自動控制原理線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合習題及解答

1、第八章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合習題及解答8-1已知電樞控制的直流伺服電機的微分方程組及傳遞函數(shù)Ua = Raia + La- + Eb +5= Ca心焊+磴®”(s)S($) sLaJ,y + (Lafm + JmRa)s + (Rafm + KbCJ設(shè)狀態(tài)變量“ = %”，x2=Om, x. = 0及輸出量y = Om，試建立其動態(tài)方程;設(shè)狀態(tài)變量召=i(l,x2 = 0”,禺=Otn及y = 0”,試建立其動態(tài)方程。解:(1)由題意可知:XL =X2=l=V3 = 乂 2 = £ y =血=i由己知U = Raia + Laia + Eb = K0mM,” = Cm

2、ia=X3_ /”上“ +丿”代 v Rdgy = xi由上式，可列動態(tài)方程如下可推導出cx.+-Ua -L Ja m» £X2/3_000 0X】011 十0L f +J Ra J ntm aL Jqa tnJxiy = l 0 0 x2£(2)由題意可知:石=/；, x2 = 無3 = Om. y = 0mLa La La兀=i,= 一組匚一旦e”+丄匕=1 (II (l I 191 I ad可推導出盧2=e”=鬲j, = 0,” = 乂i“ 0m =Slt -x33”兒 a 兒"J. 由上式可得變換矩陣為nt y + 6y + lly + 6y =

3、 6u .式中，u和y分別為系統(tǒng)輸入和輸出量。試列寫可控標準型（即矩陣A Jn, 為友矩陣）及可觀測標準型（即矩陣A為友矩陣轉(zhuǎn)置）狀態(tài)空間表達式，并畫出狀態(tài)變量圖。 解：由題意可得：7 = °m =禺可列動態(tài)方程如上 n0心 1LqLqq左2001+0Cm0b3_0%元 1 = iaX】X2 = W=Omy = 010； X.X1 =X2=盅得* X2 =元3 = ”r f .fv zj; J m /jm 寸 J m p8-2設(shè)系統(tǒng)微分方程為XZ =嘰=-j-la-j-n =X1 -X3 .J mmmmy _6U 53 + 6s2 +115+6可控標準型x2=/3_00-610-11

4、lly = 6 0狀態(tài)變量圖如卜:由方程得可觀測標準型狀態(tài)變量圖如下:61168-3已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖829所示，其狀態(tài)變量為幾心,心。試求動態(tài)方程，并畫出狀態(tài)變量圖。由結(jié)構(gòu)圖可得A； _2x2 - x3 5（5 + 1）=> s2xk + sxk = 2x2 一 2x3 即 xk + 爼=2x2 一 2x3X】A2=> sxk = x3=> sx2 = 一2兀 一 3x2 + 2"H卩 x2 = -2a 一 3xz + 2uA' 001 _*0_x2=-2-30X2+202-30由上述三式，可列動態(tài)方程如下:U - X 5+3>=100狀態(tài)變量圖如2

5、X己知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為6(5)= < + 65 + 8 ,試求可控標準型，可觀測標準型，對角型動態(tài)方程，并畫出狀態(tài)變量圖。 5" +45 + 3解：(1)可控標準型 = 01 £+0X2_-3-4x21y = 5 2+ u(2)可觀測標準型臥: j2_5 +|_2y = o 1丄+ 1由上式町得對角型-301 - 2 3 - 2一 _1試求約當型動態(tài)方程，并畫出狀態(tài)變量圖。8-5已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s) =；(5+ 1)-(5+ 2)解:5G + 1)，55+5+15+2由上式，可得約當型動態(tài)方程-1001-10尸5 -55 x28-6已知雙輸入一雙輸出系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸

6、出方程分別為心=兀+坷x2= x3+ 2w1 一 u2無3 = -6X -1 lx2 - 6x3 + 2u2 010 1'_10 _X2=001X2+2-11u2-6-11-6/3.02由題中給定方程可列寫出動態(tài)方程-10£yi=xl-x2y2 = 2a; +x2- x3寫出矩陣形式的動態(tài)方程，并畫出狀態(tài)變屋圖 解：狀態(tài)變量圖如卜119X = 旺乙旦知系統(tǒng)動態(tài)方程為10'0一 30X +11320-2-1u試求傳遞函數(shù)亦)0 1118一8已知系統(tǒng)矩陣* 02j 2 +75 + 3廠f0解:S-10 0_G（5）= C（5/-A）_1Z? = o 0 1'2 5

