第十章 電磁感應(yīng)

1、第十章 電磁感應(yīng)思 考 題10-1 一個(gè)導(dǎo)體圓線圈在均勻磁場中運(yùn)動，在下列幾種情況下，那些會產(chǎn)生感應(yīng)電流？為什么？(1)線圈沿磁場方向平移；(2)線圈沿垂直方向平移；(3)線圈以自身的直徑為軸轉(zhuǎn)動，軸與磁場方向平行；(4)線圈以自身的直徑為軸轉(zhuǎn)動，軸與磁場方向垂直。 答：(1)當(dāng)線圈沿磁場方向平移和沿垂直方向平移時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度和面積矢量方向相同，且大小不變，所以，磁通量也保持不變。由法拉第電磁感應(yīng)定律可知，線圈中感應(yīng)電動勢為零，因而線圈中也就沒有感應(yīng)電流。(2) 在線圈以自身的直徑為軸（軸與磁場方向平行）轉(zhuǎn)動過程中，磁感應(yīng)強(qiáng)度和面積矢量方向保持垂直，磁通量為零，因此，線圈中也沒有感應(yīng)電流。(3

2、) 在線圈以自身的直徑為軸（軸與磁場方向垂直）轉(zhuǎn)動過程時(shí)，由于磁通量為，其中是磁感應(yīng)強(qiáng)度和面積法向矢量方向的夾角，它隨時(shí)間的變化而變化。所以，磁通量發(fā)生變化，線圈中會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，也就有感應(yīng)電流產(chǎn)生。 10-2 靈敏電流計(jì)的線圈處于永磁體的磁場中，通入電流線圈就會發(fā)生偏轉(zhuǎn)，切斷電流后線圈在回到原來位置前總要來回?cái)[動幾次。這時(shí)，如果用導(dǎo)線把線圈的兩個(gè)頭短路，擺動就會馬上停止，這是為什么？答：處于永磁體磁場中的靈敏電流計(jì)的通電線圈要受到四個(gè)力矩的作用，它們是：（1）磁場對線圈的電磁力矩BSNIg，其中，B為磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度，S為線圈的截面積，N為線圈的總匝數(shù)，Ig為線圈中通過的電流；（2）線圈轉(zhuǎn)

3、動時(shí)張絲扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的反抗（恢復(fù)）力矩D，其中，D為張絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)，為線圈的偏轉(zhuǎn)角；（3）電磁阻尼力矩；（4）空氣阻尼力矩。電磁阻尼力矩產(chǎn)生的原因是因?yàn)榫€圈在磁場中運(yùn)動時(shí)的電磁感應(yīng)現(xiàn)象。根據(jù)電磁感應(yīng)定律，線圈在磁場中運(yùn)動時(shí)會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。靈敏電流計(jì)的內(nèi)阻Rg和外電路的電阻R構(gòu)成一個(gè)回路，因而有感應(yīng)電流i流過線圈，這個(gè)電流又與磁場相互作用，產(chǎn)生了一個(gè)阻止線圈運(yùn)動的電磁阻尼力矩M?？梢宰C明，M與回路的總電阻Rg+R成反比，有其中，稱為阻尼系數(shù)。當(dāng)用導(dǎo)線把線圈的兩個(gè)頭短路時(shí)，外電路的電阻R減小，阻尼系數(shù)增大，電磁阻尼力矩M增大。設(shè)計(jì)時(shí)使短路后的外阻等于臨界阻尼，擺動就會馬上停止。10-3 變壓器的鐵

4、芯為什么總做成片狀的，而且涂上絕緣漆相互隔開？鐵片放置的方向應(yīng)和線圈中磁場的方向有什么關(guān)系？答：變壓器中的鐵芯由于處在交變電流的磁場中，因而在鐵芯內(nèi)部要出現(xiàn)渦流，由于金屬導(dǎo)體電阻很小，渦流會很大，從而產(chǎn)生大量的焦耳熱，使鐵芯發(fā)熱，浪費(fèi)電能，甚至引起事故。為了較少渦流，將鐵芯做成片狀，而且涂上絕緣漆相互隔開，可以減小電流的截面，增大電阻，減小渦流，使渦流損耗也隨之減小。為了減小磁通量，進(jìn)而減小渦流，鐵片放置的方向應(yīng)和線圈中磁場的方向平行。10-4 讓一塊磁鐵在一根長的鉛直管內(nèi)落下，若不計(jì)空氣阻力，試描述磁鐵的運(yùn)動情況，并說明理由。答：磁鐵入管前后，鐵管中磁通量發(fā)生變化而出現(xiàn)感生電流，從而阻礙磁鐵

