC的中點，則四棱錐S

14、-BCED的體積為_。A. B. 10 C. D. 【答案】A【解析】由SS和三棱椎的等體積轉(zhuǎn)化容易求.【易錯專區(qū)】問題：分類討論例.已知集合A=x|x23x2=0,B=x|x2x1=0，且AB=A，則的值為_【解析】 AB=A， A=1，2， B=或B=1或B=2或B=1，2若B=，則令0得R且2，把x=1代入方程得R，把x=2代入方程得=3綜上的值為2或3【名師點睛】：本題討論時,要考慮到集合B有可能是空集，還有可能是單元素集的情況【備考提示】：分類討論是高考的一個熱點,在二輪復(fù)習(xí)時,要有意識地去應(yīng)用,注意問題點.【考題回放】1.(2011年高考廣東卷文科2)已知集合為實數(shù)，且，為實數(shù)，且

15、，則的元素個數(shù)為（ ）A4B3C2D1【答案】C【解析】方法一：由題得，所以選C.方法二：直接作出單位圓和直線，觀察得兩曲線有兩個交點，故選C.2.（2011年高考湖南卷文科1)設(shè)全集則（ ）A B 【答案】B【解析】畫出韋恩圖，可知.3.(2011年高考全國卷理科7)某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友每位朋友1本，則不同的贈送方法共有( )(A)4種 (B)10種 (C)18種 (D)20種【答案】B【解析】：選畫冊2本，集郵冊2本，共有贈送方法，選畫冊1本，集郵冊3本，共有贈送方法，故共有贈送方法4+6=10種，故選B.4. (2011年高考天津卷理科8)

16、對實數(shù)與，定義新運算“”： 設(shè)函數(shù)若函數(shù)的圖像與軸恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD.【答案】B【解析】由題意知,若,即時,;當(dāng),即或時,要使函數(shù)的圖像與軸恰有兩個公共點，只須方程有兩個不相等的實數(shù)根即可,即函數(shù)的圖像與直線有兩個不同的交點即可,畫出函數(shù)的圖像與直線,不難得出答案B.5.(2011年高考江蘇卷14)設(shè)集合, , 若 則實數(shù)m的取值范圍是_【答案】6. (2011年高考天津卷理科20)已知數(shù)列與滿足：，且（）求的值；（）設(shè)，證明：是等比數(shù)列；（）設(shè)證明：【解析】本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問題的能力

17、及分類討論的思想方法.（）解:由,可得, 又當(dāng)n=1時,由,得;當(dāng)n=2時,可得.當(dāng)n=3時,可得.（）證明:對任意,-得 ,將代入,可得即(),又,故,因此,所以是等比數(shù)列.（III）證明：由（II）可得，于是，對任意，有將以上各式相加，得即，此式當(dāng)k=1時也成立.由式得從而所以，對任意，對于n=1，不等式顯然成立.所以，對任意7.(2011年高考安徽卷理科20)工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務(wù)，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個人?，F(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別，

18、假設(shè)互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨立.（）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率。若改變?nèi)齻€人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？（）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務(wù)的概率依次為，其中是的一個排列，求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值（數(shù)字期望）；（）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）達到最小?！久}意圖】：本題考查相互獨立事件的概率計算，考查離散型隨機變量及其分布列，均值等基本知識，考查在復(fù)雜情境下處理問題的能力以及抽象概括能力、合情推理與演繹推理，分類討論思想，應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識?！窘馕觥浚?/p>

19、（）無論怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是，所以任務(wù)能被完成的概率為=（）當(dāng)依次派出的三個人各自完成任務(wù)的概率分別為時，所需派出人員數(shù)目的分布列為123P所需派出人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）是（）（方法一）由（）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人時，所需派出人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）是 按常理，優(yōu)先派完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出人員的數(shù)目的均值。 下面證明：對于的任意組合，都有（） 事實上= = = =,所以（）式成立。 （方法二）（i）可將（）中改寫為，若交換前兩人的順序，則變?yōu)?，由此可見，?dāng)時，交換前兩人的順序可減少所需派出人員的數(shù)目的均值。（ii）也可將（）中改寫為，若