7、 + 3011 -15-320+ 35 + 2 12,至少用兩種方法求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：（1）級數(shù)法：eAl = I + At + -A34t2 + +2匚 11 3 1 4cl f+ 廠一一廣+ 嚴+0=234c11131401 + / + 廣+廣+ 八+(2)拉氏變換法8-904e-t - 4e2e“ + 3e-zt小2e-t- e"2tt 一t e -e-2" + 2e Je" + 2e"2t判斷r是否是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。若是，則確定系統(tǒng)的狀態(tài)陣如果不是，請說明理由。解：轉(zhuǎn)移矩陣應滿足：0 = 40,0(0) = 7也(0)=<1 0、,0 1,

8、=1假設(shè),近為轉(zhuǎn)移矩陣則Ag L。-6Q+10八3才-6e2144'/=0-3 -42Q+ 2*”Q+2嚴廠 0 1 2e,- 4e21e_/- 4e21 _/=0-2 -3Ag】(t) =工軟)12"8e8e“ 4e9e“ + 8e -6e'f + 4e'2tA2(t) =-2e-t + 2e'2te" + 2e= 2(r) = O2(t)A2所以©不是轉(zhuǎn)移矩陣O2(t)是轉(zhuǎn)移矩陣,其狀態(tài)陣為°1-3-10 08-10試求下列狀態(tài)方程的解x= 0-20 x的解0 -3解：由題意可得：x= Ax(si - A)x = xQ

9、<x = (si - xQ x(t) = Usl - Ay1 xQ5+1x(t)=厶T0005+20X。15+1013'1 o'Tx +1 118-11己知系統(tǒng)狀態(tài)方程為x =00-3/o)(r)= r1(5/-A)"10tel ef5-105-15-1-i嚴 0(t - T)elT e'z15-1115-11+2R2te!e' 0tel elu,初始條件為“(0) = 1,兀(0) = 0。試求系統(tǒng)在單位階躍輸入作用卞的響應。解：此題為求非奇次狀態(tài)方程的解，對于非奇次狀態(tài)方程。x(t)=(/)x(0) + J o'(/ -t)Bu(t)

10、cIt8-12 己知差分方程 y伙 + 2) + 3y(R +1) + 2y(k) = 2u(Jc +1) + 3u(k),并且 y(O)=O,y(l)=l,試列寫可控標準型離散動態(tài)方程，并求出u(k) =S(0)1“(1)1時的系統(tǒng)響應。解：由差分方程可得離散動態(tài)方程如下:fx(k +1) = G x(k) + H u(k)I y(k) = Cx(k)C = 3 21-2 -30 1 =011x(l) = G x(0) + H m(0) = 0 +y(l) = C x(l) = 3 2 ：=20x(2) = G x(l) + H m(1)=0 1 -2 -3 11 =1-2y(2) = C

11、x(2) = 3 2=-l8-13己知連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)方程為大=0 10x +0 2_1_y = 1 0卜設(shè)采樣周期T =試求離散化動態(tài)方程。解:o(o = r15/-Ar1s -10 5-21s(s - 2)172(T = 1)=_13.19 07.391 押-1)0 ，1G(T = l) = f；d>(r)BJr = fi-(e2r-I) 02 A1II療F-e2r21.3473.1958-14試用李雅普諾夫第二法判斷心=_兀+兀，禺=2旺-3兀平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。X = 0無=0解：平衡點：“構(gòu)造 V(x) =+x2則 V(x) = 2xlxi + 2x2x2 = 2“(一“ + x2

12、) + 2x2(2xi -3x2)=-+ 6xtx2 - 6x2" -23 X. X.1 3 -6x2判定P(x)性質(zhì):-2<0-2 33 -6=12-9 = 3>0V(x)負定，因此平衡狀態(tài)是人范闈一致漸近穩(wěn)定的15122-310 W.0-10X +0211u20-1102118T5己知系統(tǒng)狀態(tài)方程為x =當Q = I時，矩陣P的值；若選0為正半定矩陣，求對應1310的P矩陣的值，并判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解:atp+pa = -q = -i令:解得:2丄2-3-1-10丄2-1-1p22p22片2p22丄2-1£2-3-1-4-1211613-12-1344古氏行列

13、式:-4<0-4=-24-64 =-88 <0-48-1286-13-12-134486=-1564<0因此不定。則V(X) = -XTQX =-x2 為負半定。由等式 ATP+PA = -Q解得:0_0 正半定。0匕PnP= Pn Pu判定系統(tǒng)穩(wěn)定性：3丄 _2 5 + 1 _£ _20 =(5+ 2)(5 +l)25 + 15-2sl -=0019三個特征值分別為:-2 -1 -lo因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。8-16設(shè)線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為，x(k +1)= x(k k>0,試求使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的k值范憐|。解:_0 00_L>1101010K001p220