5、的運(yùn)動，此時(shí)磁鐵作加速度小于重力加速度的加速運(yùn)動。磁鐵在管內(nèi)運(yùn)動時(shí)，鐵管中磁通量不發(fā)生變化，此時(shí)磁鐵作自由落體運(yùn)動。磁鐵出管前后，管中也出現(xiàn)感生電流，磁鐵的運(yùn)動受到阻礙，作加速度小于重力加速度的加速運(yùn)動。10-5 要求用金屬線繞制的標(biāo)準(zhǔn)電阻無自感，怎樣繞制才能達(dá)到此目的？答：將金屬線對折，然后繞成螺線圈。螺線圈內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零，電阻也就無自感。10-6 兩個(gè)共軸長線圈的自感系數(shù)和的比為4，這兩線圈的匝數(shù)比是多少？答：設(shè)長線圈單位長度上線圈的匝數(shù)為n，線圈的體積為V，則其自感為。由此可知，若兩共軸長線圈的自感系數(shù)之比為4，則這兩個(gè)線圈的匝數(shù)比是2：1。10-7 什么叫位移電流？位移電流和傳導(dǎo)電

6、流有什么不同？答：通過電場中某一橫截面的位移電流等于通過該截面電位移通量的時(shí)間變化率。位移電流的實(shí)質(zhì)是電場的時(shí)間變化率，即變化的電場要激發(fā)磁場。而傳導(dǎo)電流則是電荷的時(shí)間變化率，其對應(yīng)著電荷的移動。10-8 感生電場與靜電場有什么相同之處？又有什么不同？答：感生電場與靜電場都對電荷有力的作用，他們的不同之處在于：靜電場存在于靜止電荷周圍的空間內(nèi)，而感生電場則是由變化的磁場所激發(fā)，不是由電荷所激發(fā)；靜電場的電場線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷，而感生電場的電場線則是閉合的。正是由于感生電場的存在，才在閉合回路中形成感生電動勢。10-9 變化磁場所產(chǎn)生的電場是否也一定隨時(shí)間變化？答：變化磁場所產(chǎn)生的電場

7、不一定隨時(shí)間變化。如果為常數(shù)，即磁場均勻變化時(shí)，感生電場不會隨時(shí)間變化。10-10 電荷作下列兩種運(yùn)動時(shí)，能否輻射電磁波？(1) 電荷在空間作簡諧振動；(2)電荷作圓周運(yùn)動。 答：變化著的電場和磁場相互激發(fā)，形成在空間中傳播的電磁波。電磁場的傳播，也就是電磁波的產(chǎn)生總是和電荷的加速運(yùn)動相聯(lián)系的。電荷在空間作簡諧振動，它的加速度和時(shí)間就按正弦關(guān)系變化。離它較遠(yuǎn)各點(diǎn)的電場和磁場也將隨時(shí)間按正弦變化，這種變化的電磁場還不斷向外傳播，這就形成了最簡單形式的電磁波簡諧電磁波。電子作圓周運(yùn)動時(shí)，在圓周平面遠(yuǎn)處進(jìn)行觀察，電子可以看作是簡諧振動，因此電荷作圓周運(yùn)動時(shí)，也能輻射電磁波。練習(xí)題10-1 如本題圖所