20、交換后兩人的順序則變?yōu)?，由此可見，保持第一個人不變，當(dāng)時，交換后兩人的順序可減少所需派出人員的數(shù)目的均值。組合（i）（ii）可知，當(dāng)時達到最小，即優(yōu)先派完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出人員的數(shù)目的均值，這一結(jié)論也合乎常理?！靖呖紱_策演練】一、選擇題：1（2011年高考遼寧卷文科1)已知集合A=x，B=x，則AB=（ ） （A） x （B）x （C）x （D）x【答案】D【解析】利用數(shù)軸可以得到AB=x.2.如果實數(shù)x、y滿足等式(x2)y3，那么的最大值是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】轉(zhuǎn)化為圓上動點與原點連線的斜率范圍問題.3（2010年高考山東卷理科11）函數(shù)y=2x-的

21、圖像大致是( )【答案】A【解析】因為當(dāng)x=2或4時，2x-=0，所以排除B、C；當(dāng)x=-2時，2x-=，故排除D，所以選A。4（2010年高考福建卷理科4）函數(shù)的零點個數(shù)為 ( )A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】當(dāng)時，令解得；當(dāng)時，令解得，所以已知函數(shù)有兩個零點，選C。5.(2010年高考天津卷理科2)函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是( )（A）（-2，-1） （B）（-1，0） （C）（0，1） （D）（1，2）【答案】B【解析】因為，所以選B。6(2010年高考天津卷理科8)設(shè)函數(shù)f（x）= 若f(a)f(-a),則實數(shù)a的取值范圍是( )（A）（-1，0）（0，1） （B）（

22、-，-1）（1,+） （C）（-1，0）（1,+） （D）（-，-1）（0,1）【答案】C【解析】當(dāng)時，由f(a)f(-a)得：，即，即，解得；當(dāng)時，由f(a)f(-a)得：，即，即，解得，故選C。7（2010年高考全國卷I理科2）記,那么( )A.B.-C.D.-【答案】B 【解析】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式等三角函數(shù)知識，并突出了弦切互化這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.,所以8. (2010年高考湖北卷理科5)已知和點滿足.若存在實數(shù)使得成立，則=( )A 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】由知，點M為的重心，設(shè)點D為底邊BC的中點，則=，所以有，故=3，選B.9（20

23、10年高考全國卷I理科7）正方體ABCD-中，B與平面AC所成角的余弦值為( )A B C D【答案】D 【命題意圖】本小題主要考查正方體的性質(zhì)、直線與平面所成的角、點到平面的距離的求法，利用等體積轉(zhuǎn)化求出D到平面AC的距離是解決本題的關(guān)鍵所在,這也是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn).【解析】因為BB1/DD1,所以B與平面AC所成角和DD1與平面AC所成角相等,設(shè)DO平面AC，由等體積法得,即.設(shè)DD1=a,則,.所以,記DD1與平面AC所成角為,則,所以.10(2010年高考數(shù)學(xué)湖北卷理科9）若直線與曲線有公共點，則的取值范圍是( ) AB.C.D.【答案】C【解析】曲線方程可化簡為，即表示圓心為（2，3）半徑為2的半圓，依據(jù)數(shù)形結(jié)合，當(dāng)直線與此半圓相切時須滿足圓心（2，3）到直線y=x+b距離等于2，解得，因為是下半圓故可得（舍），當(dāng)直線過（0，3）時，解得b=3,故所以C正確.11（2010年高考上海市理科17）若是方程的解，則屬于區(qū)間（ ）(A)(,1) (B)(,) (C)(,) (D)(0,)【答案】C12. (2010年高考天津卷理科9)設(shè)集合A，B。若,則實數(shù)必滿足（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】D【解析