14、1企0k02-100_=0-10001令 TP-P = -Q = -I即0解得:8 +疋4 疋12若要滿足題意，需令k>0宀4。因此'漸近穩(wěn)定的條件為:8-17試判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性。(1)-201uU2-2-4100:111-401AA1A iA(4) x= 0-4(5) X =0(6) X =0解:ii(!) PC = B0AB : A2b= 01-1 20 00-1rankP =2<n = 3該系統(tǒng)不可控ro i 2(2) Pc = b ABA2b= 1 1 10 1 2rcmkP. = 2 < /? = 3 該系統(tǒng)不可控。0 1 0 10 2(3) P =

15、 0 10 10 1111112rcmkP = 3 = n該系統(tǒng)町控。1 -4 16(4)P< = 2 -8 32該系統(tǒng)不可控。a10o-0x =0A00x +100A010001rcmkP = 2 < /? = 3解:PC=B AB : AB a3b=011123a10000入10x +000右010001該系統(tǒng)不可控。u(6) x =矩陣不滿秩,解：pc=b AB :azb=,vi13212 人 32/矩陣不滿秩，該系統(tǒng)不可控。8-18設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為女=并設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)可控，試求d®。解:PC=B : AB =ab-l令|.| = ab-l-b2 0 = a工b + *

16、時，即可滿足可控性條件。V 4- /78-19設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為G(s)=- 并設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)可控、可觀測,+7廠 +14$ + 8試求d值。解：G(s) =s + a53 + 752 +14j + 8s + a(5 + l)(s + 2)(s + 4)(1)-2-100-22-1x +0-11uO 采用可控標準型，不論為a何值，系統(tǒng)總可控。© 在任意三階實現(xiàn)情況卞可控，則。工1,2,4°8-20試判斷下列系統(tǒng)的可觀測性:-1x= 01y = l 110 0 0x0-10(4)y = 0 1 lx解：C 110 (1) pc =CA-1 -3-1CA0一30rank P（. =

17、3 = n 該系統(tǒng)可觀。（3）該形式為約當標準型,（4）該形式為約當標準型,直接判定，該系統(tǒng)可觀。直接判定，該系統(tǒng)不可觀。8-21試確定使系統(tǒng)* 0y = 1 -lx 可觀測的 a, b.。解:" CCA-11-bC _11r(2) Pc =CA=2一1CA4'131rank P =3 = n 該系統(tǒng)可觀。132_0r10o-042,B =00, c =00100110于是系統(tǒng)可觀。4 =試用傳遞矩陣判斷系統(tǒng)的可控性和可觀測性。 解：8-22已知系統(tǒng)動態(tài)方程各矩陣為L-1-15-1-3-2_(5-1X5-4)3(5-1)2(5-1) 105-4-2i0(5-l)22(5-1)

18、00s-1(s-l)-(s-4)00(5-1)( 5-4)-4尸判斷可控性:j-432 _1 0 o-05-120 0 1J10 05-4因此該系統(tǒng)可控。c(si - Ay1(S - 1)(5 - 4)(2)兄丄=1幾，=1血 4 = ± j 1-1A =-J1'1"1'1(3) P =1p2 =-1p嚴J4 =-j11-1-11-1-JJ1 432 _0 1'(s/ - A)-1 B =05-120 00 05-41 0a2 s_4+a2 0+tz35-4o=o令(5-1)(5-4)225-45-400所以(刃-4尸3中三行向量線性無關(guān),判斷町觀性

19、:1(5-1)(5-4)5-4025-4解得5-4+ a23+ CI.2005-4=0令q因此該系統(tǒng)可觀測。_01008-23已知矩陣A =001000011000所以,C(sl- A)'1中三行向量線性無關(guān),解:試求A的特征方程，特征值和特征向量，并求出變換矩陣，將A約當化。(1)£)(5)= sl - A =00-10-100-154-1對角化變換矩陣1111111-11-1J-1-J一 J-1JP = AP =1111-11-11J-1-J1 J-125所以P可使4對角化8-24將狀態(tài)方程乂 =解:所以,1 -2鬥=B i AB=；化為可控標準型。-17rank Pc

20、= 2,可控,可化為可控標準型。18 -1驗證:PAJ1 -1 12 60 1-10 5P_ 1-1rp7 _ 8261P =-621-1rf 0826i1PB =驗證完畢。01、B = 0-105_1故町控標準型實現(xiàn)對應的4 "陣為:A =Y( s$ +18-25己知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為亠= ,試寫出系統(tǒng)可控、不可觀測，可觀測，不可控，不可控、不可觀測的動態(tài)U(s) «r+3s + 2方程。解：y(5)_5+1_5+1U(s) s' + 3s+ 2(5+ 1)(5 + 2)傳遞函數(shù)有零極點對消，因此不可控或不可觀?？煽?、不可觀方程：» 0 10X =X+ U-