8、示，在通有電流I的無限長直導(dǎo)線近旁有一個(gè)導(dǎo)線ab，導(dǎo)線長為l，ab導(dǎo)線與載流長直導(dǎo)線的距離為d。當(dāng)它沿平行于長直導(dǎo)線的方向以速度v平移時(shí)，導(dǎo)線中的感應(yīng)電動勢有多大？a、b哪端的電勢高？ 解：建立如圖7-1所示的坐標(biāo)系，在導(dǎo)線ab中取導(dǎo)體元，由于無限長載流直導(dǎo)線I在該處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為OxdlabdxvxI圖7-1導(dǎo)線ab在磁場中運(yùn)動時(shí)產(chǎn)生的感生電動勢為其中負(fù)號表示電動勢方向由b指向a，故a端電勢較高。10-2 在圖7-2中，無限長直導(dǎo)線通有電流，另一個(gè)矩形線圈共1匝，寬a=10cm，長L=20cm，以的速度向右運(yùn)動。當(dāng)d=10cm時(shí)求：（1）線圈中的動生電動勢；（2）線圈中的感生電動勢；（3

9、）線圈中的感應(yīng)電動勢。ILdafgeh圖7-2解：（1）導(dǎo)體在磁場中運(yùn)動時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢就是動生電動勢。在圖7-2中，易知導(dǎo)體eh段和fg段上的動生電動勢為零，因而一匝線圈中的動生電動勢為N匝線圈中的總動生電動勢為帶入數(shù)據(jù)后解得OIdxLda圖7-3xx（2）由磁通量變化引起的電動勢為感生電動勢。為求線圈中的磁通量，取如圖7-3所示的坐標(biāo)系?，F(xiàn)考慮一匝線圈的情況。電流I在圖7-3所示陰影區(qū)域產(chǎn)生的磁通量為在整個(gè)線圈中產(chǎn)生的磁通量為于是，在d=10cm時(shí)，一匝線圈中產(chǎn)生的感生電動勢為N匝線圈中產(chǎn)生的感生電動勢為由于帶入數(shù)據(jù)，得（3）線圈中的感應(yīng)電動勢為動生電動勢和感生電動勢的代數(shù)和10-3 只

10、有一根輻條的輪子在均勻外磁場B中轉(zhuǎn)動，輪軸與B平行，如圖7-4所示。輪子和輻條都是導(dǎo)體，輻條長為R，輪子每秒轉(zhuǎn)N圈子。兩根導(dǎo)線a和b通過各自的刷子分別與輪軸和輪邊接觸。求:（1）a、b間的感應(yīng)電動勢 ；（2）若在a、b間接一個(gè)電阻，流過輻條的電流方向如何？（3）當(dāng)輪子反轉(zhuǎn)時(shí)，電流方向是否會反向？（4）若輪子的輻條是對稱的兩根或更多，結(jié)果又將如何？解：（1）在輻條上距離軸心r處取長度為dr的微元，當(dāng)輻條運(yùn)動時(shí)在該微元上產(chǎn)生的動生電動勢為Bab圖7-4指向dr的正方向。則整個(gè)輻條上產(chǎn)生的動生電動勢為 其方向由軸心沿輻條向外。于是，ab之間的感應(yīng)電動勢為（2）由于電動勢的方向由軸心沿輻條向外，故電流

11、方向由b到a。（3）當(dāng)輪子反轉(zhuǎn)時(shí)，由于感應(yīng)電動勢方向相反，故電流方向也會反向。（4）若輪子的輻條是對稱的兩根或更多時(shí)，相當(dāng)于兩個(gè)或多個(gè)電源的并聯(lián)，所有，電動勢也相同。10-4 法拉第盤發(fā)電機(jī)是一個(gè)在磁場中轉(zhuǎn)動的導(dǎo)體圓盤。設(shè)圓盤的半徑為R，它的軸線與均勻外磁場B平行，它以角速度繞軸轉(zhuǎn)動，如圖7-5所示。求：（1）盤邊與盤心的電位差；（2）當(dāng)R=15cm時(shí)，B=0.60T。若轉(zhuǎn)速n=30rad/s，電壓u等于多少？（3）盤邊與盤心哪處電位高？當(dāng)盤反轉(zhuǎn)時(shí)，它們的電位高低是否會反過來？Bw圖7-5解：（1） 盤上沿半徑方向產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢可以認(rèn)為是沿任意半徑的一個(gè)導(dǎo)體桿在磁場中運(yùn)動時(shí)產(chǎn)生的動生電動勢。

