高等數(shù)學(xué)2D8_5對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分

1、8.5 8.5 曲線積分曲線積分8.5.1 8.5.1 曲線積分的概念與性質(zhì)曲線積分的概念與性質(zhì) 8.5.2 8.5.2 曲線積分的計(jì)算法曲線積分的計(jì)算法 8.5.3 8.5.3 格林公式格林公式 8.5.4 8.5.4 曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件及曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件及8.5.68.5.6* * 曲線積分的應(yīng)用曲線積分的應(yīng)用 二元函數(shù)的全微分求積二元函數(shù)的全微分求積 3.3.理解對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義理解對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義; ; 4.4.了解對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)了解對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì); ; 5.5.掌握掌握對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法; ; 6.6.了解兩

2、類曲線積分的關(guān)系了解兩類曲線積分的關(guān)系; ; 1.1.理解對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義理解對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義, ,物理意義和幾何意義物理意義和幾何意義; ; 2.2.掌握掌握對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)與計(jì)算方法；對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)與計(jì)算方法； 7.7.掌握掌握并能正確運(yùn)用格林公式并能正確運(yùn)用格林公式; ; 8.8.掌握掌握平面上關(guān)于坐標(biāo)的曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件平面上關(guān)于坐標(biāo)的曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件, , 基本要求基本要求 會(huì)求全微分的原函數(shù)會(huì)求全微分的原函數(shù). . 上頁(yè) 下頁(yè)第8.5.1節(jié)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的

3、曲線積分的計(jì)算法對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 第 八章 上頁(yè) 下頁(yè)AB一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為弧段為AB , 其線密度為其線密度為),(zyxkkkks),(的方法的方法,可得可得nk 10limM為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量, ,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用采用上頁(yè) 下頁(yè)“分割、近似代替、求和、取極限分割、近似代替、求和、取極限” ” ),(zyx( , , )x y z注意注意:是定義在是定義在 弧段弧段AB上的函數(shù)上的函數(shù). 設(shè)設(shè) 是空間

4、中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線,義在義在 上的一個(gè)有界函數(shù)上的一個(gè)有界函數(shù), kkkksf),(都存在都存在,),(zyxf 上上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分, 記作記作szyxfd),(若通過對(duì)若通過對(duì) 的的任意分割任意分割局部的局部的任意取點(diǎn)任意取點(diǎn), 2. .定義定義是定),(zyxf下列下列“乘積和式極限乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)在曲線在曲線或或第一類曲線積分第一類曲線積分. ),(zyxf稱為稱為被積函數(shù)，被積函數(shù)， 稱為稱為積分弧段積分弧段 .nk 10limks1kMkM),(kkk和對(duì)和對(duì)上頁(yè) 下頁(yè)如果如果 L 是是 xoy 面上的曲

5、線弧面上的曲線弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果如果 L 是閉曲線是閉曲線 , 則記為則記為.d),(Lsyxf則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積 分為分為思考思考: (1) 若在若在 L 上上 f (x, y)1, ?d 表示什么問Ls(2) 定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的特例定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的特例 ? 否否! 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中但定積分中dx 可能為負(fù)可能為負(fù).上頁(yè) 下頁(yè)3.3.對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的物理意義和幾何意義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的物理意義和幾何意義 物理意義物理意義 表示弧表示弧的線密度的線密

6、度. . ( , , )f x y z其中其中幾何意義幾何意義 表示表示的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng). . ds曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量, ( , , )0( , , )df x y zf x y zs當(dāng)時(shí)，4. 性質(zhì)性質(zhì)szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 為常數(shù)為常數(shù)) szyxfd),()3( 由由 組成組成) 21, ),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(21d),(d),(szyxfszyxf上頁(yè) 下頁(yè)表示表示 tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路基本思

7、路:計(jì)算定積分計(jì)算定積分轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 化化定理定理:),(yxf設(shè)且且)()(tty上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù),證證:是定義在光滑曲線弧是定義在光滑曲線弧則曲線積分則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲線積分求曲線積分根據(jù)定義根據(jù)定義 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(上頁(yè) 下頁(yè), ,1kkktt點(diǎn)點(diǎn)),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf連續(xù)注意)()(22tt設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為), 1 ,0(nktk對(duì)應(yīng)參數(shù)為對(duì)應(yīng)參數(shù)為 則則,1kkkttnk 10lim