21、2 -31r = i ix可觀測、不可控方程:X +-2 -3r = oixY Cs) _ s + 1_ 01=+U(s) (s + l)(s + 2)5 + 1 s + 2不可控、不可觀測方程:-100-2y = o ix8-26已知系統(tǒng)動態(tài)方程各矩陣為： 1000_丁0200, B =0-6-23033-2042A =試求可控子系統(tǒng)與不可控子系統(tǒng)的動態(tài)方程。 解：-4-3 1 1Pc = b ： AB A2B_1111 _a5b=0000333321147191rank £ = 2'111-3'"0011-3Tl =0003100-23T-3300272

22、70-90211000270000 11-3100 -23771 廠127270 -90027 00_0-108-75-16_ 12713521-2008118000541000111002000001-6-23033003-204_21100310011-3T27 -100-230_ 1027270-903_ 270_027002_0TB =CT"1 = -4-310321031110000100=110-4 -3所以，可控子系統(tǒng)為:<7'0 -108'27135X'+尋- 7521-16'-2/ +0必=1 10X(u不可控子系統(tǒng)為: 027

23、00_1- 1-1081350010A =B = CZ =27-7521810-4-28-21854-38-27系統(tǒng)各矩陣同題826,試求可觀測子系統(tǒng)與不可觀測子系統(tǒng)的動態(tài)方程。 解：利用9-27的對偶關(guān)系實現(xiàn)：C = B1 =1 0 0 027門J觀子系統(tǒng):027 |_-108 打=1 ox“不可觀子系統(tǒng):1- 7521'“ 1'9 0'X =X +-<。27-28 -2“ 32 6"08-280_'01X +010100 1設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為x= 0 -10 -1M o說明可否用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點，若可以，求狀態(tài)反饋矩陣,使閉環(huán)極點位于一

24、口1土人Q7,并畫出狀態(tài)變量圖。 解：Pc=b AB A2b =00100101001090990卜0 0_0 1 0_0050<0 -1 100050 -1 1010=+12s + 24s+ 40rank P = 3 = n ,sl 一 (4 一 Bk) =(5 + 10)(5 +1 + ;73)(5 +1-jy/3)s' +(10心-9)s2 +(10心 + 10& - 9)s + 10/ = 53 +12" +24$+ 40 K=48-29設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為01 0x =x+001y = 1試設(shè)計全維狀態(tài)觀測器，使其極點位于一幾2廠（廠0）,并畫出狀態(tài)變量圖

25、。 解：C=.CArank Pc = 2 = n ，可觀，可設(shè)計全維狀態(tài)觀測器。令 sl-(A-HC) =00'%1 0r00A.L1 i0-1s + h°觀測器系統(tǒng)陣：A-HC =s2 + hQs +1 = (5 + r)(5 + 2r) = s2 + 3rs + 2r2X = 3r 代=2廠X設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為器=(s - l)(s + 2)(5 + 1)(5 一 2)(5 + 3)，判斷能否利用狀態(tài)反饋矩陣將傳遞函數(shù)變成喬E，若有可能,求出一個滿足的狀態(tài)反饋陣K,并畫出狀態(tài)變量圖。 提示：狀態(tài)反饋不改變傳遞函數(shù)的零點。解：能。)?(5)_(5 - 1)(5 + 2)_ S

26、2 + S-21心)(5 4-1)(5-2)(5+3)53 +2s2 -5s-6上式無零極點對消，因此可控，可任意配置極點。用可控標準型實現(xiàn)：x = Ax+Bu ; y = Cx其中:010A =001,B =65-200, C = -2 1 1為使傳遞函數(shù)變?yōu)閱毯螅枧渲脴O點，使得£)(5)=(5 + 2)2(5 + 3) = 53 + 7s2 + 16s+ 12010_010 '令：A Bk =001=0016 &5-k2 2 k、12-16-7人=18解得： a. = 21配置極點后出現(xiàn)零極點對消，系統(tǒng)不可觀。但傳遞函數(shù)只描述外部特性，故可達到目的。0005 _

27、-20 u.101x +1-21 y /01-301鳳2x =,y = 0 0 lx8-31設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為:試判別系統(tǒng)町控性和可觀測性;求輸出至輸入的反饋矩陣，使閉環(huán)極點位于-0.57, -0.22± J1.3,并畫出狀態(tài)變量圖。375 5 -10解:PC = B ABa2b=-2 1-5 -7 11C _001 _CA01-3CA20-310系統(tǒng)可控Pq =系統(tǒng)可觀測。rcinkP =3 = 7?,'005 '%A-HC =10 1o 0 1=01 -3h2010001rank PQ = 3 = n ,令:sl - (A - HC) =(5 + 0.57)(j + 0.22 + 兒3)(s + 022-兒3)s 0 h0 -