12、與7-3題類似，在一段導(dǎo)體桿線元dl上產(chǎn)生的動生電動勢為式中l(wèi)為線元dl到盤心的距離，v為線元dl的線速度。則，整個(gè)導(dǎo)體桿上產(chǎn)生的電動勢為此即盤邊與盤心的電位差。（2）將數(shù)據(jù)代入上式，知導(dǎo)體盤邊與盤心之間的電壓為（3）由右手定則，電動勢由盤心指向盤邊，故盤邊的電位高。當(dāng)盤反轉(zhuǎn)時(shí)，它們的電位高低會反過來。BOPQRl圖7-610-5 在半徑為R的圓柱體內(nèi)充滿均勻磁場B ，如圖7-6所示。有一個(gè)長為l的金屬桿放在磁場中，若B隨時(shí)間的變化率為dB/dt，金屬桿上的電動勢是多少？解：如圖7-6所示，連接OP、OQ，設(shè)想PQOP構(gòu)成一個(gè)閉合導(dǎo)體回路，由于OP、OQ沿半徑方向，與通過該處的感生電場強(qiáng)度Ek

13、處處垂直， Ekdl=0，故OP和OQ兩段上均無電動勢，這樣，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出閉合回路的電動勢就是導(dǎo)體棒PQ上的電動勢。按此思路，設(shè)閉合導(dǎo)體回路PQOP的環(huán)繞方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，其環(huán)繞面積S的方向與磁場方向相反，則通過該回路的磁通量為根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得回路中的電動勢，亦即導(dǎo)體棒PQ上的電動勢為10-6 環(huán)形螺線管的截面為矩形，內(nèi)徑為D2，外徑為D1，高為h，總匝數(shù)為N，介質(zhì)磁導(dǎo)率為，如圖7-7所示。求其自感系數(shù)。解法一：假設(shè)螺線管中通有電流I，由磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理圖7-7r得管內(nèi)距離中軸線為r處的磁場強(qiáng)度為 根據(jù)磁場強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系可知螺線管中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為則通過長方形截

14、面（圖7-7中陰影面積）的磁通量為通過環(huán)繞的N個(gè)線圈的總磁通量為 由自感定義得整個(gè)螺線管的自感系數(shù)為解法二：由磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理得管內(nèi)距離中軸線為r處的磁場強(qiáng)度為在管內(nèi)距離r處取長為，高為h，寬為dr的體積元，該體積元的體積為所以螺線管內(nèi)的磁場能量為與能量公式比較，可得10-7 一個(gè)長為l，截面半徑為R（Rl）的圓柱形紙筒上均勻密繞有兩組線圈，一組總匝數(shù)為N1，另一組總匝數(shù)為N2。當(dāng)筒內(nèi)介質(zhì)為空氣時(shí)，兩線圈的互感為多少？解：考慮到Rl，可將均勻密繞圓柱形紙筒上兩組線圈看成是無限長直螺線管。設(shè)匝數(shù)為N1的螺線管中通以電流I1，它在本螺線管中產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為其中，n為單位長度上線圈的匝數(shù)。由

15、自感的定義得同理設(shè)螺線管1中通電流，它在螺線管2中產(chǎn)生的總磁通量為故互感系數(shù)為 10-8 試證平行板電容器的位移電流。其中，C為電容器的電容，U為兩極板間的電壓。證明：設(shè)平行板電容器的極板面積為S、極板間距為d、極板間為空氣，則極板間的電位移通量為對平行板電容器，其電容為將其帶入上式得 于是，由位移電流的定義得 得證。10-9 將半徑為R的圓形平行板電容器接入交流電器中，已知極板上的電量以的規(guī)律變化。求：（1）兩極板間的位移電流；（2）離兩極板中心連線距離為r (rR)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。解：（1）由7-8題可知考慮到電容器的定義和，上式即可化為IcIcR+QQPr圖7-8（2）在兩極板中間做一個(gè)平行于兩極板平面的半徑為r的圓形回路l，如圖7-8所示。由于電容器內(nèi)兩極板間沒有傳導(dǎo)電流，按照全電流定律，在此環(huán)路上有根據(jù)對稱性，在此環(huán)路上各點(diǎn)的磁場強(qiáng)度大小處處相等，環(huán)路內(nèi)的電場為均勻電場，故由上式可得由于電容器內(nèi)的電位移值等于極板上的電荷面密度，即，再考慮到 ，由上式可得 于是，由可得離