8、kkkt)()(22 )(, )(kkf上頁(yè) 下頁(yè)xdydsdxyoLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22說(shuō)明說(shuō)明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿足因此積分限必須滿足!(2) 注意到注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計(jì)算公式類似于因此上述計(jì)算公式類似于“換元法換元法”. 因此因此上頁(yè) 下頁(yè)如果曲線如果曲線 L 的方程為的方程為),()(bxaxy則有則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標(biāo)形式如果方程為極坐標(biāo)形式:),()(: rrL則則syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為設(shè)空間曲線弧的參

9、數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx則則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf上頁(yè) 下頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)由上述定理得由上述定理得對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的一般對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的一般計(jì)算步驟如下計(jì)算步驟如下: : 第一步第一步 畫出積分曲線畫出積分曲線L L的草圖；的草圖； 第二步第二步 寫出寫出L L的方程的方程; ; 第三步第三步 化為定積分化為定積分; ; 作法作法：L L的方程形式代入的方程形式代入, ,弧微分用同一形式的表達(dá)式代入弧微分用同一形式的表達(dá)式代入; ; 把被積函數(shù)中的把被積函數(shù)中的x,y用

10、積分曲線用積分曲線 變量參數(shù)化變量參數(shù)化: : 一類小放下一類小放下: : 化為定積分時(shí)要用參數(shù)的最小值化為定積分時(shí)要用參數(shù)的最小值 作為作為定積分的下限定積分的下限. .第四步第四步 計(jì)算定積分計(jì)算定積分. . (L的方程形式?jīng)Q定定積分形式的方程形式?jīng)Q定定積分形式 ) 例例1. 計(jì)算計(jì)算d ,Ly s其中其中 L 是拋物線是拋物線2xy 與點(diǎn)與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLdLy s10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x1(5 51).12上點(diǎn)上點(diǎn) O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B上頁(yè) 下頁(yè)22

11、d ,Lxys其中其中 L 是是20,2,yxyyx所圍成的扇形的整個(gè)邊界所圍成的扇形的整個(gè)邊界 . 上頁(yè) 下頁(yè)解解 由圖可知由圖可知 在在 OA上，上，0,02,yx.01)(12dxdxdxxyds2222200()1.2OAxxy dsxdx在在 上上, , 2cos ,2sin ,xt yt故故 222xyAxyyxo) 1 , 1 (B例例2. 求求 (0)4t22( )( )2,dsxtyt dtdt222240( 2cos )( 2cos )2ABxy dsttdt故故 .LOAABOBAB在在 OB上，上， ,01,yxx.211)(12dxdxdxxyds4022.2dt12

12、22202OBxy dsxxdx綜上所述，得綜上所述，得 222222LOAABxy dsxyxy ds222xyAxyyxo) 1 , 1 (B故故 1210021.xdxx22OBxy ds2.2上頁(yè) 下頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)例例3. 計(jì)算計(jì)算d ,Ly s其中其中 L 是拋物線是拋物線24yxA(1,2)到點(diǎn)到點(diǎn) B (1,-2) 之間的一段弧之間的一段弧 . 上從點(diǎn)上從點(diǎn)解解 為了得到單值函數(shù)為了得到單值函數(shù), ,應(yīng)把應(yīng)把 的方程寫成的方程寫成 L)22( ,42yyx因此因此 22221 ()4Lyydsydy( (因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù)因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù)). ). 1Lxy24yxo(1,2

13、)A(1,2)B2221 ( )02yydy例例4. 計(jì)算曲線積分計(jì)算曲線積分 ,d)(222szyx其中其中 為螺旋為螺旋的一段弧的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線線上頁(yè) 下頁(yè)d d s例例5. 計(jì)算計(jì)算,d)(222szyxI其中其中 為球面為球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(2092d18 .2

14、Id2cos221z. 1的交線與平面 zx292 z化為參數(shù)方程化為參數(shù)方程 21cos2x sin2y則則 上頁(yè) 下頁(yè)例例6. 計(jì)算計(jì)算,d2sx其中其中 為球面為球面 2222azyx被平面被平面 所截的圓周所截的圓周. 0zyx解解: 由對(duì)稱性可知由對(duì)稱性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2上頁(yè) 下頁(yè)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyx

15、fszyxfszyxf),(21組成由ls d)3( l 曲線弧曲線弧 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度)Lszyxfd),(),(為常數(shù)szyxgLd),(上頁(yè) 下頁(yè)3. 計(jì)算計(jì)算 對(duì)光滑曲線弧對(duì)光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對(duì)光滑曲線弧對(duì)光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對(duì)光滑曲線弧對(duì)光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf上頁(yè) 下頁(yè)思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 已知橢圓已知橢圓134:22yxL周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為a , 求求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式原式