高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)精析

1、回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)精析一知識(shí)要點(diǎn)，學(xué)習(xí)目標(biāo)1.如果一組具有相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖大致分布在一條直線附近,那么我們稱這樣的變量之間的關(guān)系為線性相關(guān)關(guān)系(也稱一元線性相關(guān)),這條直線就是回歸直線,記為2.在所求回歸直線方程中,當(dāng)取時(shí)，與實(shí)際收集到的數(shù)據(jù)之間的偏差為,偏差的平方為即以 來(lái)刻畫出個(gè)點(diǎn)與回歸直線在整體上偏差的平方和,顯然Q取最小值時(shí)的的值就是我們所求的。應(yīng)注意,這個(gè)最小距離不是通常所指的各數(shù)據(jù)的點(diǎn)到直線的距離,而是各數(shù)據(jù)點(diǎn)沿平行y軸方向到直線的距離.y 圖1 y圖2 這就是我們所要求的公式（無(wú)特殊要求時(shí)以此公式求回歸方程中的、） 其中為樣本數(shù)據(jù),為樣本平均數(shù)，稱為樣本

2、點(diǎn)中心，且所求線性回歸直線經(jīng)過樣本點(diǎn)中心點(diǎn)（如圖2所示） 當(dāng)回歸直線斜率時(shí),為線性正相關(guān),時(shí)為線性負(fù)相關(guān).線性回歸分析：回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法前面我們給出了線性回歸方程，這里我們主要結(jié)合教材分析一元線性回歸問題1以散點(diǎn)圖分析線性相關(guān)關(guān)系，散點(diǎn)圖是較粗略地分析和判斷兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量是否線性相關(guān)的問題，如果是線性相關(guān)的，我們可以求其線性回歸方程，如果不是線性向相關(guān)的，即使求得線性回歸方程，也是無(wú)效的；也就是說不能對(duì)一些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析判斷，不能應(yīng)用它解決和解釋一些實(shí)際問題2以相關(guān)系數(shù)分析線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系的樣本相關(guān)系數(shù)：可衡量是否線性相

3、關(guān)，以及線性相性關(guān)系的強(qiáng)弱由于分子與線性回歸方程中的斜率的分子一樣（這也給出了公式的內(nèi)在聯(lián)系以及公式的記法），因此，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)時(shí)兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)當(dāng)?shù)慕^對(duì)值接近，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性很強(qiáng)；當(dāng)?shù)慕^對(duì)值接近，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系規(guī)定當(dāng)時(shí)，我們認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系3解釋變量與隨機(jī)誤差對(duì)預(yù)報(bào)精度的影響以及殘差分析（1）有關(guān)概念由于樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)與一元線性回歸方程上的點(diǎn)還有一定的差距，這說明了另外的一個(gè)因素隨機(jī)誤差的影響于是有線性回歸模型圖3 y其中和為模型的未知參數(shù)；稱為解釋變量，稱為預(yù)報(bào)變量；是與之間的誤差，叫隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差的估計(jì)值為：稱為相應(yīng)于樣本點(diǎn)的殘

4、差（如圖）（2）通過殘差分析判斷模型擬合效果由計(jì)算出殘差，然后選取橫坐標(biāo)為編號(hào)、或解釋變量或預(yù)報(bào)變量，縱坐標(biāo)為殘差作出殘差圖通過圖形分析，如果樣本點(diǎn)的殘差較大，就要分析樣本數(shù)據(jù)的采集是否有錯(cuò)誤；另一方面，可以通過殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域的寬窄（如教材圖1.15），說明模型擬合效果，反映回歸方程的預(yù)報(bào)精度4相關(guān)指數(shù)反應(yīng)模型的擬合效果（1）變量剖析理解：總偏差平方和，表示解釋變量和隨機(jī)誤差產(chǎn)生的總的效應(yīng)；殘差平方和，表示了隨機(jī)誤差效應(yīng)；其差，表示了解釋變量效應(yīng)（）模型擬合效果殘差平方和占總偏差平方和的百分比，反映了隨機(jī)誤差對(duì)預(yù)報(bào)變量（總效應(yīng)）的貢獻(xiàn)率，顯然這個(gè)數(shù)值越大，模型的擬合效果越差解釋變量效

5、應(yīng)占總偏差平方和的百分比反映了解釋變量對(duì)預(yù)報(bào)變量（總效應(yīng)）的貢獻(xiàn)率； 因此，越接近（即越接近0），表示回歸的效果越好，即解釋變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)四非線性回歸的問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題圖4（1）作散點(diǎn)圖確定曲線模型根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖（如圖），可見兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系而是分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線的周圍，也可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在某二次曲線的附近（2）非線性轉(zhuǎn)化為線性這時(shí)通過對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系；通過換元把二次函數(shù)關(guān)系變換為線性關(guān)系在這兩種情況下就可以利用線性回歸模型，建立和之間的非線性回歸方程了 （3）比較兩種模型的擬合效果對(duì)于給定的樣本點(diǎn)可以通過轉(zhuǎn)換后的對(duì)應(yīng)數(shù)表作散點(diǎn)圖來(lái)確定線性回歸的擬合情況，判斷選用哪一種曲線模型較為合適；可以通過原始數(shù)據(jù)及和之間的非線性回歸方